Arithmetic

영국 구-십진 통화
	4 파딩 (f) = 1 페니
	12 페니 (d) = 1 실링
	20 실링 (s) = 1 파운드 (£)

산술(arithmetic) (그리스어(Greek) ἀριθμός arithmos로부터 '숫자(number)'와 τική [τέχνη], tiké [téchne], '기술(art)' 또는 '기능(craft)')는 숫자의 연구, 특히 그것들에 대한 전통적인 연산의 속성—덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication)과 나눗셈(division), 지수화(exponentiation)와 근(roots)의 추출로 구성되는 수학(mathematics)의 한 가지입니다.^[1]^[2]^[3] 산술은 숫자 이론(number theory)의 초등 부분이고, 숫자 이론은 대수학(algebra), 기하학(geometry) 및 해석학(analysis)과 함께 현대 수학의 최-상위 부문 중 하나로 여겨집니다. 용어 산술(arithmetic) 및 고등 산술(higher arithmetic)은 숫자 이론에 대해 동의어로 20세기가 시작될 때까지 사용되었었고, 때때로 여전히 숫자 이론의 더 넓은 부분을 참조하기 위해 사용됩니다.^[4]

History

산술의 선사시대는 덧셈과 뺄셈의 개념을 나타낼 수 있는 작은 숫자의 인공물로 제한되며, 가장 잘 알려진 것은 중앙 아프리카(central Africa)에서 유래한 이상고 뼈(Ishango bone)로, 비록 그것의 해석이 논쟁의 여지가 있을지라도, 기원전 20,000과 18,000년 사이로 거슬러 올라갑니다.^[5]

가장 오래된 쓰인 기록은 이집트인(Egyptians)과 바빌로니아인(Babylonians)이 기원전 2000년만큼 일찍 모든 초등 산술(elementary arithmetic) 연산을 사용했음을 나타냅니다. 이들 인공물이 문제 해결에 사용되는 특정 과정을 항상 드러내는 것은 아니지만, 특정 숫자-표시 시스템(numeral system)의 특성은 방법의 복잡도에 강하게 영향을 미칩니다. 후기 로마 숫자-표시(Roman numerals)와 마찬가지로 이집트 숫자-표시(Egyptian numerals)의 상형 문자 시스템은 세는 것에 사용되는 탈리 표식(tally marks)에서 유래되었습니다. 둘 다 경우에서, 이 기원은 십진(decimal) 밑수를 사용했지만, 위치적 표기법(positional notation)을 포함하지 않은 값을 초래했습니다. 로마 숫자-표시를 사용한 복잡한 계산은 결과를 얻기 위해 세는 판(counting board) (또는 로마 주판(Roman abacus))의 보조를 요구했습니다.

위치적 표기법을 포함하는 초기 숫자 시스템은 십진이 아니었으며, 바빌로니아 숫자-표시(Babylonian numerals)에 대해 육십진수(sexagesimal) (밑수 60) 시스템과 마야 숫자-표시(Maya numerals)를 정의하는 이십진수(vigesimal) (밑수 20) 시스템을 포함합니다. 이 자리-값 개념때문에, 다른 값에 같은 자릿수를 재사용할 수 있는 능력은 더 간단하고 보다 효율적인 계산의 방법에 기여했습니다.

현대 산술의 지속적인 역사적 발전은 고대 그리스의 헬레니즘 문명(Hellenistic civilization)에서 시작되지만, 그것은 바빌로니아인과 이집트인의 예제보다 훨씬 더 늦게 시작되었습니다. 기원전 300년경 유클리드(Euclid)의 연구 이전에는, 그리스 수학에서 연구(Greek studies in mathematics)가 철학적 및 신비적 신념과 겹쳤습니다. 예를 들어, 니코마코스(Nicomachus)는 숫자에 대한 일찍이 피타고라스-학파(Pythagorean) 접근 방식의 관점과 서로에 대한 관계를, 그의 Introduction to Arithmetic에서 요약했습니다.

그리스 숫자-표시(Greek numerals)는 아르키메데스(Archimedes), 디오판토스(Diophantus)와 다른 사람들에 의해 현대 표기법과 크게 다르지 않은 위치적 표기법(positional notation)으로 사용되었습니다. 고대 그리스인들은 헬레니즘 시대까지 영에 대해 기호가 없었고, 그들은 자릿수(digits)로 세 개의 개별적인 기호의 집합을 사용했습니다: 하나의 집합은 단위 자리에 대해, 하나는 십 자리에 대해, 및 하나는 수백에 대한 것입니다. 수천 자리에 대해, 그들은 기호를 단위 자리에 대한 기호를 다시-사용했고, 이런 식으로 계속됩니다. 그들의 덧셈 알고리듬은 현대적인 방법과 동일했고, 그들의 곱셈 알고리듬은 단지 약간 달랐습니다. 그들의 긴 나눗셈 알고리듬은 같은 것이었고, 20세기 최근까지 널리 사용된 자릿수-별 제곱근 알고리듬(digit-by-digit square root algorithm)은 아르키메데스 (이것을 발명했을 수 있음)에게 알려졌습니다. 그는 그것을 연속 근사의 히어로의 방법(Hero's method)보다 선호했는데 왜냐하면, 일단 계산되면, 자릿수가 변경되지 않고, 7485696과 같은 완전한 제곱의 제곱근이 즉시 2736으로 종료되기 때문입니다. 546.934와 같은 분수 부분을 갖는 숫자에 대해, 그들은 분수 부분 0.934에 대해 10의 음의 거듭제곱 대신에 60의 음의 거듭제곱을 사용했습니다.^[6]

고대 중국인은 상 왕조로 거슬러 올라가고 당 왕조를 통해 계속해서, 기본 숫자에서 고급 대수학에 이르는 고급 산술 연구를 가졌습니다. 고대 중국인은 그리스인의 위치적 표기법과 유사한 그것을 사용했습니다. 그들은 역시 영(zero)에 대한 기호가 없기 때문에, 그들은 단위 자리에 대해 기호의 집합과 십 자리에 대해 두 번째 집합을 가졌습니다. 백 자리에 대해, 그들은 그런-다음 단위 자리에 대해 기호를 재사용했고, 이런 식으로 계속됩니다. 그들의 기호는 고대 세는 막대(counting rods)를 기반으로 했습니다. 중국인이 위치적 표현을 갖는 계산하는 것을 시작한 정확한 시간은 알려져 있지 않지만, 기원전 400년 이전에 채택이 시작된 것으로 알려져 있습니다.^[7] 고대 중국인은 음수를 의미있게 발견하고, 이해하고, 적용한 최초의 사람이었습니다. 이것은 기원전 2세기로 거슬러 올라가는 유 휘(Liu Hui)에의해 쓰여졌던 Nine Chapters on the Mathematical Art (Jiuzhang Suanshu)에 설명되어 있습니다.

힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)의 점진적인 발전은 자리-값 개념과 위치적 표기법을 독립적으로 고안했으며, 이것은 계산에 대해 더 간단한 방법과 십진 밑수를 결합하고, 0을 나타내는 자릿수의 사용을 결합했습니다. 이것은 시스템을 큰 정수와 작은 정수 둘 다를 일관되게 표현하는 것을 허용합니다–결국 모든 다른 시스템을 대체하는 접근 방식입니다. 기원후 6세기 초에서, 인도의 수학자 아리아바타(Aryabhata)는 그의 연구에 이 시스템의 기존 버전을 통합하고, 다른 표기법으로 실험했습니다. 7세기에서, 브라마굽타(Brahmagupta)는 개별적인 숫자로 0의 사용을 설립하고, 영에 의한 나눗셈(division by zero)의 결과를 제외한 영과 다른 모든 숫자의 곱셈, 나눗셈, 덧셈, 뺄셈에 대해 결과를 결정했습니다. 그의 동시대, 시리아(Syriac) 주교 시베로스 시보트(Severus Sebokht) (기원후 650년)는, "인도인들은 어떤 말도 충분히 칭찬할 수 없는 계산의 방법을 가지고 있습니다. 그들의 합리적 수학의 시스템 또는 계산의 방법. 나는 아홉 기호를 사용하는 시스템을 의미합니다"라고 말했습니다.^[8] 아랍인들은 역시 이 새로운 방법을 배웠고 그것을 헤삽(hesab)이라고 불렀습니다.

비록 코덱스 비즐레이너스(Codex Vigilanus)는 기원후 976년까지 (0을 생략하는) 아라비아 숫자-표시의 초기 형식을 설명했을지라도, 피사의 레오나르도 (피보나치(Fibonacci))는 1202년에 그의 책 Liber Abaci의 출판 후 주로 유럽 전역에 그것의 사용을 확산한 것에 대해 책임을 져야 했습니다. 그는 다음과 같이 썼습니다, "인도의 방법 (라틴어 Modus Indorum)은 계산하기 위한 임의의 알려진 방법을 능가합니다. 그것은 놀라운 방법입니다. 그들은 아홉 숫자와 기호 영(zero)을 사용하여 그들의 계산을 수행합니다".^[9]

중세 시대에서, 산술은 대학에서 가르치는 일곱 교양(liberal arts) 중 하나였습니다.

중세(medieval) 이슬람(Islamic) 세계와 역시 르네상스(Renaissance) 유럽(Europe)에서 대수학(algebra)의 번창은 십진(decimal) 표기법을 통해 계산(computation)의 엄청난 단순화의 파생물이었습니다.

다양한 유형의 도구가 발명되어 왔고 수치 계산에서 지원하기 위해 널리 사용되었습니다. 르네상스 이전에, 그것들은 다양한 종류의 어바시(abaci)였습니다. 보다 최근의 예제는 미끄럼 자(slide rule), 노모그램(nomogram) 및 파스칼의 계산기(Pascal's calculator)와 같은 기계식 계산기를 포함합니다. 현재에서, 그것들은 전자 계산기(calculator)와 컴퓨터(computer)로 대체되어 왔습니다.

Arithmetic operations

기본 산술 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈이지만, 산술은 역시 백분율(percentage),^[3] 제곱근(square root), 지수화(exponentiation), 로그 함수(logarithmic function), 및 심지어 로그 프로스타페레시스(prosthaphaeresis)와 같은 맥락에서 삼각 함수(trigonometric function)와 같은 보다 고급 연산을 포함합니다. 산술 표현은 의도된 연산의 수열에 따라 평가되어야 합니다. 이를 지정하는 여러 방법이 있습니다. 명시적으로 괄호와 우선-순위 규칙(precedence rules)에 의존하여 사용하는 것–중위 표기법(infix notation)과 함께 가장 공통적, 또는 표기법에 의해 실행의 순서를 고유하게 고정하는 접두(prefix) 또는 접미(postfix) 표기법을 사용합니다. 모든 넷의 산술 연산 (영에 의한 나눗셈(division by zero)을 제외)이 수행될 수 있고, 이들 넷의 연산이 보통의 법칙 (분배성을 포함)을 따르는 대상의 임의의 집합은 필드(field)라고 불립니다.^[10]

Addition

덧셈은, 기호 $+$ 로 표시되며, 산술의 가장 기본 연산입니다. 그것의 간단한 형식에서, 덧셈은 두 숫자, 피합수(addends) 또는 항(terms)을 단일 숫자, ( $2 + 2 = 4$ 또는 $3 + 5 = 8$ 와 같은) 그 숫자들의 합(sum)으로 결합합니다.

유한하게 많은 숫자를 더하는 것은 반복된 단순 덧셈으로 보일 수 있습니다; 이 절차는 합계(summation), 역시 무한 급수(infinite series)에서 "무한하게 많은 숫자를 더하는 것"에 대해 정의를 나타내기 위해 사용된 항으로 알려져 있습니다. 숫자 1의 반복된 덧셈은 셈(counting)의 가장 기본 형식입니다; $1$ 을 더한 것의 결과는 보통 원래 숫자의 다음수(successor)로 불립니다.

덧셈은 교환적(commutative)이고 결합적(associative)이므로, 유한하게 많은 항이 더해지는 경우에서 순서는 중요하지 않습니다.

숫자 $0$ (number $0$ )은, 임의의 숫자에 더해질 때, 그것과 같은 숫자를 산출하는 속성을 가집니다; 따라서, 그것은 덧셈의 항등 원소(identity element), 또는 덧셈의 항등원(additive identity)입니다.^[1]

모든 각 숫자 $x$ 에 대해, $x + (- x) = 0$ 및 $(- x) + x = 0$ 를 만족하는 $x$ 의 반대(opposite)라고 불리는, $- x$ 로 표시되는 숫자가 있습니다. 따라서, $x$ 의 반대는 덧셈에 관한 $x$ 의 역(inverse), 또는 $x$ 의 덧셈의 역(additive inverse)입니다.^[1] 예를 들어, $7$ 의 반대는 $-7$ 인데, 왜냐하면 $7 + (-7) = 0$ 이기 때문입니다.

덧셈은 역시 다음 예제에서 처럼 기하학적으로 해석될 수 있습니다. 만약 우리가 길이 2와 5의 두 막대기를 가지면, 그러-다음, 그 막대기가 하나 다음에 나머지 하나를 정렬되면, 결합된 막대기의 길이는 7이 되는데, 왜냐하면 $2 + 5 = 7$ 이기 때문입니다.

Subtraction

뺄셈은, 기호 $-$ 로 표시되며, 덧셈에 대한 역 연산입니다. 뺄셈은 두 숫자, 피감수 빼기 감수 사이의 차이: $D = M - S$ 를 찾습니다. 이전에 확립된 덧셈에 의지하면, 차이는 감수에 더해질 때 피감수를 초래하는 숫자: $D + S = M$ 입니다.^[2]

양의 인수 $M$ 과 $S$ 에 대해 유지됩니다:

만약 피감수가 감수보다 더 크면, 차이

D

는 양수입니다.

만약 피감수가 감수보다 더 작으면, 차이

D

는 음수입니다.

임의의 경우에서, 만약 피감수와 감수가 같으면, 차이 $D = 0$ 입니다.

뺄셈은 교환적(commutative)도 아니고 결합적(associative)도 아닙니다. 해당 이유에 대해, 현대 대수에서 이 역 연산의 구성은 종종 역 원소의 개념을 도입하는 것에 이익이 되도록 버려지며 (§ Addition 아래에 개요를 기술함), 여기서 뺄셈은 피감수에 감수의 덧셈의 역을 더하는 것으로 고려되는데, 즉, $a - b = a + (- b)$ 입니다. 뺄셈의 이항 연산을 버리는 즉각적인 대가는 (자명한) 단항 연산(unary operation)의 도입이며, 주어진 숫자에 대해 덧셈의 역을 전달하고, 차이(difference)의 개념에 대한 즉각적인 접근을 잃는 것이며, 이것은 음의 인수가 관련될 때 잠재적으로 오해의 소지가 있습니다. .

숫자의 임의의 표현에 대해, 결과를 계산하는 방법들이 있으며, 그 중 일부는 한 연산에 대해 존재하는, 절차를 역시 다른 연산에 대해 작은 대안으로 활용하는 것에서 특히 유리합니다. 예를 들어, 디지털 컴퓨터는 하드웨어 (부정(negation))에서 구현하기 매우 쉬운 덧셈의 역을 나타내는 이의 보수(two's complement) 방법을 사용함으로써 기존 덧셈-회로를 재사용하고 뺄셈을 구현하기 위한 추가적인 회로를 절약할 수 있습니다. 장단점은 고정된 단어 길이에 대해 숫자 범위의 이등분입니다.

기한과 주어진 금액을 알고, 정확한 변경 금액을 얻기 위해 이전에 널리 퍼진 방법은 세어서 올라가는 방법(counting up method)이며, 이것은 차이의 값을 명시적으로 생성하지 않습니다. 금액 P는 요구된 금액 Q를 지불하기 위해 제공되며, P가 Q보다 크다고 가정합니다. 명시적으로 뺄셈 P − Q = C를 수행하고 해당 금액 C를 거스름돈으로 계산하는 대신, 돈은 Q의 다음수로 시작하고, P가 도달될 때까지 통화의 단계에서 계속해서 세어서 제외합니다. 비록 세어서 제외된 금액이 뺄셈 P − Q의 결과와 같아져야 할지라도, 뺄셈은 실제로 수행되지 않았고 P − Q의 값은 이 방법으로 제공되지 않습니다.

Multiplication

곱셈은, 기호 $\times$ 또는 $\cdot$ 에 의해 표시되며,^[1] 산술의 두 번째 기본 연산입니다. 곱셈은 역시 두 숫자를 하나의 숫자, 곱(product)으로 결합합니다. 두 개의 원래 숫자는 피승수(multiplier)와 승수(multiplicand)라고 불리며, 대부분 둘 다는 단순히 인수(factors)라고 불립니다.

곱셈은 스케일링 연산으로 보일 수 있습니다. 만약 숫자가 일렬로 놓여 있다고 상상되면, 1보다 큰 숫자, 말하자면 x에 의한 곱셈은 숫자 1 자체가 x가 있는 곳까지 늘어나는 그러한 방법으로 모든 각각을 0에서 균등하게 멀어지도록 늘리는 것과 같습니다. 유사하게, 1보다 작은 숫자를 곱하는 것은 1이 승수로 가는 그러한 방법으로 0을 향해 압축하는 것으로 상상될 수 있습니다.

정수의 곱셈의 또 다른 관점 (유리수로 확장될 수 있지만 실수에 대해 매우 접근-가능하지 않음)은 반복된 덧셈으로 고려하는 것입니다. 예를 들어, $3 \times 4$ 는, 같은 결과를 제공하는, $3$ 을 $4$ 번 더하는 것, 또는 $4$ 를 $3$ 를 더하는 것에 해당합니다. 수학 교육에서 이들 패러다임(paradigmata)의 이점에 대한 다른 의견이 있습니다.

곱셈은 교환적이고 결합적입니다; 게다가, 그것은 덧셈과 뺄셈에 걸쳐 분배적(distributive)입니다. 곱셈의 항등원(multiplicative identity)은 1인데,^[1] 왜냐하면 임의의 숫자에 1을 곱하는 것은 해당 같은 숫자를 산출하기 때문입니다. $0$ 을 제외한 임의의 숫자에 대해 곱셈의 역(multiplicative inverse)은 이 숫자의 역수(reciprocal)입인데, 왜냐하면 임의의 숫자에 숫자 자체의 역수를 곱하는 것은 곱셈의 항등식 $1$ 을 산출하기 때문입니다. $0$ 은 곱셈의 역없는 유일한 숫자이고, 임의의 숫자와 $0$ 을 곱한 것의 결과는 다시 $0$ 입니다. 우리는 $0$ 이 숫자의 곱셈의 그룹(group)에 포함되지 않는다고 말합니다.

a와 b의 곱은 $a \times b$ 또는 $a \cdot b$ 로 쓰입니다. a 또는 b가 단순히 자릿수로 쓰이지 않는 표현일 때, 그것은 역시 단순히 병치: ab로 쓰입니다.^[1] 컴퓨터 프로그래밍 언어와 소프트웨어 패키지에서 (이것에서 우리는 오직 통상적으로 키보드에서 발견되는 문자를 사용할 수 있음), 그것은 종종 별표: a * b로 쓰입니다.

숫자의 다양한 표현에 대해 곱셈의 연산을 구현하는 알고리듬은 덧셈에 대해 그것보다 훨씬 더 많은 비용과 노력을 요구합니다. 수동 계산에 접근할 수 있는 알고리듬은 인수를 단일 위치 값으로 부러뜨리고 반복된 덧셈을 적용하거나, 테이블(tables) 또는 미끄럼 자(slide rules)를 사용함에 의존하며, 그것에 의해 곱셈을 덧셈으로 매핑하고 그 반대로 매핑합니다. 이들 방법은 구식이고 점진적으로 모바일 장치로 대체됩니다. 컴퓨터는, 그것들의 시스템에서 지원되는 다양한 숫자 포맷에 대해 곱셈과 나눗셈을 구현하기 위해, 다양한 정교하고 고도로 최적화된 알고리듬을 사용합니다.

Division

나눗셈은, 기호 $\div$ 또는 $/$ 에 의해 표시되며,^[1] 본질적으로 곱셈에 대한 역 연산입니다. 나눗셈은 두 숫자, 제수(divisor)에 의해 나뉜 피제수(dividend)의 몫(quotient)을 찾습니다. 영에 의해 나뉜(divided by zero) 임의의 피제수는 정의되지 않습니다. 구별되는 양수에 대해, 만약 피제수가 제수보다 더 크면, 몫은 1보다 더 크며, 그렇지 않으면 그것은 1보다 작습니다 (유사한 규칙은 음수에 대해 적용됩니다). 제수에 의해 곱해진 몫은 피제수를 산출합니다.

나눗셈은 교환적도 아니고 결합적도 아닙니다. 따라서 § Subtraction에서 설명된 것처럼, 현대 대수에서 나눗셈의 구성은 § Multiplication에서 소개된 것처럼 곱셈에 관한 역 원소로 구성하는 것에 이익이 되도록 버려집니다. 따라서 나눗셈은 피제수를 인수로 제수의 역수(reciprocal)를 갖는 곱셈, 즉, $a \div b = a \times 1 / b$ 입니다.

자연수 내에서, 역시 유클리드 나눗셈(Euclidean division)이라고 불리는 다르지만 관련된 개념이 있으며, 이것은 자연수 $N$ (분자)를 자연수 $D$ (분모)를 "나눈" 후에 두 숫자: $N = D \times Q + R$ and $0 \leq R < Q$ 를 만족하는 첫 번째 자연수 $Q$ (몫)과 두 번째 자연수 $R$ (나머지)를 출력합니다.

Fundamental theorem of arithmetic

산술의 기본 정리는 1보다 큰 임의의 정수가 인수의 순서를 제외하고 고유한 소수 인수분해 (소수 인수의 곱으로 숫자의 표현)를 가진다고 말합니다. 예를 들어, 252는 오직 하나의 소수 인수분해를 가집니다:

252 = 2² × 3² × 7¹

유클리드의 원론(Euclid's Elements)은 이 정리를 처음 도입했고, 부분적인 증명을 제공했습니다 (이 증명은 유클리드의 보조정리(Euclid's lemma)라고 불립니다). 산술의 기본 정리는 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의해 처음으로 입증되었습니다.

산술의 기본 정리는 왜 1이 소수로 고려되지 않는지 이유 중 하나입니다. 다른 이유는 에라토스테네스의 체(the sieve of Eratosthenes)와 소수 자체의 정의 (1보다 더 큰 자연수는 두 개의 더 작은 자연수을 곱함으로써 형성될 수 없음)를 포함합니다.

Decimal arithmetic

십진 표현(decimal representation)은, 보통 사용에서, 기수(radix) 10 ("십진") 위치적 표기법(positional notation)에 대해 자릿수(digits)로 아라비아 숫자-표시(arabic numerals)를 사용하는 기록된 숫자-표시 시스템(numeral system)을 독점적으로 참조합니다. 어쨌든, 10의 거듭제곱을 기반으로 하는 임의의 숫자-표시 시스템(numeral system), 예를 들어, 그리스어(Greek), 키릴문자(Cyrillic), 로마자(Roman), 또는 중국어 숫자-표시(Chinese numerals)는 개념적으로 "십진 표기법" 또는 "십진 표현"으로 설명될 수 있습니다.

넷의 기본 연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈과 나눗셈)에 대해 현대적 방법은 인도의 브라마굽타(Brahmagupta)에 의해 처음 고안되었습니다. 이것은 중세 유럽 동안 "모더스 인도람(Modus Indoram)"또는 인디인의 방법으로 알려졌습니다. 위치적 표기법 (역시 "자리-값 표기법"으로 알려져 있음)은 서로 다른 크기의 정도(orders of magnitude) (예를 들어, "일 자리", "십 자리", "백 자리")에 대해 같은 기호를 사용하고, 기수 점(radix point)과 함께, 분수(fractions) (예를 들어, "십분의 일 자리", "백분의 일 자리")를 나타내기 위해 그것들의 같은 기호를 사용하여 숫자(number)의 표현 또는 인코딩을 참조합니다. 예를 들어, 507.36은 5백 (10²), 더하기 0십 (10¹), 더하기 7단위 (10⁰), 더하기 3십분의 일 (10⁻¹) 더하기 6백분의 일 (10⁻²)을 나타냅니다.

다른 기본 자릿수와 비교할 수 있는 숫자로 0의 개념은, 자리-표시자로 0의 사용의 개념에서 처럼, 및 0과 함께 곱셈과 덧셈의 정의에서 처럼, 이 표기법에 필수적입니다. 자리표시자로 0의 사용과, 따라서, 위치적 표기법의 사용은 기원후 458년으로 거슬러 올라가는 Lokavibhâga의 제목을 붙인 인도로부터 자이나교 텍스트에서 처음 입증되었고 아랍 세계의 장학금을 통해 전달된 이들 개념은, 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템을 사용하여 피보나치(Fibonacci)에 의해 유럽(Europe)으로 도입된 것은 13세기 초였습니다.^[11]

알고리듬(algorism)은 이러한 유형의 쓰인 숫자-표시를 사용하여 산술 계산을 수행하기 위한 모든 규칙을 이룹니다. 예를 들어, 덧셈은 두 임의의 숫자의 합을 생성합니다. 결과는 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하면서 같은 위치를 차지하는 각 숫자에서 단일 자릿수를 반복된 덧셈에 의해 계산됩니다. 열 개의 행과 열 개의 열을 갖는 덧셈 테이블은 각 합계에 대해 모든 가능한 값을 표시합니다. 만약 개별적인 합이 값 9를 초과하면, 결과가 두 자릿수로 표시됩니다. 가장 오른쪽 자릿수는 현재 위치에 대한 값이고, 왼쪽에 자릿수의 후속 덧셈에 대한 결과는 두 번째 (가장-왼쪽) 자릿수의 값만큼 증가하며, 이것은 (만약 0이 아니면) 항상 1입니다. 이 조정은 값 1의 올림(carry)라고 이름-짓습니다.

두 개의 임의의 숫자를 곱하는 과정은 덧셈에 대한 과정과 유사합니다. 열 개의 행과 열 개의 열을 갖는 곱셈 테이블은 각 자릿수의 쌍에 대해 결과를 나열합니다. 만약 한 쌍의 자릿수의 개별적인 곱이 9를 초과하면, 올림(carry) 조정은, 1에서 8까지 임의의 값 ( $9 \times 9 = 81$ )인, 자릿수로부터 두 번째 (가장-왼쪽) 자릿수와 같은 값에 대해 왼쪽으로 임의의 후속 곱셈의 결과를 증가합니다. 추가적인 단계는 최종 결과를 정의합니다.

유사한 기법은 뺄셈과 나눗셈에 대해 존재합니다.

곱셈에 대한 정확한 과정의 생성은 인접한 자릿수의 값 사이의 관계에 의존합니다. 숫자-표시에서 임의의 단일 자릿수에 대해 값은 그것의 위치에 따라 다릅니다. 역시, 왼쪽의 각 위치는 오른쪽의 위치보다 열 배 더 큰 값을 나타냅니다. 수학적 용어에서, 10의 기수(radix) (밑수)에 대한 지수(exponent)는 (왼쪽으로) 1씩 증가하거나 (오른쪽으로) 1씩 감소합니다. 그러므로, 어떤 임의의 자릿수에 대해 값은 정수(integer) n을 갖는 형식 10ⁿ에 의해 곱해집니다. 단일 자릿수에 대해 가능한 모든 위치에 해당하는 값의 목록은 as {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻², ...}으로 쓰입니다.

이 목록에서 임의의 값의 10에 의한 반복된 곱셈은 목록에서 또 다른 값을 생성합니다. 수학적 용어에서, 이 특성은 닫힘(closure)으로 정의되고, 이전 목록은 곱셈 아래에서 닫힌 것으로 설명됩니다. 그것은 이전 기술을 사용하여 곱셈의 결과를 올바르게 찾는 기초입니다. 이 결과는 숫자 이론(number theory)의 사용의 한 예제입니다.

Compound unit arithmetic

복합^[12] 단위 산술은 피트와 인치; 갤런과 파인트; 파운드, 실링 및 펜스; 등등 같은 혼합된 기수(mixed radix) 양에 대한 산술 연산의 응용입니다. 십진-기반 시스템의 화폐와 측정의 단위 이전에, 복합 단위 산술이 상업과 산업 분야에서 널리 사용되었습니다.

Basic arithmetic operations

복합 단위 산술에 사용된 기법은 수세기에 걸쳐 개발되었고 다양한 언어에서 많은 교과서에 잘 문서화되어 있습니다.^[13]^[14]^[15]^[16] 십진 산술에서 만나는 기본 산술 함수 외에도, 복합 단위 산술은 세 가지 추가 함수를 사용합니다:

감소(Reduction), 이것에서 복합 양은 단일 양으로 감소됩니다—예를 들어, 야드, 피트와 인치로 표현된 거리를 인치에서 표현된 하나로 변환.^[17]
확장(Expansion), 감소에 대한 역 함수(inverse function)는 단일 단위로 표현되는 양을 24oz를 1 lb 8 oz와 같은 복합 단위로의 변환입니다.
정규화(Normalization)는 복합 단위의 집합을 표준 형식으로의 변환입니다—예를 들어, "1 ft 13 in"를 "2 ft 1 in"으로 다시-씁니다.

다양한 측정의 단위, 그것들의 배수와 하위-배수 사이의 관계의 지식은 복합 단위 산술의 필수적인 부분을 형성합니다.

Principles of compound unit arithmetic

복합 단위 산술에 대한 둘의 기본 접근 방법이 있습니다:

감소-확장 방법(Reduction–expansion method), 여기서 모든 복합 단위 변수는 단일 단위 변수로 감소되며, 계산은 수행되고 그 결과는 복합 단위로 다시 확장됩니다. 이 접근 방법은 자동 계산에 적합합니다. 전형적인 예제는 마이크로소프트 엑셀(Microsoft Excel)에 의한 시간의 처리이며, 여기서 모든 시간 구간은 날짜와 하루의 십진 분수로 내부적으로 처리됩니다.
전진하는 정규화 방법(On-going normalization method), 이것에서 각 단위는 개별적으로 처리되고 문제는 해가 나타남에 따라 지속적으로 정규화됩니다. 고전 텍스트에서 널리 설명되는 이 접근 방식은 수동 계산에 가장 적합합니다. 덧셈에 적용되는 것처럼 진행중인 정규화 방법의 예제는 아래에 보입니다.

덧셈 연산은 오른쪽에서 왼쪽으로 수행됩니다; 이 경우에서, 펜스가 먼저 처리되고, 그런-다음 실링과 파운드가 차례로 처리됩니다. "답 줄" 아래의 숫자는 중간 결과입니다.

펜스 열의 합은 25입니다. 일 실링에서 12 페니가 있으므로, 25는 12로 나누어져 나머지 1과 함께 2를 제공합니다. 값 "1"은 그런-다음 답 행에 쓰이고 값 "2"가 실링 열로 앞으로 올림됩니다. 이 연산은 페니 열에서 앞으로 올려졌었던 값을 더하는 덧셈의 단계와 함께, 실링 열에서 값을 사용하여 반복됩니다. 중간 총합은 1 파운드는 20 실링이므로 20으로 나뉩니다. 파운드 열은 그런-다음 처리되지만, 파운드가 고려되는 가장 큰 단위이므로, 어떤 값은 파운드 열에서 앞으로 올려지지 않습니다.

간단하게 하기 위해, 선택한 예제에는 파딩을 가지지 않습니다.

Operations in practice

19세기와 20세기 동안, 다양한 지원이 복합 단위의 조작을 돕기 위해, 특히 상업적인 응용에서, 개발되었습니다. 가장 공통적인 지원은 파운드, 실링, 페니 및 파딩을 수용하기 위해 영국과 같은 국가에서 채택된 기계식 금전 등록기와 백분율 또는 돈의 다양한 합의 배수와 같은 다양한 일상적인 계산의 결과를 분류한 상인을 대상으로 한 책인 준비된 계산자(ready reckoner)였습니다. 150 페이지에 달하는 전형적인 소책자는^[18] "1 파딩에서 1 파운드까지 다양한 가격으로 1에서 1만까지"의 배수를 테이블로 만들었습니다.

복합 단위 산술의 성가신 본성은 수년 동안 인식되어 왔습니다–1586년에서, 플랑드르(Flemish) 수학자 시몬 스테빈(Simon Stevin)은 De Thiende ("십분의 일")이라는 작은 팜플렛을 발행했으며,^[19] 이것에서 그는 십진 주화, 측정, 및 단지 시간의 질문이 되는 가중치의 보편적인 도입을 선언했습니다. 현대 시대에서, 마이크로소프트 윈도우 7 운영 시스템 계산기에 포함된 것과 같은 많은 변환 프로그램이 확장된 형식을 사용하는 것 이외에 감소된 십진 형식에서 복합 단위를 표시합니다 (예를 들어, "2.5 ft"이 "2 ft 6 in" 대신에 표시됩니다).

Number theory

19세기까지, 숫자 이론은 "산술"의 동의어였습니다. 다루어진 문제는 기본 연산과 직접 관련되었고, 소수성(primality), 분배성(divisibility), 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)와 같은 정수에서 방정식의 해와 관련됩니다. 이들 문제의 대부분은, 비록 말하기에 매우 기초적이지만, 매우 어렵고 다른 많은 수학 가지로부터 개념과 방법을 포함하는 매우 깊은 수학 없이는 해결되지 않을 수 있는 것으로 나타났습니다. 이것은 해석적 숫자 이론(analytic number theory), 대수적 숫자 이론(algebraic number theory), 디오판토스 기하학(Diophantine geometry) 및 산술 대수적 기하학(arithmetic algebraic geometry)과 같은 숫자 이론의 새로운 가지로 이어졌습니다. 페르마의 마지막 정리에 대한 와일스의 증명(Wiles' proof of Fermat's Last Theorem)은 초등 산술에서 표현될 수 있는 문제를 해결하기 위해 고전적인 산술의 방법을 훨씬 뛰어 넘는 정교한 방법의 필요성의 전형적인 예제입니다.

Arithmetic in education

수학에서 초등 교육(primary education)은 종종 자연수(natural number), 정수(integer), 분수(fractions), 및 십진(decimal) (십진 자리-값 시스템을 사용)의 산술에 대해 알고리듬에 중점을 둡니다. 이 연구는 때때로 알고리듬으로 알려져 있습니다.

이들 알고리듬의 어려움과 동기-없는 출현은 교육자들을 오랫동안 이 커리큘럼에 의문을 제기하도록 이어져 왔으며, 보다 중심적이고 직관적인 수학적 아이디어의 조기 교육을 옹호했습니다. 이 방향에서 하나의 주목할만한 운동은 1960년대와 1970년대의 새로운 수학(New Math)였으며, 이것은 집합 이론, 고등 수학에서 유행하는 추세의 반향에서 공리적 발전의 정신으로 산술을 가르치려고 시도했습니다.^[20]

역시, 산술은 이슬람 학자들에 의해 자카트(Zakat)와 애쓰(Irth)와 관련된 판결의 적용을 가르치기 위해 사용되었습니다. 이것은 압드-알-패터-알-더미애티(Abd-al-Fattah-al-Dumyati)에의해 The Best of Arithmetic이라는 제목으로 된 책에서 행해졌습니다.^[21]

그 책은 수학의 토대로 시작하고 이후 장에서 그것의 응용으로 적용합니다.

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References

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External links

MathWorld article about arithmetic
The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
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