등비수열의 극한에서, 초항이 1일 때, 그의 공비가 1보다 큰 숫자는 발산하고, 공비가 1인 숫자는 1로 수렴하고, 1보다 작은 양수는 0으로 수렴한다는 것을 배웠습니다. 또한, 함수의 극한 에서, 특별한 경우가 아닌 경우에 대해,
lim
x
→
1
+
0
x
=
lim
x
→
1
−
0
x
=
1
⋯
(
1
)
{\displaystyle \lim _{x\to 1+0}x=\lim _{x\to 1-0}x=1\cdots (1)}
이때, 두 사실로부터 의문이 생깁니다.
공비가 1보다 조금이라도 유한하게 큰 숫자를 무수히 많이 곱하면, 그 값은 무한대로 발산하는데, 1에 접근하는 숫자가 유한하게 큰 숫자가 아니라, 1보다 무한소 만큼 큰 숫자에 대해, 이것을 무수히 많이 곱하면, 과연 그의 극한은, 등비수열처럼 무한대로 발산할지, 아니면 위의 식 (1)에서 산술적으로 1에 접근하므로, 1을 무수히 많이 곱하는 경우가 되어 1로 접근할지, 또는 새로운 결과가 나올지 의문이 듭니다.
이 의문에 대한 답이 무리수 e
무리수 e 전자 계산기 또는 컴퓨터가 발명되기 전에는 직접 손으로 계산을 해서 그 결과를 얻었습니다. 1보다 무한소 만큼 큰 숫자를 무수히 많이 곱하는 경우에 대해,
(
1
+
x
)
1
x
{\displaystyle \left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
(
1
+
1
)
1
=
2
{\displaystyle (1+1)^{1}=2}
x
=
0.1
{\displaystyle x=0.1}
(
1
+
0.1
)
10
=
2.59374
⋯
{\displaystyle (1+0.1)^{10}=2.59374\cdots }
x
=
0.01
{\displaystyle x=0.01}
(
1
+
0.01
)
100
=
2.70481
⋯
{\displaystyle (1+0.01)^{100}=2.70481\cdots }
x
=
0.001
{\displaystyle x=0.001}
(
1
+
0.001
)
1000
=
2.71692
⋯
{\displaystyle (1+0.001)^{1000}=2.71692\cdots }
⋮
{\displaystyle \quad \vdots }
이 과정을 계속하면, 어떤 숫자에 접근하는데, 그 숫자는 전에 알려지지 않은 무리수입니다. 오일러 이전에 이 숫자는 알려져 있었지만, 오일러가 자연 로그의 밑을 이 숫자로 사용하면서 처음
e
{\displaystyle e}
무리수
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e}
여기서
e
=
2.7182
⋯
{\displaystyle e=2.7182\cdots }
무리수
e
{\displaystyle e}
무한소 만큼 큰 숫자를 무한히 많이 곱하는 경우로써, 1의 무한소 만큼 작은 숫자를 무한히 많이 곱하는 것은
e
{\displaystyle e}
수렴하지 않습니다 . 이 결과는
lim
x
→
0
(
1
−
x
)
1
x
=
lim
x
→
0
(
1
−
x
)
(
−
1
x
)
⋅
(
−
1
)
=
lim
t
→
0
{
(
1
+
t
)
1
t
}
(
−
1
)
=
e
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}(1-x)^{\frac {1}{x}}&=\lim _{x\to 0}(1-x)^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)\cdot (-1)}\\&=\lim _{t\to 0}\left\{(1+t)^{\frac {1}{t}}\right\}^{(-1)}\\&=e^{-1}\end{aligned}}}
따라서, 무리수
e
{\displaystyle e}
(
1
+
0
)
∞
{\displaystyle (1+0)^{\infty }}
(
1
−
0
)
−
∞
{\displaystyle (1-0)^{-\infty }}
(
1
+
△
)
◻
{\displaystyle (1+\triangle )^{\square }}
△
×
◻
=
1
{\displaystyle \triangle \times \square =1}
역수 관계 여야 합니다.
한편, 주어진 식이 무리수
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
(
1
+
2
x
)
1
3
x
=
lim
x
→
0
(
1
+
2
x
)
1
2
x
⋅
2
3
=
e
2
3
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+2x\right)^{\frac {1}{3x}}=\lim _{x\to 0}\left(1+2x\right)^{{\frac {1}{2x}}\cdot {\frac {2}{3}}}=e^{\frac {2}{3}}}
따라서, 주어진 식이 무리수
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
(
1
+
♠
)
♣
=
e
♠
×
♣
{\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+\spadesuit )^{\clubsuit }=e^{\spadesuit \times \clubsuit }}
자연로그 무리수
e
{\displaystyle e}
log
e
x
{\displaystyle \log _{e}x}
x
{\displaystyle x}
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
자연로그는 로그의 일종이므로, 로그의 성질 을 따릅니다.
e 무리수
e
{\displaystyle e}
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
1
x
=
ln
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\ln(1+x)^{\frac {1}{x}}=\ln e}
에 대해, 식을 조작하면,
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
⋯
(
2
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\cdots (2)}
식 (2)에서 로그의 밑이
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
log
a
(
1
+
x
)
x
=
lim
x
→
0
1
ln
a
⋅
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
ln
a
⋯
(
3
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\ln a}}\cdot {\frac {\ln(1+x)}{x}}={\frac {1}{\ln a}}\cdots (3)}
식 (2), (3)의 왼쪽 변의 극한은 부정형 0 / 0 로피탈의 규칙 을 적용해서 값을 구할 수도 있습니다.
식 (2)는
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
ln
(
1
+
2
x
)
3
x
=
lim
x
→
0
ln
(
1
+
2
x
)
2
x
⋅
2
x
3
x
=
lim
t
→
0
ln
(
1
+
t
)
t
⋅
2
3
=
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+2x)}{3x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+2x)}{2x}}\cdot {\frac {2x}{3x}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\ln(1+t)}{t}}\cdot {\frac {2}{3}}\\&={\frac {2}{3}}\\\end{aligned}}}
따라서,
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
ln
(
1
+
♠
)
♣
=
♠
♣
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+\spadesuit )}{\clubsuit }}={\frac {\spadesuit }{\clubsuit }}}
lim
x
→
0
log
a
(
1
+
♠
)
♣
=
♠
♣
⋅
1
ln
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+\spadesuit )}{\clubsuit }}={\frac {\spadesuit }{\clubsuit }}\cdot {\frac {1}{\ln a}}}
한편,
y
=
ln
x
{\displaystyle y=\ln x}
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
⋯
(
4
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1\cdots (4)}
식 (4)에서,
e
x
−
1
=
t
{\displaystyle e^{x}-1=t}
x
=
ln
(
1
+
t
)
{\displaystyle x=\ln(1+t)}
lim
t
→
0
t
ln
(
1
+
t
)
=
1
{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {t}{\ln(1+t)}}=1}
이것에서, 왼쪽 변은 식 (2)의 왼쪽 변의 역수이므로, 그의 결과, 즉 오른쪽 변도 식 (2)의 오른쪽 변의 역수, 1이어야 합니다. 또는, 같은 의미의 다른 표현으로, 식 (2)의 결과를 대입해서,
lim
t
→
0
1
ln
(
1
+
t
)
1
t
=
1
{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{\ln(1+t)^{\frac {1}{t}}}}=1}
마찬가지로 밑이
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
ln
a
⋯
(
5
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln {a}\cdots (5)}
식 (5)에서,
a
x
−
1
=
t
{\displaystyle a^{x}-1=t}
x
=
log
a
(
1
+
t
)
{\displaystyle x=\log _{a}(1+t)}
lim
t
→
0
t
log
a
(
1
+
t
)
=
lim
t
→
0
(
ln
a
)
t
ln
(
1
+
t
)
=
ln
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {t}{\log _{a}{(1+t)}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\left(\ln {a}\right)t}{\ln {(1+t)}}}\\&=\ln {a}\end{aligned}}}
식 (4), (5)의 왼쪽 변의 극한은 부정형 0 / 0 로피탈의 규칙 을 적용해서 값을 구할 수도 있습니다.
한편, 식 (4), (5)에서, 변수의 실수배에 대한 극한
lim
x
→
0
e
2
x
−
1
3
x
=
lim
x
→
0
e
2
x
−
1
2
x
⋅
2
x
3
x
=
lim
t
→
0
e
t
−
1
t
⋅
2
3
=
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{2x}-1}{3x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{2x}-1}{2x}}\cdot {\frac {2x}{3x}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {e^{t}-1}{t}}\cdot {\frac {2}{3}}\\&={\frac {2}{3}}\\\end{aligned}}}
따라서,
e
{\displaystyle e}
lim
x
→
0
e
♠
−
1
♣
=
♠
♣
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{\spadesuit }-1}{\clubsuit }}={\frac {\spadesuit }{\clubsuit }}}
lim
x
→
0
a
♠
−
1
♣
=
♠
♣
⋅
ln
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{\spadesuit }-1}{\clubsuit }}={\frac {\spadesuit }{\clubsuit }}\cdot \ln {a}}
