Algebraic solution

대수적 해(algebraic solution) 또는 제곱근에서 해(solution in radicals)는 닫힌-형식 표현(closed-form expression)이고, 보다 구체적으로 닫힌-형식 대수적 표현(algebraic expression), 즉 계수, 오직 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈*division)에 의존하고, 정수 거듭제곱이 올려지고, n번째 근(nth root) (제곱근, 세제곱근, 및 다른 정수제곱 근)의 추출의 관점에서 대수적 방정식(algebraic equation)의 해입니다.

잘-알려진 예제는 다음 이차 방정식(quadratic equation)의

ax^{2}+bx+c=0,

다음 해입니다:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}

.

삼차 방정식(cubic equation)^[1] 및 사차 방정식(quartic equation)에 대해 보다 복잡한 대수적 해가 있습니다.^[2] 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem),^[3]^: 211 및, 보다 일반적으로, 갈루아 이론(Galois theory)은 다음과 같은 일부 오차 방정식(quintic equation)이:

x^{5}-x+1=0,

임의의 대수적 해를 가지지 않음을 말합니다. 같은 것은 모든 각 더 높은 차수에 대해 참입니다. 어쨌든, 임의의 차수에 대해 대수적 해를 가지는 일부 다항 방정식이 있습니다; 예를 들어, 방정식 $x^{10}=2$ 은 $x={\sqrt[{10}]{2}}$ 로 풀릴 수 있습니다. 역시 차수 5에서 다양한 다른 예제에 대해 Quintic function § Other solvable quintics를 참조하십시오.

에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 어떤 방정식이 제곱근에서 풀릴 수 있는지 결정할 수 있는 기준을 도입했습니다. 그의 결과의 정확한 공식화에 대해 제곱근 확장(Radical extension)을 참조하십시오.

대수적 해는 닫힌-형식 표현(closed-form expression)의 부분집합을 형성하는데, 왜냐하면 후자는 지수 함수, 로그 함수, 및 삼각 함수와 그들의 역과 같은 초월 함수(transcendental function) (비-대수적 함수)를 허용하기 때문입니다.

References

^ Nickalls, R. W. D., "A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed," Mathematical Gazette 77, November 1993, 354-359.
^ Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.
^ Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

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[1] Nickalls, R. W. D., "A new approach to solving the cubic: Cardano's solution revealed," Mathematical Gazette 77, November 1993, 354-359.

[2] Carpenter, William, "On the solution of the real quartic," Mathematics Magazine 39, 1966, 28-30.

[3] Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

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See also

References