Almost everywhere

Original article: w:Almost everywhere

A simple example measure assigns to a subregion of the rectangle the fraction of the geometrical area it occupies. Then, the rectangle's boundary has measure 0, while its interior has measure 1. Almost every point of the rectangle is an interior point, yet the interior has a nonempty complement.

측정 이론(measure theory) (수학적 해석학(mathematical analysis)의 한 가지)에서, 하나의 속성이 만약, 기술적인 의미에서 그 속성이 보유하는 집합이 거의 모든 가능성을 차지하면 거의 모든 곳에 유지됩니다. "거의 모든 곳"의 개념은 측정 영(measure zero)의 개념과 동반 개념이고, 확률 이론(probability theory)에서 거의 확실한(almost surely)의 개념과 유사합니다.

보다 구체적으로, 하나의 속성이 만약 그것이 측정 영의 부분집합을 제외한 집합에서 모든 원소에 대해 유지되면, 또는 동등하게 만약 속성이 유지되는 원소의 집합이 코널(conull)이면 거의 모든 곳에서 유지됩니다. 측정이 완비(complete)가 아닌 경우에서, 집합이 측정 영의 집합 내에 포함되는 것으로 충분합니다. 실수(real number) 집합을 논의할 때, 달리 명시되지 않은 한 르베그 측정(Lebesgue measure)이 보통 가정됩니다.

용어 almost everywhere는 a.e.로 약칭됩니다; 오래된 문헌에서 p.p., 동등한 프랑스어 구절 presque partout을 나타내기 위해 사용됩니다.

전체 측정(full measure)을 갖는 집합은 그것의 여집합이 측정 영의 집합입니다. 확률 이론에서, 용어 거의 확실(almost surely, almost certain) 및 거의 항상(almost always)은 반드시 모든 결과를 포함하지 않는 확률(probability) 1을 갖는 사건(event)을 참조합니다. 이것들은 확률 공간에서 정확하게 전체 측정의 집합입니다.

경우에 따라, 속성이 거의 모든 곳에 유지된다고 말하는 대신, 속성이 거의 모든(almost all) 원소에 유지된다고 말합니다 (거의 모두(almost all)라는 용어는 다른 의미도 가질 수 있음).

Definition

만약 $(X,\Sigma ,\mu )$는 측정 공간이면, 속성 $P$는 만약 $\mu (N)=0$를 갖는 집합 $N\in \Sigma$가 존재하고, 모든 $x\in X\setminus N$가 속성 $P$를 가지면 $X$ 안의 거의 모든 곳에서 유지된다고 말합니다. 같은 것을 표현하는 또 다른 공통 방법은 "거의 모든 각 점이 $P\,$를 만족시킵니다", 또는 "거의 모든 각 $x$에 대해, $P(x)$가 유지된다"고 말하는 것입니다.

그것이 집합 $\{x\in X:\neg P(x)\}$가 측정 0을 가짐을 요구하는 것은 아닙니다; 그것은 $\Sigma$에 속하지 않을 수 있습니다. 위의 정의에 의해, $\{x\in X:\neg P(x)\}$는 측정-가능이고 측정 0을 가지는 일부 집합 $N$에 포함되는 것으로 충분합니다.

Properties

• 만약 속성 $P$가 거의 모든 곳에서 유지되고 속성 $Q$를 의미하면, 속성 $Q$는 거의 모든 곳에서 유지됩니다. 이것은 측정의 단조성(monotonicity)에서 따릅니다.
• 만약 $(P_{n})$가 속성의 유한 또는 셀-수-있는 수열이고, 그것의 각각이 거의 모든 곳에서 유지되면, 그것들의 논리곱(conjunction) $\forall nP_{n}$은 거의 모든 곳에서 유지됩니다. 이것은 측정의 셀-수-있는 부분-덧셈성(countable sub-additivity)에서 따릅니다.
• 대조적으로, 만약 $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$가 속성의 셀-수-없는 가족이고, 그것의 각각이 거의 모든 곳에서 유지되면, 그것들의 논리곱 $\forall xP_{x}$은 반드시 거의 모든 곳에서 유지되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 만약 $\mu$가 $X=\mathbf {R}$ 위에 르베그 측정이고 $P_{x}$가 $x$와 같지 않은 속성이면 (즉, $P_{x}(y)$가 참인 것과 $y\neq x$가 필요충분 조건이면), 각 $P_{x}$는 거의 모든 곳에서 유지되지만, 논리곱 $\forall xP_{x}$은 어디에도 유지되지 않습니다.

처음 두 속성의 결과로, 측정 공간의 "거의 모든 점"에 대한 추상화가 아닌 보통의 점인 것처럼 추론하는 것이 종종 가능합니다. 이것은 종종 비공식적인 수학적 논증에서 암시적으로 수행됩니다. 어쨌든, 우리는 위의 세 번째 글머리 기호 때문에 이러한 추론 방법에 주의해야 합니다: 셀-수-없는 명제의 가족에 걸쳐 보편적 정량화(universal quantification)는 보통의 점에 대해 유효하지만 "거의 모든 점"에 대해 유효하지 않습니다.

Examples

• 만약 f : R → R가 르베그 측정-가능(Lebesgue integrable) 함수이고 거의 모든 곳에서 $f(x)\geq 0$이면, 상등과 함께 모든 실수 $a<b$에 대해 다음인 것과 거의 모든 곳에서 $f(x)=0$인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:
  $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$
• 만약 f : [a, b] → R가 단조 함수(monotonic function)이면, f는 거의 모든 곳에서 미분-가능(differentiable)입니다.
• 만약 f : R → R가 르베그 측정가능이고 모든 실수 $a<b$에 대해 다음이면,
  $\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty$

  만약 x가 E 안에 있으면, 다음 르베그 평균이 $\epsilon$가 영으로 감소할 때 f(x)로 수렴함을 만족하는 (f에 의존하는) 집합 E가 있습니다:

  ${\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt$
  집합 E는 f의 르베그 측정이라고 불립니다. 그것의 여집합은 측정 영을 가짐을 입증될 수 있습니다. 다시 말해서, f의 르베그 평균은 거의 모든 곳에서 f로 수렴입니다.
• 경계진 함수(function) f : [a, b] → R가 리만 적분가능(Riemann integrable)인 것과 그것이 거의 모든 곳에서 연속(continuous)인 것은 필요충분 조건입니다.
• 흥미롭게도, 구간 [0, 1]에 있는 거의 모든 각 실수의 십진 전개는 ASCII로 인코딩된 셰익스피어의 희곡의 완전한 텍스트를 포함하고 있습니다; 모든 각 다른 유한 자릿수 수열에 대해 유사하게 정규 숫자(normal number)를 참조하십시오.

Definition using ultrafilters

실수 해석학의 문맥을 벗어나, 거의 모든 곳에서 참이라는 속성의 개념은 때때로 극단-필터(ultrafilter)의 관점에서 정의됩니다. 집합 X 위에 극단-필터는 다음을 만족하는 X의 부분집합의 최대 모음 F입니다:

1. 만약 U ∈ F와 U ⊆ V이면 V ∈ F입니다
2. F 안에 임의의 두 집합의 교집합은 F 안에 있습니다
3. 빈 집합은 F에 있지 않습니다

X에서 점의 속성 P는, 만약 P가 유지되는 점의 집합이 F 안에 있으면, 극단-필터 F와 관련하여 거의 모든 곳에서 유지됩니다.

예를 들어, 초실수 시스템의 한 구성은 초실수(hyperreal number)를 극단-필터에 의해 정의된 거의 모든 곳에서 같은 수열의 동치 클래스로 정의합니다.

극단-필터의 관점에서 거의 모든 곳의 정의는 측정의 관점에서 정의와 밀접하게 관련되어 있는데, 왜냐하면 각 극단-필터는 값 0과 1만 취하는 유한하게-덧셈적 측정을 정의하기 때문이며, 여기서 집합이 측정 1을 가지는 것과 그것이 극단-필터에 포함되는 것은 필요충분 조건입니다.

See also

• Dirichlet's function, a function that is equal to 0 almost everywhere.

Bibliography

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.