Dense set

토폴로지(topology) 및 관련된 수학(mathematics)의 분야에서, 토폴로지적 공간(topological space) X의 부분집합(subset) $A$ 는 만약 $X$ 의 모든 각 점이 $A$ 에 속하거나 $A$ 의 구성원에 임의적으로 "가까운" 것이면, $X$ 에서 조밀한(dense) 것이라고 말합니다 — 예를 들어, 유리수(rational numbers)는 실수(real numbers)의 조밀한 부분집합인데 왜냐하면 모든 각 실수는 유리수이거나 그것에 임의적으로 가까운 유리수를 가지기 때문입니다 (디오판토스 근사를 참조하십시오). 형식적으로, $A$ 가 만약 $A$ 를 포함하는 $X$ 의 가장 작은 닫힌 부분집합(closed subset)이 $X$ 자체이면 $X$ 에서 조밀한 것입니다.^[1]

토폴로지적 공간 $X$ 의 밀도(density)는 $X$ 의 조밀한 부분집합의 최소 카디널리티(cardinality)입니다.

Definition

토폴로지적 공간(topological space) $X$ 의 부분집합 $A$ 는 다음 동등한 조건 중 하나라도 만족시키면 $X$ 의 조밀한 부분집합(dense subset)이라고 말합니다:

$A$ 를 포함하는 $X$ 의 가장 작은 닫힌 부분집합(closed subset)이 $X$ 자체입니다.
$X$ 에서 $A$ 의 클로저(closure)는 $X$ 와 같습니다. 즉, $\operatorname {cl} _{X}A=X.$
$A$ 의 여집합(complement)의 내부(interior)는 빈 것입니다. 즉, $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$
$X$ 에서 모든 각 점은 $A$ 에 속하거나 $A$ 의 극한 점(limit point)입니다.
모든 각 $x\in X$ 에 대해, $x$ 의 모든 각 이웃(neighborhood) $U$ 는 $A$ 와 교차(intersects)합니다; 즉, $U\cap A\neq \varnothing .$
$A$ 는 $X$ 의 모든 각 비-빈 열린 부분집합과 교차합니다.

그리고 만약 ${\mathcal {B}}$ 가 $X$ 위의 토폴로지에 대해 열린 집합의 기저(basis)이면, 이 목록이 포함되도록 확장될 수 있습니다:

모든 각 $x\in X$ 에 대해, $x$ 의 모든 각 기저(basic) 이웃 $B\in {\mathcal {B}}$ 는 $A$ 와 교차(intersects)합니다.
$A$ 는 모든 각 비-빈 $B\in {\mathcal {B}}$ 와 교차합니다.

Density in metric spaces

메트릭 공간(metric spaces)의 경우에서 조밀한 집합의 대안적인 정의는 다음과 같습니다. $X$ 의 토폴로지(topology)가 메트릭(metric)에 의해 제공될 때, $X$ 에서 $A$ 의 클로저(closure) ${\overline {A}}$ 는 $A$ 와 $A$ 에서 원소의 모든 수열의 극한 (그것의 극한 점)의 집합의 합집합(union)입니다, ${\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}$

그런-다음 $A$ 는 만약 다음이면 $X$ 에서 조밀한 것입니다: ${\overline {A}}=X.$

만약 $\left\{U_{n}\right\}$ 이 완비 메트릭 공간, $X$ 에서 조밀한 열린(open) 집합의 수열이면, ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ 는 역시 $X$ 에서 조밀한 것입니다. 이 사실은 베르 카테고리 정리(Baire category theorem)의 동등한 형식 중 하나입니다.

Examples

보통의 토폴로지를 갖는 실수는 셀-수-있는 조밀한 부분집합으로 유리수를 가지며, 이는 토폴로지적 공간의 조밀한 부분집합의 카디널리티(cardinality)가 공간 자체의 카디널리티보다 엄격하게 작을 수 있음을 보여줍니다. 무리수는 토폴로지적 공간이 여러 개의 서로소(disjoint) 조밀한 부분집합 (특히, 두 개의 조밀한 부분 집합이 서로의 여집합일 수 있음)을 가질 수 있고, 그것들이 같은 카디널리티일 필요도 없음을 보여주는 또 다른 조밀한 부분 집합입니다. 아마도 훨씬 더 놀랍게도, 유리수와 무리수 모두 빈 내부를 가지며, 조밀한 집합은 임의의 비-빈 열린 집합을 포함할 필요가 없음을 보여줍니다. 토폴로지적 공간의 두 개의 조밀한 열린 부분집합의 교차점은 다시 조밀하고 열린 것입니다.^{[proof 1]} 빈 집합은 자체의 조밀한 부분집합입니다. 그러나 비-빈 공간의 모든 각 조밀한 부분집합도 비-빈이어야 합니다.

바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass approximation theorem)에 의해, 닫힌 구간 $[a,b]$ 위에 정의된 임의의 주어진 복소-값 연속 함수(continuous function)는 다항 함수(polynomial function)에 의해 원하는 만큼 가깝게 균등하게 근사화될 수 있습니다. 다시 말해서, 다항 함수는 상한 노름(supremum norm)을 갖춘 구간 $[a,b]$ 위에 연속 복소-값 함수의 공간 $C[a,b]$ 에서 조밀한 것입니다.

모든 각 메트릭 공간(metric space)은 그것의 완비(completion)에서 조밀한 것입니다.

Properties

모든 각 토폴로지적 공간(topological space)은 자체의 조밀한 부분집합입니다. 이산 토폴로지(discrete topology)를 갖춘 집합 $X$ 에 대해, 전체 공간이 유일한 조밀한 부분집합입니다. 자명한 토폴로지( trivial topology)를 갖춘 집합 $X$ 의 모든 각 비-빈 부분집합은 조밀한 것이고, 모든 각 비-빈 부분집합이 조밀한 것인 모든 각 토폴로지는 자명한 것이어야 합니다.

조밀성은 전이적(transitive)입니다: $A$ 가 $B$ 에서 조밀한 것이고 (각 부분공간 토폴로지에서) $B$ 가 $C$ 에서 조밀한 것이면 $A$ 가 역시 $C$ 에서 조밀한 것임을 만족하는 $A\subseteq B\subseteq C\subseteq X$ 를 갖는 토폴로지적 공간 $X$ 의 세 개의 부분집합 $A,B$ 및 $C$ 가 주어지면,

전사적(surjective) 연속 함수 아래에서 조밀한 부분집합의 이미지(image)는 다시 조밀한 것입니다. 토폴로지적 공간의 밀도 (그것의 조밀한 부분집합의 카디널리티( cardinalities) 중 최소)는 토폴로지적 불변(topological invariant)입니다.

연결된(connected) 조밀한 부분집합을 갖는 토폴로지적 공간은 자체로 반드시 연결되어 있습니다.

하우스도르프 공간(Hausdorff spaces)으로의 연속 함수는 조밀한 부분집합 위에 그것들의 값에 의해 결정됩니다: 만약 하우스도르프 공간(Hausdorff space) $Y$ 로의 두 연속 함수 $f,g:X\to Y$ 가 $X$ 의 조밀한 부분집합에 동의하면, 그것들은 모든 $X$ 에 동의합니다.

메트릭 공간에 대해, 주어진 밀도의 모든 공간이 삽입될 수 있는 보편적 공간이 있습니다: 밀도 $\alpha$ 의 메트릭 공간은 $C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right)$ , 단위 구간(unit interval)의 $\alpha$ 복사본의 곱(product) 위에 실수 연속 함수의 공간의 부분공간에 등거리-변환적입니다.^[2]

Related notions

토폴로지적 공간 $X$ 의 부분집합 $A$ 의 점 $x$ 는 만약 $x$ 의 모든 각 이웃이 $x$ 자체가 아닌 $A$ 의 점을 포함하면 ( $X$ 에서) $A$ 의 극한 점(limit point)이라고 불리고, 그렇지 않으면 $A$ 의 고립된 점(isolated point)이라고 불립니다. 고립된 점이 없는 부분집합은 자체-에서-조밀한(dense-in-itself) 것이라고 불립니다.

토폴로지적 공간 $X$ 의 부분집합 $A$ 는 만약 $A$ 가 조밀한 것인 $X$ 에서 이웃이 없으면 ( $X$ 에서) 아무 데도 조밀하지 않은(nowhere dense) 것이라고 불립니다. 동등하게, 토폴로지적 공간의 부분집합이 아무 데도 조밀하지 않은 것과 그것의 클로저의 내부가 빈 것은 필요충분 조건입니다. 아무 데도 조밀하지 않은 집합의 여집합의 내부는 항상 조밀한 것입니다. 닫힌 아무 데도 조밀하지 않은 집합의 여집합은 조밀한 열린 집합입니다. 토폴로지적 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 셀-수-있게 많은 아무 데도 조밀하지 않은 부분집합의 합집합으로 표현될 수 있는 $X$ 의 부분집합 $A$ 는 마른(meagre) 것이라고 불립니다. 유리수는, 실수에서 조밀한 것이지만, 실수의 부분집합으로 마른 것입니다.

셀-수-있는 조밀한 부분집합을 갖는 토폴로지적 공간은 분리-가능(separable)이라고 불립니다. 토폴로지적 공간이 베르 공간(Baire space)인 것과 셀-수-있게 많은 조밀한 열린 집합의 교집합이 항상 조밀한 것은 필요충분 조건입니다. 토폴로지적 공간은 만약 그것이 두 개의 서로소 조밀한 부분집합의 합집합이면 해결-가능(resolvable)이라고 불립니다. 보다 일반적으로, 토폴로지적 공간은 만약 그것이 κ 쌍별 서로소 조밀한 집합을 포함하면 세는-숫자(cardinal) κ에 대해 κ-해결가능이라고 불립니다.

토폴로지적 공간 $X$ 를 컴팩트 공간(compact space)의 조밀한 부분집합으로 삽입(embedding)은 X의 컴팩트화(compactification)라고 불립니다.

토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces) $X$ 와 $Y$ 사이의 선형 연산자(linear operator)는 만약 그것의 도메인(domain)이 $X$ 의 조밀한 부분집합이고 그것의 치역(range)이 $Y$ 내에 포함되어 있으면 조밀하게 정의된(densely defined) 것이라고 말합니다. 역시 연속 선형 확장(Continuous linear extension)을 참조하십시오.

토폴로지적 공간 $X$ 가 초월-연결된(hyperconnected) 것과 모든 각 비-빈 열린 집합이 $X$ 에서 조밀한 것은 필요충분 조건입니다. 토폴로지적 공간이 부분-최대(submaximal)인 것과 모든 각 조밀한 부분집합이 열린 것은 필요충분 조건입니다.

만약 $\left(X,d_{X}\right)$ 가 메트릭 공간이면, 비-빈 부분집합 $Y$ 는 만약 다음이면 $\varepsilon$ -조밀한 것이라고 말합니다: $\forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .$

우리는 그런-다음 $D$ 가 $\left(X,d_{X}\right)$ 에서 조밀한 것과 그것이 모든 각 $\varepsilon >0$ 에 대해 ε-조밀한 것은 필요충분 조건임을 보일 수 있습니다.

References

^ Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X
^ Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "A generalized Banach-Mazur theorem". Bull. Austral. Math. Soc. 1 (2): 169–173. doi:10.1017/S0004972700041411.

proofs

^ Suppose that $A$ and $B$ are dense open subset of a topological space $X.$ If $X=\varnothing$ then the conclusion that the open set $A\cap B$ is dense in $X$ is immediate, so assume otherwise. Let $U$ is a non-empty open subset of $X,$ so it remains to show that $U\cap (A\cap B)$ is also not empty. Because $A$ is dense in $X$ and $U$ is a non-empty open subset of $X,$ their intersection $U\cap A$ is not empty. Similarly, because $U\cap A$ is a non-empty open subset of $X$ and $B$ is dense in $X,$ their intersection $U\cap A\cap B$ is not empty. $\blacksquare$