Axiom

Original article: wikipedia:Axiom

Not to be confused with axion or axon.

Several terms redirect here. For other uses, see Axiom (disambiguation), Axiomatic (disambiguation) and Postulation (algebraic geometry).

공리(axiom), 공준(postulate), 또는 가정(assumption)은, 전제(premise) 또는 더 나아가서 추론과 논증을 위한 출발점으로 사용하기 위해 참(true)으로 취해지는 명제(statement)입니다. 그 단어는 그리스어 ἀξίωμα (axíōma)에서 비롯되며, '합당 또는 적합하다고 여겨지는 것' 또는 '그 자체로 분명히 드러난 것'을 의미합니다.

그 용어는 연구의 다른 분야의 맥락에서 사용될 때 정의에서 미묘한 차이를 가집니다. 고전 철학에서 정의될 때, 공리는 너무 분명하거나(evident) 잘-정립된 명제, 논란이나 의문 없이 받아들여지는 명제입니다. 현대 논리에서 사용될 때, 공리는 전제 또는 추론의 출발점입니다.

수학에서 사용될 때, 용어 공리(axiom)는 두 가지: "논리적 공리(logical axioms)"와 "비-논리적 공리(non-logical axioms)"와 관련 있지만 구별-가능한 의미로 사용됩니다. 논리적 공리는 보통 그것들이 정의하는 논리 시스템 내에서 참으로 취해지는 명제이고 종종 기호적 형식 (예를 들어, (A and B) implies A)로 보이는만, 비-논리적 공리 (예를 들어, a + b = b + a)는 실제로 (산술과 같은) 특정 수학적 이론의 도메인의 원소에 대한 실질적인 주장입니다.

후자의 의미에서 사용될 때, "공리(axiom)", "공준(postulate)", 및 "가정(assumption)"은 서로 바꿔 가면서 사용될 수 있습니다. 대부분 경우에서, 비-논리적 공리는 단순히 수학적 이론을 구축하기 위해 연역에 사용되는 형식적인 논리적 표현이고, 본질적으로 자명할 수도 있고 아닐 수도 있습니다 (예를 들어, 유클리드 기하학에서 평행 공준). 지식의 시스템을 공리화한다는 것은 그 주장이 작고, 잘-이해된 문장의 집합 (공리)에서 파생될 수 있고, 전형적으로 주어진 수학적 도메인을 공리화하기 위한 많은 방법이 있음을 보여주는 것입니다.

임의의 공리는 다른 명제가 논리적으로 유도되는 출발점 역할을 하는 명제입니다. 공리가 "참"인 것이 의미가 있는지 (그리고 그렇다면 의미하는 바)는 수학의 철학(philosophy of mathematics)에서 논쟁의 대상입니다.

Etymology

단어 axiom은 그리스 단어 ἀξίωμα (axíōma)에서 유래했으며, 동사 ἀξιόειν (axioein)의 동사 명사로서, "가치 있는 것으로 생각하는 것"을 의미하지만, "요구하는 것"을 의미도 있으며, "균형을 유지하는 것"을 의미하고, 따라서 "(와) (같은) 가치를 가지는 것", "가치 있는", "적절한"을 의미하는 ἄξιος (áxios)에서 파생됩니다. 고대 그리스 철학자들 사이에 공리는 어떤 증거 없이도 자명한 사실로 보일 수 있는 주장이었습니다.

단어 postulate의 근본 의미는 "요구하다"입니다; 예를 들어, 유클리드는 어떤 일이 수행될 수 있다 (예를 들어, 임의의 두 점은 직선에 의해 연결할 수 있다)는 데 동의할 것을 요구합니다.

고대 기하학자들은 공리와 공준 사이에 약간의 구별을 유지했습니다. 유클리드의 책에 대해 논하면서, 프로크로스(Proclus)는 "제미노스(Geminus)는 이 [4번째] 공준을 공준으로 분류는 것이 아니라 공리로 분류해야 한다고 주장했는데, 왜냐하면 처음 세 개의 공준과 마찬가지로 어떤 구성의 가능성을 주장하는 것이 아니라 본질적 속성을 표현하기 때문이다"라고 논평했습니다. 보에티우스(Boethius)는 'postulate'를 petitio로 번역하고 공리를 notiones communes라고 불렀지만 이후 필사본에서는 이 용법이 항상 엄격하게 유지되지는 않았습니다.

Historical development

Early Greeks

결론 (새로운 지식)이 전제 (오래된 지식)에서 견고한 논증 (삼단논법, 추론의 규칙(rules of inference))의 적용을 통해 뒤따르는 논리-연역적 방법은 고대 그리스인에 의해 개발되었고, 현대 수학의 핵심 원리가 되어 왔습니다. 동의어-반복(Tautologies)은 제외되며, 어떤 것도 만약 어떤 깃이 가정되지 않으면 추론될 수 없습니다. 따라서 공리와 공준은 주어진 연역적 지식의 몸체 밑에 있는 기본 가정입니다. 그것들은 시연 없이 받아들여 집니다. 모든 다른 주장 (수학의 경우에서, 정리(theorems))은 이들 기본 가정의 도움으로 입증되어야 합니다. 어쨌든, 수학적 지식의 해석은 고대에서 현대로 바뀌어 왔고, 결과적으로 axiom와 postulate라는 용어는 아리스토텔레스와 유클리드에 대한 것보다 오늘날의 수학자에게 약간 다른 의미를 보유합니다.

고대 그리스인들은 기하학을 여러 과학 중 단지 하나로 고려했고, 기하학의 정리를 과학적 사실과 동등하게 유지했습니다. 이를테면, 그것들은 오류를 방지하고, 지식을 구조화하고 전달하는 수단으로 논리-연역적 방법을 개발했고 사용했습니다. 아리스토텔레스의 분석론 후서(posterior analytics)는 고전적 관점에 대한 결정적인 설명입니다.

"공리"는, 고전적인 용어에서, 많은 과학의 가지에 공통적인 자명한 가정을 참조했습니다. 좋은 예는 다음과 같은 주장이 될 것입니다:

같은 총양이 같은 것에서 취할 때, 같은 총양을 초래합니다.

다양한 과학의 토대에서 증명 없이 받아들여진 몇 가지 추가 가설(hypotheses)이 있었습니다. 그러한 가설은 공준(postulate)이라고 이름-지었습니다. 공리는 많은 과학에 공통적이었지만, 각 특정 과학의 공준은 달랐습니다. 그것들의 타당성은 실-세계 경험을 수단으로 확립되어야 했습니다. 아리스토텔레스는 학습자가 공준의 참됨을 의심한다면 과학의 내용을 성공적으로 전달할 수 없다고 경고합니다.

고전적 접근 방식은 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에 잘-설명되어 있으며, 여기에서 공준의 목록 (우리의 경험에서 도출된 상식적인 기하학 사실)과 "공통 개념"의 목록 (매우 기본적이고, 자명한 주장)이 나옵니다.

공준(Postulates)

1. 임의의 점에서 임의의 다른 점으로 직선(straight line)을 그리는 것이 가능합니다.
2. 선분을 양쪽 방향으로 연속적으로 연장할 수 있습니다.
3. 임의의 중심과 임의의 반지름을 갖는 원(circle)을 기술하는 것이 가능합니다.
4. 모든 직각(right angles)은 서로 같다는 것은 참입니다.
5. ("평행 공준") 만약 두 직선 위에 떨어지는 한 직선이 같은 변 위에 내부 각도을 두 직각보다 작게 만들면, 두 직선은 만약 무한정으로 생성되면, 두 직각보다 작은 각도(angles)인 그 변 위에 교차한다(intersect)는 것은 참입니다.

공통 개념(Common notions)

1. 같은 것과 동일한 것은 역시 서로 같은 것입니다.
2. 같은 것이 같은 것에 더해지면, 전체는 같은 것들입니다.
3. 같은 것이 같은 것에서 빼면, 남아 있는 것도 같은 것입니다.
4. 서로 일치하는 것은 서로 같습니다.
5. 전체는 부분보다 큽니다.

Modern development

지난 150년 동안 수학에 의해 배운 교훈은 수학적 주장 (공리, 공준, 제안, 정리)과 정의에서 멀리 떨어진 의미를 벗겨내는 것이 유용하다는 것입니다. 우리는 임의의 연구에서, 원시적 개념, 또는 정의되지 않은 용어나 개념에 대한 필요성을 인정해야 합니다. 그러한 추상화 또는 형식화는 수학적 지식을 보다 일반적으로 만들고, 여러 가지 다른 의미를 가질 수 있게 만들고, 따라서 여러 문맥에서 유용하게 만듭니다. Alessandro Padoa, Mario Pieri, 및 Giuseppe Peano는 이 운동의 선구자였습니다.

구조주의 수학은 더 나아가고, 임의의 특정 적용을 염두에 두지 않고 이론과 공리 (예를 들어, 필드 이론(field theory), 그룹 이론(group theory), 토폴로지(topology), 벡터 공간(vector spaces))를 개발합니다. "공리"와 "공준" 사이의 구분이 사라집니다. 유클리드의 공준은 매우 풍부한 기하학적 사실로 이어진다고 말함으로써 유익하게 동기를 부여합니다. 이들 복잡한 사실의 진리는 기본 가설의 수용에 달려 있습니다. 어쨌든, 유클리드의 다섯 번째 공준을 버림으로써, 더 넓은 맥락에서 의미가 있는 이론 (예를 들어, 쌍곡 기하학(hyperbolic geometry))을 얻을 수 있습니다. 이를테면, "직선"과 "평행"과 같은 레이블을 보다 유연하게 사용할 수 있도록 간단히 준비해야 합니다. 쌍곡 기하학의 발전은 수학자들에게 공준을 경험에 근거한 사실이 아니라 순수하게 형식적인 명제로 고려하는 것이 유용하다는 것을 가르쳤습니다.

수학자들이 필드(field) 공리를 사용할 때, 의도는 훨씬 더 추상적입니다. 필드 이론의 제안은 임의의 하나의 특정한 응용과 관련이 없습니다; 수학자는 이제 완전한 추상화에서 연구합니다. 필드의 많은 예제가 있습니다; 필드 이론은 그들 모두에 대한 올바른 지식을 제공합니다.

필드 이론의 공리는 "증명 없이 참으로 여겨지는 제안"이라고 말하는 것은 옳지 않습니다. 오히려, 필드 공리는 제약 조건의 집합입니다. 만약 임의의 주어진 덧셈과 곱셈 시스템이 이들 제약 조건을 만족시키면, 이 시스템에 대한 많은 추가 정보를 즉시 알 수 있는 위치에 있습니다.

현대 수학은 수학적 이론이 수학적 대상으로 고려될 수 있고, 수학 자체가 논리(logic)의 한 가지로 고려될 수 있다는 그러한 확장으로 그 토대를 공식화합니다. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert, 및 Gödel은 이 발전의 핵심 인물 중 일부입니다.

현대 수학에서 배운 또 다른 교훈은 숨겨진 가정에 대해 의도된 증명을 주의 깊게 조사하는 것입니다.

현대적 이해에서. 공리의 집합은 형식적으로 명시된 주장 뒤에 특정 잘-정의된 규칙이 적용에 의해 다른 형식적으로 명시된 주장의 임의의 모음(collection)입니다. 이 관점에서, 논리는 또 다른 형식 시스템이 됩니다. 공리의 집합은 일관적(consistent)이어야 합니다; 공리로부터 모순을 도출하는 것은 불가능해야 합니다. 공리의 집합도 중복되지 않아야 합니다; 다른 공리로부터 추론될 수 있는 주장은 공리로 고려될 필요가 없습니다.

현대 논리학자들의 초기 희망은 수학의 다양한 가지, 아마도 모든 수학이 일관된 기본 공리의 모음에서 파생될 수 있다는 것이었습니다. 형식주의 프로그램의 초기 성공은 힐베르트의 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 형식화와 그들 공리의 일관성의 시연과 관련되어 있었습니다.

더 넓은 맥락에서, 모든 수학을 칸토어의 집합 이론(set theory)에 기반을 두려는 시도가 있었습니다. 여기에서, 러셀의 역설(Russell's paradox)과 소박한 집합 이론(naïve set theory)의 유사한 이율의 출현은 임의의 그러한 시스템이 비-일관적으로 판명될 가능성을 높였습니다.

형식주의 프로젝트는 1931년에 괴델이 임의의 충분하게 큰 공리 집합 (예를 들어, 페아노의 공리(Peano's axioms))이 해당 공리의 집합과 진리가 독립적인 명제를 구성하는 것이 가능하다는 것을 보여주었을 때 결정적인 좌절을 겪었습니다. 따름정리(corollary)로, 괴델은 페아노 산술(Peano arithmetic)과 같은 이론의 일관성이 해당 이론의 범위 내에서 입증할 수 없는 주장임을 입증했습니다.

페아노 산술의 일관성은 무한(infinite)이지만 직관적으로 접근 가능한 형식적 시스템, 자연수의 시스템에 의해 만족되기 때문에 이를 믿는 것이 합리적입니다. 어쨌든, 현재로서는 집합 이론에 대한 현대 체르멜로–프렝켈 공리(Zermelo–Fraenkel axioms)의 일관성을 입증하는 방법이 알려져 있지 않습니다. 게다가, 강제화(forcing) (코언)의 기술을 사용하여 연속체 가설(continuum hypothesis) (칸토어)이 체르멜로-프렝켈 공리와 독립적임을 보여줄 수 있습니다. 따라서, 이 매우 일반적인 공리의 집합조차도 수학의 결정적인 토대로 고려될 수 없습니다.

Other sciences

수학 및 논리와 반대되는 실험 과학은 역시 여전히 특정 실험 상황에 일반적이거나 훨씬 더 전문화되어 있는속성을 예측하는 제안을 표현하기 위해 연역적 추론이 구축될 수 있는 일반적인 토대하는 주장을 가지고 있습니다. 예를 들어, 고전 역학에서 뉴턴의 법칙, 고전 전자기학에서 맥스웰 방정식, 일반 상대성에서 아인슈타인의 방정식, 유전학의 멘델의 법칙, 다윈의 자연 선택 법칙 등이 있습니다. 이들 토대하는 주장은 보통 수학적 공리와 구별하기 위해 원리 또는 공준이라고 불립니다.

사실대로, 수학에서 공리의 역할과 실험 과학에서 공준의 역할은 다릅니다. 수학에서, 우리는 공리를 "입증"하지 못하고 "반증"하지 못합니다. 수학적 공리의 집합은 정리가 논리적으로 따르는 개념적 영역을 고정하는 규칙의 집합을 제공합니다. 대조적으로, 실험 과학에서, 공준의 집합을 통해 실험 결과와 일치하거나 일치하지 않는 결과를 추론할 수 있습니다. 만약 공준이 실험적 예측을 추론하는 것을 허용하지 않으면, 그것들은 과학적 개념적 틀을 설정하지 않고 완성되거나 더 정확해야 합니다. 만약 공준이 실험 결과의 예측을 추론하는 것을 허용하면, 실험과의 비교는 그 공준이 설치하는 이론을 반증할 수 있게 합니다. 이론은 반증되지 않은 한 유효한 것으로 고려됩니다.

이제, 수학적 공리와 과학적 공준 사이의 전이는 특히 물리학에서 항상 약간 모호합니다. 이것은 물리 이론을 뒷받침하기 위해 수학적 도구를 많이 사용하기 때문입니다. 예를 들어, 뉴턴의 법칙의 도입은 그것들이 암시하는 유클리드 기하학이나 미분 미적분을 전제 조건으로 거의 설정하지 않습니다. 알베르트 아인슈타인이 불변량이 더 이상 유클리드 길이 $l$ ($l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ > 0으로 정의됨)이 아니라 민코프스키 시공간 구간 $s$ ($s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$으로 정의됨)인 특수 상대성 이론과 그런-다음 평평한 민코프스키 기하학이 곡선 매니폴드 위에 유사-리만 기하학으로 대체되는 일반 상대성 이론 을 처음 도입했을 때 더 분명하게 되었습니다.

양자 물리학에서, 두 개의 공준의 집합이 한동안 공존해 왔으며, 이는 반증의 아주 좋은 예제를 제공합니다. '코펜하겐 학파(Copenhagen school)' (Niels Bohr, Werner Heisenberg, Max Born)는 분리-가능 힐베르트 공간에서 벡터 ('상태')에 의한 양자 시스템의 설명과, 이 힐베르트 공간에서 작용하는 선형 연산자로서의 물리량을 포함하는 완전한 수학적 형식론을 사용하여 조작적 접근 방식을 개발했습니다. 이 접근 방식은 완전히 반증할 수 있고 지금까지 물리학에서 가장 정확한 예측을 만들어 왔습니다. 그러나 그것은 자연스럽게 묻고 싶은 질문에 답을 하지 못한다는 아쉬움이 남습니다. 이러한 이유로, Albert Einstein, Erwin Schrödinger, David Bohm에 의해 또 다른 '숨겨진 변수(hidden variables)' 접근 방식이 한동안 개발되었습니다. 그것은 얽힘(entanglement)과 같은 현상에 대한 결정론적 설명을 제공하기 위한 시도로 만들어졌습니다. 이 접근 방식은 코펜하겐 학파 설명이 완전하지 않다고 가정하고, 아직 알려지지 않은 일부 변수가 이론에 추가되어 대답하지 않는 질문 중 일부에 답할 수 있다 (1935년 EPR 역설로 논의된 토대하는 요소)고 공준했습니다. 이 아이디어를 진지하게 받아들이면서, John Bell은 1964년에 코펜하겐과 숨겨진 변수의 경우에서 다른 실험 결과 (벨의 부등식)로 이어질 예측을 도출했습니다. 그 실험은 1980년대 초 Alain Aspect에 의해 처음 수행되었고, 결과는 단순 숨겨진 변수 접근 방식을 제외했습니다 (정교한 숨겨진 변수는 여전히 존재할 수 있지만 그 속성은 해결하려고 시도하는 문제보다 여전히 더 혼란스러울 것입니다). 이것은 양자 물리학의 개념적 틀이 현재 완전한 것으로 고려될 수 있다는 것을 의미하지 않는데, 왜냐하면 몇 가지 열린 질문이 여전히 존재하기 때문입니다 (양자 영역과 고전적 영역 사이의 한계, 양자 측정 중에 일어나는 일, 우주 자체와 같은 완전하게 닫힌 양자 시스템에서 일어나는 일, 등).

Mathematical logic

수학적 논리(mathematical logic) 분야에서, 논리적인 것과 비-논리적인 것의 두 가지 공리의 개념 사이에 명확한 구별이 있습니다 (각각 "공리"와 "공준" 사이의 고대 구별과 다소 유사합니다).

Logical axioms

이것들은 보편적으로 유효한 형식적 언어(formal language)에서 특정 형식(formulas), 즉, 모든 각 값의 할당(assignment)에 의해 만족시키는 형식입니다. 보통 언어에서 모든 동의어-반복(tautologies)을 입증하기에 충분한 적어도 일부 최소 동의어-반복 집합을 논리적 공리로 취합니다; 술어 논리(predicate logic)의 경우에서, 엄밀한 의미에서 동의어-반복이 아닌 논리적 진리(logical truths)를 입증하기 위해, 요구되는 것보다 더 많은 논리적 공리를 취합니다.

Examples

Propositional logic

명제 논리(propositional logic)에서, 다음 형식의 모든 형식을 논리적 공리로 취하는 것이 공통적이며, 여기서 $\phi$, $\chi$, 및 $\psi$는 언어의 임의의 형식이 될 수 있고 여기서 포함된 원시 연결(primitive connectives)은 바로 다음 제안의 부정(negation)에 대한 "$\neg$"이고 전제에서 결론 제안으로 함축(implication)에 대해 "$\to$"뿐입니다:

1. $\phi \to (\psi \to \phi )$
2. $(\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))$
3. $(\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).$

이들 패턴 각각은 무한 수의 공리를 생성하는 규칙, 공리 스키마(axiom schema)입니다. 예를 들어, 만약$A$, $B$, 및 $C$가 명제 변수(propositional variables)이면, $A\to (B\to A)$와 $(A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))$는 둘 다 공리 스키마 1의 예시이고 따라서 공리입니다. 이들 세 가지 공리 스키마와 긍정 논법(modus ponens)으로 명제 계산의 모든 동의어-반복을 입증할 수 있음을 보여줄 수 있습니다. 역시 이들 스키마의 쌍이 긍정 논법으로 모든 동의어-반복을 입증하기에 충분하지 않다는 것을 보여줄 수 있습니다.

같거나 다른 원시 연결의 집합을 포함하는 다른 공리 스키마가 대안적으로 구성될 수 있습니다.

이들 공리 스키마는 술어 계산(predicate calculus)에서도 사용되지만, 계산에서 한정어를 포함하려면 추가 논리적 공리가 필요합니다.

First-order logic

Axiom of Equality. ${\mathfrak {L}}$를 일-차 언어(first-order language)라고 놓습니다. 각 변수 $x$에 대해, 다음 공식은

$x=x$

보편적으로 유효합니다.

이것은 임의의 변수 기호(variable symbol) $x$에 대해, 형식 $x=x$가 공리로 고려될 수 있음을 의미합니다. 역시, 이 예에서, 이것에 대해 모호함과 끝없는 일련의 "원시 개념"에 빠지지 않기 위해, $x=x$에 의해 의미되는 (또는, 그 문제에 대해 "같게 되는") 것의 정확한 개념이 먼저 잘-정립되어야 하거나, 기호 $=$의 순수하게 형식적이고 구문적인 사용이 시행되어야 하며, 단지 그것을 문자열과 기호의 문자열로만 여기고, 수학적 논리가 실제로 그렇게 합니다.

또 다른, 더 흥미로운 예시 공리 스킴(axiom scheme)은 보편적 예시화(Universal Instantiation)로 알려진 것을 제공하는 것입니다:

Axiom scheme for Universal Instantiation. 일-차 언어 ${\mathfrak {L}}$에서 형식 $\phi$, 변수 $x$와 $\phi$에서 $x$에 대한 대체 가능한(substitutable) 것인 항(term) $t$가 주어지면, 다음 형식은

$\forall x\,\phi \to \phi _{t}^{x}$

보편적으로 유효합니다.

여기서 기호 $\phi _{t}^{x}$는 $x$에 대해 대체된 항 $t$를 갖는 형식 $\phi$를 나타냅니다. (변수의 대체(Substitution of variables)를 참조하십시오.) 비공식적인 용어로, 이 예에서는 만약 특정 속성 $P$가 모든 각 $x$에 대해 보유되고 $t$가 우리 구조에서 특정 대상을 나타낸다는 것을 안다면, 우리는 $P(t)$를 주장할 수 있어야 한다고 말할 수 있습니다. 다시 말하지만, 우리는 형식 $\forall x\phi \to \phi _{t}^{x}$가 유효하다고 주장하고 있습니다, 즉, 우리는 이 사실에 대한 "증명", 또는 더 적절하게 말하면, 메타-증명(metaproof)을 제공할 수 있어야 합니다. 이들 예제는 우리가 증명 자체의 개념을 다루고 있기 때문에 수학적 논리의 이론의 메타-정리(metatheorems)입니다. 우리는 역시 실존 일반화(Existential Generalization)를 가질 수 있습니다:

Axiom scheme for Existential Generalization. 일-차 언어 ${\mathfrak {L}}$에서 형식 $\phi$, 변수 $x$와 $\phi$에서 $x$에 대한 대체 가능한(substitutable) 것인 항(term) $t$가 주어지면, 다음 형식은

$\phi _{t}^{x}\to \exists x\,\phi$

보편적으로 유효합니다.

Non-logical axioms

비-논리적 공리는 이론-고유의 가정의 역할을 하는 형식입니다. 두 개의 다른 구조, 예를 들어, 자연수와 정수에 대한 추론은 같은 논리적 공리를 포함할 수 있습니다; 비-논리적 공리는 특정 구조 (또는 그룹(groups)과 같은 구조의 집합)에 대해 특별한 것을 포착하는 것을 목표로 합니다. 따라서 논리적 공리와 달리 비-논리적 공리는 동의어-반복(tautologies)이 아닙니다. 비-논리적 공리에 대해 또 다른 이름은 공준(postulate)입니다.

거의 모든 각 현대 수학적 이론(mathematical theory)은 주어진 비-논리적 공리로부터 시작하고, 원리에서 모든 각 이론은 이러한 방법에서 공리화되고 논리적 형식의 맨 언어로 공식화될 수 있다고 생각되었습니다.

비-논리적 공리는 종종 수학적 담론(discourse)에서 단순히 공리(axioms)라고 참조됩니다. 이것은 그것들이 어떤 절대적인 의미에서 참이라고 주장한다는 것을 의미하지는 않습니다. 예를 들어, 일부 그룹에서, 그룹 연산은 교환적(commutative)이고 ,이는 추가 공리의 도입으로 주장될 수 있지만, 이 공리 없이, 우리는 (더 일반적인) 그룹 이론을 상당히 잘 개발할 수 있고, 우리는 심지어 그 부정을 비-교환적 그룹의 연구에 대해 공리로 받아들일 수도 있습니다.

따라서, 공리는 추론의 규칙(rules of inference)과 함께 연역 시스템(deductive system)을 정의하는 형식적 논리 시스템(formal logic system)의 기본이 되는 근거입니다.

Examples

이 섹션에서는 비-논리적 공리 (이후 공리)의 집합에서 전적으로 개발된 수학적 이론의 예제를 제공합니다. 이들 주제 중 임의의 하나에 대한 엄격한 처리는 이들 공리를 지정하는 것으로 시작됩니다.

산술, 실수 해석학과 복소 해석학과 같은 기본 이론은 종종 비-공리적으로 도입되지만, 일반적으로 사용되는 공리가 선택을 걎는 체르멜로-프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 공리, 축약된 ZFC, 또는 ZFC의 보수적 확장(conservative extension), 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory)과 같은 공리적 집합 이론(axiomatic set theory)의 매우 유사한 시스템이라는 가정이 암시적 또는 명시적으로 있습니다. 때로는 모스-켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory) 또는 그로텐디크 우주(Grothendieck universe)의 사용을 허용하는 강력하게 비-접근가능 세는-숫자(strongly inaccessible cardinal)을 갖는 집합 이론과 같은 약간 더 강력한 이론이 사용되지만, 사실, 대부분의 수학자는 이-차 산술과 같이 ZFC보다 약한 시스템에서 필요한 모든 것을 실제로 입증할 수 있습니다.

수학에서 토폴로지의 연구는 점 집합 토폴로지, 대수적 토폴로지, 미분 토폴로지, 및 호몰로지 이론, 호모토피 이론과 같은 모든 관련된 다른 것을 통해 확장됩니다. 추상 대수(abstract algebra)의 발전은 그룹 이론, 링, 필드, 및 갈루아 이론을 가져왔습니다.

이 목록은 측정 이론(measure theory), 에르고딕 이론(ergodic theory), 확률(probability), 표시 이론(representation theory), 및 미분 기하학(differential geometry)을 포함한 대부분의 수학 분야를 포함하도록 확장될 수 있습니다.

Arithmetic

페아노 공리(Peano axioms)는 일-차 산술(first-order arithmetic)의 가장 널리 사용되는 공리화(axiomatization)입니다. 그것들은 숫자 이론에 대한 많은 중요한 사실을 증명할 만큼 충분히 강력한 공리의 집합이고 그것들은 괴델이 그의 유명한 두 번째 불완전성 정리(second incompleteness theorem)를 확립할 수 있게 해주었습니다.

우리가 $0$이 상수 기호이고 $S$는 단항 함수(unary function)인 언어 ${\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}$와 다음 공리를 가집니다:

1. $\forall x.\lnot (Sx=0)$
2. $\forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)$
3. $(\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)$ for any ${\mathfrak {L}}_{NT}$ formula $\phi$ with one free variable.

표준 구조는 ${\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle$이며, 여기서 $\mathbb {N}$은 자연수의 집합, $S$는 다음수 함수(successor function)이고 0은 자연스럽게 숫자 0으로 해석됩니다.

Euclidean geometry

아마도 가장 오래되고 가장 유명한 공리 목록은 평면 기하학(plane geometry)의 4 + 1 유클리드 공준(Euclid's postulates)입니다. 공리는 "4 + 1"로 참조될 수 있는데 왜냐하면 거의 2천년 동안 다섯 번째 (평행) 공준 ("직선 밖의 한 점을 지나는 정확히 하나의 평행 직선이 있다")가 처음 4개로부터 유도될 수 있다고 의심되었기 때문입니다. 궁극적으로, 다섯 번째 공준은 처음 네 가지와 독립적인 것으로 밝혀졌습니다. 직선 밖의 한 점을 지나는 평행 직선이 정확히 하나만 존재하거나, 무한하게 많이 존재한다고 가정할 수 있습니다. 이 선택은 삼각형의 내부 각도가 각각 정확히 180도 또는 그것보다 작다는 두 가지 대안적인 형식의 기하학을 제공하고, 이를 유클리드 기하학 및 쌍곡 기하학으로 알려져 있습니다. 만약 두 번째 공준 ("직선은 무한정 연장될 수 있음")을 제거되면, 직선 밖의 한 점을 통과하는 평행 직선이 없고 삼각형의 내부 각도의 합이 180도 이상인 타원 기하학이 발생합니다. .

Real analysis

연구의 목적은 실수의 도메인 내에 있습니다. 실수는 데데킨트 완비 순서화된 필드의 속성에 의해 (동형(isomorphism)까지) 고유하게 선택되며, 위쪽 경계를 갖는 실수의 임의의 비-빈 집합이 적어도 위쪽 경계를 가짐을 의미합니다. 어쨌든, 이들 속성을 공리로 표현하려면 이-차 논리(second-order logic)를 사용해야 합니다. 뢰벤하임–스콜렘 정리(Löwenheim–Skolem theorem)에 따르면 만약 우리가 일-차 논리로 제한하면, 실수에 대해 임의의 공리 시스템은 실수보다 작은 모델과 더 큰 모델 둘 다를 포함하여 다른 모델을 허용한다는 것입니다. 후자의 일부는 비-표준 해석학(non-standard analysis)에서 연구됩니다.

Role in mathematical logic

Deductive systems and completeness

연역(deductive) 시스템은 논리적 공리의 집합 $\Lambda$, 비-논리적 공리의 집합 $\Sigma$, 및 추론 규칙의 집합 $\{(\Gamma ,\phi )\}$으로 구성됩니다. 연역 시스템의 바람직한 속성은 그것이 완비(complete)라는 것입니다. 모든 형식 $\phi$에 대해 다음과 같으면 시스템이 완비라고 말합니다:

${\text{if }}\Sigma \models \phi {\text{ then }}\Sigma \vdash \phi$

즉, $\Sigma$의 논리적 결론(logical consequence)인 임의의 명제에 대해 실제로 $\Sigma$에서 명제의 연역법(deduction)이 존재합니다. 이것은 때때로 "참인 모든 것은 증명-가능하다"로 표현되지만, 여기서 "참"은 "공리의 집합에 의해 참이 됨"을 의미하고, 예를 들어 "의도된 해석에서 참"이 아님을 이해해야 합니다. 괴델의 완전성 정리(Gödel's completeness theorem)는 공통적으로 사용되는 특정 유형의 연역 시스템의 완비성을 수립합니다.

여기서 "완비성"은 주어진 공리 집합에서 $\phi$와 $\lnot \phi$가 모두 입증될 수 없음을 만족하는 산술 명제 $\phi$가 항상 존재할 것이라는 의미에서 산술 이론의 비-논리적 공리 $\Sigma$의 재귀적, 일관된 집합이 완전하지 않다는 괴델의 첫 번째 불완전성 정리(Gödel's first incompleteness theorem)와 관련하여 의미가 다름을 주목하십시오.

따라서 한편으로는 연역 시스템의 완비성 개념이 있고, 다른 한편으로는 비-논리적 공리 집합의 완전성 개념이 있습니다. 완전성 정리와 불완전성 정리는 이름에도 불구하고 서로 모순되지 않습니다.

Further discussion

초기 수학자들은 공리적 기하학(axiomatic geometry)을 물리적 공간(physical space)의 모델로 고려했고, 분명하게, 그러한 모델은 하나만 있을 수 있었습니다. 대안적인 수학적 시스템이 존재할 수 있다는 생각은 19세기 수학자들에게 매우 골칫거리였었고 부울 대수와 같은 시스템 개발자는 전통적인 산술에서 이를 유도하기 위해 정교한 노력을 기울였습니다. 갈루아는 그의 불의의 죽음 직전에 이러한 노력이 대부분 낭비되었음을 보여주었습니다. 궁극적으로, 대수적 시스템 사이의 추상적인 평행은 세부 사항보다 더 중요하게 여겨지고, 현대 대수학(modern algebra)이 탄생했습니다. 현대적 관점에서, 공리는 그것들이 비-일관적으로 알려져 있지 않은 한 임의의 형식의 집합이 될 수 있습니다.

See also

• Axiomatic system
• Dogma
• First principle, axiom in science and philosophy
• List of axioms
• Model theory
• Regulæ Juris
• Theorem
• Presupposition
• Physical law
• Principle

Further reading

• Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, California: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0

External links

• Axiom at PhilPapers
• Axiom at PlanetMath.org.
• Metamath axioms page