Pythagorean theorem

Original article: wikipedia:Pythagorean theorem

This article is about classical geometry. For the baseball term, see pythagorean expectation.

Pythagorean theorem
The sum of the areas of the two squares on the legs (a and b) equals the area of the square on the hypotenuse (c).

수학(mathematics)에서, 피타고라스의 정리(Pythagoras' theorem)로써 역시 알려진, 피타고리언 정리(Pythagorean theorem)는 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 직각 삼각형(right triangle)의 세 변 사이의 기본적인 관계입니다. 그것은 그의 변이 빗변(hypotenuse) (직각(right angle)과 마주보는 변)인 정사각형의 넓이는 다른 두 변(other two sides)에 대한 정사각형의 넓이의 합과 같다고 말합니다. 이 정리(theorem)는, 변 a, b 및 c의 길이를 관련시키는 방정식(equation)으로 쓸 수 있으며, 종종 "피타고리언 방정식"이라고 불립니다:

$a^{2}+b^{2}=c^{2},$

여기서 c는 빗변의 길이를 나타내고 a와 b는 삼각형의 다른 두 변의 길이를 나타냅니다. 그 정리는, 그것의 역사가 많은 논쟁의 주제가 되며, 고대 그리스(ancient Greek) 사상가 피타고라스(Pythagoras)의 이름을 따서 지어졌습니다.

그 정리는 많은 증명이 주어져 왔으며 – 아마도 임의의 수학적 정리에 대해 가장 많습니다. 그것들은 기하학적 증명과 대수적 증명을 포함하여 매우 다양하며, 일부는 수천 년 전으로 거슬러 올라갑니다. 그 정리는 고차원 공간을 포하하여, 유클리드 공간이 아닌 공간, 직각 삼각형이 아닌 대상, 및 실제로, 삼각형이 아닌 대상이지만, n-차원 고체에 이르기까지 다양한 방법으로 일반화될 수 있습니다. 피타고리언 정리는 수학의 난해, 신비, 또는 지적 능력의 상징으로서 수학 외부의 관심을 끌었습니다; 문학, 연극, 뮤지컬, 노래, 우표 및 만화에 대한 인기있는 참고 자료가 풍부합니다.

Rearrangement proof

The rearrangement proof (click to view animation)

각 그림에서 표시된 두 개의 큰 정사각형은 네 개의 동일한 삼각형을 포함하고, 두 개의 큰 정사각형 사이의 유일한 차이점은 삼각형이 다르게 배열된다는 것입니다. 그러므로, 두 개의 큰 정사각형 각각의 흰색 공간은 같은 넓이를 가져야 합니다. 흰색 공간의 넓이를 같게 하면 피타고라스 정리를 산출합니다, Q.E.D.

히스는 유클리드의 원론에서 제안 I.47에 대한 그의 주석에서 이 증명을 제공하고, 피타고라스가 이 증명을 알았을 수 있다는 브릿슈나이드(Bretschneider)와 핸클(Hankel)의 제안을 언급합니다. 히스 자신은 피타고라스 증명에 대해 다른 제안을 선호하지만, 토론의 시작부터 "피타고라스 이후 처음 다섯 세기에 속했던 그리스 문학은 이것 또는 그에 대한 임의의 다른 특별한 위대한 기하학적 발견을 일일이 열거하는 명제가 포함되어 있지 않다는 것"을 인정합니다. 최근의 학문적 연구는, 비록 이 논쟁이 계속될지라도, 수학의 창시자로서 피타고라스의 역할에 대해 점점 더 많은 의구심을 불러일으켰습니다.

Other forms of the theorem

만약 c가 빗변의 길이(length)를 나타내고 a와 b가 나머지 두 변의 길이를 나타내면, 피타고라스 정리는 피타고라스 방정식으로 표현될 수 있습니다:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

만약 a와 b 둘 다의 길이가 알려져 있으면, c는 다음으로 계산될 수 있습니다:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

만약 빗변 c와 하나의 변 (a 또는 b)의 길이가 알려져 있으면, 나머지 변의 길이는 다음으로 계산될 수 있습니다:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

또는

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.$

피타고라스 방정식은, 만약 임의의 두 변의 길이가 알려져 있으면 세 번째 변의 길이가 구할 수 있도록, 간단한 방법으로 직각 삼각형의 변을 관련시킵니다. 정리의 또 다른 따름정리는 임의의 직각 삼각형에서, 빗변이 다른 변의 임의의 하나보다 크지만, 그들의 합보다 작다는 것입니다.

이 정리의 일반화는 코사인의 법칙(law of cosines)이며, 이것은 다른 두 변의 길이와 그 사이의 각도가 주어지면 임의의 삼각형의 임의의 변의 길이의 계산을 허용합니다. 만약 다른 변 사이의 각도가 직각이면, 코사인의 법칙은 피타고라스 방정식으로 줄어듭니다.

Other proofs of the theorem

이 정리는 임의의 다른 것보다 더 많은 알려진 증명을 가질 수 있습니다 (이차 상호관계(quadratic reciprocity)의 법칙이 그 구별에 대해 또 다른 경쟁자입니다); 책 The Pythagorean Proposition은 370 개의 증명을 포함합니다.

Proof using similar triangles

Proof using similar triangles

이 증명은 두 개의 닮은 삼각형의 변의 비례성(proportionality)에 기초합니다. 즉, 닮은(similar) 삼각형의 임의의 두 대응하는 변의 비율(ratio)이 삼각형의 크기에 관계없이 같다는 사실에 기초합니다.

ABC는, 그림에서 보인 것처럼, C에 위치한 직각을 갖는 직각 삼각형으로 놓습니다. 점 C로부터 고도(altitude)를 그리고, 변 AB와의 그것의 교차점을 H라고 부릅니다. 점 H는 빗변 c의 길이를 부분 d와 e로 나눕니다. 새로운 삼각형 ACH는 삼각형 ABC와 닮았는데, 왜냐하면 그들 둘 다는 (고도의 정의에 의해) 직각을 가지고, 그들은 A에서 각도를 공유하기 때문이며, 세 번째 각도는 그림에서 θ로 표시된, 마찬가지로 양쪽 삼각형에서 같은 것임을 의미합니다. 닮음 추론에 의해, 삼각형 CBH는 역시 ABC와 닯았습니다. 삼각형의 닮음의 증명은 삼각형 공준(triangle postulate)을 요구합니다: 삼각형에서 각의 합은 두 개의 직각이고, 평행 공준(parallel postulate)과 동등합니다. 삼각형의 닮음은 해당하는 변의 비율의 상등으로 이어집니다:

${\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.$

첫 번째 결과는 각도 θ의 코사인(cosine)과 같지만, 두 번째 결과는 그들의 사인(sine)과 같습니다.

이들 비율은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.$

이들 두 방정식을 합하면 다음을 초래합니다:

$BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},$

이것은, 단순화 후에, 피타고라스 정리를 표현합니다:

$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .$

역사에서 이 증명의 역할은 많은 추측의 주제입니다. 근본적인 질문은 유클리드가 이 증명을 사용하지 않지만, 또 다른 것을 발명한 이유입니다. 하나의 추측은 닮은 삼각형에 의한 증명은 비율의 이론을 포함하며, 원론에서 나중에 논의되지 않은 주제, 및 그 당시에 비율의 이론이 더 발전해야 한다는 것입니다.

Euclid's proof

Proof in Euclid's Elements

요약하면, 여기 것이 유클리드(Euclid)의 원론(Elements)에서 증명이 진행하는 방법입니다. 큰 정사각형은 왼쪽과 오른쪽 직사각형으로 나뉩니다. 삼각형은 왼쪽 직사각형의 넓이의 절반을 갖는 것으로 구성됩니다. 그런-다음 또 다른 삼각형은 가장 왼쪽에 있는 사각형 넓이의 절반을 갖는 것으로 구성됩니다. 이들 두 삼각형은 합동(congruent)으로 표시되며, 이 정사각형이 왼쪽 직사각형과 같은 넓이를 가지고 있음을 입증합니다. 이 논증은 오른쪽 직사각형과 남아있는 정사각형에 대해 유사한 버전이 뒤따릅니다. 빗변에 대한 정사각형을 재구성하기 위해 두 직사각형을 함께 합치면, 그것의 넓이는 다른 두 정사각형의 넓이의 합과 같습니다. 자세한 것은 뒤따릅니다.

A, B, C를 직각 삼각형의 꼭짓점(vertices), A에 직각을 갖는 것으로 놓습니다. 빗변에 대한 정사각형에서 빗변 반대편에 A에서 변으로 수직으로 떨어뜨립니다. 해당 직선은 빗변에 대한 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누며, 각 직사각형은 다리에 대한 두 정사각형 중 하나와 같은 넓이를 가집니다.

공식적인 증명에 대해, 우리는 네 가지 기본 보조정리(lemmata)를 요구합니다:

1. 만약 두 삼각형이 각각에 나머지의 두 변과 같은 하나의 두 변을 가지고, 그들 변에 의해 포함된 각도가 같으면, 삼각형은 합동 (변-각도-변)입니다.
2. 삼각형의 넓이가 같은 밑변 위에 있고 같은 고도를 가진 임의의 평행사변형의 넓이의 절반입니다.
3. 직사각형의 넓이는 두 인접한 변의 곱과 같습니다.
4. 정사각형의 넓이는 (3에서 뒤따르는) 그것의 변의 둘의 곱과 같습니다.

다음으로, 각 꼭대기 정사각형은 또 다른 삼각형과 합동하는 삼각형과 관련되어 있으며, 보다-낮은 정사각형을 구성하는 두 직사각형 중 하나와 차례로 관련됩니다.

Illustration including the new lines

Showing the two congruent triangles of half the area of rectangle BDLK and square BAGF

증명은 다음과 같습니다:

1. ACB를 직각 CAB를 갖는 직각 삼각형으로 놓습니다.
2. 변 BC, AB, 및 CA의 각각 위헤, 정사각형은 그 순서대로 CBDE, BAGF, 및 ACIH를 그려집니다. 정사각형의 구성은 유클리드에서 바로 앞의 정리를 요구하고, 평행 공준에 의존합니다.
3. A로부터, BD와 CE에 평행한 직선을 그립니다. 그것은 각각 K와 L에서 BC와 DE를 수직으로 교차합니다.
4. 삼각형 BCF와 BDA를 형성하기 위해, CF와 AD를 연결합니다.
5. 각도 CAB와 BAG는 둘 다 직각입니다; 그러므로 C, A, 및 G는 같은-직선-위(collinear)에 있습니다. B, A, 및 H도 마찬가지입니다.
6. 각도 CBD와 FBA는 둘 다 직각입니다; 그러므로 각도 ABD는 각도 FBC와 같은데, 왜냐하면 둘 다는 직각과 각도 ABC의 합이기 때문입니다.
7. AB는 FB와 같고 BD는 BC와 같으므로, 삼각형 ABD는 삼각형 FBC와 합동이어야 합니다.
8. A-K-L은 일직선, BD에 평행하므로, 직사각형 BDLK는 삼각형 ABD의 두 배 넓이를 가지는데 왜냐하면 그들은 밑변 BD를 공유하고 같은 고도 BK를 갖기 때문입니다. 즉, 평행한 직선 BD와 AL을 연결하는 공통 밑변에 수직인 직선입니다. (보조정리 2)
9. C는 A 및 G와 같은-직선-위에 있으므로, 정사각형 BAGF는 삼각형 FBC에 대한 면적에서 두 배여야 합니다.
10. 그러므로, 직사각형 BDLK는 정사각형 BAGF = AB²과 같은 넓이를 가져야 합니다.
11. 유사하게, 직사각형 CKLE은 정사각형 ACIH = AC²와 같은 넓이를 가져야 함을 알 수 있습니다.
12. 이들 두 결과를 더하면, AB² + AC² = BD × BK + KL × KC입니다.
13. BD = KL이므로, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC입니다.
14. 따라서, AB² + AC² = BC²인데, 왜냐하면 CBDE는 정사각형이기 때문입니다.

유클리드의 원론에서 책 1의 제안 47의 증명으로 나타나는 이 증명은 빗변에 대한 정사각형의 넓이가 다른 두 정사각형의 넓이의 합이라는 것을 입증합니다. 이것은 피타고라스가 사용했던 증명으로 추측되는 삼각형의 닮음에 의한 증명과는 상당히 다릅니다.

Proofs by dissection and rearrangement

우리는 이미 피타고라스 증명을 논의해 왔으며, 재배치에 의한 증명이었습니다. 같은 아이디어가 아래의 가장-왼쪽 애니메이션에 전달되며, 이것은 네 개의 똑같은 직각 삼각형을 포함하는 변 a + b을 갖는 큰 정사각형으로 구성됩니다. 삼각형은 두 가지 배열로 표시되며, 그것의 첫 번째는 두 개의 정사각형 a²과 b²를 덮지 않은 채로 남겨두고, 그것의 두 번째는 정사각형 c²을 덮지 않은 채로 둡니다. 바깥 쪽 정사각형으로 둘러싸인 넓이는 절대 변하지 않고, 네 삼각형의 넓이는 시작과 끝에서 같으므로, 검은 색 정사각형 넓이는 같아야 하며, 따라서 a² + b² = c²입니다.

재배치에 의한 두 번째 증명은 중간 애니메이션에서 제공됩니다. 큰 정사각형은, 작은 중앙 정사각형 주위에 딱 맞는, 변 a, b 및 c를 갖는 네 개의 똑같은 직각 삼각형으로부터, 넓이 c²으로 형성됩니다. 그런-다음 두 직사각형은 그 삼각형을 이동함으로써 변 a와 b로 형성됩니다. 이들 직사각형과 함께 더 작은 정시각형을 결합하면 넓이 a²과 b²의 두 정사각형을 생성하며, 이것은 초기의 큰 정사각형과 같은 넓이를 가져야 합니다.

세 번째, 맨 오른쪽 이미지는 역시 하나의 증명을 제공합니다. 위쪽 두 개의 정사각형은 파란색과 초록색 음영으로 표시된 것처럼 재배열될 때 빗변에 대한 아래쪽 정사각형에 맞도록 만들어질 수 있는 조작으로 나뉩니다 – 또는 반대로 큰 정사각형은 표시된 것처럼 다른 두 개를 채우는 조각으로 나뉠 수 있습니다. 한 그림을 조각으로 자르고 그들을 또 다른 그림을 얻기 위해 재배열하는 이 방법은 절개(dissection)라고 불립니다. 이것은 큰 정사각형의 넓이가 두 개의 더 작은 정사각형의 넓이와 같음을 보여줍니다.

Animation showing proof by rearrangement of four identical right triangles

Animation showing another proof by rearrangement

Proof using an elaborate rearrangement

Einstein's proof by dissection without rearrangement

Right triangle on the hypotenuse dissected into two similar right triangles on the legs, according to Einstein's proof

알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 조각이 움직일 필요가 없는 절개에 의한 증명을 제공했습니다. 빗변에 대한 정사각형을 사용하고 다리에 대한 두 정사각형을 사용하는 대신에, 우리는 빗변을 포함하는 임의의 다른 모양과 빗변 대신에 두 다리 중 하나를 각각 포함하는 두 개의 닮은(similar) 모양을 사용할 수 있습니다 (세 변에 대한 닮은 그림(Similar figures on the three sides)을 참조하십시오). 아인슈타인의 증명에서, 빗변을 포함하는 모양은 직각 삼각형 자체입니다. 절개는 삼각형의 직각의 꼭짓점에서 빗변까지 수직을 떨어뜨려서 구성되며, 따라서 전체 삼각형을 두 부분으로 절개합니다. 그들 두 부분은 원래 직각 삼각형과 같은 모양을 가지고, 원래 삼각형의 다리를 그들의 빗변으로 가지고, 그들의 넓이의 합이 원래 삼각형의 넓이입니다. 직각 삼각형의 넓이와 그것의 빗변의 제곱의 비율이 닮은 삼각형에 대해 같기 때문에, 세 삼각형의 넓이 사이의 관계는 마찬가지로 큰 삼각형의 변의 제곱에 대해 유지됩니다.

Algebraic proofs

Diagram of the two algebraic proofs

그 정리는, 다이어그램의 위쪽 절반에서 처럼, 변 c를 갖는 정사각형 안에 배열된 변 a, b 및 c를 갖는 직각 삼각형의 네 개의 사본을 사용하여 대수적으로 입증될 수 있습니다. 삼각형은 넓이 ${\tfrac {1}{2}}ab$와 유사하지만, 작은 정사각형은 변 b − a와 넓이 (b − a)²를 가집니다. 큰 정사각형의 넓이는 따라서

$(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.$

그러나 이것은 변 c와 넓이 c²을 갖는 정사각형이므로,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

비슷한 증명은, 다이어그램의 아래쪽 부분에 표시된 것처럼, 변 c를 갖는 정사각형 주위에 대칭적으로 배열된 같은 삼각형의 네 개의 사본을 사용합니다. 이것은 변 a + b와 넓이 (a + b)²를 갖는, 더 큰 정사각형을 초래합니다. 네 개의 삼각형과 정사각형 변 c는 더 큰 정사각형과 같은 넓이를 가져야 하며,

$(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,$

다음을 제공합니다:

$c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.$

Diagram of Garfield's proof

관련된 증명은 미래의 미국 대통령 제임스 가필드(James A. Garfield) (당시에 미국 하원(U.S. Representative)의 일원)에 의해 발표되었습니다 (다이어그램을 참조하십시오). 정사각형 대신에 그것은 사다리꼴(trapezoid)을 사용하며, 이것은 위의 두 번째 증명에서 정사각형을 내부 정사각형의 대각선을 따라 이등분함으로써, 다이어그램에 표시된 것처럼 사다리꼴을 제공하는 것으로 구성될 수 있습니다. 사다리꼴의 넓이(area of the trapezoid)는 정사각형의 넓이의 절반으로 계산될 수 있습니다. 즉,

${\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.$

내부 정사각형은 비슷하게 반으로 나뉘고, 오직 두 삼각형이 있으므로 증명은 결과를 제공하기 위해 2를 곱함으로써 제거되는 ${\frac {1}{2}}$의 인수를 제외하고 위와 같이 진행됩니다.

Proof using differentials

우리는 변에서 변화가 빗변에서 변화를 생성하는 방법을 연구하고 미적분(calculus)을 사용함으로써 피타고라스 정리에 도달할 수 있습니다.

삼각형 ABC는, 다이어그램의 윗쪽 부분에 표시된 것처럼, 빗변 BC를 갖는 직각 삼각형입니다. 동시에 삼각형 길이는, 더 아래 다이어그램 부분에서 볼 수 있듯이, 길이 y의 빗변, 길이 x의 변 AC, 및 길이 a의 변 AB와 함께 표시된 것처럼 측정됩니다.

Diagram for differential proof

만약 x가 변 AC를 D로 약간 확장함으로써 작은 양 dx만큼 증가하면, y는 역시 dy만큼 증가합니다. 이것들은 삼각형, CDE의 두 변을 형성하며, 이것은 (선택된 E를 가지므로 CE가 빗변에 수직이며) ABC와 근사적으로 닮은 직각 삼각형입니다. 그러므로, 그들의 변의 비율은 같아야 합니다. 즉,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.$

이것은 $y\,dy=x\,dx$로 다시-쓸 수 있으며, 직접 적분화에 의해 풀릴 수 있는 미분 방정식(differential equation)입니다:

$\int y\,dy=\int x\,dx\,,$

다음을 제공합니다:

$y^{2}=x^{2}+C.$

상수는 x = 0, y = a로부터 추론될 수 있으며, 다음 방정식을 제공합니다:

$y^{2}=x^{2}+a^{2}.$

이것은 공식적인 증명보다 직관적인 증명에 가깝습니다: 만약 적절한 극한이 dx와 dy 위치에 사용되면 보다 엄격하게 만들어질 수 있습니다.

Converse

정리의 전환(converse)은 역시 참입니다:

a² + b² = c²를 만족하는 임의의 세 양수 a, b, 및 c에 대해, 변 a, b, 및 c를 갖는 삼각형이 존재하고, 모든 각 그러한 삼각형은 길이 a와 b의 변 사이에 직각을 가집니다.

대안적인 명제는 다음입니다:

변 a, b, c를 갖는 임의의 삼각형에 대해, 만약 a² + b² = c²이면, a와 b 사이의 각도는 90°로 측정됩니다.

이 전환은 역시 유클리드의 원론 (책 I, 제안 48)에 보입니다:

"만약 삼각형에서 변 중 하나에 대한 제곱이 삼각형의 남아있는 두 변에 대한 제곱의 합과 같으면, 삼각형의 남아있는 두 변에 포함된 각도는 직각입니다."

그것은 코사인의 법칙(law of cosines)을 사용, 또는 다음 처럼 입증될 수 있습니다:

ABC를 변 길이 a, b, and c를 갖는 삼각형, a² + b² = c²으로 놓습니다. 직각을 포함하는 길이 a와 b의 변을 갖는 두 번째 삼각형을 구성합니다. 피타고라스 정리에 의해, 이 삼각형의 빗변의 길이는 길이 c = √a² + b², 첫 번째 삼각형의 빗변과 같은 길이입니다. 두 삼각형의 변은 같은 길이 a, b 및 c이므로, 삼각형은 합동(congruent)이고 같은 각도를 가져야 합니다. 그러므로, 원래 삼각형에서 길이 a와 b의 변 사이의 각도는 직각입니다.

위의 전환의 증명은 피타고라스 정리 자체를 사용합니다. 전환은 피타고라스 정리 가정없이 역시 입증될 수 있습니다.

피타고라스 정리의 전환의 따름정리(corollary)는 다음과 같이 삼각형이 직각, 둔각, 예각인지 여부를 결정하는 간단한 방법입니다. c를 세 변 중 가장 긴 것으로 선택하고 a + b > c로 놓습니다 (그렇지 않으면 삼각형 부등식(triangle inequality)에 따라 삼각형을 만들 수 없습니다). 다음 명제가 적용됩니다:

• 만약 a² + b² = c²이면, 삼각형은 직각입니다(triangle is right).
• 만약 a² + b² > c²이면, 삼각형은 예각입니다(triangle is acute).
• 만약 a² + b² < c²이면, 사각형은 둔각입니다(triangle is obtuse).

에츠허르 데이크스트라(Edsger W. Dijkstra)는 이 언에서 예각, 직각, 및 둔각 삼각형에 대한 이 제안을 말해 왔습니다:

sgn(α + β − γ) = sgn(a² + b² − c²),

여기서 α는 변 a의 반대편 각도, β는 변 b의 반대편 각도, γ는 변 c의 반대편 각도이고, sgn는 부호 함수(sign function)입니다.

Consequences and uses of the theorem

Pythagorean triples

Main article: Pythagorean triple

피타고라스 세-쌍은 a² + b² = c²를 만족하는 세 양의 정수 a, b, 및 c를 가집니다. 다시 말해서, 피타고라스 세-쌍은 모든 세 변이 정수 길이를 가지는 직각 삼각형의 변의 길이를 나타냅니다. 그러한 세-쌍은 공통적으로 (a, b, c)로 쓰입니다. 일부 잘 알려진 예제는 (3, 4, 5)와 (5, 12, 13)입니다.

원시 피타고라스 세-쌍은 a, b 및 c가 서로소(coprime) (a, b 및 c의 최대 공통 약수(greatest common divisor)가 1입니다)인 세-쌍입니다.

다음은 100보다 작은 값을 갖는 원시 피타고라스 세-쌍의 목록입니다:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Reciprocal Pythagorean theorem

변 $a,b,c$와 고도(altitude) $d$ (빗변(hypotenuse) $c$에 수직이고 직각으로부터 선분)을 갖는 직각 삼각형(right triangle)이 주어집니다. 피타고라스 정리는 다음을 가집니다:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

반면에 역 피타고라스 정리(reciprocal Pythagorean theorem) 또는 상하 반전 피타고라스 정리(upside down Pythagorean theorem)는 두 다리(legs) $a,b$와 고도 $d$를 관련시킵니다:

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}$

그 방정식은 다음으로 변환될 수 있습니다:

${\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}$

여기서 임의의 비-영 실수(real) $x,y,z$에 대해 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$입니다. 만약 $a,b,d$가 정수(integer)가 되면, 가장-작은 해 $a>b>d$는 그런-다음 가장-작은 피타고라스 세-쌍 $3,4,5$를 사용하여 다음입니다:

${\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}$

역 피타고라스 정리는 광학 방정식(optic equation)의 특별한 경우입니다:

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}$

여기서 분모는 제곱이고 그의 변 $p,q,r$이 제곱 숫자인 칠각 삼각형(heptagonal triangle)에 대해 역시 그렇습니다.

Incommensurable lengths

The spiral of Theodorus: A construction for line segments with lengths whose ratios are the square root of a positive integer

피타고라스 정리의 결과 중 하나는 그의 길이가 비-정수-비율-가능(incommensurable) (따라서 그것의 비율이 유리수(rational number)가 아닌) 선분이 직선자와 컴퍼스(straightedge and compass)를 사용하여 구성될 수 있다는 것입니다. 피타고라스의 정리는 비-정수-비율-가능 길이의 구성을 가능하게 하는데 왜냐하면 삼각형의 빗변이 제곱근(square root) 연산에 의해 변과 관련되기 때문입니다.

오른쪽 그림은 그의 길이가 임의의 양의 정수의 제곱근 비율에 있는 선분을 구성하는 방법을 보여줍니다. 각 삼각형은 측정에 대해 선택된 단위인 변 ("1"로 레이블)을 가집니다. 각 직각 삼각형에서, 피타고라스의 정리는 이 단위의 관점에서 빗변의 길이를 설정합니다. 만약 빗변이 완전 제곱이 아닌 양의 정수의 제곱근에 의해 단위와 관련이 있으면, √2, √3, √5와 같이 단위와 비-정수-비율-가능 길이의 실현입니다. 자세한 내용에 대해, 이차 무리수(Quadratic irrational)를 참조하십시오.

비-정수-비율-가능 길이는 피타고라스 학교의 오직 정수 개념과 충돌했습니다. 피타고라스 학교는 공통 부분-단위의 정수 배수를 비교하여 비율을 다루었습니다. 한 전설에 따르면, 메타폰툼의 히파주스(Hippasus of Metapontum) (기원전 ca. 470년)는 무리수 또는 비-정수-비율-가능 것의 존재를 알리기 위해 바다에서 익사했습니다.

Complex numbers

The absolute value of a complex number z is the distance r from z to the origin

임의의 복소수(complex number)에 대해

$z=x+iy,$

절댓값(absolute value) 또는 모듈러스는 다음에 의해 제공됩니다:

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

따라서 세 양, r, x 및 y는 피타고라스 방정식에 의해 관련됩니다:

$r^{2}=x^{2}+y^{2}.$

r이 양수 또는 영으로 정의되지만 x와 y는 양수일뿐만 아니라 음수일 수 있음을 주목하십시오. 기하학적으로, r은 복소 평면(complex plane)에서 영 또는 원점 O로부터 z까지의 거리입니다.

이것은 z₁과 z₂가 말하는 두 점 사이의 거리를 찾기 위해 일반화될 수 있습니다. 요구된 거리는 다음에 의해 제공됩니다:

$|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},$

따라서 다시 그들은 피타고라스 방정식의 버전에 의해 관련됩니다:

$|z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.$

Euclidean distance

Further information: Euclidean distance

데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서 거리 공식은 피타고라스 정리에서 유도됩니다. 만약 (x₁, y₁) 및 (x₂, y₂)가 평면에서 점이면, 그들 사이의 거리는, 역시 유클리드 거리(Euclidean distance)라고 불리며, 다음에 의해 제공됩니다:

${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$

보다 일반적으로, 유클리드 n-공간(Euclidean n-space)에서, 두 점, $A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ and $B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ 사이의 유클리드 거리는, 피타고라스 정리의 일반화에 의해, 다음으로 정의됩니다:

${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

만약 유클리드 거리 대신에, 이 버전의 제곱 (제곱된 유클리드 거리(squared Euclidean distance), 또는 SED)이 사용되며, 결과 방정식은 제곱근을 피하고 단순히 좌표의 SED의 합입니다:

$(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.$

제곱된 형식은 두 점의 매끄러우며 볼록 함수(convex function)이고, 최적화 이론(optimization theory) 및 통계학(statistics)에서 널리 사용되며, 최소 제곱(least squares)의 기초를 형성합니다. 정보 기하학(information geometry)에서, 발산(divergences)으로 알려진, 통계적 거리(statistical distance)의 보다 일반적인 개념이 사용되고, 피타고라스 항등식은 브레그만 발산(Bregman divergence)으로 일반화될 수 있으며, 비-선형 문제를 풀기 위해 사용되기 위한 일반적인 형식의 최소 제곱(least squares)을 허용합니다.

Euclidean distance in other coordinate systems

만약 데카르트 좌표가 사용되지 않으면, 예를 들어, 만약 극 좌표(polar coordinates)가 이 차원에서 사용되면, 또는 보다 일반적인 용어에서, 만약 곡선 좌표(Curvilinear coordinates)가 사용되면, 유클리드 거리를 표현하는 공식은 피타고라스 정리보다 더 복잡하지만, 그것으로부터 유도될 수 있습니다. 두 점 사이의 일직선 거리가 곡선 좌표로 변환되는 전형적인 예제는 물리학에서 르장드르 다항식의 응용(applications of Legendre polynomials in physics)에서 찾아질 수 있습니다. 그 공식은 곡선 좌표를 데카르트 좌표와 관련된 방정식과 함께 피타고라스의 정리를 사용함으로써 발견될 수 있습니다. 예를 들어, 극 좌표 (r, θ)는 다음과 같이 도입될 수 있습니다:

$x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .$

그런-다음 위치 (r₁, θ₁) 및 (r₂, θ₂)를 갖는 두 점은 거리 s에 의해 분리됩니다:

$s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.$

제곱을 수행하고 항을 결합하면, 데카르트 좌표에서 거리에 대해 피타고라스 공식은 극 좌표에서 다음과 같이 삼각 곱을-합으로 공식(product-to-sum formulas)을 사용하여 분리를 생성합니다:

${\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}$

이 공식은, 때때로 일반화된 피타고라스 정리라고 불리는, 코사인의 법칙(law of cosines)입니다. 이 결과로부터, 두 위치에 대한 반지름이 직각에 있는 경우에 대해, 둘러싸인 각도 Δθ = π/2와 피타고라스의 정리에 해당하는 형식이 다시 나타납니다: $s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}$. 직각 삼각형에 유효한, 피타고라스 정리는, 따라서 임의의 삼각형에 유효한, 보다 일반적인 코사인 법칙의 특별한 경우입니다.

Pythagorean trigonometric identity

Main article: Pythagorean trigonometric identity

Similar right triangles showing sine and cosine of angle θ

변 a, b 및 빗변 c를 갖는 직각 삼각형에서, 삼각법(trigonometry)은 변 a와 빗변 사이의 각도 θ의 사인(sine)과 코사인(cosine)을 다음과 같이 결정합니다:

$\sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.$

이것으로부터 그것은 따릅니다:

${\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,$

여기서 마지막 단계는 피타고라스의 정리를 적용합니다. 사인과 코사인의 이 관계는 때때로 기본적인 피타고라스 삼각법 항등식이라고 불립니다. 닮은 삼각형에서, 변의 비율은 삼각형의 크기에 관계없이 같은 것이고, 각도에 따라 다릅니다. 결론적으로, 그림에서, 단위 크기의 빗변을 갖는 삼각형은 빗변 단위에서 크기 사인 θ의 반대쪽 변과 크기 코사인 θ의 인접 변을 가집니다.

Relation to the cross product

The area of a parallelogram as a cross product; vectors a and b identify a plane and a × b is normal to this plane.

피타고라스 정리는 비슷한 방식으로 교차 곱(cross product)과 점 곱(dot product)을 관련시킵니다:

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.$

이것은 교차 곱과 점 곱의 정의에서 다음처럼 알 수 있습니다:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}$

여기서 n은 a와 b 둘 다에 수직인 단위 벡터입니다. 관계는 이들 정의와 피타고라스 삼각법 항등식을 따릅니다.

이것은 교차 곱을 정의하기 위해 역시 사용될 수 있습니다. 다음 방정식을 다시-정렬함으로써 획득됩니다:

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

이것은 교차 곱에 대한 조건으로 교려될 수 있고 따라서 예를 들어 칠 차원(seven dimensions)에서 그것의 정의의 일부입니다.

Generalizations

Similar figures on the three sides

세 변에 대한 정사각형의 넓이를 넘어 닮은 그림(similar figures)으로 확장되는 피타고라스 정리의 일반화는 기원전 5세기에 키오스의 히포크라테스(Hippocrates of Chios)에 의해 알려졌었고, 유클리드(Euclid)에 의해 그의 원론(Elements)에 포함되었습니다:

만약 우리가 직각 삼각형의 변에 대응하는 변을 갖는 닮은 그림을 세우면 (유클리드 기하학(Euclidean geometry)을 참조하십시오), 두 개의 더 작은 변에 대한 정사각형의 넓이의 합은 더 큰 변에 대한 정사각형의 넓이와 같습니다.

이 확장은 원래 삼각형의 변이 세 개의 합동 그림의 해당하는 변이라고 가정합니다 (따라서 닮은 그림 사이의 변의 공통적인 비율은 a:b:c입니다). 유클리드의 증명은 볼록 다각형에 오직 적용되지만, 그 정리는 오목 다각형에 적용되고 심지어 곡선 경계를 가지는 닮은 도형에 적용됩니다 (그러나 여전히 도형의 경계의 일부가 원래 삼각형의 변입니다).

이 일반화에 숨은 기본 아이디어는 평면 그림의 넓이가 임의의 선형 차원의 제곱에 비례(proportional)하고, 특히 임의의 변의 길이의 제곱에 비례한다는 것입니다. 따라서, 만약 넓이 A, B 및 C를 갖는 닮은 그림이 해당하는 길이 a, b 및 c의 변에 세워지면, 다음입니다:

${\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,$

$\Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.$

그러나, 피타고라스 정리, a² + b² = c²에 의해, 따라서 A + B = C입니다.

반대로, 만약 우리가 피타고라스 정리 사용없이 세 개의 닮은 그림에 대해 A + B = C임을 입증할 수 있으면, 우리는 정리의 증명을 구성하기 위해 거꾸로 작업할 수 있습니다. 예를 들어, 시작 중심 삼각형은 복제되고 그것의 빗변에 대한 삼각형 C로 사용될 수 있고, 두 닮은 직각 삼각형 (A와 B )는 나머지 두 변에 구성될 수 있으며, 중앙 삼각형을 그것의 고도(altitude)로 나눔으로써 형성될 수 있습니다. 그러므로 두 더 작은 삼각형의 넓이의 합은 세 번째 것이며, 따라서 A + B = C이고 위의 논리를 반대로-하면 피타고라스 정리 a² + b² = c²로 이어집니다. (재-배열없이 절개에 의한 아인슈타인의 증명(Einstein's proof by dissection without rearrangement)을 역시 참조하십시오)

Generalization for similar triangles, green area A + B = blue area C

Pythagoras's theorem using similar right triangles

Generalization for regular pentagons

Law of cosines

The separation s of two points (r₁, θ₁) and (r₂, θ₂) in polar coordinates is given by the law of cosines. Interior angle Δθ = θ₁−θ₂.

Main article: Law of cosines

피타고라스 정리는 임의의 삼각형에서 변의 길이를 관련시키는 보다 일반적인 정리, 코사인의 법칙의 특수한 경우입니다:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},$

여기서 $\theta$는 변 $a$와 $b$ 사이의 각도입니다.

$\theta$가 ${\frac {\pi }{2}}$ 라디안 또는 90°일 때, $\cos {\theta }=0$이고, 그 공식은 피타고라스 정리로 줄어듭니다.

Arbitrary triangle

Generalization of Pythagoras's theorem by Tâbit ibn Qorra. Lower panel: reflection of triangle CAD (top) to form triangle DAC, similar to triangle ABC (top).

변 a, b, c의 일반적인 삼각형의 임의의 선택된 각도에서, 그것의 밑변 θ에서 같은 각도가 선택된 각도와 같음을 만족하는 이등변 삼각형을 새깁니다. 선택된 각도 θ가 c로 이름-지은 변의 반대편이라고 가정합니다. 이등변 삼각형을 새기면 변 b의 반대편 각도 θ를 갖고 c를 따라 변 r을 갖는 삼각형 CAD를 형성합니다. 두 번째 삼각형은, 그림에서 보인 것처럼, 변 a 반대편 각도 θ를 갖고 c를 따라 길이 s를 갖는 변이 형성됩니다. 타빗 이븐 쿠라(Thābit ibn Qurra)는 세 삼각형의 변이 다음과 같이 관련되어 있다고 말했습니다:

$a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .$

각도 θ가 π/2에 접근할 때, 이등변 삼각형의 밑변은 좁아지고, 길이 r과 s가 점점 덜 겹칩니다. θ = π/2일 때, ADB는 직각 삼각형, r + s = c가 되고, 원래의 피타고라스 정리가 다시-얻습니다.

한 가지 증명은 삼각형 ABC가 삼각형 CAD와 같은 각도를 갖지만, 반대 순서에 있음을 관찰합니다. (두 삼각형은 꼭짓점 B에서 각도를 공유하고, 둘 다 각도 θ를 포함하고, 따라서 삼각형 공준(triangle postulate)에 의해 같은 세 번째 각도를 역시 가집니다.) 결과적으로, ABC는 CAD의 반사, 하단 패널에서 삼각형 DAC와 닮았습니다. θ에 인접하고 반대편 변의 비율을 취하면,

${\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .$

마찬가지로, 다른 삼각형의 반사에 대해,

${\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .$

분수를 제거(Clearing fractions)하고 이들 두 관계를 더하면:

$cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,$

이것은 요구된 결과입니다.

그 정리는 만약 각도 $\theta$가 둔각이므로 길이 r과 s가 비-겹침이면 유효하게 남습니다.

General triangles using parallelograms

Generalization for arbitrary triangles,
green area = blue area

Construction for proof of parallelogram generalization

파푸스의 넓이 정리(Pappus's area theorem)는, 정사각형의 자리에 세 변에 대한 평행-사변형을 사용하여, 직각 삼각형이 아닌 삼각형에 적용되는 뒤따른 일반화입니다 (정사각형은 물론 특별한 경우입니다). 위쪽 그림은 부등변의 삼각형에 대해, 가장 긴 변에 대한 평행사변형 넓이가 다른 두 변에 대한 평행사변형의 넓이의 합이라는 것을 보여주며, 긴 변에 대한 평행사변형이 표시된대로 구성되는 조건으로 합니다 (화살표로 표시된 치수는 같고, 바닥 평행사변형의 변을 결정합니다). 정사각형을 평행사변형으로 이런 대체는 원래 피타고라스의 정리와 분명한 유사성을 지니고, 기원후 4년에 알렉산드리아의 파푸스(Pappus of Alexandria)에 의한 일반화로 여겨졌습니다.

아래쪽 그림은 증명의 요소를 보여줍니다. 그림의 왼쪽 변에 초점을 맞춥니다. 왼쪽 녹색 평행사변형은 바닥 평행사변형의 왼쪽, 파란색 부분과 같은 넓이를 가지는데, 왜냐하면 둘 다는 같은 밑변 b와 높이 h를 가지기 때문입니다. 어쨌든, 왼쪽 녹색 평행사변형은 위쪽 그림의 왼쪽 녹색 평행사변형과 같은 면적을 가지는데, 왜냐하면 그들은 같은 밑변 (삼각형의 위의 왼쪽 변)과 삼각형의 해당 변에 수직인 같은 높이를 가지기 때문입니다. 그림의 오른쪽 변에 대해 논증을 반복하면, 바닥 평행사변형은 두 녹색 평행사변형의 합과 같은 넓이를 가집니다.

Solid geometry

Main article: Solid geometry

Pythagoras's theorem in three dimensions relates the diagonal AD to the three sides.

A tetrahedron with outward facing right-angle corner

입체 기하학의 관점에서, 피타고라스의 정리는 다음과 같이 삼차원에 적용될 수 있습니다. 그림에 표시된 것처럼 직사각형 입체를 생각해 보십시오. 대각선 BD의 길이는 피타고라스 정리에서 다음과 같이 찾아질 수 있습니다:

${\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,$

여기서 읻르 세 변은 직각 삼각형을 형성합니다. 수평 대각선 BD와 수직 가장자리 AB를 사용하여, 대각선 AD의 길이는 그런-다음 피타고라스의 정리의 두 번째 적용에 의해 다음과 같이 구해집니다:

${\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,$

또는, 그것을 모두 한 단계에서 행하여:

${\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .$

이 결과는 직교 성분 {v_k} (세 개의 서로 수직인 변)의 관점에서 벡터 v (대각선 AD)의 크기에 대해 삼-차원 표현입니다:

$\|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.$

이런 한-단계 공식은 피타고라스 정리를 더 높은 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있습니다. 어쨌든, 이 결과는 원래의 피타고라스 정리를 일련의 직교 평면에서 연속된 직각 삼각형에 정말로 단지 반복적으로 적용한 것입니다.

삼-차원에 대한 피타고라스 정리의 실질적인 일반화는 장 폴 드 가 드 말브(Jean Paul de Gua de Malves)의 이름을 따서 지은 드 가의 정리(de Gua's theorem)입니다: 만약 사면체(tetrahedron)가 (정육면체(cube) 가장자리와 같은) 직각 가장자리를 가지면, 직각 가장자리 반대편 면의 넓이의 제곱은 다른 세 면의 넓이의 제곱의 합입니다. 이 결과는 "n-차원 피타고라스 정리"에서와 같이 일반화될 수 있습니다:

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$를 ℝⁿ에서 직교 벡터로 놓습니다. 꼭짓점 $0,x_{1},\ldots ,x_{n}$을 갖는 n-차원 심플렉스를 생각해 보십시오. (원점을 포함하지 않는 꼭짓점 $x_{1},\ldots ,x_{n}$을 갖는 (n − 1)-차원 심플렉스를 S의 "빗변"으로 생각하고 S의 남아있는 (n − 1)-차원 면을 그것의 "다리"로 생각해 보십시오.) 그런-다음 S의 빗변의 부피의 제곱은 n 다리의 부피의 제곱의 합입니다.

이 명제는 그림에서 사면체에 의해 삼-차원으로 묘사됩니다. "빗변"은 그림의 뒤에서 사면체 밑면이고, "다리"는 앞쪽에서 꼭짓점으로부터 나오는 세 면입니다. 꼭짓점으로부터 밑면의 깊이가 증가하면, "다리"의 넓이가 증가하지만, 밑면의 넓이는 고정됩니다. 그 정리는 이 깊이가 직각 꼭짓점을 생성하는 값에 있을 때, 피타고라스 정리의 일반화가 적용된다는 것을 제안합니다. 다른 표현으로:

n-직사각형 n-차원 심플렉스가 주어지면, 직각 꼭짓점에 반대편의 패싯(facet)의 (n − 1)-컨텐츠의 제곱은 남아있는 패싯의 (n − 1)-콘텐츠의 제곱의 합과 같을 것입니다.

Inner product spaces

See also: Hilbert space

Vectors involved in the parallelogram law

피타고라스 정리는 안의 곱 공간(inner product space)으로 일반화 될 수 있으며, 이것은 익숙한 2-차원 및 3-차원 유클리드 공간(Euclidean spaces)의 일반화입니다. 예를 들어, 함수(function)는 함수형 해석학(functional analysis)에서 처럼, 안의 곱 공간에서 무한하게 많은 성분을 갖는 벡터(vector)로 여길 수 있습니다.

안의 곱 공간에서, 수직(perpendicular)성의 개념은 직교(orthogonal)성의 개념으로 대체됩니다: 두 벡터 v와 w는 만약 그들의 안의 곱 $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$이 0이면 직교입니다. 안의 곱(inner product)은 벡터의 점 곱(dot product)을 일반화한 것입니다. 점 곱은 표준 안의 곱 또는 유클리드 안의 곱이라고 불립니다. 어쨌든, 다른 안의 곱이 가능합니다.

길이의 개념은, 다음으로 정의된, 벡터 v의 노름(norm) ||v||의 개념에 의해 대체됩니다:

$\lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.$

안의-곱 공간에서, 피타고라스 정리는 임의의 두 직교 벡터 v와 w에 대해 우리가 다음을 가짐을 말합니다:

$\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.$

여기서 벡터 v와 w는 벡터 합(vector sum) v + w에 의해 주어진 빗변을 가진 직각 삼각형의 변과 유사합니다. 피타고라스 정리의 이 형식은 안의 곱의 속성(properties of the inner product)의 결과입니다:

$\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \ =\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},$

여기서 교차 항의 안의 곱은 직교성때문에 영입니다.

안의 곱 공간에서 피타고라스 정리를 비-직교 벡터로의 뒤따른 일반화는 평행사변형 법칙(parallelogram law)입니다:

$2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,$

이것은 평행사변형의 변의 길이의 제곱의 두 배 합은 대각선의 길이의 제곱의 합임을 말합니다. 이 상등을 만족시키는 임의의 노름은 안의 곱에 해당하는 입소 팍토(ipso facto) 노름입니다.

피타고라스 항등식은 둘 이상의 직교 벡터의 합으로 확장될 수 있습니다. 만약 v₁, v₂, ..., v_n가 안의 곱 공간에서 쌍별-직교 벡터이면, 이들 벡터의 연속 쌍에 피타고라스 정리의 적용은 (입체 기하학(solid geometry)에 대한 섹션에서 3-차원에 대해 설명된 것처럼) 다음 방정식을 초래합니다:

$\left\|\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}$

Sets of m-dimensional objects in n-dimensional space

피타고라스 정리의 또 다른 일반화는 차원의 임의의 숫자에서 르베그-측정가능(Lebesgue-measurable) 대상의 집합에 적용됩니다. 구체적으로, n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 하나 이상의 평행한 m-차원 플랫(flats)에서 대상의 m-차원 집합의 측정의 제곱은 대상(들)을 m-차원 좌표 부분-공간의 직교(orthogonal) 투영의 측정의 제곱의 합과 같습니다.

수학적 항에서:

$\mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}$

여기서:

• $\mu _{m}$은 m-차원 (일 차원에서 길이, 이 차원에서 넓이, 삼 차원에서 부피, 등.)에서 측정입니다.
• $s$는 n-차원 유클리드 공간에서 일 이상의 평행한 m-차원 플랫에서 일 이상의 비-겹치는 m-차원 대상의 집합입니다.
• $\mu _{ms}$는 m-차원 대상의 집합의 전체 측정 (합)입니다.
• $p$는 직교 좌표 부분-공간 위로의 원래 집합의 m-차원 투영을 나타냅니다.
• $\mu _{mp_{i}}$는 m-차원 좌표 부분-공간 $i$ 위로의 m-차원 집합 투영의 측정입니다. 대상 투영이 좌표 부분-공간 위에 겹칠 수 있기 때문에, 집합에서 각 대상 투영의 측정이 개별적으로 계산되어야 하며, 그런-다음 모든 투영의 측정이 주어진 좌표 부분-공간 위에 투영의 집합에 대해 전체 측정을 제공하기 위해 함께 더합니다.
• $x$는 m-차원 대상이 투영되는 n-차원 공간 (Rⁿ)에서 직교하는, m-차원 좌표 부분공간의 숫자입니다 (m ≤ n):

$x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}$

Non-Euclidean geometry

Main article: Non-Euclidean geometry

See also: Hilbert's axioms

피타고라스 정리는 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 공리에서 파생되었고, 실제로, 피타고라스 정리가 일부 직각 삼각형에 대해 실패했으며, 그런-다음 이 삼각형이 포함된 평면은 유클리드가 될 수 없습니다. 보다 정확하게, 피타고라스 정리는 의미하고, 유클리드의 평행 (다섯 번째) 공준에 의해 암시됩니다. 따라서 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)에서 직각 삼각형은 피타고라스 정리를 만족시키지 않습니다. 예를 들어, 구형 기하학(spherical geometry)에서, 단위 구의 팔분체를 경계짓는 직각 삼각형의 모든 세 변 (말하자면 a, b, 및 c)은 π/2와 같은 길이를 가지고, 모든 그것의 각도는 직각이며, 그것은 피타고라스를 위반하는데, 왜냐하면 $a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}$이기 때문입니다.

여기서 비-유클리드 기하학의 두 경우는 고려됩니다—구형 기하학(spherical geometry) 및 쌍곡형 기하학(hyperbolic plane geometry); 각 경우에서, 비-직각 삼각형에 대해 유클리드 경우에서 처럼, 피타고라스 정리를 대체하는 결과는 적절한 코사인의 법칙을 따릅니다.

어쨌든, 피타고라스 정리는 만약 삼각형이 직각이라는 조건이 각도 중 두 개의 합이 세 번째 것, 말하자면 A+B = C라는 조건으로 대체되면 쌍곡형 기하학과 타원형 기하학에서 참을 유지합니다. 변은 그런-다음 다음과 같이 관련됩니다: 지름 a와 b를 갖는 원의 넓이의 합은 지름 c를 갖는 원의 넓이와 같습니다.

Spherical geometry

Main article: Spherical geometry

Spherical triangle

반지름 R의 구 위에 임의의 직각 삼각형에 대해 (예를 들어, 만약 그림에서 γ가 직각이면), 변 a, b, c와 함께, 변 사이의 관계는 다음 형식을 취합니다:

$\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).$

이 방정식은 모든 구형 삼각형에 적용되는 구형 코사인의 법칙(spherical law of cosines)의 특별한 경우로 유도될 수 있습니다:

$\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .$

코사인 함수에 대해 매클로린 급수(Maclaurin series)를 큰 O 표기법(big O notation)에서 나머지 항을 갖는 점근 전개(asymptotic expansion)로 표현함으로써,

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{ as }}x\to 0\ ,$

반지름 R이 무한대에 접근하고 인수 a/R, b/R, 및 c/R가 영으로 경향일 때, 직각 삼각형의 변 사이의 구형 관계가 피타고라스 정리의 유클리드 형식에 접근함을 알 수 있습니다. 각 코사인에 대해 점근 전개를 직각 삼각형에 대해 구형 관계로 대체하면 다음을 산출합니다:

$1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)=\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]{\text{ as }}R\to \infty \ .$

상수 a⁴, b⁴, 및 c⁴는 큰 O 나머지 항에 흡수되는데 왜냐하면 그들은 반지름 R과 독립이기 때문입니다. 이 점근 관계는 괄호로 묶인 양을 곱하고, 일을 취소하고, −2를 전체에 곱하고, 함께 모든 오차 항을 모음으로써 더욱 단순화될 수 있습니다.

$\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .$

R²를 전체에 곱한 후에, 유클리드 피타고라스 관계 c² = a² + b²은 반지름 R이 무한대로 접근할 때 극한에서 회복됩니다 (왜냐하면 나머지 항이 영으로 경향이기 때문입니다):

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+O\left({\frac {1}{R^{2}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .$

작은 직각 삼각형에 대해 (a, b << R), 코사인은 유효숫자의 손실(loss of significance)을 피하기 위해 제거될 수 있으며, 다음을 제공합니다:

$\sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.$

Hyperbolic geometry

Main article: Hyperbolic geometry

See also: Hyperbolic triangle and Gaussian curvature

Hyperbolic triangle

균등 곡률 −1/R²을 갖는 쌍곡형 공간에서, 다리 a, b, 및 빗변 c를 갖는 직각 삼각형에 대해, 변 사이의 관계는 다음 형식을 취합니다:

$\cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}$

여기서 cosh는 쌍곡형 코사인(hyperbolic cosine)입니다. 이 공식은 모든 쌍곡형 삼각형에 적용되는 쌍곡형 코사인의 법칙(hyperbolic law of cosines)의 특별한 형식입니다:

$\cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,$

여기서 γ는 변 c의 반대편 꼭짓점에서 각도입니다.

쌍곡형 코사인, cosh x ≈ 1 + x²/2에 대해 매클로린 급수(Maclaurin series)를 사용함으로써, 쌍곡형 삼각형이 매우 작아짐에 따라 (즉, a, b, 및 c 모두가 영으로 접근할 때), 직각 삼각형에 대해 쌍곡형 관계는 피타고라스의 정리의 형식에 접근함을 알 수 있습니다.

작은 직각 삼각형 (a, b << R)에 대해, 쌍곡형 코사인은 유효숫자의 손실(loss of significance)을 피하기 위해 제거될 수 있으며, 다음을 제공합니다:

$\sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.$

Very small triangles

임의의 균등 곡률 K (양수, 영, 또는 음수)에 대해, 빗변 c를 갖는 매우 작은 직각 삼각형 (|K|a², |K|b² << 1)에서, 다음임을 알 수 있습니다:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.$

Differential geometry

Main article: Differential geometry

Distance between infinitesimally separated points in Cartesian coordinates (top) and polar coordinates (bottom), as given by Pythagoras's theorem

무한소 수준 위에, 삼-차원 공간에서, 피타고라스의 정리는 두 개의 무한소적으로 분리된 점 사이의 거리를 다음으로 설명합니다:

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

여기서 ds는 거리의 원소이고 (dx, dy, dz)는 두 점을 분리하는 벡터의 성분입니다. 그러한 공간은 유클리드 공간(Euclidean space)이라고 불립니다. 어쨌든, 리만 기하학(Riemannian geometry)에서, (단지 데카르트가 아닌) 일반적인 좌표와 (단지 유클리드가 아닌) 일반적인 공간에 대해 유용한 이 표현의 일반화는 다음 형식을 취합니다:

$ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}$

이것은 메트릭 텐서(metric tensor)라고 불립니다. (때때로, 언어의 남용에 의해, 같은 용어는 계수 g_ij의 집합에 적용됩니다.) 그것은 위치의 함수일 수 있고, 종종 곡선화 공간(curved space)을 설명합니다. 간단한 예제는 곡선 좌표(curvilinear coordinates)에서 표현되는 유클리드 (플랫) 공간입니다. 예를 들어, 극 좌표(polar coordinates)에서:

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .$

History

The Plimpton 322 tablet records Pythagorean triples from Babylonian times.

피타고라스 정리가 여러 곳에서 한 번 발견되었는지, 여러 번 발견되었는지에 대한 논쟁이 있고, 첫 번째 발견의 날짜는 첫 번째 증명의 날짜와 마찬가지로 불확실합니다. 메소포타미아 수학의 역사가들은 피타고라스 규칙은, 그가 태어나기 전, 천년을 넘어서 구 바빌로니아 시대(Old Babylonian period) (기원전 20세기에서 16세기) 동안, 널리 사용되었다고 결론지었습니다. 정리의 역사는 네 부분: 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triples)의 지식, 직각 삼각형(right triangle)의 변 사이에 관계의 지식, 인접한 각도 사이의 관계의 지식, 및 일부 연역적 시스템 내에서 정리의 증명으로 나눌 수 있습니다.

기원전 2000년과 1786년 사이에 쓰인, 중세 왕국(Middle Kingdom) 이집트(Egypt)인 베를린 파피루스 6619(Berlin Papyrus 6619)는 그의 해가 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple) 6:8:10인 문제를 포함하고 있지만, 그 문제는 삼각형을 언급하지 않습니다. 메소포타미아(Mesopotamia)인 태블릿 플림프턴 322(Plimpton 322)는, 함부라비(Hammurabi) 대왕 통치 동안 기원전 1790년과 1750년 사이에 쓰였으며, 피타고라스 세-쌍과 밀접하게 관련된 많은 엔트리를 포함하고 있습니다.

인도(India)에서, 기원전 8세기와 5세기 사이에 다양하게 주어지는 날짜, 부타야나(Baudhayana) 술바 수트라스(Sulba Sutra)는, 아파스탐바(Apastamba) 술바 수트라 (기원전 c. 600)가 그런 것처럼, 이등변(isosceles) 직각 삼각형의 특수한 경우와 일반적인 경우에서 둘 다, 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triples)의 목록과 피타고라스 정리의 명제를 포함합니다. 반 데르 바르던(Van der Waerden)은 이 자료가 "확실히 이전의 전통에 근거한 것"이라고 믿었습니다. 칼 보이어(Carl Boyer)는 술바-수트람(Śulba-sũtram)에서 피타고라스 정리가 고대 메소포타미아인 수학에 의한 영향을 받았을 수 있지만, 이 가능성에 찬성하거나 반대하는 결정적인 증거는 없다고 말합니다.

프로크로스(Proclus)가, 기원후 5세기에 쓰는, 특별한 피타고라스 세-쌍을 생성하기 위한, 두 가지 산술 규칙, "그들 중 하나는 플라톤에 기인, 다른 것은 피타고라스에 기인한다"고 말합니다. 피타고라스(Pythagoras) (c. 570 – c. 495 기원전)에 기인한 규칙은 홀수부터 시작하고 한 단위씩 다른 다리와 빗변을 가진 세-쌍을 생성합니다; 플라톤(Plato) (기원전 428/427 또는 424/423 – 348/347)에 기인한 규칙은 짝수부터 시작하고 두 단위씩 다른 다리와 빗변을 갖는 세-쌍을 생성합니다. 토마스 헬스(Thomas L. Heath) (1861–1940)에 따르면, 피타고라스에 대한 정리의 특정 속성은 그가 살았던 뒤에 5세기로부터 살아남은 그리스 문학에 존재하지 않습니다. 어쨌든, 플루타르코스(Plutarch)와 키케로(Cicero)와 같은 저자가 정리를 피타고라스에 귀속시켰을 때, 그들은 귀속이 널리 알려져 있었고 의심의 여지가 없었음을 시사하는 방식으로 그렇게 했습니다. "이 공식이 개인적으로 피타고라스에 기인하는지 여부에 관계없이, [...] 우리는 그것이 피타고라스 수학의 가장 오래된 시대에 속한다고 안전하게 가정할 수 있습니다." 기원전 300년경, 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에서, 정리의 가장-오래된 현존하는 공리적 증명(axiomatic proof)이 제시됩니다.

Geometric proof of the Pythagorean theorem from the Zhoubi Suanjing.

훨씬 일찍 내용이 알려졌지만, 대략 기원전 1 세기로 추정되는 살아남은 텍스트에서, 중국어(Chinese) 텍스트 주비산경(Zhoubi Suanjing) (周髀算经), (The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven)은 (3, 4, 5) 삼각형에 대해 피타고라스에 대한 추론을 제공합니다—중국에서 그것은 "구고 정리(Zhoubi Suanjing)" (勾股定理)라고 불립니다. 한 왕조(Han Dynasty) (기원전 202에서 기원후 220) 동안, 피타고라스 세-쌍은, 직각 삼각형에 대한 언급과 함께, The Nine Chapters on the Mathematical Art에 나타납니다. 어떤 사람들은 그 정리가 중국(China)에서 처음으로 발생했다고 믿고 있으며, 그곳에서 그것은 대안적으로 "상고정리" (商高定理)로 알려져 있으며, 주공단의 천문학자이자 수학자의 이름을 따서 지어졌으며, 그것의 대부분 구성된 추론이 주비산경에 있었습니다.

See also

• British flag theorem
• At Dulcarnon
• Fermat's Last Theorem
• Inverse Pythagorean theorem
• Kepler triangle
• Linear algebra
• List of triangle topics
• L^p space
• Nonhypotenuse number
• Parallelogram law
• Ptolemy's theorem
• Pythagorean expectation
• Pythagorean tiling
• Rational trigonometry in Pythagoras's theorem

External links

• Pythagorean theorem at ProofWiki

• Euclid, David E. Joyce, ed. (1997) [c. 300 BC]. Elements. Retrieved 2006-08-30. {{cite book}}: |last= has generic name (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link) In HTML with Java-based interactive figures.
• "Pythagorean theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics
• Interactive links:
  • Interactive proof in Java of the Pythagorean theorem
  • Another interactive proof in Java of the Pythagorean theorem
  • Pythagorean theorem with interactive animation
  • Animated, non-algebraic, and user-paced Pythagorean theorem
• Pythagorean theorem water demo on YouTube
• Pythagorean theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)
• Weisstein, Eric W. "Pythagorean theorem". MathWorld.