1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

Original article: w:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

Demonstration that 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ = 1/3

수학(mathematics)에서, 무한 급수(infinite series) 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯는 절대적으로 수렴(converges absolutely)하는 교대하는 급수(alternating series)의 간단한 예제입니다.

그것은 첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 −1/2인 기하 급수(geometric series)이고, 따라서 그것의 합은 다음입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-(-{\frac {1}{2}})}}={\frac {1}{3}}.$

Hackenbush and the surreals

Demonstration of 2/3 via a zero-value game

급수의 약간의 재배치는 다음처럼 읽습니다:

$1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.$

그 급수는 양의 정수 더하기 양 또는 음의 부호를 갖는 모든 각 음의 2의 거듭제곱(power of two)을 포함하는 급수의 형식을 가지므로, 초현실수(surreal number) 1/3를 나타내는 무한한 파란색-빨간색 핵컨부시(Hackenbush) 문자열로 변환될 수 있습니다:

LRRLRLR… = 1/3.

약간 더 간단한 핵컨부시 문자열은 반복되는 R을 제거합니다:

LRLRLRL… = 2/3.

핵컨부시 게임 구조의 관점에서, 이 방정식은 오른쪽에 표시된 보드가 0의 값을 가짐을 의미합니다; 어느 것쪽이든지 두 번째로 움직이는 플레이어가 승리하는 전략을 가집니다.

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