Unit vector

Original article: w:Unit vector

수학(mathematics)에서, 노름 벡터 공간(normed vector space)에서 단위 벡터(unit vector)는 길이(length) 1의 벡터(vector)입니다 (종종 공간 벡터(spatial vector)라고 불립니다). 단위 벡터는 종종 서컴플렉스(circumflex) 또는 ${\hat {\mathbf {v} }}$ ("v-hat"으로 발음함)에서 처럼, "모자"를 갖는 소문자에 의해 표시됩니다.

용어 방향 벡터(direction vector)는 공간 방향을 나타내기 위해 사용될 단위 벡터를 설명하기 위해서 사용되고, 그러한 양은 공통적으로 d로 표시됩니다; 이 방법으로 표현된 2D 공간 방향은 단위 원(unit circle) 위의 점과 수치적으로 동등합니다. 같은 구성이 3D에서 공간 방향을 지정하기 위해 사용되며, 이것은 단위 구(unit sphere) 위의 점과 동등합니다.

Examples of two 2D direction vectors

Examples of two 3D direction vectors

비-영 벡터 u의 정규화된 벡터 û(normalized vector û)는 u의 방향에서 단위 벡터입니다. 즉,

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{|\mathbf {u} |}}$

여기서 |u|는 u의 노름(norm) (또는 길이)입니다. 용어 정규화된 벡터(normalized vector)는 때때로 단위 벡터(unit vector)에 대해 동의어로 사용됩니다.

단위 벡터는 종종 벡터 공간의 기저(basis)를 형성하기 위해 선택되고, 공간에서 모든 각 벡터는 단위 벡터의 선형 조합(linear combination)으로 쓸 수 있습니다.

정의에 의해, 유클리드 공간(Euclidean space)에서 두 단위 벡터의 점 곱(dot product)은 더 작은 끼워진 각의 코사인(cosine)에 해당하는 스칼라 값입니다. 삼-차원 유클리드 공간에서, 임의의 두 단위 벡터의 교차 곱(cross product)은 그것들의 둘 다에 수직인 세 번째 벡터이며, 그것의 길이는 더 작은 끼워진 각의 사인과 같습니다. 정규화된 교차 곱은 이 변하는 길이를 보정하고, 두 입력에 서로 직교하는 단위 벡터를 산출하며, 두 가지 가능한 방향 중 하나를 결정하기 위해 오른-손 규칙(right-hand rule)을 적용합니다.

Orthogonal coordinates

Cartesian coordinates

Main article: Standard basis

단위 벡터는 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 축을 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 삼차원 데카르트 좌표 시스템의 x, y, 및 z 축 방향에서 표준 단위 벡터는 다음과 같습니다:

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

그것들은 전형적으로 선형 대수(linear algebra)에서 표준 기저(standard basis)라고 참조되는, 상호 직교(orthogonal) 단위 벡터의 집합을 형성합니다.

그것들은 종종 표준 단위 벡터 표기법 (예를 들어, $\mathbf {\hat {\imath }}$)이 아닌 공통적인 벡터 표기법 (예를 들어, i 또는 ${\vec {\imath }}$)을 사용하여 표시됩니다. 대부분의 상황에서 i, j, 및 k, (또는 ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ 및 ${\vec {k}}$)는 3-D 데카르트 좌표 시스템의 벡터라고 가정될 수 있습니다. 표기법 $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$, $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$, $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, 또는 $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$는, 모자가 갖거나 갖지 않거나, 역시 사용되며, 특히 i, j, k가 또 다른 양과 혼동을 일으킬 수 있는 문맥에서 사용됩니다 (예를 들어 i, j, k와 같은 인덱스 기호와 함께, 변수의 집합 또는 배열 또는 수열의 원소를 식별하기 위해 사용되는 경우입니다).

공간에서 단위 벡터가 i, j, k의 선형 조합으로 데카르트 표기법(Cartesian notation)에서 표현될 때, 그것의 세 가지 스칼라 성분은 방향 코사인(direction cosines)으로 참조될 수 있습니다. 각 구성 요소의 값은 단위 벡터와 각 기저 벡터에 의해 형성된 각도의 코사인과 같습니다. 이것은 직선의 방향(orientation) (각도 위치), 선분, 방향화된 축, 또는 방향화된 축의 세그먼트 (벡터(vector))를 설명하기 위해 사용되는 방법 중 하나입니다.

Cylindrical coordinates

See also: Jacobian matrix

원통형 대칭에 적합한 셋의 직교(orthogonal) 단위 벡터는 다음과 같습니다:

• $\mathbf {\hat {\rho }}$ (역시 $\mathbf {\hat {e}}$ 또는 ${\boldsymbol {\hat {s}}}$으로 지정됨), 대칭의 축에서 점까지의 거리가 측정되는 축을 따르는 방향을 나타냅니다;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, 만약 점이 대칭 축(symmetry axis)을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전하면 관찰되는 동작의 방향을 나타냅니다;
• $\mathbf {\hat {z}}$, 대칭 축의 방향을 나타냅니다;

그것들은 다음에 의해 데카르트 기저 ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$와 관련이 있습니다:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

벡터 ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$, 및 ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$는 $\varphi$의 함수이고 방향에서 상수가 아닙니다. 원통 좌표에서 미분하거나 적분할 때, 이들 단위 벡터 자체는 역시 연산되어야 합니다. $\varphi$에 관한 도함수는 다음과 같습니다:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .$

Spherical coordinates

구형 대칭에 적합한 단위 벡터는 다음과 같습니다: $\mathbf {\hat {r}}$, 원점에서 반지름의 거리가 증가하는 방향; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, 양의 x-축에서 반시계 방향으로 x-y 평면에서 각도가 증가하는 방향; 그리고 ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, 양의 z축에서 각이 증가하는 방향. 표현의 중복성을 최소화하기 위해, 극각 $\theta$는 보통 0도에서 180도 사이에 있는 것으로 취합니다. ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$와 ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$는 종종 반대 방향이기 때문에, 구형 좌표(spherical coordinates)에서 쓰인 임의의 순서화된 세-쌍의 맥락에 주목하는 것이 특히 중요합니다. 여기에서는 미국의 "물리학" 관례가 사용됩니다. 이것은 원통 좌표에서와 같이 정의된 방위각(azimuthal angle) $\varphi$를 남깁니다. 데카르트(Cartesian) 관계는 다음과 같습니다:

$\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

구형 단위 벡터는 $\varphi$와 $\theta$에 의존하고, 따라서 5 가능한 비-영 도함수가 있습니다. 보다 완전한 설명에 대해, 야코비 행렬 및 행렬식(Jacobian matrix and determinant)을 참조하십시오. 비-영 도함수는 다음과 같습니다:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

General unit vectors

Main article: Orthogonal coordinates

단위 벡터의 공통 주제는 물리학(physics)과 기하학(geometry) 전반에 걸쳐 발생합니다:

Unit vector	Nomenclature	Diagram
Tangent vector to a curve/flux line	$\mathbf {\hat {t}}$	A normal vector $\mathbf {\hat {n}}$ to the plane containing and defined by the radial position vector $r\mathbf {\hat {r}}$ and angular tangential direction of rotation $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Binormal vector to tangent and normal	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$
Parallel to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	One unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ is in any radial direction relative to the principal line.
Perpendicular to some axis/line in some radial direction	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Possible angular deviation relative to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	Unit vector at acute deviation angle φ (including 0 or π/2 rad) relative to a principal direction.

Curvilinear coordinates

일반적으로, 좌표 시스템은 여러 개의 선형적으로 독립(linearly independent) 단위 벡터 $\mathbf {\hat {e}} _{n}$을 사용하여 고유하게 지정될 수 있습니다 (실제 개수는 공간의 자유도와 같습니다). 보통의 3-공간에 대해, 이들 벡터는 $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$로 표시될 수 있습니다. 시스템을 직교 및 오른손 법칙으로 정의하는 것이 거의 항상 편리합니다.

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}$

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}$

여기서 $\delta _{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta) (i = j이면 1, 그렇지 않으면 0)이고 $\varepsilon _{ijk}$는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol) (ijk로 순서화된 순열에 대해 1이고, kji로 순서화된 순열에 대해 −1)입니다.

Right versor

$\mathbb {R} ^{3}$에서 단위 벡터는 해밀턴(W. R. Hamilton)에 의해 직각 버서(right versor)라고 불리는데, 왜냐하면 그는 쿼터니언(quaternion) $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$을 개발했었기 때문입니다. 사실, 그는 벡터라는 용어의 창시자였는데, 왜냐하면 모든 각 쿼터니언 $q=s+v$은 스칼라 부분 s와 벡터 부분 v를 가졌기 때문입니다. 만약 v가 $\mathbb {R} ^{3}$에서 단위 벡터이면, 쿼터니언에서 v의 제곱은 −1입니다. 따라서 오일러의 공식(Euler's formula)에 의해, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$는 3-구체(3-sphere)의 버서(versor)입니다. θ가 직각(right angle)일 때, 버서는 직각 버서입니다: 그것의 스칼라 부분은 영이고 그것의 벡터 부분 v는 $\mathbb {R} ^{3}$에서 단위 벡터입니다.

See also

• Cartesian coordinate system
• Coordinate system
• Curvilinear coordinates
• Four-velocity
• Jacobian matrix and determinant
• Normal vector
• Polar coordinate system
• Standard basis
• Unit interval
• Unit square, cube, circle, sphere, and hyperbola
• Vector notation
• Vector of ones

References

• G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.