Change of basis

Original article: w:Change of basis

Not to be confused with Change of base.

A linear combination of one basis of vectors (purple) obtains new vectors (red). If they are linearly independent, these form a new basis. The linear combinations relating the first basis to the other extend to a linear transformation, called the change of basis.

A vector represented by two different bases (purple and red arrows).

수학(mathematics)에서, 유한 차원(dimension) n의 벡터 공간(vector space)의 순서화된 기저(ordered basis)는 벡터 공간의 임의의 원소를 좌표(coordinates)라고 불리는 n 스칼라(scalars)의 수열(sequence)인 좌표 벡터(coordinate vector)에 의해 고유하게 나타내는 것을 허용합니다. 만약 두 개의 다른 기저가 고려되면, 일반적으로 한 기저로 벡터 v를 나타내는 좌표 벡터는 다른 기저로 v를 나타내는 좌표 벡터와 다릅니다. 기저의 변경(change of basis)은 한 기저에 관한 좌표의 관점에서 표현된 모든 각 주장을 다른 기저에 관한 좌표의 관점에서 표현된 주장으로 변환하는 것으로 구성됩니다.

그러한 변환은 한 기저에 관한 좌표를 다른 기저에 관한 좌표로 표현하는 기저-의-변경 공식(change-of-basis formula)에서 비롯됩니다. 행렬(matrices)을 사용하여, 이 공식은 작성될 수 있습니다:

$\mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },$

여기서 "old" 및 "new"는 각각 먼저 정의된 기저와 다른 기저를 참조하고, $\mathbf {x} _{\mathrm {old} }$ 및 $\mathbf {x} _{\mathrm {new} }$는 두 기저 위에 같은 벡터의 좌표의 열 벡터(column vectors)이고, $A$는 좌표-의-변경 행렬(change-of-basis matrix)입니다 (역시 전이 행렬(transition matrix)이라고 불림), 이는 열이 이전 기준 위에 새로운 기저 벡터(basis vectors)의 좌표 벡터인 행렬입니다.

이 기사는 주로 유한-차원 벡터 공간을 다룹니다. 어쨌든, 많은 원칙이 역시 무한-차원 벡터 공간에 대해 유효합니다.

Change of basis formula

$B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})$를 필드(field) F에 걸쳐 유한-차원 벡터 공간(finite-dimensional vector space) V의 기저라고 놓습니다.

j = 1, ..., n에 대해, $B_{\mathrm {old} }$에 걸쳐 그것의 좌표 $a_{i,j}$에 의해 벡터 w_j를 정의할 수 있습니다:

$w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.$

다음을

$A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}$

j-번째 열이 w_j의 좌표로 구성된 행렬(matrix)이라고 놓습니다. (여기와 다음에 오는 것에서, 인덱스 i는 항상 A의 행과 $v_{i}$를 참조하고, 인덱스 j는 항상 A의 열과 $w_{j}$를 참조합니다; 그러한 규칙은 명시적 계산에서 오류를 피하는 데 유용합니다.)

$B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n})$를 설정하여, $B_{\mathrm {new} }$가 V의 기저인 것과 행렬 A가 역-가능(invertible), 또는 동등하게 그것이 비-영 행렬식(determinant)을 가진다는 것은 필요충분 조건임을 가집니다. 이 경우에서, A는 기저 $B_{\mathrm {old} }$에서 기저 $B_{\mathrm {new} }$로의 기저-의-변경 행렬(change-of-basis matrix)이라고 말합니다.

벡터 $z\in V$가 주어지면, $(x_{1},\ldots ,x_{n})$를 $B_{\mathrm {old} }$에 걸쳐 $z$의 좌표라고 놓고 $(y_{1},\ldots ,y_{n})$를 $B_{\mathrm {new} }$에 걸쳐 그것의 좌표라고 놓습니다; 즉,

$z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.$

(두 합에 대해 같은 합 인덱스를 사용할 수 있지만, 이전 기저에 대해 인덱스 i와 새로운 기저에 대해 j를 시스템적으로 선택하는 것이 뒤따르는 공식을 더 명확하게 만들고, 증명 및 명시적 계산에서 오류를 피하는 데 도움이 됩니다.)

기저-의-변경 공식(change-of-basis formula)은 새로운 기저에 걸쳐 좌표의 관점에서 이전 기저에 걸쳐 좌표를 표현합니다. 위의 표기법과 함께, 그것은 다음과 같습니다:

$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.$

행렬의 관점에서, 기저의 변경 공식은 다음과 같습니다:

$\mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,$

여기서 $\mathbf {x}$와 $\mathbf {y}$는 각각 $B_{\mathrm {old} }$와 $B_{\mathrm {new} }$에 걸쳐 좌표의 열 벡터입니다.

Proof: 기저-의-변경 행렬의 위 정의를 사용하여, 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}$

$z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}$이기 때문에, 기저-의-변경 공식은 기저에 걸쳐 벡터의 분해의 고유성에서 발생합니다.

Example

유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space) $\mathbb {R} ^{2}$를 생각해 보십시오. 표준 기저(standard basis)는 $v_{1}=(1,0)$와 $v_{2}=(0,1)$ 벡터로 구성됩니다. 만약 각도 t만큼 그것들을 회전시키면, $w_{1}=(\cos t,\sin t)$와 $w_{2}=(-\sin t,\cos t)$에 의해 형성된 새로운 기저를 얻습니다.

따라서, 기저-의-변경 행렬은 ${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}$입니다.

기저-의-변경 공식은 만약 $y_{1},y_{2}$가 벡터 $(x_{1},x_{2})$의 새로운 좌표이면, 다음을 갖는다고 주장합니다:

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.$

즉,

$x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.$

이것은 다음과 같이 씀으로써 확인될 수 있습니다:

${\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}$

In terms of linear maps

통상적으로, 행렬(matrix)은 선형 맵(linear map)을 나타내고, 행렬과 열 벡터의 곱은 좌표가 열 벡터를 형성하는 벡터에 해당하는 선형 맵의 함수 응용(function application)을 나타냅니다. 기저-의-변경 공식은 이 일반적인 원칙의 특정 사례이지만, 이것은 정의와 증명에서 즉시 명확하지는 않습니다.

행렬이 선형 맵을 나타낸다고 말할 때, 암시적으로 암시적 벡터 공간의 기저(bases)를 참조하고, 기저의 선택이 벡터 공간과 Fⁿ 사이의 동형(isomorphism)을 유도한다는 사실을 의미하며, 여기서 F는 스칼라의 필드입니다. 오직 하나의 기저가 각 벡터 공간에 대해 고려될 때, 이 동형을 암시적으로 남겨두고, 동형까지(up to) 작업하는 것이 좋습니다. 여기서 같은 벡터 공간의 여러 기저가 고려되므로, 더 정확한 표현이 필요합니다.

F를 필드(field)라고 놓으며, n-튜플의 집합 $F^{n}$은 덧셈과 스칼라 곱셈이 성분-별로 정의되는 F-벡터 공간입니다. 그것의 표준 기저(standard basis)는 1인 i-번째 원소를 제외하고 모든 성분이 0과 같은 튜플을 i-번째 원소로 가지는 기저입니다.

F-벡터 공간 V의 기저 $B=(v_{1},\ldots ,v_{n})$는 다음에 의해 선형 동형(linear isomorphism) $\phi \colon F^{n}\to V$을 정의합니다:

$\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.$

반대로, 그러한 선형 동형은 $F^{n}$의 표준 기저의 $\phi$에 의한 이미지인 기저를 정의합니다.

$B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})$를 기저의 변경의 "이전 기저"라고 놓고, $\phi _{\mathrm {old} }$를 결합된 동형이라고 놓습니다. 기저-의-변경 행렬 A가 주어지면, 그것을 $F^{n}$의 자기-동형(endomorphism) $\psi _{A}$의 행렬로 고려한다고 놓습니다. 마지막으로, 다음을 정의한다고 놓습니다:

$\phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}$

(여기서 $\circ$ 는 함수 합성(function composition)을 나타냅니다), 그리고

$B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).$

간단한 검증을 통해, $B_{\mathrm {new} }$의 이 정의가 이전 섹션의 정의와 같다는 것을 보여줄 수 있습니다.

이제, 방정식 $\phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}$를 왼쪽에 $\phi _{\mathrm {old} }^{-1}$와 오른쪽에 $\phi _{\mathrm {new} }^{-1}$를 합성함으로써, 다음을 얻습니다:

$\phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.$

따라서, $v\in V$에 대해, 다음을 가집니다:

$\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),$

이는 좌표 대신 선형 맵의 관점에서 표현되는 기저-의-변경 공식입니다.

Function defined on a vector space

벡터 공간을 도메인(domain)으로 가지는 함수(function)는 공통적으로 변수가 함수가 적용되는 벡터의 일부 기저 위에 좌표인 다변수 함수(multivariate function)로 지정됩니다.

기저가 변경될 때, 함수의 표현(expression)이 변경됩니다. 이 변경은 "새로운" 좌표의 관점에서 그것들의 표현에 대해 "이전" 좌표로 대체함으로써 계산될 수 있습니다. 보다 정확하게, 만약 f(x)가 이전 좌표의 관점에서 함수의 표현이고, x = Ay가 기저-의-변경 공식이면, f(Ay)는 새로운 좌표의 관점에서 같은 함수의 표현입니다.

기저-의-변경 공식이 이전 좌표를 새로운 좌표의 관점에서 표현한다는 사실은 부자연스러워 보일 수 있지만, 여기서 행렬 역(matrix inversion)이 필요하지 않으므로 유용해 보입니다.

기저-의-변경 공식에는 선형 함수(linear functions)만 포함되므로, 많은 함수 속성이 기저의 변경에 의해 유지됩니다. 이를 통해 이들 속성을 임의의 특정 기저와 관련되지 않은 변수 벡터의 함수의 속성으로 정의할 수 있습니다. 따라서, 도메인이 벡터 공간이거나 벡터 공간의 부분 집합인 함수는 다음과 같습니다:

• 선형 함수,
• 다항 함수(polynomial function),
• 연속 함수(continuous function),
• 미분가능 함수(differentiable function),
• 매끄러운 함수(smooth function),
• 해석적 함수(analytic function),

만약 어떤 기저에서, 따라서 모든 기준에서 그것을 나타내는 다변수 함수가 같은 속성을 가집니다.

이것은 매니폴드(manifolds)의 이론에서 특히 유용한데, 왜냐하면 이것은 연속, 미분-가능, 매끄러운, 및 해석적 함수의 개념을 매니폴드 위에 정의된 함수로 확장하는 것을 허용하기 때문입니다.

Linear maps

차원 n의 벡터 공간(vector space) W에서 차원 m의 벡터 공간으로의 선형 맵(linear map) T: W → V를 생각해 보십시오. 그것은 V와 W의 "이전" 기저를 m×n 행렬 M에 의해 나타냅니다. 기저의 변경은 V에 대해 m×m 기저-의-변경 행렬 P와 W에 대해 n×n 기저-의-변경 행렬에 의해 정의됩니다.

"새로운" 기저 위에, T의 행렬은 다음과 같습니다:

$P^{-1}MQ.$

이것은 기저-의-변경 공식의 직접적인 결과입니다.

Endomorphisms

자기-사상(Endomorphisms)은 벡터 공간 V에서 자체로의 선형 맵입니다. 기저의 변경에 대해, 이전 섹션의 공식이 공식의 양쪽 변에 같은 기저-의-변경 행렬과 함께 적용됩니다. 즉, 만약 M이 "이전" 기저에 걸쳐 V의 자기사상의 정사각 행렬(square matrix)이고, P가 기저-의-변경 행렬이면, "새로운" 기저 위에 자기-사상의 행렬은 다음과 같습니다:

$P^{-1}MP.$

모든 각 역-가능 행렬(invertible matrix)이 기저-의-변경 행렬로 사용될 수 있으므로, 이것은 두 행렬이 닮은(similar) 것과 그것들이 서로 다른 두 기저에서 같은 자기-사상을 나타내는 것은 필요충분 조건임을 의미합니다.

Bilinear forms

필드(field) F에 걸쳐 벡터 공간 V 위의 쌍선형 형식(bilinear form)은 둘 다의 인수에서 선형(linear)인 함수 V × V → F입니다. 즉, B : V × V → F는 만약 맵 $v\mapsto B(v,w)$과 $v\mapsto B(w,v)$이 모든 각 고정된 $w\in V$에 대해 선형이면 쌍선형입니다.

기저 $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (아래의 것에서 "이전" 기저) 위에 쌍선형 형식 B의 행렬 B는 i-번째 행과 j-번째 열의 엔트리가 B(i, j)인 행렬입니다. 따라서, 만약 v와 w가 두 벡터 v와 w의 좌표의 열 벡터이면, 다음을 가집니다:

$B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,$

여기서 $\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}$는 행렬 v의 전치(transpose)를 나타냅니다.

만약 P가 기저의 변경 행렬이면, 간단한 계산은 새로운 기저 위에 쌍선형 형식의 행렬이 다음임을 보여줍니다:

$P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.$

대칭 쌍선형 형식(symmetric bilinear form)은 V에서 모든 각 v와 w에 대해 $B(v,w)=B(w,v)$를 만족하는 쌍선형 형식 B입니다. 따라서 임의의 기저 위에 B의 행렬은 대칭적(symmetric)입니다. 이것은 대칭 행렬인 것의 속성이 위의 기저-의-변경 공식에 의해 유지되어야 함을 의미합니다. 역시 행렬 곱의 전치가 반대 순서에서 계산된 전치의 곱이라는 점에 주목함으로써 확인될 수 있습니다. 특히,

$(P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,$

그리고 행렬 B가 대칭적이면 이 방정식의 두 구성원은 $P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P$와 같습니다.

만약 바닥 필드 F의 특성(characteristic)이 2가 아니면, 모든 각 대칭 쌍선형 형식에 대해, 그 행렬이 대각선(diagonal)인 기저가 있습니다. 게다가, 대각선 위에 결과 비-영 엔트리는 제곱을 곱한 값까지 정의됩니다. 따라서, 만약 바닥 필드가 실수의 필드 $\mathbb {R}$이면, 이들 비-영 엔트리는 1 또는 –1이 되도록 선택될 수 있습니다. 실베스터의 관성 법칙(Sylvester's law of inertia)은 1과 –1의 숫자가 기저의 변경이 아닌 쌍선형 형식에만 의존한다고 주장하는 정리입니다.

실수에 걸쳐 대칭 쌍선형 형식은 기하학(geometry)과 물리학(physics), 전형적으로 강체의 관성(inertia)과 이차-초곡면(quadrics) 연구에서 자주 접하게 됩니다. 이들 경우에서, 직교정규 기저(orthonormal bases)가 특히 유용합니다; 이것은 일반적으로 직교(orthogonal) 기저-의-변경 행렬, 즉, $P^{\mathsf {T}}=P^{-1}$를 만족하는 행렬을 가진다는 것으로 기저의 변경을 제한하는 것을 선호한다는 것을 의미합니다. 그러한 행렬은 대칭 쌍선형 형식과 같은 대칭 행렬에 의해 표현되는 자기-사상에 대해 기저-의-변경 공식이 같다는 근본적인 속성을 가지고 있습니다. 스펙트럼 정리(spectral theorem)은, 그러한 대칭 행렬이 주어졌을 때, (쌍선형 형식과 자기-사상 둘 다의) 결과 행렬이 대각선 위에 초기 행렬의 고윳값을 갖는 대각선 행렬임을 만족하는 직교 기저의 변경이 있다고 주장합니다. 따라서, 실수에 걸쳐, 만약 자기-사상의 행렬이 대칭적이면 그것은 대각화-가능(diagonalizable)입니다.

See also

• Active and passive transformation
• Covariance and contravariance of vectors
• Integral transform, the continuous analogue of change of basis.

Bibliography

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646

External links

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis, from MIT OpenCourseWare
• Khan Academy Lecture on Change of Basis, from Khan Academy