Up to

수학(mathematics)에서 문구 까지(up to)는 같은 클래스에서 — 반면에 구별되는 — 일부 대상은 어떤 조건 또는 변환(transformation) 아래에서 동등한 것으로 여길 수 있다는 아이디어를 전달하기 위해 사용됩니다.^[1] 그것은 집합의 원소, 및 그들 원소 중 일부가 동등한 것으로 여겨지게 되는 조건에 대한 논의에서 종종 나타납니다. 보다 구체적으로, 집합 S의 두 원소 a와 b가 주어지면, "a와 b가 X까지 동등합니다"라는 것은 a와 b가, 만약 회전(rotation) 또는 순열(permutation)과 같은 기준 X가 무시되면, 동등하다는 것을 의미합니다. 그런 경우에서, S의 원소는 "등가 클래스(equivalence classes)", 그의 원소가 X까지 서로 사이에 동등한 집합으로 알려진 부분집합에서 재배열될 수 있습니다. 일부 경우에서, 이것은 a와 b가—X에 대응하는 변환 (예를 들어, 회전, 순열)이 적용될 때, 서로 변환될 수 있음을 의미할 수 있습니다.

만약 X가 일부 속성 또는 방법이면, 문구 "X까지(up to X)"은 "X에서 가능한 차이를 무시함"을 의미하는 것으로 취할 수 있습니다. 예를 들어, 명제 "정수의 소수 인수분해는 순서까지 고유합니다"는 소수 인수분해가–우리가 인수의 순서를 무시할 때–고유하다는 것을 의미합니다.^[2] "부정 적분(indefinite integral)에 대한 해는, 상수에 의한(by a constant) 덧셈까지, $f(x)$ 입니다"를 말하는 것은, 초점이 더해지는 상수라기 보다는 해 $f(x)$ 에 대한 것, 및 상수의 덧셈은 배경 정보로 여겨지는 것을 의미합니다. 뒤따른 예제는 "동형 사상까지", "순열까지" 및 "회전까지"를 포함하며, 이것은 예제 섹션(Examples section)에서 묘사됩니다.

비공식적 맥락에서, 수학자들은, "모듈로 동형 사상"에서 처럼, 유사한 목적에 대해 모듈로(modulo) (또는 간단히 "mod")라는 단어를 종종 사용합니다.

Examples

Tetris

간단한 예제는 "회전까지, 7개의 반사되는 테트라미노(tetrominoe)들이 있습니다", 이것은 테트로미노의 7개의 가능한 연속적인 재배열 (적어도 한쪽 변에 연결되도록 배열된 4개의 단위 정사각형(unit squares)의 집합)에 대한 참조를 만들고 이것은 자주 7개의 테트리스(Tetris) 조각 (O, I, L, J, T, S, Z)으로 생각됩니다. 이것은 "반사와 회전까지 5개의 테트로미노가 있습니다"라고 역시 쓰일 수 있으며, 이것은 그런 다음 L과 J (마찬가지로 S와 Z)가 반사될 때 같은 조각으로 생각될 수 있다는 관점을 고려할 것입니다. 테트리스 게임은 반사를 허용하지 않으므로, 이전 표기법은 더 자연스러워 보일 수 있습니다.

완전히 포괄적인 셈에서 더하기 위해, 테트로미노 조각의 숫자에 대해 공식적인 표기법은 없습니다. 어쨌든, "그것은 회전까지 7개의 반사되는 테트라미노 (= 총 19개^[3])가 있습니다"라고 쓰는 것이 공통적입니다. 여기서 테트리스는 훌륭한 예제를 제공하는데, 왜냐하면 단순히 7 조각 × 4 회전을 28로 계산할 수 있기 때문으로써, 여기서 일부 조각 (2×2 O와 같은)은 분명히 4개 미만의 회전 상태를 가집니다.

Eight queens

여덟 여왕 퍼즐(eight queens puzzle)에서, 만약 여덟 여왕이 구별되는 것으로 고려되면, 3709440의 구별되는 해가 있습니다. 통상적으로, 어쨌든, 여왕은 같은 것으로 여겨지고, 보통 "여왕의 순열(permutation)까지 92 ( $={\tfrac {3709440}{8!}}$ )의 고유한 해가 있습니다", 또는 "92개의 해 모드 여왕의 이름이 있습니다"라고 말하는 것은, 여왕의 두 가지 다른 배열은, 만약 여왕이 순열화되지만, 체스보드(chessboard) 위의 같은 사각형이 그들에 의해 채워지면, 동등한 것으로 여긴다는 것을 의미합니다.

만약, 여왕을 같은 것으로 처리하는 것 외에도, 보드의 회전(rotation) 및 반사(reflection)가 허용되면, 우리는 대칭(symmetry) 및 여왕의 이름까지 오직 12 구별되는 해를 가질 것인데, 서로에 대한 대칭인 두 가지 배열은 동등한 것으로 여겨짐을 의미합니다 (자세한 내용은 Eight queens puzzle#Solutions을 참조하십시오).

Polygons

주어진 n에 대해, 정 n-각형(regular n-gon)은 닳음(similarity)까지 고유합니다. 다시 말해, 만약 모든 닮은 n-각형이 같은 n-각형의 경우로 여겨지면, 오직 하나의 정 n-각형이 있습니다.

Group theory

그룹 이론(group theory)에서, 집합 X 위에 동작하는(acting) 그룹(group) G를 가질 수 있으며, 이 경우에서, X의 두 원소가–만약 그들이 같은 궤도(orbit)에 놓여 있으면, "그룹 동작까지" 동등하다고 말할 것입니다.

또 다른 전형적인 예제는 "동형사상(isomorphism)까지 차수 4의 두 개의 다른 그룹(groups)이 있습니다",^[1] 또는 "모듈로 동형사상, 차수 4의 두 개의 그룹이 있습니다"라는 명제입니다. 이것은 차수 4의 그룹–그룹에 대해 만약 그들이 동형적(isomorphic)이면 동등한 것으로 여겨진다고 가정할 때–의 등가 클래스가 두 개 있음을 의미합니다.

Non-standard analysis

초실수(hyperreal) x와 그의 표준 부분(standard part) st(x)는 무한소(infinitesimal) 차이까지 같습니다.

Computer science

컴퓨터 과학에서, 용어 기법까지는 (약한(weak)) 쌍시뮬레이션(bisimulation)에 대해 특정 증명 기법(proof techniques), 및 오직 관찰할 수 없는 단계까지 유사하게 움직이는 프로세스를 관련시키는 것을 참조하는 정확하게 정의된 개념입니다.^[4]

References

^ ^a ^b "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Up to". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-21.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Nekovář, Jan (2011). "Mathematical English (a brief summary)" (PDF). Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche. Retrieved 2019-11-21.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Weisstein, Eric W. "Tetromino". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-21.
^ Damien Pous, Up-to techniques for weak bisimulation, Proc. 32th ICALP, Lecture Notes in Computer Science, vol. 3580, Springer Verlag (2005), pp. 730–741