Inversive geometry

기하학(geometry)에서, 반전 기하학(inversive geometry)은 원이나 직선을 다른 원이나 직선에 매핑하고 교차하는 곡선 사이의 각도를 보존하는 유클리드 평면(Euclidean plane)의 변환, 반전(inversion)에 대한 연구입니다. 기하학에서 많은 어려운 문제는 반전이 적용될 때 훨씬 더 다루기 쉬워집니다. 반전은 Steiner (1824), Quetelet (1825), Bellavitis (1836), Stubbs와 Ingram (1842-3), 및 Kelvin (1845)을 포함하여 동시대에 많은 사람들에 의해 발견된 것으로 보입니다.^[1]

반전의 개념은 고-차원 공간으로 일반화될 수 있습니다.

Inversion in a circle

Inverse of a point

산술에서 숫자를 반전시키는 것은 보통 역수(reciprocal)를 취하는 것을 의미합니다. 기하학에서 밀접하게 관련된 아이디어는 점을 "반전"하는 것입니다. 평면(plane)에서, 중심 O와 반지름 r를 갖는 참조 원 (Ø)에 관한 점 P의 역(inverse)은 점 P'이며, 다음임을 만족하는 O에서 P까지의 반직선 위에 놓입니다:

OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.

이것은 원 반전(circle inversion) 또는 평면 반전(plane inversion)이라고 불립니다. 임의의 점 P (O 이외)를 이미지 P으로 가져가는 반전은 P'도 다시 P로 가져오므로, 같은 반전을 두 번 적용한 결과는 O가 아닌 평면의 모든 점에 대한 항등 변환입니다 (자기-반전). 반전을 인볼루션(involution)으로 만들기 위해, 무한대에서 점(point at infinity), 모든 직선 위에 놓이는 단일 점을 도입하고, 정의에 의해, 반전을 확장하여 중심 O와 무한대에서 이 점을 교환해야 합니다.

정의에 따르면, 참조 원 내부의 임의의 점의 반전은 원 외부에 놓여야 하고, 그 반대도 마찬가지이며, 중심과 무한대에서 점의 위치가 바뀌고, 반면 원 위의 임의의 점은 영향을 받지 않습니다 (반전 아래에서 불변입니다). 요약하면, 점이 중심에 가까울수록 변환이 멀어지고 반대의 경우도 마찬가지입니다.

Compass and straightedge construction

Point outside circle

원 Ø 밖에 있는 점 P의 역 P'를 구성하기 위해:

O (원 Ø의 중심)에서 P로의 선분을 그립니다.
M을 OP의 중간점이라고 놓습니다. (표시되지 않음)
중심 M이 P를 통과하는 원 c를 그립니다. (라벨을 지정하지 않았습니다. 그것은 파란 원입니다)
N와 N'을 Ø와 c가 교차하는 점이라고 놓습니다.
선분 NN'을 그립니다.
P'는 OP와 NN'가 교차하는 곳입니다.

Point inside circle

원 Ø 내부의 점 P'의 역 P를 구성하기 위해:

O (원 Ø의 중심)에서 P'을 통과하는 반직선 r을 그립니다. (라벨을 지정하지 않았습니다, 그것은 수평 직선입니다)
P'를 통과하는 r에 수직인 직선 s을 그립니다. (라벨을 지정하지 않았습니다, 그것은 수직 직선입니다)
N을 Ø와 s가 교차하는 점 중 하나라고 놓습니다.
선분 ON을 그립니다.
N을 통과하는 ON에 수직인 직선 t를 그립니다.
P는 반직선 r과 직선 t가 교차하는 곳입니다.

Dutta's construction

A가 P 내부에 있든 외부에 있든 독립적인 원 P에 관해 A에 대한 역 점 구성이 있습니다.^[2]

중심 O와 원 P의 내부 또는 외부에 있을 수 있는 점 A를 갖는 원 P를 생각해 보십시오.

반직선 OA와 원 P의 교차 점 C를 취합니다.
점 C를 원 P 위의 임의적인 점 B와 연결합니다 (C와 다름).
h를 직선 BC에서 반직선 BA의 반사라고 놓습니다. 그런-다음 h는 점 A'에서 반직선 OC를 자릅니다. A'는 원 P에 관한 A의 역 점입니다.^[2]^{: § 3.2}

Properties

The inverse, with respect to the red circle, of a circle going through O (blue) is a line not going through O (green), and vice versa.
The inverse, with respect to the red circle, of a circle not going through O (blue) is a circle not going through O (green), and vice versa.
Inversion with respect to a circle does not map the center of the circle to the center of its image

원에 관한 평면에서 점 집합의 반전은 이들 점의 역의 집합입니다. 다음 속성은 원 반전을 유용하게 만듭니다.

참조 원의 중심 O를 통과하는 원은 O를 통과하지 않고 O에서 원래 원의 접선에 평행한 직선으로 반전되고, 그 반대도 마찬가지입니다; 반면 O를 통과하는 직선은 자체적으로 반전됩니다 (그러나 점별 불변은 아닙니다).^[3]
O를 통과하지 않는 원은 O를 통과하지 않는 원으로 반전됩니다. 만약 원이 참조 원과 만나면, 이들 불변 교차점도 역 원에 있습니다. 원 (또는 직선)이 반전에 의해 변경되지 않는 것과 그것이 교차 점에서 참조 원과 직교(orthogonal)하는 것은 필요충분 조건입니다.^[4]

추가적인 속성은 다음을 포함합니다:

만약 원 q가 원 k에 관해 역인 두 개의 서로 다른 점 A와 A'를 통과하면, 원 k와 q는 직교입니다.
만약 원 k와 q가 직교이면, k의 중심 O를 통과하고 q와 교차하는 직선은 k에 관해 역 점에서 교차합니다.
O가 원 k의 중심이고, 점 A'와 B'가 k에 관해 A와 B의 역인 삼각형 OAB가 주어지면, 다음과 같습니다:

\angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ and }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.

원 k에 직교하는 두 원 p와 q의 교차 점은 k에 관해 역입니다.
만약 M과 M'이 두 곡선 m과 m'에 있는 원 k에 관한 역 점이고, k에 관해서도 역이면, 점 M과 M'에서 m과 m'에 대한 접선은 직선 MM'에 수직이거나 이 직선으로 밑변 MM'을 갖는 이등변삼각형을 형성합니다.
반전은 각도 측정을 변경하지 않은 상태로 두지만, 방향화된 각도의 방향을 거꾸로 바꿉니다.^[5]

Examples in two dimensions

직선의 반전은 반전의 중심을 포함하는 원입니다; 또는 그것은 중심을 포함하면 직선 자체입니다.
원의 반전은 또 다른 원입니다; 또는 그것은 원래 원이 중심을 포함하면 직선입니다.
포물선의 반전은 카디오이드(cardioid)입니다.
쌍곡선의 반전은 베르누이의 렘니스케이트(lemniscate of Bernoulli)입니다.

Application

반전의 중심을 통과하지 않는 원에 대해, 반전되는 원의 중심과 반전 아래에서 그 이미지의 중심은 참조 원의 중심과 공선형(collinear)에 있습니다. 이 사실은 삼각형의 내접 삼각형(intouch triangle)의 오일러 직선(Euler line)이 OI 직선과 일치함을 입증하기 위해 사용될 수 있습니다. 증명은 대략 아래와 같습니다:

삼각형 ABC의 내원에 관해 반전합니다. 내접 삼각형의 중앙 삼각형(medial triangle)은 삼각형 ABC로 반전되며, 이는 중앙 삼각형의 둘레중심, 즉, 내접 삼각형의 아홉-점 중심과 삼각형 ABC의 내중심과 둘레중심은 공선형(collinear)에 있음을 의미한다.

교차하지 않는 두 개의 원은 동심(concentric) 원으로 반전될 수 있습니다. 그런-다음 반전 거리(inversive distance, 보통 δ로 표시됨)는 두 동심원의 반지름의 비율의 자연 로그(natural logarithm)로 정의됩니다.

게다가, 교차하지 않는 두 개의 원은 역유사의 원(circle of antisimilitude) 위의 한 점을 중심으로 하는 반전의 원을 사용하여 합동(congruent) 원으로 반전될 수 있습니다.

피우찰리어-립킨 린키지(Peaucellier–Lipkin linkage)는 원에서 반전의 기계적 구현입니다. 그것은 선형 운동과 원형 운동 사이의 변환이라는 중요한 문제에 대한 정확한 해를 제공합니다.

Pole and polar

만약 점 R이 점 P의 역이면 점 중 하나를 통과하는 직선 PR에 수직인 직선은 다른 점 (극점)의 극선(polar)입니다.

극점과 극선은 여러 유용한 속성을 가집니다:

만약 점 P가 직선 l 위에 놓이면, 직선 l의 극점 L은 점 P의 극선 p 위에 놓입니다.
만약 점 P가 직선 l을 따라 움직이면, 그것의 극선 p는 직선 l의 극점 L을 중심으로 회전합니다.
만약 두 개의 접선이 극점에서 원까지 그릴 수 있으면, 그것의 극선은 두 접점을 통과합니다.
만약 점이 원 위에 놓이면, 그것의 극선은 이 점을 통과하는 접선입니다.
만약 점 P가 자체의 극선 위에 놓이면, P는 원 위에 있습니다.
각 직선은 정확하게 하나의 극점을 가집니다.

In three dimensions

Inversion of a spheroid (at the red sphere)

원 반전은 3차원에서 구 반전(sphere inversion)으로 일반화될 수 있습니다. 반지름 R을 갖는 점 O를 중심으로 하는 참조 구에 관한 3D에서 점 P의 반전은 $OP\cdot OP^{\prime }=||OP||\cdot ||OP^{\prime }||=R^{2}$ 임을 만족하는 방향 OP를 갖는 반직선 위의 점 P '입니다. 2D 버전과 마찬가지로, 구는 구로 반전되며, 단, 구가 참조 구의 중심 O를 통과하면 그것은 평면으로 반전됩니다. O를 통과하는 임의의 평면은 O에 접하는 구로 반전됩니다. 원, 즉, 구와 할선 평면의 교차점은 원으로 반전되며, 단, 원이 O를 통과하면 그것은 직선으로 반전됩니다. 이것은 할선 평면이 O를 통과할 때 2D의 경우로 축소되지만, 할선 평면이 O를 통과하지 않으면 진정한 3D 현상입니다.

Examples in three dimensions

Sphere

평면 외에 가장 단순한 표면은 구입니다. 첫 번째 그림은 두 개의 직각으로 교차하는 원의 연필과 함께 구의 비-자명한 반전 (구의 중심이 반전의 중심이 아님)을 보여줍니다.

Cylinder, cone, torus

원기둥, 원뿔, 또는 토러스의 반전은 뒤팽 사이클라이드(Dupin cyclide)를 초래합니다.

Spheroid

회전-타원체(spheroid)는 회전의 표면이고 원의 연필 위로 매핑되는 원 연필을 포함합니다 (그림 참조). 회전-타원체의 역 이미지는 차수 4의 표면입니다.

Hyperboloid of one sheet

회전면인 한 판의 쌍곡면체(hyperboloid)는 원의 연필 위로 매핑되는 원의 연필을 포함합니다. 한 판의 쌍곡면체는 원의 연필 위로 매핑되는 두 개의 추가 선 연필을 포함합니다. 그림은 그러한 선 (파란색)과 그 반전을 보여줍니다.

Stereographic projection as the inversion of a sphere

Stereographic projection as an inversion of a sphere

입체 투영(stereographic projection)은 보통 구의 점 $N$ (북극)에서 반대 점 $S$ (남극)의 접 평면 위로 구를 투영합니다. 이 매핑은 구를 접 평면으로 반전시켜 수행할 수 있습니다. 만약 (투영될) 구가 방정식 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z$ 을 가지면 (대안적으로, $x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}$ 으로 씀; 중심 $(0,0,-0.5)$ , 반지름 $0.5$ , 그림애서 녹색), 그것은 단위 구 (빨간색)에서 점 $S=(0,0,-1)$ 의 접 평면 위로 반전에 의해 매핑필 것입니다. 반전의 중심 (점 $N$ )을 통과하는 직선은 자체 위로 매핑됩니다. 그것들은 입체 투영의 투영 직선입니다.

6-sphere coordinates

6-구 좌표(6-sphere coordinates)는 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 반전시킴으로써 구한 3차원 공간의 좌표 시스템입니다.

Axiomatics and generalization

반전 기하학의 토대를 처음으로 고려한 사람 중 하나는 1911년과 1912년에 마리오 피에리(Mario Pieri)였습니다.^[6] 에드워드 캐스너(Edward Kasner)는 "반전 그룹의 불변 이론"에 대한 논문을 썼습니다.^[7]

보다 최근에는 반전 기하학의 수학적 구조(mathematical structure)가 일반화된 원을 "블록"이라고 하는 입사 구조(incidence structure)로 해석되어 왔습니다: 입사 기하학(incidence geometry)에서, 무한대에서 단일 점과 함께 임의의 아핀 평면은 반전 평면(inversive plane)이라고도 알려져 있는 뫼비우스 평면(Möbius plane)을 형성합니다. 무한대에서 점이 모든 직선에 추가됩니다. 이들 뫼비우스 평면은 공리적으로 설명될 수 있고 유한 버전과 무한 버전 모두에 존재합니다.

유클리드 평면에서 나오는 뫼비우스 평면에 대한 모델(model)은 리만 구(Riemann sphere)입니다.

Invariant

4개 점 $x,y,z,w$ 사이의 교차-비율(cross-ratio)은 반전 아래에서 불변입니다. 특히, 만약 O가 반전의 중심이고 $r_{1}$ 과 $r_{2}$ 가 직선 L의 끝까지의 거리이면, 중심 O를 갖는 반전 아래에서 직선 $d$ 의 길이는 $d/(r_{1}r_{2})$ 가 됩니다. 불변은 다음과 같습니다:

I={\frac {|x-y||w-z|}{|x-w||y-z|}}

Relation to Erlangen program

콕서터(Coxeter)에 따르면,^[8] 원에서 반전에 의한 변환은 L. I. Magnus에 의해 1831년에 발명했습니다. 그 이후로 이 매핑은 더 높은 수학으로 가는 길이 되었습니다. 원 반전 맵의 어떤 적용 단계를 통해 변환 기하학(transformation geometry)의 학생은 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)의 특정 모델의 파생물, 펠릭스 클라인(Felix Klein)의 에르랑겐 프로그램(Erlangen program)의 중요성을 곧 인식합니다.

Dilation

동심 원에서 두 반전의 조합은 닮음(similarity), 중심-닮음 변환(homothetic transformation), 또는 원 반지름의 비율에 의해 특징지어지는 팽창을 초래합니다.

x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.

Reciprocation

평면에서 한 점이 복소 켤레(complex conjugate) ${\bar {z}}=x-iy$ 를 갖는 복소수 $z=x+iy$ 로 해석되면, $z$ 의 역수(reciprocal)는 다음과 같습니다:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.

결과적으로, 단위 원에서 반전의 대수적 형식은 $z\mapsto w$ 로 주어지며, 여기서:

w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}

.

역수화(Reciprocation)는 뫼비우스 그룹(Möbius group)의 생성기(generator)로서 변환 이론에서 핵심입니다. 다른 생성기는 평행이동과 회전이며, 둘 다 주변 3-공간에서 물리적 조작을 통해 친숙합니다. (원 반전에 의존하는) 역수화의 도입은 때때로 (유클리드 평면의) 역 기하학으로 식별되는 뫼비우스 기하학의 독특한 본성을 생성하는 것입니다. 어쨌든, 반전 기하학은 원에서 원시 반전을 포함하기 때문에 더 큰 연구입니다 (켤레화와 함께, 역수화로 아직 만들어지지 않음). 반전 기하학은 켤레화(conjugation) 매핑도 포함합니다. 켤레화도 아니고 원에서 반전도 아닌 것은 그것들이 비-등각적이기 때문에 뫼비우스 그룹에 속하지 않습니다 (아래 참조). 뫼비우스 그룹 원소는 전체 평면의 해석적 함수(analytic functions)이고 따라서 반드시 등각적(conformal)입니다.

Transforming circles into circles

복소 평면에서 점 $a$ 를 중심으로 반지름 $r$ 을 갖는 원을 생각해 보십시오:

(z-a)(z-a)^{*}=r^{2}

여기서 일반성의 손실 없이, $a\in \mathbb {R} .$ 반전의 정의를 사용하여

w={\frac {1}{z^{*}}}

$w$ 가 다음 방정식을 따른다는 것을 보여주는 것은 간단합니다:

ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}

그리고 따라서 $w$ 는 중심 ${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ 와 반지름 ${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}}$ 의 원을 나타냅니다.

$a\to r$ 일 때, 원은 허수 축 $w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}$ 에 평행한 직선으로 변환됩니다.

$a\not \in \mathbb {R}$ 와 $aa^{*}\neq r^{2}$ 에 대해, $w$ 에 대한 결과는 다음과 같습니다:

{\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}

이는 $w$ 가 중심 ${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ 과 반지름 ${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$ 의 원을 나타냄을 보여줍니다.

$a^{*}a\to r^{2}$ 일 때, $w$ 에 대한 방정식은 다음이 됩니다:

{\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}

Higher geometry

위에서 언급했듯이, 영, 원점은 원 반전 매핑에서 특별한 고려가 필요합니다. 접근 방식은 ∞ 또는 1/0으로 지정된 무한대에서 점에 인접하는 것입니다. 역수화가 겉보기 연산인 복소수 접근 방식에서, 이 절차는 종종 리만 구(Riemann sphere)라고 불리는 복소 투영 직선(complex projective line)으로 이어집니다. 그것은 Beltrami, Cayley, 및 Klein에 의해 쌍곡선 기하학의 초기 모델을 생성하기 위해 적용된 이 공간과 매핑 그룹의 부분공간과 부분그룹이었습니다. 따라서, 반전 기하학은 Lobachevsky와 Bolyai에 의해 그들의 평면 기하학에서 기원된 아이디어를 포함합니다. 게다가, 펠릭스 클라인(Felix Klein)은 기하학적 현상을 식별하기 위한 이러한 매핑 기능에 압도되어 1872년에 선언문, 에르랑겐 프로그램(Erlangen program)을 발표했습니다. 그 이후로 많은 수학자들은 해당 공간의 매핑 그룹과 함께 공간에 대한 기하학이라는 용어를 예약했습니다. 기하학에서 도형의 중요한 속성은 이 그룹 아래에서 불변인 속성입니다.

예를 들어, Smogorzhevsky는 로바체프스키 기하학(Lobachevskian geometry)을 시작하기 전에 반전 기하학의 몇 가지 정리를 개발했습니다.^[9]

In higher dimensions

실수 n-차원 유클리드 공간에서, 점 $O=(o_{1},...,o_{n})$ 을 중심으로 하는 반지름 $r$ 의 구에서 반전(inversion in the sphere)은 변위 벡터(displacement vector) $P-O$ 의 길이를 반전하고 $r^{2}$ 를 곱함으로써 구한 임의적인 점 $P=(p_{1},...,p_{n})$ 의 맵입니다:

{\begin{aligned}P&\mapsto P'=O+{\frac {r^{2}(P-O)}{\|P-O\|^{2}}},\\[5mu]p_{j}&\mapsto p_{j}'=o_{j}+{\frac {r^{2}(p_{j}-o_{j})}{\sum _{k}(p_{k}-o_{k})^{2}}}.\end{aligned}}

Eⁿ에 있는 초평면(hyperplanes) 또는 초구(hyperspheres)에서 반전에 의한 변환은 팽창, 평행이동, 또는 회전을 생성하기 위해 사용될 수 있습니다. 실제로, 연속적인 반전을 생성하기 위해 사용되는 두 개의 동심 초구는 초구의 중심에 대한 팽창(dilation) 또는 중심-닮음(homothety)을 초래합니다.

두 개의 평행 초평면은 연속적인 반사를 생성하기 위해 사용될 때, 그 결과는 평행이동(translation)입니다. 두 개의 초평면이 (n–2)-플랫에서 교차할 때, 연속적인 반사는 (n–2)-플랫의 모든 각 점이 각 반사와 따라서 합성의 고정된 점(fixed point)이 되는 회전을 생성합니다.

반사, 평행이동, 및 회전의 임의의 조합은 등거리-변환(isometry)이라고 불립니다. 반사, 팽창, 평행이동, 및 회전의 임의의 조합은 닮음(similarity)입니다.

이것들은 모두 등각 맵(conformal maps)이고, 실제로 공간이 3차원 이상을 가지는 곳에서, 반전에 의해 생성된 매핑이 유일한 등각 매핑입니다. 리우빌의 정리(Liouville's theorem)는 등각 기하학(conformal geometry)의 고전적인 정리입니다.

공간에 무한대에서 점(point at infinity)의 추가는 초평면과 초구 사이의 구분을 없앱니다: 더 높은 차원의 반전 기하학은 기본 공간으로 n-구(n-sphere)의 가정된 맥락에서 자주 연구됩니다. 반전 기하학의 변환은 종종 뫼비우스 변환(Möbius transformations)이라고 참조됩니다. 반전 기하학은 n-구의 착색 또는 분할 연구에 적용되어 왔습니다.^[10]

Anticonformal mapping property

원 반전 지도는 반등각이며, 모든 각 점에서 그것은 각도를 유지하고 방향을 뒤집음을 의미합니다 (맵은 만약 그것이 방향화된 각도를 유지하면 등각(conformal)이라고 불립니다). 대수적으로, 맵은 만약 모든 각 점에서 야코비(Jacobian)가 음의 행렬식을 갖는 스칼라 곱하기 직교 행렬(orthogonal matrix)이면 반등각입니다: 2차원에서, 야코비는 모든 각 점에서 스칼라 곱하기 반사여야 합니다. 이것은 만약 J가 야코비 행렬이면, $J\cdot J^{T}=kI$ 와 $\det(J)=-{\sqrt {k}}$ 임을 의미합니다. z_i = x_i/||x||²인 경우에 야코비를 계산하면, 여기서 ||x||² = x₁² + ... + x_n²이며, JJ^T = kI이고, k = 1/||x||⁴를 제공하고, 추가적으로 det(J)는 음수입니다; 따라서 반전 맵은 반등각적입니다.

복소 평면에서, 가장 분명한 원 반전 맵 (즉, 원점을 중심으로 하는 단위 원 사용)은 z에서 1/z로 취하는 복소 역 맵의 복소 켤레입니다. 복소 해석적 역 맵은 등각이고 그 켤레, 원 반전은 반등각입니다. 이 경우에서 호모그래피(homography)는 등각이고 반-호모그래피(anti-homography)는 반등각입니다.