Support (mathematics)

수학(mathematics)에서, 실수-값 함수(function) f의 지원(support)은 영에 매핑되지 않는 원소를 포함하는 도메인(domain)의 부분집합입니다. 만약 f의 도메인이 토폴로지적 공간이면, f의 지원은 대신 영에 매핑되지 않는 모든 점을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합으로 정의됩니다. 이 개념은 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 매우 널리 사용됩니다.

Formulation

f : X → R가 도메인(domain)이 임의적인 집합 X인 실수-값 함수라고 가정합니다. f의 집합-이론적 지원은, supp(f)로 쓰이며, f가 비-영 원소인 X에서 점의 집합입니다:

\operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,|\,f(x)\neq 0\}.

f의 지원은 부분집합의 여집합에서 f가 영이라는 속성을 갖는 X의 가장 작은 부분집합입니다. 만약 X에서 유한한 숫자의 점 x를 제외하고 모두에 대해 f(x) = 0이면, f는 유한 지원(finite support)을 가진다고 말합니다.

만약 집합 X가 추가 구조 (예를 들어, 토폴로지)를 가지면, f의 지원은 f가 그것의 여집합에서 적절한 의미에서 사라짐을 만족하는 적절한 유형의 X의 가장 작은 부분집합으로 유사한 방식으로 정의됩니다. 지원의 개념은 역시 R보다 더 일반적인 집합의 값을 취하는 함수와 측정 또는 분포와 같은 다른 대상으로 자연스러운 방법으로 확장됩니다.

Closed support

가장 공통적인 상황은 X가 토폴로지적 공간(topological space, 예를 들어, 실수 직선 또는 n-차원 유클리드 공간)이고 f : X → R이 연속 실수 (또는 복소수)-값 함수일 때 발생합니다. 이러한 경우에서, f의 지원은 f가 비-영일 때 X의 부분집합의 클로저(closure)로 토폴로지적으로 정의됩니다.^[1]^[2]^[3] 즉,

\operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in X\,|\,f(x)\neq 0\}}}={\overline {f^{-1}\left(\left\{0\right\}^{c}\right)}}.

닫힌 집합의 교집합이 닫혀 있으므로, supp(f)는 f의 집합-이론적 지원을 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합입니다.

예를 들어, 만약 f : R → R가 다음에 의해 정의된 함수이면

f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}

f의 지원은 닫힌 구간 [−1,1]인데, 왜냐하면 f는 열린 구간 (−1,1) 위에 비-영이고 이 집합의 클로저는 [−1,1]이기 때문입니다.

닫힌 지원의 개념은 보통 연속 함수에 적용되지만, 그 정의는 토폴로지적 공간 위에 임의적인 실수 또는 복소-값 함수에 대해 의미가 있고, 일부 저자는 f : X → R (또는 C)가 연속적임을 요구하지 않습니다.^[4]

Compact support

토폴로지적 공간 $X$ 위에 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 함수는 그것들의 닫힌 지원이 $X$ 의 컴팩트(compact) 부분집합인 함수입니다. 만약 $X$ 가 실수 직선, 또는 $n$ -차원 유클리드 공간이면, 함수가 컴팩트 지원을 가지는 것과 그것이 경계진 지원(bounded support)을 가지는 것은 필요충분 조건인데, 왜냐하면 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 부분집합이 컴팩트인 것과 그것이 닫혀 있고 경계진 것은 필요충분 조건이기 때문입니다.

예를 들어, 위에 정의된 함수 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 는 컴팩트 지원 [−1, 1]을 갖는 연속 함수입니다.

컴팩트 지원의 조건은 무한대에서 사라지는(vanishing at infinity) 조건보다 강한 것입니다. 예를 들어, 다음에 의해 정의된 함수 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 가

f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

무한대에서 사라지는데, 왜냐하면 $|x|\rightarrow \infty$ 일 때 $f(x)\rightarrow 0$ 이지만, 그것의 지원 $\mathbb {R}$ 은 컴팩트가 아니기 때문입니다.

유클리드 공간(Euclidean space) 위에 실수-값 컴팩트하게 지원된 매끄러운 함수(smooth functions)는 혹 함수(bump functions)라고 불립니다. Mollifiers는 합성곱(convolution)을 통해 비-매끄러운 (일반화된) 함수를 근사화하는 매끄러운 함수의 수열(sequences)을 생성하기 위한 분포 이론(distribution theory)에서 사용될 수 있으므로 혹 함수의 중요한 특수한 사례입니다.

좋은 경우(good cases)에서, 컴팩트 지원을 갖는 함수는 무한대에서 사라지는 함수의 공간에서 조밀(dense)하지만, 이 속성은 주어진 예제에서 정당화하기 위해 약간의 기술적 작업이 필요합니다. 더 복잡한 예에 대한 직감으로서, 그리고 극한의 언어에서, 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해, 무한대에서 사라지는 실수 직선 $\mathbb {R}$ 위에 임의의 함수 $f$ 는 모든 $x\in X$ 에 대해 다음임을 만족하는 $\mathbb {R}$ 의 적절한 컴팩트 부분집합 $C$ 를 선택함으로써 근사화될 수 있습니다:

|f(x)-I_{C}(x)f(x)|<\varepsilon

여기서 $I_{C}$ 는 $C$ 의 지시 함수(indicator function)입니다. 컴팩트 토폴로지적 공간 위의 모든 각 연속 함수는 컴팩트 공간의 모든 각 닫힌 부분집합이 실제로 컴팩트하기 때문에 컴팩트 지원을 가집니다.

Essential support

만약 X가 보렐 측정 μ (예를 들어 Rⁿ, 또는 르베그 측정을 갖춘 Rⁿ의 르베그 측정-가능 부분집합)를 갖는 토폴로지적 측정 공간이면, 전형적으로 μ-거의 모든 곳에서 같은 함수를 식별합니다. 그 경우에서, 측정-가능 함수 f : X → R의 필수 지원(essential support)은, ess supp(f)로 쓰이며, F 외부에서 μ-거의 모든 곳에서 f = 0임을 만족하는 X의 가장 작은 닫힌 부분집합 F인 것으로 정의됩니다. 동등하게, ess supp(f)는 μ-거의 모든 곳에서 f = 0인 가장 큰 열린 집합의 여집합입니다:^[5]

\operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subset X\,|\,\Omega \,{\text{is open and}}\,f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in}}\,\Omega \right\}.

함수 f의 필수 지원은 측정 μ와 마찬가지로 f에 따라 달라지고, 그것은 닫힌 지원보다 엄격하게 작을 수 있습니다. 예를 들어, 만약 f : [0,1] → R가 무리수일 때 0, 유리수일 때 1인 디리클레 함수(Dirichlet function)이고, [0,1]이 르베그 측정을 갖추고 있으면, f의 지원은 전체 구간 [0,1]이지만, f의 필수 지원은 빈 것인데, 왜냐하면 f는 거의 모든 곳에서 영 함수와 같기 때문입니다.

해석학에서, 두 집합이 다를 때 그것의 닫힌 지원이 아닌 함수의 필수 지원을 사용하기를 거의 항상 원하므로, ess supp(f)는 종종 간단히 supp(f)로 작성되고 지원이라고 참조됩니다.^[5]^[6]

Generalization

만약 M이 영을 포함하는 임의적인 집합이면, 지원 개념은 즉시 함수 f : X→M로 일반화할 수 있습니다. 지원의 개념은 역시 항등 원소가 영의 역할을 가정하는 항등원 (예를 들어, 그룹, 모노이드, 또는 합성 대수(composition algebra))을 갖는 임의의 대수적 구조에 대해 정의될 수 있습니다. 예를 들어, 자연수에서 정수로의 함수의 가족 Z^N은 정수 수열의 셀-수-없는 집합입니다. 부분-가족 { f in Z^N :f has finite support }은 오직 유한하게 많은 비-영 엔트리를 가지는 모든 정수 수열의 셀-수-있는 집합입니다.

유한 지원의 함수는 그룹 링(group rings) 및 자유 아벨 그룹(free abelian groups)과 같은 대수적 구조를 정의하는 데 사용됩니다.^[7]

In probability and measure theory

확률 이론(probability theory)에서, 확률 분포(probability distribution)의 지원은 해당 분포를 가지는 확률 변수의 가능한 값의 집합의 클로저로 느슨하게 생각될 수 있습니다. 어쨌든, 토폴로지적 공간 위가 아닌 시그마 대수(sigma algebra) 위에 정의된 일반적인 분포를 다룰 때 고려해야 할 몇 가지 미묘함이 있습니다.

보다 형식적으로, 만약 $X:\Omega \to \mathbb {R}$ 가 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 위에 확률 변수이면, $X$ 의 지원은 $P(X\in R_{X})=1$ 임을 만족하는 가장 작은 닫힌 집합 $R_{X}\subset \mathbb {R}$ 입니다.

실제로, 이산 확률 변수 $X$ 의 지원은 종종 집합 $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}$ 로 정의됩니다. 그리고 연속 확률 변수 $X$ 의 지원은 집합 $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}$ 으로 정의되며 여기서 $f_{X}(x)$ 는 $X$ 의 확률 밀도 함수(probability density function)입니다.^[8]

지원(support)이라는 단어는 확률 밀도 함수의 가능도(likelihood)의 로그(logarithm)를 참조할 수 있습니다.

Support of a distribution

실수 직선 위에 디랙 델타 함수(Dirac delta function) δ(x)와 같은 분포(distribution)의 지원에 대해 이야기하는 것도 가능합니다. 해당 예제에서, 우리는 점 0을 포함하지 않는 지원을 갖는 매끄러운 함수(smooth functions)인 테스트 함수 F를 고려할 수 있습니다. δ(F) (F에 선형 함수형(linear functional)으로 적용된 분포 δ)는 그러한 함수에 대해 0이므로, 우리는 δ의 지원은 유일하게 {0}임을 말할 수 있습니다. 실수 직선 위의 측정 (확률 측정을 포함)은 분포의 특수한 경우이므로, 우리는 같은 방법으로 측정의 지원에 대해서도 말할 수 있습니다.

f가 분포이고, U가 $\phi$ 의 지원이 U에 포함됨을 만족하는 모든 테스트 함수 $\phi$ 에 대해, $f(\phi )=0$ 임을 만족하는 유클리드 공간에서 열린 집합으로 가정합니다. 그런-다음 f는 U에서 사라진다고 말합니다. 이제, 만약 f가 열린 집합의 임의적인 가족 $U_{\alpha }$ 에서 사라지면, $\bigcup U_{\alpha }$ 에서 지원되는 임의의 테스트 함수 $\phi$ 에 대해, $\phi$ 의 지원의 컴팩트성과 단위-구간의 분할에 기반한 간단한 논증이 마찬가지로 $f(\phi )=0$ 임을 보여줍니다. 그러므로, 우리는 f가 사라지는 가장 큰 열린 집합의 여집합으로 f의 지원을 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 디랙 델타의 지원은 $\{0\}$ 입니다.

Singular support

특히 푸리에 해석(Fourier analysis)에서, 분포의 특이 지원(singular support)을 연구하는 것은 흥미로울 것입니다. 이것은 분포가 매끄러운 함수가 됨에 실패하는 점의 집합으로 직관적인 해석을 가집니다.

예를 들어, 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)의 푸리에 변환(Fourier transform)은 x = 0에서를 제외하고 1/x (함수)로, 상수 인수까지, 고려될 수 있습니다. x = 0은 분명히 특별한 점이지만, 분포의 변환이 특이 지원 {0}을 가진다고 말하는 것이 더 정확합니다: 그것은 0을 포함하는 지원을 갖는 테스트 함수와 관련하여 함수로 정확하게 표현될 수 없습니다. 그것은 코시 주요 값(Cauchy principal value) 부적절한 적분의 응용으로 표현될 수 있습니다.

여러 변수에서 분포에 대해, 특이 지원을 통해 파동 전면 집합(wave front sets)을 정의하고 수학적 해석학(mathematical analysis)의 관점에서 하위헌스의 원리(Huygens' principle)를 이해할 수 있습니다. 특이 지원은 역시 분포를 '곱하려는' 시도와 같은 분포 이론에 특별한 현상을 이해하기 위해 사용될 수 있습니다 (디렉 델타 함수를 제곱하는 것은 실패합니다 – 본질적으로 곱할 분포의 특이 지원은 서로소여야 하기 때문입니다).

Family of supports

뭉치 이론(sheaf theory)에 적합한 토폴로지적 공간(topological space) X 위에 지원의 가족(family of supports)의 추상적 개념이 앙리 카르탕(Henri Cartan)에 의해 정의되었습니다. 푸앵카레 이중성(Poincaré duality)을 컴팩트가 아닌 매니폴드로 확장할 때, '컴팩트 지원' 아이디어는 자연스럽게 이중성의 한쪽에 들어갑니다; 예를 들어 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)를 참조하십시오.

Bredon, Sheaf Theory (2nd edition, 1997)는 이들 정의를 제공합니다. X 위의 닫힌 부분집합의 가족 Φ는 만약 그것이 아래쪽-닫힌(down-closed) 것이고 유한 합집합(finite union) 아래에서 닫혀 있으면 지원의 가족(family of supports)입니다. 그것은 범위(extent)는 Φ에 걸쳐 합집합입니다. 지원의 파라컴팩트화하는 가족은 Φ에서 임의의 Y가, 부분공간 토폴로지(subspace topology)와 함께, 파라컴택트 공간(paracompact space)임을 만족시킵니다; 그리고 이웃(neighbourhood)인 Φ에서 일부 Z를 가집니다. 만약 X가 지역적 컴팩트 공간(locally compact space)이고, 하우스도르프(Hausdorff)를 가정되면, 모든 컴팩트 부분집합(compact subsets)의 가족은 추가적인 조건을 만족시키며, 그것을 파라컴팩트화합니다.

References

^ Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis, 2nd ed. New York: John Wiley. p. 132.
^ Hörmander, Lars (1990). Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag. p. 14.
^ Pascucci, Andrea (2011). PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer-Verlag. p. 678. doi:10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.
^ Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill. p. 38.
^ ^a ^b Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 13. ISBN 978-0821827833.
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[folland-1] Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis, 2nd ed. New York: John Wiley. p. 132.

[hormander-2] Hörmander, Lars (1990). Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag. p. 14.

[Pasc-3] Pascucci, Andrea (2011). PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer-Verlag. p. 678. doi:10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.

[4] Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill. p. 38.

[lieb-5] Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society. p. 13. ISBN 978-0821827833.

[6] In a similar way, one uses the essential supremum of a measurable function instead of its supremum.

[7] Tomasz,, Kaczynski, (2004). Computational homology. Mischaikow, Konstantin Michael,, Mrozek, Marian,. New York: Springer. p. 445. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585.{{cite book}}: CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[8] Taboga, Marco. "Support of a random variable". statlect.com. Retrieved 29 November 2017.

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