Bounded set
- "Bounded" and "boundary" are distinct concepts; for the latter see boundary (topology). A circle in isolation is a boundaryless bounded set, while the half plane is unbounded yet has a boundary.
수학적 해석학(mathematical analysis)과 수학(mathematics)의 관련 분야에서, 집합(set)은, 만약 그것이, 특정 의미에서, 유한 크기이면, 경계진(bounded) 것이라고 불립니다. 반대로, 경계진 것이 아닌 집합은 무경계진(unbounded) 것이라고 불립니다. 단어 경계진(bounded)는 대응하는 메트릭(metric)없이 일반적인 토폴로지적 공간에서는 의미가 없습니다.
Definition in the real numbers
실수(real number)의 집합 S는 S에서 모든 s에 대해 k ≥ s를 만족하는 어떤 실수 k가 존재하면 위로부터 경계진(bounded from above) 것이라고 불립니다. 숫자 k는 S의 위쪽 경계(upper bound)라고 불립니다. 용어 아래로부터 경계진(bounded from below) 및 아래쪽 경계(lower bound)은 유사하게 정의됩니다.
집합 S는 만약 그것이 위쪽과 아래쪽 경계 모두를 가지면 경계진(bounded) 것입니다. 그러므로, 실수의 집합은 그것이 유한 구간(finite interval)에 포함되면 경계진 것입니다.
Definition in a metric space
메트릭 공간(metric space) (M, d)의 부분집합(subset) S는 만약 S에서 모든 s와 t에 대해, 우리가 d(s, t) < r를 가짐을 만족하는 r > 0이 존재하면 경계진 것입니다. (M, d)는 M이 자체의 부분집합으로 경계지면 경계진 메트릭 공간입니다 (또는 d는 경계진 메트릭입니다).
- 전체 경계성(Total boundedness)은 경계성을 의미합니다. Rn의 부분집합에 대해 둘은 동등합니다.
- 메트릭 공간이 컴팩트(compact)인 것과 그것이 완비(complete) 및 전체적으로 경계진 것은 필요충분 조건입니다.
- 유클리드 공간(Euclidean space) Rn의 부분집합이 컴팩트인 것과 그것이 닫힌 및 경계진 것은 필요충분 조건입니다.
Boundedness in topological vector spaces
토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)에서, 경계진 집합에 대해 다른 정의가 존재하며, 이것은 때때로 폰 노이만 경계성(von Neumann bounded)이라고 불립니다. 만약 토폴로지적 벡터 공간의 토폴로지가 노름 벡터 공간(normed vector spaces)의 노름(norm)에 의해 유도된 메트릭(metric)의 경우와 같이 동질(homogeneous)인 메트릭에 의해 유도되면 두 정의가 일치합니다.
Boundedness in order theory
실수 집합이 경계진 것과 그것이 위쪽 및 아래쪽 경계를 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 이 정의는 임의의 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set)의 부분집합으로 확장할 수 있습니다. 경계성의 보다 일반적인 개념은 "크기"의 개념에 해당하지 않음에 주목하십시오.
부분적으로 순서화된 집합 P의 부분집합 S는 S 안의 모든 s에 대해 k ≥ s를 만족하는 P 안의 원소 k가 있으면 위로 경계진 것이라고 불립니다. 원소 k는 S의 위쪽 경계라고 불립니다. 아래로 경계진 및 아래쪽 경계의 개념은 역시 유사하게 정의됩니다. (역시 위쪽 및 아래쪽 경계(upper and lower bounds)를 참조하십시오.)
부분적으로 순서화된 집합 P의 부분집합 S는 그것이 위쪽 및 아래쪽 경계 둘 다를 가지면, 또는 동등하게, 그것이 구간(interval)에 포함되면, 경계진 것이라고 불립니다. 이것은 집합 S의 속성일 뿐만 아니라 P의 부분집합으로 집합 S 중 하나이기도 함에 주목하십시오.
경계진 포셋(bounded poset) P (즉, 자체에 의해, 부분집합이 아님)은 최소 원소와 최대 원소(greatest element)를 가지는 것입니다. 이 경계성의 개념은 유한 크기와 아무 관련이 없고, P에 대한 순서의 순서 제한(restriction)을 갖는 경계진 포셋 P의 부분집합 S가 반드시 경계진 포셋은 아니라는 점에 주목하십시오.
Rn의 부분집합 S가 유클리드 거리(Euclidean distance)에 관해 경계진 것과 그것이 곱 순서(product order)를 갖는 Rn의 부분집합으로 경계진 것은 필요충분 조건입니다. 어쨌든, S는 사전식 순서(lexicographical order)를 갖지만, 유클리드 거리에 관해 그렇지 않은 Rn의 부분집합으로 경계진 것일 수 있습니다.
순서 숫자(ordinal number)의 클래스는 임의의 순서 숫자가 주어지면, 항상 그것보다 더 큰 클래스의 어떤 원소가 있을 때, 무경계진, 또는 공끝(cofinal)이라고 말합니다. 따라서 이 경우에서 "무경계진"은 그 자체로 무경계진 것이 아니라 모든 순서 숫자의 클래스의 부분클래스로서의 무경계진 것을 의미합니다.
See also
References
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1982). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7.
- Richtmyer, Robert D. (1978). Principles of Advanced Mathematical Physics. New York: Springer. ISBN 0-387-08873-3.