미분계수

미분계수(Differential coefficient)라는 용어는 더이상 사용되지 않습니다. 현재는 도함수라는 용어로 통일해서 사용하는 추세입니다.

이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계와 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계에서 축이나 직선에 접하는 경우는, 연립방정식을 풀었을 때, 이차 방정식의 판별식이 영이 되는 경우입니다. 또한, 원의 접선의 방정식에서도 접하는 경우는, 연립방정식을 풀었을 때, 이차 방정식의 판별식이 영인 경우입니다. 이 판별식으로부터 접선의 기울기를 구해서 접선의 방정식을 구합니다. 이와 같이 두 도형이 접할 때, 연립방정식이 이차방정식인 경우는, 공통적으로 판별식을 이용해서 접선의 기울기를 구할 수 있습니다.

한편, 삼차 방정식, 사차 방정식도 일반 해가 존재하고, 접하는 경우는 연립방정식을 풀었을 때, 중근이기 때문에, 접선의 기울기를 구할 수 있습니다. 그러나 상대적으로 이차 방정식의 판별식을 이용하는 것에 비해 매우 까다로운 계산 과정을 거치게 됩니다. 더구나 오차 이상의 고차 방정식은 일반 해가 없기 때문에, 중근을 통한 접선의 기울기를 구하는 것이 수치적으로 접근하는 더욱 비효율적인 방법 등을 이용해야 합니다.

게다가, 다항함수를 제외한 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등의 초월함수에 접하는 직선의 기울기를 구하는 것은 일반적인 해법을 만들거나, 설명하는 것이 쉽지 않습니다. 이 내용은 미적분2에서 다루어 지지만, 개념은 완전히 같습니다.

이런 여러가지 어려운 문제를 간단히 해결하는 것이 도함수를 이용하는 것입니다.

평균 변화율

직선의 방정식에서, 직선의 기울기를 구하는 몇 가지 방법이 있습니다.

만약 주어진 함수 $y=f(x)$ 에 대해, 곡선 위의 두 점, $\mathrm {A} (a,f(a)),\;\mathrm {B} (b,f(b))$ 를 지나는 직선의 기울기는 다음과 같이 구해집니다. 이 직선을 가름선(secant line:할선)이라고 부릅니다.

m={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

게다가, $x$ 의 값의 유한한 변화량과 $y$ 의 값의 유한한 변화량을 다음과 같이 나타냅니다.

x

의 변화량:

b-a=\Delta x

y

의 변화량:

f(b)-f(a)=\Delta y

따라서, 기울기는 새롭게 정의된 문자에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

{\begin{aligned}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}&={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\\&={\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\\\end{aligned}}

두 번째 수식은 $b-a=\Delta x$ 를 $b=a+\Delta x$ 로 바꾸어서 대입한 것입니다.

이것을 $x$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 변할 때, 함수 $y=f(x)$ 의 평균변화율이라고 부릅니다.

기울기 대신에 평균변화율이라는 용어를 사용하는 이유는

기울기는 직선이 얼마나 기울어져 있는지에 대한 정의를 담고 있고, 반면에
평균변화율은 함수, 즉 대체로 곡선 위의 두 점으로 만들어지는 직선에 대한 기울기로써, 시작점에서 끝점까지 곡선을 따라 변화할 때, 평균적으로 얼마나 변했는지에 대한 정의를 담고 있습니다.
게다가 접선의 기울기를 순간변화율로 정의하기 위해서, 비슷한 용어를 새롭게 도입한 것으로 볼 수 있습니다.

예를 들어, 곡선이 도로라고 생각해 보면, 직선에 가까운 도로에서는 빠르게 움직이고, 구부러짐이 많은 곡선에서는 천천히 움직이게 됩니다. 결국 어떤 도로를 4시간 동안 달려서 직선 거리의 차이가 160km 발생였다면, 1시간 동안에 직선적으로 평균 40km를 움직인 것과 같습니다. 경로를 따라 움직인 거리, 즉, 도로의 길이는 적분에서 다루어 집니다.

순간 변화율

평균변화율에서 사용한 기호, $\Delta$ (델타:delta)는 유한한 (직선) 거리의 차이를 나타내는 것에 사용됩니다.

이때, 점 $\mathrm {A}$ 를 고정하고, 곡선을 따라, 점 $\mathrm {B}$ 를 점점 $\mathrm {A}$ 에 접근하면, $\Delta x$ 는 점점 작아져서, 궁극적으로 영의 값에 접근할 것입니다.

이것은 $\Delta x\rightarrow 0$ 로 표시할 수 있고, 더 이상 두 점 사이의 기울기가 아닌, 한 점, 즉 $\mathrm {A}$ 에서 접선의 기울기를 나타냅니다.

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\cdots (1)

두 점 사이의 기울기를 나타내는 평균변화율과 비교해서, 이것은 한 점에서 순간적으로 변하는 변화를 나타내므로, 함수 $y=f(x)$ 에 대해, $x=a$ 에서의 순간변화율이라고 부릅니다.

한편, 식 (1)에서, $\Delta x,\Delta y$ 라는 기호는 상당히 부담스럽게 보일 수 있습니다. 그래서, 보다 간단히 나타내기 위해, 다음과 같이 순간변화율을 나타냅니다.

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\cdots (2)

즉, 함수 $y=f(x)$ 위의 점 $x=a$ 에서 순간변화율은 $f'(a)$ 로 나타내고, $\Delta x$ 대신에 $h$ 로 대체해서 사용합니다.

그의 용어에 있어서, 순간변화율은, 보다 공식적인 용어로 그 점에서의 도함수 또는 미분이라고 부릅니다.

왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수

식 (2)에서, $a+h=x$ 로 두면,

h=x-a

이고

h\to 0

이므로,

x\to a

이고

따라서,

f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdots (3)

로 나타낼 수 있습니다.

식 (3)은 $x=a$ 에서의 도함수가 극한의 문제임을 알 수 있습니다.

함수의 극한에서, 극한값은 그의 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 존재하고 같은 값을 가져야 존재합니다. 물론, 도함수에서도 마찬가지이지만, 그의 용어를 왼쪽(좌) 도함수(미분), 오른쪽(우) 도함수(미분)으로 용어를 바꾸어서 사용하는데, 왜냐하면 구하려는 것이 도함수임을 보다 적극적으로 반영하기 위함입니다. 즉,

왼쪽 도함수:

\lim _{x\to a-0}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

오른쪽 도함수:

\lim _{x\to a+0}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

따라서, 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 도함수는 왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수가 존재하고 그의 값이 서로 같을 때 존재합니다.

물론, 식 (2)에서도, 마찬가지로 왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수를 적용할 수 있습니다.

왼쪽 도함수:

\lim _{h\to 0-0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

오른쪽 도함수:

\lim _{h\to 0+0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

보통 왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수는 조각별로 정의된 함수와 같이 주어진 점에서 도함수가 정의되는지 여부를 확인할 필요가 있을 때 이용됩니다. 함수 자체가 전 구간에서 미분이 가능한 경우에는 왼쪽 도함수와 오른쪽 도함수를 별도로 구할 필요가 없습니다. 이것은 왼쪽 극한과 오른쪽 극한을 구하는 경우, 또는 연속성에 대한 여부에서와 동일합니다.