Cauchy–Schwarz inequality

Original article: w:Cauchy–Schwarz inequality

코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality, 역시 코시–부냐콥스키–슈바르츠 부등식(Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)이라고도 함)은 수학에서 가장 중요하고 널리 사용되는 부등식(inequalities) 중 하나로 고려됩니다.

합에 대해 부등식은 Augustin-Louis Cauchy (1821)에 의해 발표되었습니다. 적분에 대해 대응하는 부등식은 Viktor Bunyakovsky (1859)와 Hermann Schwarz (1888)에 의해 발표되었습니다. 슈바르츠는 적분 버전의 현대적 증명을 제공했습니다.

Statement of the inequality

코시-슈바르츠 부등식은 안의 곱 공간(inner product space)의 모든 벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$에 대해 다음이 참이라고 말합니다:

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

(Cauchy-Schwarz inequality [written using only the inner product])

여기서 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$는 안의 곱(inner product)입니다. 안의 곱의 예제는 실수와 복소 점 곱(dot product)을 포함합니다; 안의 곱의 예제를 참조하십시오. 모든 각 안의 곱은 정식의(canonical) 또는 유도된 노름(induced norm)이라고 불리는 노름(norm)을 야기하며, 여기서 벡터 $\mathbf {u}$의 노름은 다음에 의해 표시되고 정의됩니다: $$\|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$$ 이때, 이 노름과 안의 곱은 정의하는 조건 $\|\mathbf {u} \|^{2}=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$에 의해 관련되며, 여기서 $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$는 (심지어 안의 곱이 복소-값이더라도) 항상 비-음의 실수입니다. 위 부등식의 양쪽 변에 제곱근을 취함으로써, 코시-슈바르츠 부등식은 보다 친숙한 형식으로 쓸 수 있습니다:

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$

(Cauchy-Schwarz inequality - written using norm and inner product)

게다가, 양쪽 변이 같은 것과 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 종속(linearly dependent)인 것은 필요충분 조건입니다.

Special cases

Sedrakyan's lemma - Positive real numbers

시드라키얀의 부등식(Sedrakyan's inequality)은, 역시 베리스트룀(Bergström)의 부등식, 엥겔(Engel)의 형식, T2 보조정리, 또는 티투(Titu)의 보조정리라고 불리며, 양의 실수에 대해 다음임을 말합니다: $${\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{ or equivalently, }}\quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.$$

그것은 $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$와 $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}$를 치환할 때 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 점 곱(dot product)을 사용함으로써 얻은 코시-슈바르츠 부등식의 직접적인 결과입니다. 이 형식은 부등식이 분자가 완전 제곱(perfect square)인 분수를 포함할 때 특히 유용합니다.

R² - The plane

Cauchy-Schwarz inequality in a unit circle of the Euclidean plane

실수 벡터 공간 $\mathbb {R} ^{2}$는 2-차원 평면을 나타냅니다. 그것은 역시 안의 곱이 점 곱(dot product)인 2-차원 유클리드 공간(Euclidean space)입니다. 만약 $\mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)$과 $\mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)$이면, 코시-슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다: $$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},$$ 여기서 $\theta$는 $u$와 $v$ 사이의 각도(angle)입니다.

위의 형식은 아마도 그 부등식을 이해하는 가장 쉬운 방법일 것인데, 왜냐하면 코사인의 제곱은 많아야 1일 수 있으며, 이는 벡터가 같은 방향 또는 반대 방향일 때 발생하기 때문입니다. 그것은 역시 벡터 좌표 $v_{1},v_{2},u_{1},$ 및 $u_{2}$의 관점에서 다음과 같이 다시 말할 수도 있습니다: $$\left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),$$ 여기서 상등이 유지되는 것과 벡터 $\left(u_{1},u_{2}\right)$가 벡터 $\left(v_{1},v_{2}\right)$와 같은 방향 또는 반대 방향이거나, 그들 중 하나가 영 벡터인 것은 필요충분 조건입니다.

Rⁿ - n-dimensional Euclidean space

점 곱(dot product)인 표준 안의 곱을 갖는 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$에서, 코시-슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다: $$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$$

코시-슈바르츠 부등식은 이 경우에서 기본 대수에서 아이디어만 사용하여 입증될 수 있습니다. $x$에서 다음 이차 다항식(quadratic polynomial)을 생각해 보십시오: $$0\leq \left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.$$

그것이 비-음수이기 때문에, 그것은 $x$에 대해 많아야 하나의 실수 근을 가지고, 따라서 그것의 판별식(discriminant)은 0보다 작거나 같습니다. 즉, $$\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,$$

Cⁿ - n-dimensional Complex space

만약 $\mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)$와 $\mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)$를 갖는 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ (여기서 $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$이고 $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$)이고 벡터 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 위에 안의 곱이 정식의 복소 안의 곱이면 ($\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}}$에 의해 정의되며, 여기서 막대 표기법은 복소 켤레(complex conjugation)에 대해 사용됨), 그 부등식은 다음처럼 보다 명시적으로 다시 말할 수 있습니다: $$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.$$

즉, $$\left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).$$

L²

제곱-적분가능(square-integrable) 복소-값 함수(functions)의 안의 곱 공간에 대해, 다음 부등식: $$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.$$

횔더 부등식(Hölder inequality)은 이것의 일반화입니다.

Applications

Analysis

임의의 안의 곱 공간(inner product space)에서, 삼각형 부등식(triangle inequality)은 아래 보이는 것처럼 코시-슈바르츠 부등식의 결과입니다: $${\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&\leq (\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}$$

제곱근을 취하면 삼각형 부등식을 제공합니다: $$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.$$

코시-슈바르츠 부등식은 안의 곱이 안의 곱 자체에 의해 유도된 토폴로지(topology)에 관한 연속 함수(continuous function)임을 입증하기 위해 사용됩니다.

Geometry

코시-슈바르츠 부등식은 다음을 정의함으로써 "두 벡터 사이의 각도" 개념을 임의의 실수(real) 안의-곱 공간으로 확장하는 것을 허용합니다: $$\cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.$$

코시-슈바르츠 부등식은 오른쪽 변이 구간 [−1, 1]에 놓임을 보여줌으로써 이 정의가 합리적임을 입증하고 (실수) 힐베르트 공간(Hilbert spaces)이 단순히 유클리드 공간(Euclidean space)의 일반화라는 개념을 정당화합니다. 그것은 역시 양자 충실도(quantum fidelity)에서 메트릭을 추출할 때 수행되는 것처럼 오른쪽 변의 절댓값 또는 실수 부분을 취함으로써 복소(complex) 안의-곱 공간(inner-product spaces)에서 각도를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다.

Probability theory

$X$와 $Y$를 확률 변수(random variables)로 놓고, 그런-다음 공분산 부등식은 다음에 의해 주어집니다: $$\operatorname {Var} (Y)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (Y,X)^{2}}{\operatorname {Var} (X)}}.$$

확률 변수의 집합 위에 안의 곱을 그것들의 곱의 기댓값을 사용하여 정의한 후, $$\langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),$$ 코시–슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다: $$|\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).$$

코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 공분산 부등식을 입증하기 위해, $\mu =\operatorname {E} (X)$와 $\nu =\operatorname {E} (Y)$라고 놓고, 그런-다음 $${\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}$$ 여기서 $\operatorname {Var}$는 분산(variance)을 나타내고 $\operatorname {Cov}$는 공분산(covariance)을 나타냅니다.

Proofs

아래에 나와 있는 것 외에도 코시-슈바르츠 부등식의 많은 다른 증명이 있습니다. 다른 출처를 참조할 때, 종종 두 가지 혼동의 원인이 있습니다. 첫째, 일부 저자는 ⟨⋅,⋅⟩를 첫 번째 인수가 아닌 두 번째 인수에서 선형으로 정의합니다. 둘째, 일부 증명은 필드가 $\mathbb {R}$이고 $\mathbb {C}$가 아닐 때 오직 유효합니다.

이 섹션에서는 다음 정리의 증명을 제공합니다:

Cauchy-Schwarz inequality — $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$를 스칼라 필드 $\mathbb {F}$에 걸쳐 안의 곱 공간에서 임의적인 벡터로 놓으며, 여기서 $\mathbb {F}$는 실수 $\mathbb {R}$ 또는 복소수 $\mathbb {C}$의 필드입니다. 그런-다음

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$

(Cauchy-Schwarz Inequality)

이때 코시-슈바르츠 부등식에서 상등이 유지되는 것과 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 독립(linearly dependent)인 것은 필요충분 조건입니다.

게다가, 만약 $|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$이고 $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$이면, $\mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v}$입니다.

아래 주어진 모든 증명에서, 벡터 중 적어도 하나가 영인 자명한 경우 (또는 동등하게, $\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0$인 경우)에서 증명은 같습니다. 그것은 반복을 줄이기 위해 바로 아래에 한 번만 제시됩니다. 그것은 역시 위에 주어진 상등 특성화(Equality Characterization) 증명의 쉬운 부분을 포함합니다; 즉, 만약 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 종속이면 $\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$입니다.

Proof of the trivial parts: Case where a vector is $\mathbf {0}$ and also one direction of the Equality Characterization

정의에 의해, $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 독립인 것과 하나가 나머지 하나의 스칼라 배수인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$이면 여기서 $c$는 어떤 스칼라이며, $$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle c\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c|\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|c\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$$ 이는 코시-슈바르츠 부등식에서 상등이 유지됨을 보여줍니다. 일부 스칼라 $c$에 대해 $\mathbf {v} =c\mathbf {u}$인 경우는 매우 유사하며, $c$의 복소 켤레 사이의 주요 차이점을 가집니다: $$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {u} ,c\mathbf {u} \rangle |=\left|{\overline {c}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \right|=\left|{\overline {c}}\right|\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {u} \|=|c|\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {u} \|\|c\mathbf {u} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$$ 만약 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$ 중 적어도 하나가 영 벡터이면 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$는 반드시 선형적으로 종속이며 (마치 스칼라가 영 벡터를 얻기 위해 비-영 벡터에 숫자 $0$을 곱합니다; 예를 들어, $\mathbf {u} =\mathbf {0}$이면 $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$가 되도록 $c=0$라고 놓습니다), 이는 이 특별한 경우에서 이 특성화의 전환을 입증합니다; 즉, 이것은 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$ 중 적어도 하나가 $\mathbf {0}$이면 상등 특성화가 유지됨을 보입니다. 만약 $\mathbf {u} =\mathbf {0}$이면, 이것이 발생하는 것과 $\|\mathbf {u} \|=0$이면, 특히, 코시-슈바르츠 부등식이 그것의 양쪽 변이 $0$이기 때문에 유지되도록 $\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0$이고 $|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {0} ,\mathbf {v} \rangle |=|0|=0$인 것은 필요충분 조건입니다. $\mathbf {v} =\mathbf {0}$의 경우에서 증명은 동일합니다.

결과적으로, 코시-슈바르츠 부등식은 비-영 벡터에 대해서만 증명하면 되고 상등 특성화(Equality Characterization)의 비-자명한 방향만 표시되어야 합니다.

Proof 1

$\mathbf {v} =\mathbf {0}$의 특수한 경우는 위에서 증명되었으므로 앞으로는 $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$이라고 가정합니다. 코시-슈바르츠 부등식 (및 정리의 나머지 부분)은 다음 상등의 거의 즉각적인 따름정리입니다:

${\frac {1}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}~=~\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}$

(Eq. 1)

Deducing Cauchy-Schwarz from Eq. 1

Eq. 1의 왼쪽 변이 비-음수이기 때문에, 오른쪽 변도 그렇고, 이는 (양쪽 변의 제곱 근을 취함으로써) 코시-슈바르츠 부등식을 따르는 $|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}$임을 입증합니다.

만약 $|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$이면 Eq. 1의 오른쪽 변 (및 따라서 역시 왼쪽 변)은 0이며, 이는 $\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} =\mathbf {0}$이면 오직 가능합니다. 따라서 $\mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v}$이며, 이는 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 종속임을 보입니다. $\blacksquare$

상등 Eq. 1은 (노름의 정의를 통해) $\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}$를 기본적으로 전개하고 그런-다음 단순화하여 쉽게 검증됩니다:

Proof of Eq. 1

$V=\|\mathbf {v} \|^{2}$라고 놓고 ${\bar {c}}c=|c|^{2}=|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}$와 ${\bar {c}}={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle$가 되도록 $c=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$라고 놓습니다. 그런-다음 $${\begin{alignedat}{4}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}&=\|V\mathbf {u} -c\mathbf {v} \|^{2}=\langle V\mathbf {u} -c\mathbf {v} ,V\mathbf {u} -c\mathbf {v} \rangle &&~\quad {\text{ By definition of the norm }}\\[0.5ex]&=\langle V\mathbf {u} ,V\mathbf {u} \rangle -\langle V\mathbf {u} ,c\mathbf {v} \rangle -\langle c\mathbf {v} ,V\mathbf {u} \rangle +\langle c\mathbf {v} ,c\mathbf {v} \rangle &&~\quad {\text{ Expand }}\\[0.5ex]&=V^{2}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -V{\bar {c}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -cV\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \,+c{\bar {c}}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle &&~\quad {\text{ Pull out scalars (note that }}V:=\|\mathbf {v} \|^{2}{\text{ is real) }}\\[0.5ex]&=V^{2}\|\mathbf {u} \|^{2}~~-V{\bar {c}}c~~~~~~~~-cV{\bar {c}}~~~~~~~~+c{\bar {c}}V&&~\quad {\text{ Use definitions of }}c:=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\text{ and }}V\\[0.5ex]&=V^{2}\|\mathbf {u} \|^{2}~~-V{\bar {c}}c~=~V\left[V\|\mathbf {u} \|^{2}-{\bar {c}}c\right]&&~\quad {\text{ Simplify }}\\[0.5ex]&=\|\mathbf {v} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]&&~\quad {\text{ Rewrite in terms of }}\mathbf {u} {\text{ and }}\mathbf {v} .\\\end{alignedat}}$$ $\|\mathbf {v} \|^{2}\neq 0$로 나눔으로써 증명을 완료합니다. $\blacksquare$

이 전개는 $\mathbf {v}$를 비-영임을 요구하지 않습니다; 어쨌든, $\mathbf {v}$는 양쪽 변을 $\|\mathbf {v} \|^{2}$으로 나누고 그것으로부터 코시-슈바르츠 부등식을 추론하기 위해 비-영이어야 합니다. $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$를 서로 바꾸면 다음을 발생합니다: $$\left\|\|\mathbf {u} \|^{2}\mathbf {v} -{\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {u} \right\|^{2}~=~\|\mathbf {u} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]$$ 그리고 따라서 $${\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\left[\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\right]~&=~\|\mathbf {u} \|^{2}\left\|\|\mathbf {v} \|^{2}\mathbf {u} -\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \mathbf {v} \right\|^{2}\\~&=~\|\mathbf {v} \|^{2}\left\|\|\mathbf {u} \|^{2}\mathbf {v} -{\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {u} \right\|^{2}.\\\end{alignedat}}$$

Proof 2

$\mathbf {v} =\mathbf {0}$의 특수한 경우는 위에서 증명되었으므로 앞으로는 $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$이라고 가정합니다. 다음으로 놓습니다: $$\mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .$$

첫 번째 인수에서 안의 곱의 선형성에서 다음임을 따릅니다: $$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.$$

그러므로, $\mathbf {z}$는 벡터 $\mathbf {v}$에 직교하는 벡터입니다 (사실, $\mathbf {z}$는 $\mathbf {v}$에 직교하는 평면 위로의 $\mathbf {u}$의 투영(projection)입니다.) 따라서 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 다음에 적용할 수 있습니다: $$\mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z}$$ 이는 다음을 제공합니다: $$\|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.$$

코시-슈바르츠 부등식은 $\|\mathbf {v} \|^{2}$를 곱하고 그런-다음 제곱근을 취함으로써 따릅니다. 더욱이, 위 표현에서 관계 $\geq$가 실제로 상등이면, $\|\mathbf {z} \|^{2}=0$이고 따라서 $\mathbf {z} =\mathbf {0}$입니다; $\mathbf {z}$의 정의는 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$ 사이의 선형 종속의 관계를 수립합니다. 이 섹션의 시작 부분에서 그 전환이 증명되었으므로, 증명이 완료되었습니다. $\blacksquare$

Proof for real inner products

$(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$를 실수 안의 곱 공간이라고 놓습니다. 임의적인 쌍 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$와 $p(t)=\langle t\mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle$에 의해 정의된 함수 $p:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$을 생각해 보십시오. 안의 곱은 양수-한정이므로, $p(t)$는 오직 비-음의 값을 취합니다. 다른 한편으로, $p(t)$는 안의 곱의 쌍선성을 사용하고 실수 안의 곱에 대해 $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle$라는 사실을 사용하여 전개될 수 있습니다: $$p(t)=\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}t^{2}+t\left[\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right]+\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}=\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}t^{2}+2t\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}.$$ 따라서, $p$는 차수 2의 다항식입니다 ($u=0$이 아닌 한, 이는 독립적으로 검증될 수 있는 경우입니다). $p$의 부호가 변경되지 않기 때문에, 이 다항식의 판별식은 비-양수여야 합니다: $$\Delta =4\left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}\right)\leqslant 0.$$ 결론이 따라옵니다.

상등 경우에 대해, $\Delta =0$가 발생하는 것과 $p(t)=(t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert )^{2}$인 것은 필요충분 조건임을 주의하십시오. 만약 $t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert$이면, $p(t_{0})=\langle t_{0}\mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0$이고 따라서 $\mathbf {v} =-t_{0}\mathbf {u}$입니다.

Proof for the dot product

안의 곱이 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 점 곱(dot product)인 경우에서 코시-슈바르츠 부등식은 이제 입증됩니다. 코시-슈바르츠 부등식은 $\mathbf {a} :=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right),\mathbf {b} :=\left(b_{1},\ldots ,b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해, $\left|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right|^{2}\leq \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\,\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}$ 또는 동등하게, $\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)^{2}\leq \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \right)\,\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \right)$로 다시 쓸 수 있으며, 이는 다음과 같이 전개됩니다: $$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\right)^{2}.$$

단순화하기 위해, 입증되려는 남아있는 명제가 $D^{2}-AB\leq 0$로 다시 정렬될 수 있는 $AB\geq D^{2}$로 쓸 수 있도록 다음과 같이 놓습니다: $${\begin{aligned}A&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2},\\B&=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}\\D&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\\\end{aligned}}$$ 이차 방정식(quadratic equation) $Ax^{2}+2Dx+B$의 판별식(discriminant)은 $4D^{2}-4AB$입니다.

그러므로, 증명을 완료하기 위해, 이 이차가 실수 근을 가지지 않거나 정확하게 하나의 실수 근을 가짐을 증명하는 것으로 충분하며, 이는 다음임을 의미하기 때문입니다:$$4\left(D^{2}-AB\right)\leq 0.$$

$A,B,D$의 값을 $Ax^{2}+2Dx+B$에 대입하여 다음을 제공합니다: $${\begin{alignedat}{4}Ax^{2}+2Dx+B&=\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\right)x^{2}+2\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\right)x+\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}\right)\\&=\left(a_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}\right)+\left(a_{2}^{2}x^{2}+2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}\right)+\cdots +\left(a_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}\right)\\&=\left(a_{1}x+b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}x+b_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(a_{n}x+b_{n}\right)^{2}\\&\geq 0\end{alignedat}}$$ 이는 자명한 부등식: 모든 $r\in \mathbb {R}$에 대해 $r^{2}\geq 0$에 의해 각각 $\,\geq 0\,$인 항의 합입니다. 이것은 부등식을 증명하고 따라서 증명을 마치기 위해, 상등이 달성될 수 있음을 보여야 합니다. 상등 $a_{i}x=-b_{i}$는 다음을 검사 후 코시-슈바르츠에 대한 상등 경우입니다: $$\left(a_{1}x+b_{1}\right)^{2}+\left(a_{2}x+b_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(a_{n}x+b_{n}\right)^{2}\geq 0,$$ 이는 상등이 달성될 수 있음을 입증합니다. $\blacksquare$

Generalizations

코시-슈바르츠 부등식의 다양한 일반화가 존재합니다. 훨더의 부등식은 그것을 $L^{p}$ 노름으로 일반화합니다. 보다 일반적으로, 그것은 바나흐 공간 (즉, 그 공간이 힐베르트 공간일 때) 위에 선형 연산자의 노름의 정의의 특수한 경우로 해석될 수 있습니다. 더 나아가서 일반화는 연산자 이론의 맥락에서 이루어지며, 예를 들어, 연산자-볼록 함수와 연산자 대수에 대해, 여기서 도메인 및/또는 치역은 C*-대수 또는 W*-대수로 대체됩니다.

안의 곱은 양수 선형 함수형(positive linear functional)을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 힐베르트 공간 $L^{2}(m)$이 주어지면, $m$이 유한 측정이며, 표준 안의 곱은 $\varphi (g)=\langle g,1\rangle$에 의해 양수 함수형 $\varphi$를 발생시킵니다. 반대로, $L^{2}(m)$ 위의 모든 각 양수 선형 함수형 $\varphi$는 안의 곱 $\langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right)$을 정의하기 위해 사용할 수 있으며, 여기서 $g^{*}$는 $g$의 점별 복소 켤레입니다. 이 언어에서 코시-슈바르츠 부등식은 다음이 됩니다:$$\left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),$$

이는 C*-대수 위에 양수 함수형으로 축어적으로 확장됩니다.

Cauchy–Schwarz inequality for positive functionals on C*-algebras — 만약 $\varphi$가 C*-대수 $A$ 위에 양수 선형 함수형이면 모든 $a,b\in A$에 대해, $\left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right)$입니다.

다음 두 가지 정리는 연산자 대수에서 나아가서 예제입니다.

Kadison–Schwarz inequality (Named after Richard Kadison) — 만약 $\varphi$가 단위 양수 맵이면, 그것의 도메인에서 모든 각 정규 원소(normal element) $a$에 대해, 우리는 $\varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)$와 $\varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right)$를 가집니다.

이것은 $\varphi$가 선형 함수형일 때 $\varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2}$라는 사실을 확장합니다. $a$가 자기-인접, 즉, $a=a^{*}$일 때 그 경우는 때때로 Kadison's inequality으로 알려져 있습니다.

Cauchy-Schwarz inequality (Modified Schwarz inequality for 2-positive maps) — C*-대수 사이의 2-양수 맵 $\varphi$에 대해, 그것의 도메인에서 모든 $a,b$에 대해, $$\varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}$$ $$\Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .$$

또 다른 일반화는 코시-슈바르츠 부등식의 양쪽 변 사이를 보간함으로써 얻은 정제입니다:

Callebaut's Inequality — 실수 $0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1$에 대해, $$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right).$$

이 정리는 훨더의 부등식에서 추론할 수 있습니다. 연산자와 행렬의 텐서 곱에 대해 비-교환 버전도 있습니다.

코시-슈바르츠 부등식과 칸토로비치(Kantorovich) 부등식의 행렬 버전의 조사는 유용할 수 있습니다.

See also

• Bessel's inequality
• Hölder's inequality
• Jensen's inequality
• Kunita–Watanabe inequality
• Minkowski inequality
• Paley–Zygmund inequality

External links

• Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.
• Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine Linearly Independent Vectors Tutorial and Interactive program.