Cevian

Original article: w:Cevian

기하학(geometry)에서, 체바선(cevian)은 삼각형(triangle)의 꼭짓점(vertex)과 역시 해당 꼭짓점의 반대쪽 변 둘 다를 교차하는 직선(line)입니다. 중앙선(Medians)과 각도 이등분선(angle bisectors)은 체바선의 특별한 경우입니다. 이름 "cevian"은 이탈리아의 수학자 지오바니 체바(Giovanni Ceva)에서 유래했으며, 그는 그것의 이름을 가진 체바선에 대한 잘-알려진 정리를 증명했습니다.

Length

A triangle with a cevian of length d

Stewart's theorem

체바선의 길이는 스튜어트의 정리(Stewart's theorem)에 의해 결정될 수 있습니다: 다이어그램에서, 체바선 길이 d는 다음 공식에 의해 주어집니다:

$\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)$

또는, 덜 공통적으로,

$\,man+dad=bmb+cnc.$

Median

만약 체바선이 중앙선(median) (따라서 변을 이등분함)으로 발생하면, 그것의 길이는 다음 공식에서 결정될 수 있습니다:

$\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})$

또는

$\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}$

왜냐하면

$\,a=2m.$

그러므로 이 의미에서

$d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.$

Angle bisector

만약 체바선이 각도 이등분선(angle bisector)으로 발생하면, 그것의 길이는 다음 공식을 만족시킵니다:

$\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),$

및

$d^{2}+mn=bc$

및

$d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$

여기서 반-둘레(semiperimeter) s = (a+b+c)/2입니다.

길이 a의 변은 비율 b:c로 나뉩니다.

Altitude

만약 체바선이 고도(altitude)로 발생하고 따라서 변에 수직(perpendicular)이면, 그것의 길이는 다음 공식을 만족시킵니다:

$\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}$

및

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},$

여기서 반둘레 s = (a+b+c) / 2입니다.

Ratio properties

Three cevians passing through a common point

세 개의 체바선이 모두 같은 임의적으로 내부 점을 통과함으로써 형성된 길이의 비율의 다양한 속성이 있습니다: 오른쪽에 다이어그램을 참조하면,

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;$ (Ceva's theorem)

${\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};$

${\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;$

${\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.$

이들 마지막 두 속성은 동등한데, 왜냐하면 두 방정식을 합하면 항등식(identity) 1 + 1 + 1 = 3을 제공합니다.

Splitter

삼각형의 스플리터(splitter)는 둘레(perimeter)를 이등분(bisects)하는 체바선입니다. 세 개의 스플리터는 삼각형의 나겔 점(Nagel point)에서 동시에 만납니다.

Area bisectors

삼각형의 넓이 이등분선(area bisectors) 중 3개는 꼭짓점을 반대쪽 변 중간점에 연결하는 그것의 중앙선입니다. 따라서 균등-밀도 삼각형은 원칙적으로 임의의 중앙선을 지지하는 면도에서 균형을 이룹니다.

Angle trisectors

aksdir 삼각형의 각 꼭짓점에서 각도를 삼등분(trisect)하기 위해 두 개의 체바선을 그리면 (3개의 같은 각도로 나누면), 여섯 개의 체바선이 몰리 삼각형(Morley triangle)이라고 불리는 등변 삼각형(equilateral triangle)을 형성하기 위해 쌍으로 교차합니다.

Area of inner triangle formed by cevians

루우쓰의 정리(Routh's theorem)는 주어진 삼각형의 넓이와 각 꼭짓점에서 하나씩 세 개의 체바선의 쌍별 교차에 의해 형성된 삼각형의 넓이의 비율을 결정합니다.

See also

• Mass point geometry
• Menelaus' theorem

References

• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One), Allyn and Bacon
• Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
• Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24 (02), pp. 29–37.