Degree of a polynomial

다항식의 차수(degree)는 영이 아닌 계수를 갖는 그의 단항식(monomial)(개별 항)의 가장 높은 차수입니다. 항의 차수(degree of a term)는 항 내에 보이는 변수(variables)의 지수의 합이며, 따라서 음수가 아닌 정수입니다. 용어 순서(order)는 차수(degree)의 동의어로 사용되었지만, 요즘에는, 여러 다른 개념을 참조할 수 있습니다 (다항식의 순서(order of a polynomial)를 참조하십시오). 예를 들어, 다항식 $7x^{2}y^{3}+4x-9$ 은 세 항을 가진 $7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0}$ 로써 역시 표현될 수 있습니다. 첫 번째 항은 5의 차수 (거듭제곱(powers) 2와 3의 합)를 갖고, 두 번째 항은 1의 차수를 갖고, 그리고 마지막 항은 0의 차수를 가집니다. 따라서 다항식의 차수는, 임의의 항의 최고 차수에 따라, 5입니다.

표준 형식이 아닌 다항식의 차수를 결정하기 위해서는 (예를 들어: $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ ), 먼저 곱을 (분배성에 의해) 확장하고 동류항을 결합하여 표준 형식으로 반드시 먼저 작성해야 합니다; 예를 들어 $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$ 는, 비록 각 합해지는 숫자(summand:피합수)가 차수가 2일지라도, 차수는 1입니다. 어쨌든, 이것은 표준 형식의 다항식의 곱으로써 표현될 때에는 필요하지 않습니다; 왜냐하면 곱의 차수는 인수의 차수의 합이기 때문입니다.

Names of polynomials by degree

다음 이름은 그들 차수에 따라 다항식에 지정됩니다:^[1]^[2]^[3]

특별한 경우 – 영(zero) (아래의 § Degree of the zero polynomial을 참조하십시오.)
차수 0 – 비-영의 상수(constant)^[4]
차수 1 – 선형(linear)
차수 2 – quadratic
차수 3 – cubic
차수 4 – quartic (또는, 만약 모든 항이 짝수 차수를 가지면, 복이차(biquadratic))
차수 5 – quintic
차수 6 – sextic (또는, 덜 공통적으로, hexic)
차수 7 – septic (또는, 덜 공통적으로, heptic)

더 높은 차수에 대해, 이름들이 때때로 제안되어 왔지만,^[5] 아래의 것들은 드물게 사용됩니다:

차수 8 – octic
차수 9 – nonic
차수 10 – decic

3보다 큰 차수에 대해 이름은 라틴 순서-숫자(ordinal number)를 기반으로, -ic로 끝납니다. 이것은 변수의 숫자에 대해 사용되는 이름, 애리티(arity)와 구별되어야 하는데, 애리티는 라틴어 분배 숫자(distributive number)를 기반으로, -ary로 끝납니다. 예를 들어, $x^{2}+xy+y^{2}$ 와 같은 두 변수에서 이차 두개의 다항식은 "이진 이차"라고 불립니다: 이진(binary)은 두 변수에 기인하고, 이차(quadratic)는 차수 2에 기인합니다.^[a] 항의 숫자에 대해 이름도 역시 있는데, 이 단어는 역시 라틴 분배 숫자를 기반으로, -nomial로 끝납니다; 공통적인 것은 단항(monomial), 이항(binomial) 및 (덜 공통적으로) 삼항(trinomial)이 있습니다; 따라서 $x^{2}+y^{2}$ 는 "이진 이차 이항"입니다.

Other examples

다항식 $3-5x+2x^{5}-7x^{9}$ 은 9차 다항식입니다.
다항식 $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ 은 삼차 다항식입니다.
다항식 $(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ 은 5차 다항식입니다 (왜냐하면 $z^{8}$ 은 제거되기 때문입니다).

위의 세 예제의 정식 형태는 다음과 같습니다:

$3-5x+2x^{5}-7x^{9}$ 에 대해, 순서를 바꾸어서, $-7x^{9}+2x^{5}-5x+3$ ;
$(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ 에 대해, 전개한 후에 같은 차수의 항을 정리하면, $-8y^{3}-42y^{2}+72y+378$ ;
$(3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)$ 에 대해, 차수 8의 두 항은 제거되고, $z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6$ .

Behavior under polynomial operations

두 다항식의 합, 곱 또는 합성의 차수는 입력 다항식의 차수와 밀접하게 관련되어 있습니다.^[6]

Addition

두 다항식의 합(또는 차)의 차수는 그들 각각의 차수 중에 큰 것과 같거나 작습니다; 등호는, 다항식의 차수가 다를 때, 항상 유지됩니다. 즉,

\deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

.

\deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}

.

예를 들어,

$(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 의 차수는 3입니다. 3 ≤ max{3, 2}임을 주목하십시오.
$(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ 의 차수는 2입니다. 2 ≤ max{3, 3}임을 주목하십시오.

Scalar multiplication

비-영의 스칼라(scalar)에 의한 다항식 곱의 차수는 그 다항식의 차수와 같습니다. 즉,

\deg(cP)=\deg(P)

.

예를 들어,

$2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ 의 차수는 2인데, 바로 $x^{2}+3x-2$ 의 차수이기 때문입니다.

영의 인수(divisors of zero:영제수)를 포함하는 링(ring)에 걸쳐 다항식에 대해, 이것이 반드시 참인 것은 아님에 주목하십시오. 예를 들어, $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ 에서, $\deg(1+2x)=1$ 이지만 $\deg(2(1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ 입니다.

주어진 필드 F로부터의 계수와 주어진 수 n보다 작거나 같은 차수를 갖는 다항식의 집합(Polynomial vector spaces)은 따라서 벡터 공간(vector space)을 형성합니다. (주목할 것은, 어쨌든, 이 집합은 링은 아닌 것으로써, 왜냐하면 그것은 아래에서 볼 수 있듯이, 곱셈 아래에 닫혀있지 않기 때문입니다.)

Multiplication

필드(field) 또는 정수 도메인(integral domain)에 걸쳐 두 다항식 곱의 차수는 그들 차수의 합입니다:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)

.

예를 들어,

$(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ 의 차수는 3 + 2 = 5입니다.

임의의 링에 걸쳐 다항식에 대해, 이것은 반드시 참인 것이 아님을 주목하십시오. 예를 들어, $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ 에서, $\deg(2x)+\deg(1+2x)=1+1=2$ 이지만 $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ 입니다.

Composition

필드 또는 정수 도메인(integral domain)에 걸쳐 두 개의 비-상수 다항식 $P$ 와 $Q$ 의 합성의 차수는 그들 차수의 곱입니다:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)

.

예를 들어,

만약 $P=(x^{3}+x)$ , $Q=(x^{2}+1)$ 이면, $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$ 이므로, 차수 6을 가집니다.

임의의 링에 걸쳐 다항식에 대해, 이것은 반드시 참인 것이 아님을 주목하십시오. 예를 들어, $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ 에서, $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$ 이지만, $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ 입니다.

Degree of the zero polynomial

영 다항식(zero polynomial)의 차수는 정의되지 않은 채 남겨 두거나, 또는 음의 차수(보통 −1 또는 $-\infty$ )가 되는 것으로 정의됩니다.^[7]

임의의 상수 값과 마찬가지로, 값 0은 하나의 (상수) 다항식으로 여길 수 있으므로, 영 다항식으로 불립니다. 그것은 비-영 항을 가지지 않으므로, 엄격하게 말하면, 차수를 역시 가지지 않습니다. 이를테면, 그것의 차수는 정의되지 않습니다. 위의 섹션에서 다항식의 합과 곱의 차수에 대해 전제는 만약 포함된 다항식의 임의의 것이 영다항식이면 적용되지 않습니다.^[8]

어쨌든, 영 다항식의 차수를 음의 무한대, $-\infty$ 로 정의하고, 다음과 같은 산술 규칙을 도입하는 것이 편리합니다:^[9]

\max(a,-\infty )=a,

그리고

a+(-\infty )=-\infty .

다음 예제는 이 확장이 위의 동작 규칙(behavior rules)을 어떻게 만족시키는지 보여줍니다:

합 $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ 의 차수는 3입니다. 이것은 기대했던 동작을 만족하는데, $3\leq \max(3,-\infty )$ 입니다.
차 $(x)-(x)=0$ 의 차수는 $-\infty$ 입니다. 이것은 기대했던 동작을 만족하는데, $-\infty \leq \max(1,1)$ 입니다.
곱 $(0)(x^{2}+1)=0$ 의 차수는 $-\infty$ 입니다. 이것은 기대했던 동작을 만족하는데, $-\infty =-\infty +2$ 입니다.

Computed from the function values

다항 함수 f의 차수를 평가할 많은 공식이 존재합니다. 점근 해석학(asymptotic analysis)을 기초로 한 것 중 하나는

\deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}

;

이것은 로그–로그 그래프(log–log plot)에서 기울기를 추정하는 방법과 정확히 짝입니다.

이 공식은 다항식이 아닌 어떤 함수에 대한 차수의 개념을 일반화합니다. 예를 들면:

곱셈의 역원(multiplicative inverse), $\ 1/x$ 의 차수는 −1입니다.
(이)제곱근(square root), ${\sqrt {x}}$ 의 차수는 1/2입니다.
로그(logarithm), $\ \log x$ 의 차수는 0입니다.
지수 함수(exponential function), $\exp x$ 의 차수는 $\infty$ 입니다.

공식은 그러한 함수의 많은 조합에 대해 합리적인 결과를 역시 제공합니다. 예를 들어, ${\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}$ 의 차수는 $-1/2$ 입니다.

그의 값으로부터 f의 차수를 계산하기 위한 다른 공식은

\deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}

;

이 두 번째 공식은 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule)을 첫 번째 공식에 따른 것입니다. 직관적으로, 그것은 $x^{d}$ 의 도함수 $dx^{d-1}$ 에서 추가적 상수 인수로서 차수 d를 나타내는 것에 관한 것입니다.

함수의 점근선을 (단순한 숫자 차수보다) 더 좋은 세분화된 설명은 대문자 O 표기법(big O notation)을 사용함으로써 가능할 수 있습니다. 알고리듬의 분석(analysis of algorithms)에서, 예를 들어, $x$ 와 $x\log x$ 의 사이의 성장률을 구별하는 것이 종종 그것이 관련되며, 이는 둘 모두 위의 공식에 따라 같은 차수를 갖는 것으로 나타날 수 있습니다.

Extension to polynomials with two or more variables

두 개 이상의 변수를 갖는 다항식에 대해, 항의 차수는 항에서 변수의 지수의 합입니다; (때때로 전체 차수(total degree)라고 불리는) 다항식의 차수는 다항식에서 모든 항의 차수의 최대입니다. 예를 들어, 다항식 x²y² + 3x³ + 4y은 차수 4를 가지는데, 항 x²y²와 같은 차수입니다.

어쨌든, 변수 x 및 y에 대한 다항식은, 각각, y의 다항식을 계수로 갖는 x에 대한 다항식이고, 마찬가지로 x의 다항식을 계수로 갖는 y에 대한 다항식입니다. 다항식

x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})

은 x에 대해 차수 3을 가지고 y에 대해 차수 2를 가집니다.

Degree function in abstract algebra

링(ring) R이 주어지면, 다항식 링(polynomial ring) R[x]는 R에서 계수를 가지는 x에서 모든 다항식의 집합입니다. R은 역시 필드(field)인 특별한 경우에서, 다항식 링 R[x]는 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)이고, 여기서 우리의 논의에서 보다 중요하게, 유클리드 도메인(Euclidean domain)입니다.

필드에 걸쳐 다항식의 차수는 유클리드 도메인에서 노름 함수의 요구-사항의 모두를 충족시킨다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 두 다항식 f(x)와 g(x)가 주어지면, 곱 f(x)g(x)의 차수는 개별적으로 f와 g 둘 다의 차수보다 커야 합니다. 사실, 얼마쯤 더 강한 것이 유지됩니다:

차수(f(x)g(x)) = 차수(f(x)) + 차수(g(x))

차수 함수가 필드가 아닌 링에 걸쳐 실패할 수 있는 이유의 예제에 대해, 다음 예제를 취하십시오. R = $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ , 정수 모듈로(modulo) 4의 링으로 놓습니다. 이 링은 2 × 2 = 4 ≡ 0 (모드 4)이기 때문에 필드가 아닙니다 (그리고 심지어 정수 도메인(integral domain)도 아닙니다). 그러므로, f(x) = g(x) = 2x + 1.로 놓습니다. 그런-다음, f(x)g(x) = 4x² + 4x + 1 = 1입니다. 따라서 차수(f⋅g) = 0이며 이것은 f와 g의 차수 (각각 1 차수를 가짐)의 차수보다 더 크지 않습니다.

노름 함수는 링의 영 원소에 대해 정의되지 않았으므로, 우리는 다항식 f(x) = 0의 차수를 그것이 유클리드 도메인에서 노름의 규칙을 따르도록 역시 정의되지 않은 것으로 여집니다.

Notes

^ For simplicity, this is a homogeneous polynomial, with equal degree in both variables separately.

^ "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.
^ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
^ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
^ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)
^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
^ Lang, Sergei (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ ℤ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)
^ Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.
^ Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

References

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media
Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media
King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society
Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

External links

Polynomial Order; Wolfram MathWorld

[6] For simplicity, this is a homogeneous polynomial, with equal degree in both variables separately.

[1] "Names of Polynomials". November 25, 1997. Retrieved 5 February 2012.

[2] Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)

[3] King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".

[4] Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, $f(x)=a_{0}$ : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value $a_{0}$ ." (p. 23)

[5] James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

[7] Lang, Sergei (2005). Algebra (3rd ed.). Springer. p. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.

[8] Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)
Childs (1995) uses −1. (p. 233)
Childs (2009) uses −∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that $-\infty$ + m = $-\infty$ for m any integer or m = $-\infty$ ".
Axler (1997) uses −∞. (p. 64)
Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ ℤ or as $-\infty$ , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)

[9] Barile, Margherita. "Zero Polynomial". MathWorld.

[10] Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree $-\infty$ so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

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