Compound interest

복합 이자 (줄여서 복리)는 대출이나 예금의 원리 합(principal sum)에 대한 이자(interest)의 덧셈, 또는 다른 말로, 원리 합 더하기 이자에 대한 이자입니다. 그것은 다음 기간의 이자는 원금에 이전에 누적된 이자를 더한 금액에 대해 적립되도록 이자를 재투자, 또는 대출금을 상환하지 않고 이자를 추가, 또는 차용인에게 지불을 요구한 결과입니다. 복리는 금융(finance)과 경제(economics)의 표준입니다.

복합 이자는 현재 기간의 원리 합에 이전에 누적된 이자를 더하지 않아 복리가 발생하지 않는 단순 이자(simple interest, 줄여서, 단리)와 대조됩니다. 단순 연간 이자율(simple annual interest rate)은 기간당 이자 금액에 연간 기간 수를 곱한 것입니다. 단순 연간 이자율은 명목 이자율(nominal interest rate)이라고도 합니다 (인플레이션에 따라 조정되지 않은 이자율과 혼동하지 마십시오. 같은 이름으로 사용됩니다).

Compounding frequency

복합하는 빈도(compounding frequency)는 정기적으로 누적된 이자가 지급되거나, 자본화 (capitalized, 계정에 입금)되는 연간 (또는 드물게, 또 다른 시간 단위) 횟수입니다. 그 빈도는 연도-별, 반기-별, 분기-별, 월-별, 주-별, 매일, 또는 연속적(continuously)으로 (만기까지 전혀 아님)일 수 있습니다.

예를 들어, 연 이율로 표시된 이자를 포함한 월별 자본화는 복합하는 빈도가 12임, 매월 단위로 측정된 시간 기간을 가짐을 의미합니다.

복합하는 것의 효과는 다음에 따라 다릅니다:

적용되는 명목 이자율 그리고
빈도 이자는 복합됩니다.

Annual equivalent rate

명목율은 다른 복합 빈도를 갖는 대출 사이에 직접 비교될 수 없습니다. 이자-붙는 금융 상품을 비교하기 위해 명목 이자율과 복합 빈도가 모두 필요합니다.

소매 금융 상품을 보다 공정하고 쉽게 비교하도록 소비자를 돕기 위해, 많은 국가에서 금융 기관이 비교 가능한 기준으로 예금 또는 선지급에 대한 연간 복합 이자율을 공개하도록 요구하고 있습니다. 연간 등가 기준 이자율은 다른 시장에서 annual percentage rate (EAPR), annual equivalent rate (AER), effective interest rate, effective annual rate, annual percentage yield, 및 기타 용어로 다양하게 참조될 수 있습니다. 유효 연이율은 1년이 끝날 때까지 지불해야 할 총 누적 이자를 원리 합으로 나눈 값입니다.

보통 이들 율을 정의하는 규칙에는 두 가지 측면이 있습니다:

율은 연간 복합 이자율입니다. 그리고
이자 이외의 비용이 발생할 수 있습니다. 고객에게 부과되는, 및 제품과 직접적인 관련이 있는 수수료 또는 세금의 영향으로 포함될 수 있습니다. 정확히 포함되거나 제외되는 수수료와 세금은 국가에 따라 다르며, 그러한 용어의 사용이 일관되지 않을 수 있고, 현지 관행에 따라 다를 수 있기 때문에 다른 관할권 사이에 비교될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.

Examples

Compound interest of 15% on initial $10,000 investment over 40 years

Annual dividend of 1.5% on initial $10,000 investment
$266,864 in total dividend payments over 40 years
Dividends were not reinvested in this scenario

1,000 브라질 헤알(BRL)이 연간 복합되게 20%를 지불하는 브라질 저축 계좌에 예치됩니다. 1년의 끝에서, 1,000 × 20% = 200 BRL 이자가 계정에 적립됩니다. 계정은 두 번째 해에 1,200 × 20% = 240 BRL을 얻습니다.
월당 1%의 율로 12%의 단순 연이율 (명목율)에 해당하지만, 복합하는 효과를 고려하면, 연간 동등 복합율은 연간 12.68% (1.01¹² − 1)입니다.
회사채와 국채에 대한 이자는 보통 연 2회 지급할 수 있습니다. 이자 지급 총액 (각 6개월)은 공시 금리를 2로 나눈 후 원금을 곱한 금액입니다. 연간 복합된 율은 공개된 율보다 더 높습니다.
캐나다 모기지론(mortgage loans)은 일반적으로 월별 (또는 더 빈번한) 지불로 반기-별로 복합됩니다.^[1]
미국 모기지는 복리가 아닌 상각 대출(amortizing loan)을 사용합니다. 이들 대출과 함께, 원금과 이자를 상환하는 방법을 결정하기 위해 상각 일정(amortization schedule)이 사용됩니다. 이러한 대출에 대해 생성된 이자는 원금에 추가되지 않고 지불이 적용될 때 매월 지불됩니다.
예를 들어 파생 상품(derivatives)의 평가에서 복합하는 기간이 영에 가까워짐에 따라 극한(limit)인 연속 복합(continuous compounding)을 사용하는 것이 수학적으로 더 간단한 경우가 있습니다. 이들 증서의 가격을 책정할 때 연속 복합하는 것은 이토 미적분(Itō calculus)의 자연스러운 결과이며, 여기서 금융 파생 상품(financial derivatives)은 그 극한에 도달하고 파생 상품이 연속 시간에서 평가될 때까지 계속 증가하는 빈도에서 평가됩니다.

Discount instruments

미국과 캐나다 T-Bills (단기 정부 부채)에는 다른 규칙을 가집니다. 그것들의 이자는 (100 − P)/Pbnm으로 할인 기준으로 계산되며, 여기서 P는 지불된 가격입니다. 1년으로 명목화하는 대신, 이자는 날짜의 개수 t로 비례 배분됩니다: (365/t)×100. (일 계산 규칙(day count convention) 참조).

Calculation

Periodic compounding

원리 합 $P$ 더하기 복합된 이자 $I$ 를 포함한 총 누적 값은 다음 공식에 의해 제공됩니다:^[2]^[3] $A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

여기서:

A는 최종 금액입니다
P는 원래 원리 합입니다
r은 명목 연간 이자율(nominal annual interest rate)입니다
n은 복합하는 빈도입니다
t는 이자가 적용되는 전체 기간입니다 (r과 같은 시간 단위, 보통 년을 사용하여 표시됨).

생성된 총 복합 이자는 최종 값에서 초기 원금을 뺀 값입니다:^[4]

$I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}-P$

Example 1

$1,500의 원리 총액이 분기-별 복리되어 4.3%의 연간 이자율를 지급하는 은행에 예치되어 있다고 가정합니다.

그런-다음 P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, 및 t = 6과 함께, 위의 공식을 사용함으로써 6년 후의 잔액을 찾습니다:

$A=1500\times \left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}\approx 1938.84$

따라서 6년 후 총액 A는 근사적으로 $1,938.84입니다.

이 총액에서 원래 원금을 빼면 받은 이자를 제공합니다:

$1938.84-1500=438.84$

Example 2

$1,500의 같은 총액이 2년마다 복합된다고 가정합니다. (이것은 실제로는 매우 이례적인 일입니다.) 그런-다음 P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (이자는 2년마다 복합됨), 및 t = 6과 함께, 위의 공식을 사용하여 6년 후의 잔액을 구합니다:

$A=1500\times (1+(0.043\times 2))^{\frac {6}{2}}\approx 1921.24$

따라서, 6년 후의 잔액은 근사적으로 $1,921.24입니다.

받는 이자의 총액은 이 총액에서 원금을 빼서 계산될 수 있습니다:

$1921.24-1500=421.24$

같은 기간 동안 복합하는 빈도가 낮기 때문에, 이전 사례에 비해 이자가 적습니다.

Accumulation function

원금 P는 단순히 계수이기 때문에, 단순화를 위해 종종 버려지고, 결과 누적 함수(accumulation function)가 대신 사용됩니다. 누적 함수는 임의의 시간의 길이 후에 $1이 증가하는 것을 보여줍니다.

단순 및 복합 이자에 대해 누적 함수는 다음과 같습니다:

$a(t)=1+rt$ $a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

만약 $nt=1$ 이면, 이들 두 함수는 같습니다.

Continuous compounding

연간 복합하는 기간의 수, n이 제한 없이 증가할 때, 그 경우는 연속 복합으로 알려져 있으며, 이 경우에서 유효 연간 율은 $e r - 1$ 의 위쪽 극한으로 접근하며, 여기서 $e$ 는 자연 로그(natural logarithm)의 밑수인 수학 상수(mathematical constant)입니다.

연속 복합은 복합하는 기간을 무한소로 작게 만드는 것으로 생각될 수 있으며, n이 무한대(infinity)로 갈 때 극한(limit)을 취함으로써 달성됩니다. 이 극한의 수학적 증명에 대해 지수 함수의 정의를 참조하십시오. 연속 복합의 t 기간 후의 총액은 초기 총액 P₀의 항에서 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$P(t)=P_{0}e^{rt}.$

Force of interest

복합하는 기간 $n$ 의 숫자가 연속 복합에서 무한대로 가는 경향이 있으므로, 연속 복합 이자율은 이자력 $\delta$ 라고 참조됩니다.

수학에서, 누적 함수는 종종 자연 로그(natural logarithm)의 밑수, e의 항으로 표현됩니다. 이것은 미적분학을 사용하여 관심 있는 공식을 조작하는 것을 용이하게 합니다.

임의의 연속적으로 미분-가능 누적 함수(accumulation function) a(t)에 대해, 관심 있는 힘 또는 더 일반적으로 로그 또는 연속적으로 복합된 반환금(logarithmic or continuously compounded return)은 다음과 같이 정의된 시간의 함수입니다:

$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)$

이것은 누적 함수의 로그 도함수(logarithmic derivative)입니다.

반대로: $a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,$ ( $a(0)=1$ 이기 때문에; 이것은 곱 적분(product integral)의 특별한 경우로 볼 수 있습니다.)

위의 공식이 미분 방정식 형식으로 작성될 때, 관심 있는 힘은 단순히 변화의 총양의 계수입니다: $da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt$

상수 연간 이자율 r을 갖는 복합 이자에 대해, 이자의 힘은 상수이고, 이자의 힘의 관점에서 복합하는 이자의 누적 함수는 e의 단순 거듭제곱입니다: $\delta =\ln(1+r)$ 또는 $a(t)=e^{t\delta }$

이자의 힘은 연간 유효 이자율보다 작지만, 연간 유효 할인율(annual effective discount rate)보다 큽니다. 그것은 e-접기(e-folding) 시간의 역수입니다. 이자율 표기법도 참조하십시오.

인플레이션의 힘을 모델링하는 방법은 스투들리(Stoodley)의 공식입니다: $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ , 여기서 p, r, 및 s는 추정됩니다.

Compounding basis

이자율을 한 복합하는 기준에서 또 다른 기준으로 변환하기 위해, 다음을 사용하십시오:

$r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},$

여기서 r₁은 복합하는 빈도 n₁을 갖는 이자율이고, r₂는 복합하는 빈도 n₂를 갖는 이자율입니다.

이자가 연속적으로 복합(continuously compounded)될 때, 다음을 사용하십시오:

$\delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},$

여기서 $\delta$ 는 연속 복합하는 기준에 대한 이자율이고, r은 복합하는 빈도 n을 갖는 명시된 이자율입니다.

Monthly amortized loan or mortgage payments

상각되는—즉, 대출금이 상환될 때까지 원할한 월별 상환을 가지는—대출과 모기지에 대한 이자는 종종 복합됩니다. 지불에 대해 공식은 다음 논증에서 찾을 수 있습니다.

Exact formula for monthly payment

월별 지불 ( $c$ )에 대한 정확한 공식은 다음과 같습니다: $c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}$ 또는 동등하게 $c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$

여기서:

$c$ = 월별 상환
$P$ = 원금
$r$ = 월별 이자율
$n$ = 상환 기간의 숫자

이는 각 개월 후에 갚아야 할 남은 금액을 고려함으로써 도출될 수 있습니다.

첫 번째 개월 후에 남아있는 원리 합은 다음과 같습니다: $P_{1}=(1+r)P-c,$

즉, 초기 총액에 이자를 더한 금액에서 지불금을 뺀 금액입니다.

만약 1개월 후에 전액을 상환하면, $P_{1}=0,$ 따라서 $P={\frac {c}{1+r}}$ 두 번째 개월 후에 $P_{2}=(1+r)P_{1}-c$ 가 남겨지므로, $P_{2}=(1+r)((1+r)P-c)-c$

2개월 후에 전액을 상환하면, $P_{2}=0,$ 따라서 $P={\frac {c}{1+r}}+{\frac {c}{(1+r)^{2}}}$

이 방정식은 n 개월의 항에 대해 일반화되어, ${\textstyle P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}}$ , 이것은 다음 합을 가지는 기하 급수(geometric series)입니다: $P={\frac {c}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)$ 이것은 다음을 제공하기 위해 재배열될 수 있습니다: $c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$

Spreadsheet formula

스프레드시트에서, PMT() 함수가 사용됩니다. 구문은 다음과 같습니다:

PMT( interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Type] )

자세한 내용에 대해 Excel, Mac Numbers, LibreOffice, Open Office, Google Sheets를 참조하십시오.

예를 들어, 6% (0.06/12)의 이자율에 대해, 25 years * 12 p.a., PV of $150,000, FV of 0, type of 0는 다음을 제공합니다:

= PMT(0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0)
= $966.45

Approximate formula for monthly payment

몇 퍼센트 이내로 정확하게 되는 공식은 전형적인 미국 지폐 율 ( $I<8\%$ and terms $T$ =10–30 years)에 대해, 월별 지폐 율이 1에 비해 작음을 주목함으로써 구할 수 있습니다: $r<<1$ 이므로 $\ln(1+r)\approx r$ 이며, 이것은 다음이 되도록 단순화를 산출합니다:

$c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}$

이것은 보조 변수를 정의하는 것을 제안합니다:

$Y\equiv nr=IT$

$c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.$

여기서 $c_{0}$ 는 $n$ 분할로 상환되는 무-이자 대출에 요구된 월별 상환액입니다. 이들 변수의 관점에서 근사는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}},$

함수 ${\textstyle f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}}$ 는 짝수 함수입니다:

$f(Y)=f(-Y)$

그것이 $Y$ 의 짝수 거듭제곱에서 확장될 수 있음을 의미합니다.

${\textstyle {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$ 가 $Y$ 의 짝수 거듭제곱 더하기 단일 항: $Y/2$ 에서 확장될 수 있음이 즉시 따릅니다.

그런-다음 다음을 정의하는 것이 편리할 것입니다:

$X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT$

다음이 되도록

$c\approx c_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}$ 이것은 다음과 같이 확장될 것입니다: $c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+\cdots \right)$

여기서 타원은 $X$ 의 짝수 거듭제곱에서 더 높은 차수의 항을 나타냅니다. 다음 확장은

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)$

$X\leq 1$ 라는 조건 아래에서 1%보다 낫게 유효합니다.

Example of mortgage payment

30년의 기간과 4.5%의 어음 율로 매년 지불해야 하는 $10,000 모기지에 대해, 다음을 찾습니다:

$T=30$ $I=0.045$

다음을 제공합니다:

$X={\frac {1}{2}}IT=.675$

다음이 되도록

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96$

정확한 상환 총액은 $P=\$608.02$ 이므로 근삿값은 약 퍼센트의 1/6의 과대평가입니다.

Investing: monthly deposits

원금 (초기) 예금과 정기 예금이 주어지면, 투자의 총 수익은 단위 시간당 얻은 복합 이자를 통해 계산될 수 있습니다. 필요하다면, 추가적인 비-정기 및 정기 예금에 대한 이자는 같은 공식 내에서 정의될 수도 있습니다 (아래 참조).^[5]

$P$ = 원리 예금
$r$ = 수익율 (월별)
$M$ = 월별 예금, 및
$t$ = 월 단위에서 시간,

각 예금에 대한 복합 이자는 다음과 같습니다: $M'=M(1+r)^{t}$ 그리고 총 기간 t 동안 모든 정기 예금을 더합니다 (예금이 원금의 투자로 시작되면 i는 0에서 시작합니다; 예금이 다음 달에 시작하면 i는 1에서 시작합니다): $M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}$ 기하 급수(geometric series): $M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}$ 를 인식하고 닫힌-형식 공식(closed-form formula)을 적용하면 (공통 비율 : $1/(1+r)$ ) 다음을 얻습니다:

$P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}$

둘 이상의 유형의 예금 (정기 또는 비-정기)이 발생하면, 획득한 복합 값은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

${\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}$

여기서 C는 각각 일시금이고 k는 비-월별 정기 예금이고, x와 y는 새 예금 사이의 차이이고 전체 기간 t가 모델링됩니다:

각 정기 예금의 정확한 날짜와 금액이 알려져 있지 않을 때 수익률(rate of return)을 역산하는 실제 추정치는, 일정 기간 동안 균등 정기 월별 예금을 가정하는 공식, 다음입니다:^[6] $r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}$ 또는 $r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1$

History

대출 기관이 부과하는 복합 이자는 한때 최악의 고리대금업자(usury)로 고려되고 로마법(Roman law)과 다른 많은 국가의 관습법(common laws)에 의해 가혹하게 비난받았습니다.^[7]

피렌체 상인 Francesco Balducci Pegolotti 는 1340년경의 그의 책 ㅍ에서 복합 이자 테이블을 제공했습니다. 그것은 최대 20년 동안 1%에서 8%의 율로 100 리라에 대한 이자를 제공합니다.^[8] Luca Pacioli (1494)의 Summa de arithmetica는 복합 이자에서 투자 기간을 두 배로 늘리려면 이자율을 72로 나누어야 한다는 72의 법칙(Rule of 72)을 제시합니다.

1613년에 출판된 Richard Witt의 책 Arithmeticall Questions는 복합 이자의 역사에서 획기적인 사건이었습니다. 이전 작가들은 보통 수학 교과서의 한 장에서 복리를 간략하게 다루었지만, (이전에는 해부학(anatocism)이라고 함) 주제에 전적으로 전념했습니다. Witt의 책은 10% (당시 대출에 허용되는 최대 이자율)와 부동산 임대 가치 평가와 같은 다양한 목적을 위한 기타 이자율을 기반으로 한 테이블을 제공했습니다. Witt는 런던의 수학 실무자였고 그의 책은 124개의 작업 예제와 함께 표현의 명확성, 통찰력의 깊이, 및 계산의 정확성으로 유명합니다.^[9]^[10]

Jacob Bernoulli는 1683년 복합 이자에 대한 질문을 연구함으로써 상수 $e$ 를 발견했습니다.

19세기와 아마도 그 이전에, 페르시아 상인들은 머리로 쉽게 계산할 수 있는 월별 지불 공식에 약간 수정된 선형 테일러 근사치를 사용했습니다.^[11]

References

^ http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6^{[permanent dead link]} Interest Act (Canada), Department of Justice. The Interest Act specifies that interest is not recoverable unless the mortgage loan contains a statement showing the rate of interest chargeable, "calculated yearly or half-yearly, not in advance." In practice, banks use the half-yearly rate.
^ "Compound Interest Formula". qrc.depaul.edu. Retrieved 2018-12-05.
^ Investopedia Staff (2003-11-19). "Continuous Compounding". Investopedia. Retrieved 2018-12-05.
^ "Compound Interest Formula - Explained". www.thecalculatorsite.com. Retrieved 2018-12-05.
^ "Using Compound Interest to Optimize Investment Spread".
^ http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "recommended by The Four Pillars of Investing and The Motley Fool"
^ This article incorporates text from a publication now in the public domain: Chambers, Ephraim, ed. (1728). Cyclopædia, or an Universal Dictionary of Arts and Sciences (1st ed.). James and John Knapton, et al. {{cite encyclopedia}}: Missing or empty |title= (help)
^ Evans, Allan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura. Cambridge, Massachusetts. pp. 301–2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Lewin, C G (1970). "An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions". Journal of the Institute of Actuaries. 96 (1): 121–132. doi:10.1017/S002026810001636X.
^ Lewin, C G (1981). "Compound Interest in the Seventeenth Century". Journal of the Institute of Actuaries. 108 (3): 423–442. doi:10.1017/S0020268100040865.
^ Milanfar, Peyman (1996). "A Persian Folk Method of Figuring Interest". Mathematics Magazine. 69 (5): 376. doi:10.1080/0025570X.1996.11996479.

[1] ttp://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6^{[permanent dead link]} Interest Act (Canada), Department of Justice. The Interest Act specifies that interest is not recoverable unless the mortgage loan contains a statement showing the rate of interest chargeable, "calculated yearly or half-yearly, not in advance." In practice, banks use the half-yearly rate.

[2] "Compound Interest Formula". qrc.depaul.edu. Retrieved 2018-12-05.

[3] Investopedia Staff (2003-11-19). "Continuous Compounding". Investopedia. Retrieved 2018-12-05.

[4] "Compound Interest Formula - Explained". www.thecalculatorsite.com. Retrieved 2018-12-05.

[5] "Using Compound Interest to Optimize Investment Spread".

[6] ttp://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm "recommended by The Four Pillars of Investing and The Motley Fool"

[r1728-7] This article incorporates text from a publication now in the public domain: Chambers, Ephraim, ed. (1728). Cyclopædia, or an Universal Dictionary of Arts and Sciences (1st ed.). James and John Knapton, et al. {{cite encyclopedia}}: Missing or empty |title= (help)

[8] Evans, Allan (1936). Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura. Cambridge, Massachusetts. pp. 301–2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[9] Lewin, C G (1970). "An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions". Journal of the Institute of Actuaries. 96 (1): 121–132. doi:10.1017/S002026810001636X.

[10] Lewin, C G (1981). "Compound Interest in the Seventeenth Century". Journal of the Institute of Actuaries. 108 (3): 423–442. doi:10.1017/S0020268100040865.

[11] Milanfar, Peyman (1996). "A Persian Folk Method of Figuring Interest". Mathematics Magazine. 69 (5): 376. doi:10.1080/0025570X.1996.11996479.

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