Cone

Original article: w:Cone

For other uses, see Cone (disambiguation).

Not to be confused with Conical surface.

Cone
A cone with the radius of its base r, its height h, its slant height c and its angle θ.
Type	Solid figure
Faces	1 circular face and 1 conic surface
Surface area	πr2 + πrl
Volume	(2πr3)/3

A right circular cone and an oblique circular cone

A double cone (not shown infinitely extended)

3D model of a cone

원뿔(cone)은 평평한 밑면 (반드시 원형은 아니지만, 자주 원형)에서 꼭대기(apex) 또는 꼭짓점(vertex)이라고 하는 한 점으로 부드럽게 가늘어지는 삼-차원(three-dimensional) 기하학적 모양(geometric shape)입니다.

원뿔은 꼭대기를 포함하지 않는 평면(plane)에 있는 밑면의 모든 점에 공통 점, 꼭대기를 연결하는 선분(line segments), 반-직선(half-lines) 또는 직선(lines)의 집합에 의해 형성됩니다. 저자에 따라, rm 밑면은 원(circle), 평면에서 임의의 일-차원 이차 형식(quadratic form), 임의의 닫힌 일-차원 도형(one-dimensional figure), 또는 위의 어떤 항목과 모든 둘러싸인 점으로 제한될 수 있습니다. 둘러싸인 점이 밑면에 포함되면, 원뿔은 고체 대상(solid object)입니다; 그렇지 않으면 삼-차원 공간에서 이-차원 대상입니다. 고체 대상의 경우에서, 이들 직선 또는 부분 직선에 의해 형성된 경계는 측면 표면(lateral surface)이라고 합니다; 측면 표면이 경계지지 않으면, 그것은 원뿔형 표면(conical surface)입니다.

선분의 경우에서, 원뿔은 밑면을 넘어 확장되지 않지만, 반-직선의 경우에서, 그것은 무한하게 확장됩니다. 직선의 경우에서, 원뿔은 꼭대기에서 양쪽 방향으로 무한하게 확장되며, 이 경우에서 그것은 때때로 이중 원뿔(double cone)이라고도 합니다. 꼭대기의 한쪽에 있는 이중 원뿔의 절반 중 하나는 내프(nappe)라고 합니다.

원뿔의 축(axis)은 꼭대기를 통과하는 (만약 있으면) 직선이며, 그 중심을 기준으로 밑면 (및 전체 원뿔)은 원형 대칭(circular symmetry)을 가집니다.

기본 기하학(geometry)에서 공통적으로 사용되는 원뿔은 직각 원형(right circular)으로 가정하며, 여기서 원형(circular)은 밑면이 원(circle)을 의미하고 직각(right)은 축이 그것의 평면에 직각(right angles)으로 밑면의 중심을 통과함을 의미합니다. 원뿔이 직각 원형이면, 평면과 측면 표면의 교차점이 원뿔 단면(conic section)입니다. 일반적으로, 어쨌든, 밑면은 임의의 모양이 될 수 있고 꼭대기는 어디에나 있을 수 있습니다 (보통 밑면이 경계지고 따라서 유한한 넓이(area)를 가지고, 꼭대기가 밑면의 평면 외부에 있다고 가정하지만). 직각 원뿔과 대조되는 경사 원뿔은 축이 비-수직적으로 밑면의 중심을 통과합니다.

다각형(polygonal) 밑면을 갖는 원뿔은 각뿔(pyramid)이라고 합니다.

문맥에 따라, "원뿔"은 구체적으로 볼록 원뿔(convex cone) 또는 투영 원뿔(projective cone)을 의미할 수도 있습니다.

원뿔은 더 높은 차원(higher dimensions)으로 일반화될 수도 있습니다.

Further terminology

원뿔 밑면의 둘레는 "방향선(directx)"이라고 불리고, 방향선과 꼭대기 사이의 각 선분은 측면 표면의 "생성선(generatrix)" 또는 "생성하는 직선(generating line)"이라고 불립니다. ("방향선"과 원뿔 단면의 방향선(directrix) 사이의 연결에 대해, Dandelin spheres를 참조하십시오.)

원뿔의 "밑면 반지름"은 그것의 밑면의 반지름(radius)입니다; 종종 이것은 단순히 원뿔의 반지름이라고 불립니다. 직각 원뿔의 조리개(aperture)는 두 방향선 직선 사이의 최대 각도입니다; 만약 방향선이 축과 각도 θ를 이루면, 조리개는 2θ입니다.

Illustration from Problemata mathematica... published in Acta Eruditorum, 1734

평면에 의해 잘린 그것의 꼭대기를 포함하는 영역을 갖는 원뿔을 "잘린(truncated) 원뿔"이라고 불립니다; 만약 절단 평면이 원뿔의 밑면과 평행하면, 그것은 절두체(frustum)라고 불립니다. "타원형 원뿔"은 타원형(elliptical) 밑면을 갖는 원뿔입니다. "일반화된 원뿔"은 꼭짓점과 경계 위의 모든 각 점을 통과하는 직선의 집합에 의해 생성되는 표면입니다 (역시 visual hull을 참조하십시오).

Measurements and equations

Volume

임의의 원뿔형 고체의 부피(volume) $V$는 밑변의 넓이 $A_{B}$와 높이 $A_{B}$의 곱의 1/3입니다:

$V={\frac {1}{3}}A_{B}h.$

현대 수학에서, 이 공식은 미적분을 사용하여 쉽게 계산될 수 있습니다 — 그것은, 스케일링까지(up to), 다음 적분입니다: $$\int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$$ 미적분 사용없이, 그 공식은 원뿔을 피라미드와 비교하고 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 적용함으로써 증명될 수 있습니다 – 특히, 원뿔을 정육면체의 1/3을 형성하는 (수직으로 스케일된) 직각 정사각형 각뿔과 비교합니다. 이 공식은 그러한 무한소 인수를 사용하지 않고는 증명될 수 없고 – 다면체 넓이에 대한 2-차원 공식과 달리, 비록 원의 넓이와 유사하지만 – 따라서 미적분학의 출현하기 전에 고대 그리스에서는 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용하여 덜 엄격한 증명을 수용했습니다. 이것은 본질적으로 힐베르트의 세 번째 문제(Hilbert's third problem)의 내용입니다 – 더 정확하게는 모든 다면체 각뿔이 가위 합동인 것은 아니고 (유한한 조각으로 절단되고 다른 것으로 재배열될 수 있음), 따라서 부피는 분해 인수를 사용함으로써 순수하게 계산될 수 없습니다.

Center of mass

균등 밀도의 원뿔형 고체의 질량의 중심(center of mass)은 중심과 꼭짓점을 연결하는 직선 위의 밑변 중심에서 꼭짓점까지의,그 방향의 1/4에 놓입니다.

Right circular cone

Volume

반지름 r이고 높이 h를 갖는 원뿔에 대해, 밑변은 넓이 $\pi r^{2}$의 원이고 따라서 부피에 대한 공식은 다음이 됩니다:

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

Slant height

직각 원형 원뿔의 경사 높이는 원뿔의 표면을 따라 선분을 통해 그것의 밑면의 원(circle) 위의 임의의 점에서 꼭대기까지의 거리입니다. 그것은 ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$로 제공되며, 여기서 $r$은 밑면의 반지름(radius)이고 $h$는 높이입니다. 이것은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에 의해 증명될 수 있습니다.

Surface area

직각 원뿔의 측면 표면(lateral surface) 넓이는 $LSA=\pi rl$이며, 여기서 $r$은 원뿔의 바닥에 있는 원의 반지름이고 $l$은 원뿔의 경사 높이입니다. 원뿔의 바닥 원의 표면 넓이는 임의의 원에 대한 넓이, $\pi r^{2}$과 같습니다. 따라서, 직각 원형 원뿔의 전체 표면 넓이는 다음의 각각으로 표현될 수 있습니다:

• 반지름과 높이

$\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

(밑면의 넓이 더하기 측면 표면의 넓이; 항 ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$은 경사 높이입니다)

$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$

여기서 $r$은 반지름이고 $h$는 높이입니다.

• 반지름과 경사 높이

$\pi r^{2}+\pi rl$

$\pi r(r+l)$

여기서 $r$은 반지름이고 $l$은 경사 높이입니다.

• 원주와 경사 높이

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cl}{2}}$

$\left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+l\right)$

여기서 $c$는 원주이고 $l$은 경사 높이입니다.

• 꼭대기 각도와 높이

$\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)$

여기서 $\theta$는 꼭대기 각도이고 $h$는 높이입니다.

Circular sector

원뿔의 한 내프(nappe)의 표면을 펼쳐서 얻어진 원형 부채꼴(circular sector)은 다음을 가집니다:

• 반지름 R

$R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

• 호 길이 L

$L=c=2\pi r$

• 라디안에서 중심 각도 φ

$\phi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

Equation form

원뿔의 표면은 다음으로 매개변수화될 수 있습니다:

$f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),$

여기서 $\theta \in [0,2\pi )$는 원뿔 "주위에" 각도이고, $h\in \mathbb {R}$는 원뿔을 따라 "높이"입니다.

높이 $h$이고 구경 $2\theta$를 갖고, 그것의 축이 $z$ 좌표 축이고 그것의 꼭대기가 원점인 직각 고체 원형 원뿔은 다음으로 매개변수적으로 설명됩니다:

$F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)$

여기서 $s,t,u$는 각각 범위 $[0,\theta )$, $[0,2\pi )$, 및 $[0,h]$에 걸쳐 있습니다.

암시적(implicit) 형식에서, 같은 고체는 다음 부등식에 의해 정의됩니다:

$\{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},$

여기서

$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,$

보다 일반적으로, 원점에 꼭짓점, 벡터 $d$와 평행한 축, 및 구경 $2\theta$를 갖는 직각 원형 원뿔은 암시적 벡터(vector) 방정식 $F(u)=0$에 의해 제공되며 여기서

$F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}$   또는   $F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta$

여기서 $u=(x,y,z)$이고, $u\cdot d$는 점 곱(dot product)을 나타냅니다.

Elliptic cone

An elliptical cone quadric surface

데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)에서, 타원형 원뿔(elliptic cone)은 다음 형식의 방정식의 궤적입니다:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.$

그것은 방정식 $x^{2}+y^{2}=z^{2}\$을 갖는 직각-원형 단위 원뿔의 아핀 이미지(affine image)입니다. 그 사실, 원뿔 단면(conic section)의 아핀 이미지가 같은 유형 (타원, 포물선,...)의 원뿔 단면이라는 것으로부터, 우리는 다음을 얻습니다:

• 타원형 원뿔의 임의의 평면 단면은 원뿔 단면입니다.

분명히, 임의의 직각 원형 원뿔은 원을 포함합니다. 이것은 역시 사실이지만, 일반적인 경우에는 덜 분명합니다 (원형 단면(circular section)을 참조하십시오).

타원형 원뿔과 동심 구의 교차점은 구형 원뿔형(spherical conic)입니다.

Projective geometry

In projective geometry, a cylinder is simply a cone whose apex is at infinity, which corresponds visually to a cylinder in perspective appearing to be a cone towards the sky.

투영 기하학(projective geometry)에서, 원기둥(cylinder)은 그것의 꼭대기가 무한대에 있는 원뿔입니다. 직관적으로, 고정된 밑변을 유지하고 꼭대기가 무한대로 갈 때 극한을 취하면, 극한에서 직각(right angle)을 이루는 변의 각도가 arctan만큼 증가하는 원기둥을 얻습니다. 이것은 원통 원뿔형(cylindrical conics)을 고려해야 하는 퇴화 원뿔형(degenerate conics)의 정의에서 유용합니다.

G. B. Halsted에 따르면, 원뿔은 슈타이너 원뿔형에 사용된 투영 범위가 아닌 투영성과 축 연필(axial pencils) (원근감이 아님)만을 갖는 슈타이너 원뿔형(Steiner conic)과 유사하게 생성됩니다.

"만약 두 개의 copunctual non-costraight 축 연필이 투영이지만 원근적이 아니면, 상관된 평면의 만남은 '이차 원뿔형 표면' 또는 '원뿔'을 형성합니다."

Higher dimensions

원뿔의 정의는 더 높은 차원으로 확장될 수 있습니다 (볼록 원뿔(convex cones)을 참조하십시오). 이 경우에서, 실수(real) 벡터 공간(vector space) Rⁿ에서 볼록 집합(convex set) C는 만약 C에서 모든 각 벡터 x와 모든 각 비-음 실수 a에 대해, 벡터 ax가 C에 있으면 (원점에 꼭대기를 갖는) 원뿔이라고 말합니다. 이러한 맥락에서, 원형 원뿔의 유사체는 보통 특별하지 않습니다; 사실 우리는 종종 다면체 원뿔(polyhedral cones)에 흥미를 느낍니다.

See also

• Bicone
• Cone (linear algebra)
• Cone (topology)
• Cylinder (geometry)
• Democritus
• Generalized conic
• Hyperboloid
• List of shapes
• Pyrometric cone
• Quadric
• Rotation of axes
• Ruled surface
• Translation of axes

References

• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links

• Weisstein, Eric W. "Cone". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Double Cone". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Generalized Cone". MathWorld.
• An interactive Spinning Cone from Maths Is Fun
• Paper model cone
• Lateral surface area of an oblique cone
• Cut a Cone An interactive demonstration of the intersection of a cone with a plane