Discrete mathematics

이산 수학(Discrete mathematics)은 (연속 함수와 유사하게) 연속(continuous)이 아닌 (자연수의 집합과 전단사를 가지는 이산 변수와 유사한 방법에서) 이산(discrete)으로 고려될 수 있는 수학적 구조(mathematical structures)의 연구입니다. 이산 수학에서 연구되는 대상은 정수, 그래프, 및 논리에서 명제를 포함합니다.^[1]^[2]^[3] 대조적으로, 이산 수학은 실수, 미적분 또는 유클리드 기하학과 같은 "연속 수학"에서 주제를 제외합니다. 이산 대상은 종종 정수에 의해 열거될 수 있습니다; 보다 형식적으로, 이산 수학은 셀-수-있는 집합^[4] (유한 집합 또는 자연수와 같은 카디널리티를 갖는 집합)을 다루는 수학의 한 가지로 특징지어졌습니다. 어쨌든, "이산 수학"이라는 용어의 정확한 정의는 없습니다.^[5]

이산 수학에서 연구되는 대상의 집합은 유한 또는 무한일 수 있습니다. 용어 유한 수학(finite mathematics)은 유한 집합, 특히 비즈니스와 관련된 그것들의 분야를 다루는 이산 수학의 분야의 일부에 때때로 적용됩니다.

이산 수학에서 연구는 이산 단계에서 작동하고 "이산" 비트에서 데이터를 저장하는 디지털 컴퓨터의 개발로 인해 부분적으로 이십세기 후반에 증가했습니다. 이산 수학으로부터 개념과 표기법은 컴퓨터 알고리듬(computer algorithm), 프로그래밍 언어(programming language), 암호화(cryptography), 자동화된 정리 증명(automated theorem proving), 및 소프트웨어 개발(software development)과 같은, 컴퓨터 과학(computer science)의 가지에서 대상과 문제를 연구하고 설명하는 데 유용합니다. 반대로, 컴퓨터 구현은 이산 수학에서 아이디어를 실-생활 문제에 적용하는 데 중요합니다.

비록 이산 수학에서 연구의 주요 대상은 이산 대상일지라도, 연속 수학에서 해석적(analytic) 방법도 마찬가지로 사용됩니다.

대학 커리큘럼에서, "이산 수학"은 처음에 컴퓨터 과학 지원 과정으로 1980년대에 나타났습니다; 그것의 내용은 당시에는 다소 우연했습니다. 그 이후 커리큘럼은 기본적으로 신입생의 수학적 성숙(mathematical maturity)을 개발하기 위한 의도에서 과정 내에 ACM과 MAA에 의한 연결 노력과 함께 발전되어 왔습니다; 그러므로, 그것은 오늘날 일부 대학의 수학 전공을 위한 전제 조건입니다.^[6]^[7] 일부 고등학교-수준 이산 수학 교과서도 마찬가지로 나타나져 왔습니다.^[8] 이 수준에서, 이산 수학은 때때로 이런 관점에서 미적분학-준비-과정(precalculus)과 달리, 예비 과정으로 보입니다.^[9]

풀커슨 상(Fulkerson Prize)은 이산 수학에서 우수한 논문에 대해 수여됩니다.

Grand challenges, past and present

이산 수학의 역사는 그 분야의 영역 내에서 관심을 집중시킨 많은 도전적인 문제를 포함했습니다. 그래프 이론에서, 많은 연구는 1852년에 처음 언급되었지만 1976년까지 입증되지 않았던 네 가지 색깔 정리(four color theorem)를 증명하려는 시도에 의해 동기가 부여되었습니다 (1976년 증명은 Kenneth Appel과 Wolfgang Haken에 의한 것으로, 상당한 컴퓨터 지원을 사용합니다).^[10]

논리(logic)에서, 1900년에 제시된 다비트 힐베르트(David Hilbert)의 열린 문제 목록에서 두 번째 문제는 산술의 공리(axioms)가 일관적(consistent)임을 입증하는 것이었습니다. 1931년에 입증된 괴델의 두 번째 불완전성 정리(Gödel's second incompleteness theorem)는 이것이 적어도 산술 자체 내에서는 가능하지 않다는 것을 보여주었습니다. 힐베르트의 열 번째 문제(Hilbert's tenth problem)는 정수 계수를 갖는 주어진 다항 디오판토스 방정식(Diophantine equation)이 정수 해를 가지는지 여부를 결정하는 것이었습니다. 1970년에, 유리 마티야세비치(Yuri Matiyasevich)는 이것이 불가능하다는 것을 입증했습니다.

제2차 세계 대전에서 독일 암호를 해독해야 할 필요성은 암호화(cryptography)와 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)의 발전으로 이어졌으며, 앨런 튜링( Alan Turing)과 그의 중요한 연구, On Computable Numbers의 지침에 따라 영국의 블레츨리 파크(Bletchley Park)에서 최초의 프로그래밍 가능한 디지털 전자 컴퓨터가 개발되었습니다.^[11] 냉전은 이후 수십 년 동안 개발되는 공개-키 암호화(public-key cryptography)와 같은 근본적인 발전과 함께 암호화가 여전히 중요하다는 것을 의미했습니다. 통신 산업은 역시 이산 수학, 특히 그래프 이론과 정보 이론(information theory)의 발전에 동기를 부여했습니다. 논리에서 명제의 형식적 검증(Formal verification)이 안전-필수 시스템(safety-critical systems)의 소프트웨어 개발에 대해 필요해져 왔고, 자동화된 정리 입증(automated theorem proving)에서 발전은 이러한 필요성에 의해 추진되어 왔습니다.

계산적 기하학(Computational geometry)은 현대 비디오 게임과 컴퓨터-지원 설계 도구에 통합된 컴퓨터 그래픽의 중요한 부분이었습니다.

이산 수학의 여러 분야, 특히 이론적 컴퓨터 과학, 그래프 이론, 및 조합론(combinatorics)은 생명 나무(tree of life)를 이해하는 것과 관련된 까다로운 생물-정보학(bioinformatics) 문제를 해결하는 데 중요합니다.^[12]

현재, 이론적 컴퓨터 과학에서 가장 유명한 열린 문제 중 하나는 복잡도 클래스(complexity classes) P와 NP 사이의 관계를 포함하는 P = NP 문제(P = NP problem)입니다. 클레이 수학 연구소(Clay Mathematics Institute)는 6개의 다른 수학적 문제에 대한 상금과 함께 첫 번째 올바른 증명에 대해 미화 100만 달러의 상금을 제공해 왔습니다.^[13]

Topics in discrete mathematics

Theoretical computer science

Computational geometry applies computer algorithms to representations of geometrical objects.

이론적 컴퓨터 과학은 컴퓨팅과 관련된 이산 수학의 영역을 포함합니다. 그것은 그래프 이론(graph theory)과 수학적 논리(mathematical logic)에 크게 의존합니다. 이론적 컴퓨터 과학은 알고리듬과 데이터 구조의 연구를 포함합니다. 계산-가능성(Computability)은 원칙적으로 계산될 수 있는 것을 연구하고, 논리와 밀접한 관련이 있고, 반면에 복잡도는 계산에 의해 사용된 시간, 공간, 및 기타 자원을 연구합니다. 오토마타 이론(Automata theory)과 형식적 언어(formal language) 이론은 계산 가능성과 밀접한 관련이 있습니다. 피트리 네트(Petri nets)와 프로세스 대수(process algebras)는 컴퓨터 시스템을 모델링하기 위해 사용되고, 이산 수학으로부터 방법은 VLSI 전자 회로를 분석하는 데 사용됩니다. 계산적 기하학(Computational geometry)은 기하학적 문제와 기하학적 대상의 표현에 알고리듬을 적용하고, 반면 컴퓨터 이미지 분석(computer image analysis)은 이미지 표현에 알고리듬을 적용합니다. 이론적 컴퓨터 과학은 다양한 연속 계산적 주제에 대한 연구도 포함합니다.

Information theory

정보 이론은 정보(information)의 정량화를 포함합니다. 밀접하게 관련된 것은 효율적이고 안정적인 데이터 전송과 저장 방법을 설계하기 위해 사용되는 코딩 이론(coding theory)입니다. 정보 이론은 역시 아날로그 신호(analog signals), 아날로그 코딩(analog coding), 아날로그 암호화(analog encryption)와 같은 연속 주제도 포함합니다.

Logic

논리는 일관성(consistency), 건전성(soundness), 및 완전성(completeness)뿐만 아니라 유효한 추리와 추론(inference)의 원리에 대한 연구입니다. 예를 들어, 대부분의 논리 시스템에서 (그러나 직관적 논리에서는 아님) 퍼스의 법칙 (((P→Q)→P)→P)은 하나의 정리입니다. 고전적 논리에 대해, 그것은 진리 테이블로 쉽게 확인될 수 있습니다. 수학적 증명(mathematical proof)에 대한 연구는 논리학에서 특히 중요하고, 자동화된 정리 입증(automated theorem proving)과 소프트웨어의 형식적 검증(formal verification)으로 축적되어 왔습니다.

논리적 형식(Logical formulas)은 유한 트리^[14] 또는 보다 일반적으로 방향화된 비-순환 그래프(directed acyclic graph)^[15]^[16] 구조를 형성하는 증명과 마찬가지로 이산 구조입니다 (각 추론 단계는 하나 이상의 전제(premise) 가지를 결합하여 단일 결론을 제공합니다). 논리적 형식의 진리 값은 보통 유한 집합을 형성하며, 일반적으로 참과 거짓의 두 값으로 제한되지만, 논리는 퍼지 논리와 같이 연속 값일 수도 있습니다. 무한 증명 트리 또는 무한 파생 트리: 예를 들어, 무한-항 논리(infinitary logic)와 같은 개념도 연구되어 왔습니다.^[17]

Set theory

집합 이론은 {파란색, 흰색, 빨간색} 또는 모든 소수의 (무한) 집합과 같은 대상의 모음인 집합을 연구하는 수학의 한 가지입니다. 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered sets)과 다른 관계(relations)를 갖는 집합은 여러 영역에서 응용을 가집니다.

이산 수학에서, 셀-수-있는 집합 (유한 집합 포함)이 주요 초점입니다. 수학의 한 가지로 집합 이론의 시작은 보통 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 다양한 종류의 무한 집합 사이를 구별하는 연구로 표시되고, 삼각함수의 연구에 동기-부여되었고, 무한 집합 이론의 이후의 개발은 이산 수학의 범위를 벗어납니다. 실제로, 기술적 집합 이론(descriptive set theory)에서 현대 연구는 전통적인 연속 수학을 광범위하게 사용합니다.

Combinatorics

조합론은 이산 구조가 조합되거나 배열될 수 있는 방법을 연구합니다. 열거 조합론(Enumerative combinatorics)은 특정 조합론적 대상의 숫자를 세는 데 집중합니다 – 열두겹 방법(twelvefold way)은 순열(permutations), 조합(combinations), 및 분할(partitions)을 세는 데 통합된 프레임워크를 제공합니다. 해석적 조합론(Analytic combinatorics)은 복소 해석학(complex analysis)과 확률 이론(probability theory)의 도구를 사용하여 조합론적 구조의 열거 (즉, 숫자를 결정)에 관한 것입니다. 명시적 조합론적 형식과 결과를 설명하기 위한 생성하는 함수(generating functions)를 사용하는 열거 조합론과 달리, 해석적 조합론은 점근적 형식(asymptotic formulae)을 얻는 것을 목표로 합니다. 토폴로지적 조합론(Topological combinatorics)은 조합론에서 토폴로지와 대수적 토폴로지/조합론적 토폴로지의 기술 사용에 관한 것입니다. 디자인 이론은 특정 교집합(intersection) 속성을 갖는 부분집합의 모음인 조합론적 디자인(combinatorial designs)의 연구입니다. 분할 이론(Partition theory)은 정수 분할과 관련된 다양한 열거와 점근적 문제를 연구하고, q-급수(q-series), 특수 함수(special functions), 및 직교 다항식(orthogonal polynomials)과 밀접한 관련이 있습니다. 원래 숫자 이론(number theory)과 해석학(analysis)의 일부, 분할 이론은 이제 조합론 또는 독립 분야의 일부로 고려됩니다. 순서 이론(Order theory)은 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered sets), 유한과 무한 집합 모두에 대한 연구입니다.

Graph theory

그래프 이론, 그래프(graphs)와 네트워크(networks)에 대한 연구는 종종 조합론의 일부로 고려되지만, 그 자체에서 주제로 고려되고, 자체의 문제의 종류를 갖는 충분히 커지고 충분히 뚜렷하게 성장해 왔습니다.^[18] 그래프는 이산 수학에서 연구의 주요 대상 중 하나입니다. 그것들은 자연스러운 그리고 인간이 만든 구조의 가장 유비쿼터스 모델 중 하나입니다. 그것들은 물리적, 생물학적, 및 사회적 시스템에서 다양한 유형의 관계와 프로세스 동역학을 모델링할 수 있습니다. 컴퓨터 과학에서, 그것들은 통신의 네트워크, 데이터 구성, 계산적 장치, 계산의 흐름 등을 나타낼 수 있습니다. 수학에서, 그것들은 기하학과 토폴로지(topology), 예를 들어, 매듭 이론(knot theory)의 특정 부분에 유용합니다. 대수적 그래프 이론(algebraic graph theory)은 그룹 이론과 밀접한 연결을 가지고 토폴로지적 그래프 이론(topological graph theory)은 토폴로지와 밀접한 연결을 가집니다. 역시 연속 그래프도 있습니다; 어쨌든, 대부분의 경우에 대해, 그래프 이론에서 연구는 이산 수학의 영역에 속합니다.

Number theory

숫자 이론은 일반적으로 숫자, 특히 정수의 속성과 관련이 있습니다. 그것은 특히 모듈러 산술, 디오판토스 방정식, 선형과 이차 합동, 소수와 소수성 테스트와 관련하여 암호화와 암호-해석에 응용을 가집니다. 숫자 이론의 다른 이산 측면은 숫자의 기하학(geometry of numbers)을 포함합니다. 해석적 숫자 이론(analytic number theory)에서, 연속 수학의 기법도 사용됩니다. 이산 대상을 넘어서는 주제는 초월적 숫자(transcendental numbers), 디오판토스 근사(diophantine approximation), p-진수 해석(p-adic analysis)과 함수 필드(function fields)를 포함합니다.

Algebraic structures

대수적 구조(Algebraic structures)는 이산 예제와 연속 예제 모두로 발생합니다. 이산 대수는 다음을 포함합니다: 논리 게이트와 프로그래밍에 사용되는 부울 대수; 데이터베이스에서 사용되는 관계형 대수; 그룹, 링, 및 필드의 이산과 유한 버전은 대수적 코딩 이론(algebraic coding theory)에서 중요합니다; 이산 반그룹(semigroups)과 모노이드(monoids)는 형식적 언어(formal languages)의 이론에 나타납니다.

Discrete analogues of continuous mathematics

연속 수학에서 이산 미적분, 이산 푸리에 변환, 이산 기하학, 이산 로그, 이산 미분 기하학, 이산 외부 미적분, 이산 모스 이론, 이산 최적화, 이산 확률 이론, 이산 확률 분포, 차이 방정식, 이산 동역학적 시스템, 및 이산 벡터 측정과 같은 이산 버전을 가지는 많은 개념과 이론이 있습니다.

Calculus of finite differences, discrete analysis, and discrete calculus

이산 미적분(discrete calculus)과 유한 차이의 미적분(calculus of finite differences)에서, 정수의 구간 위에 정의된 함수는 보통 수열(sequence)이라고 불립니다. 수열은 데이터 원천의 유한 수열이거나 이산 동역학적 시스템(discrete dynamical system)에서 무한 수열일 수 있습니다. 그러한 이산 함수는 (해당 영역이 유한이면) 목록 또는 그것의 일반 항에 대해 형식에 의해 명시적으로 정의될 수 있거나, 재귀 관계(recurrence relation) 또는 차이 방정식(difference equation)에 의해 암시적으로 제공될 수 있습니다. 차이 방정식은 미분 방정식(differential equations)과 유사하지만, 인접한 항 사이의 차이를 취함으로써 미분(differentiation)을 대체합니다; 그것들은 미분 방정식을 근사화하는 데 사용될 수 있거나 (더 자주) 그 자체로 연구될 수 있습니다. 미분 방정식에 관한 많은 질문과 방법은 차이 방정식에 대해 짝을 가집니다. 예를 들어, 연속 함수 또는 아날로그 신호를 연구하기 위한 조화 해석학(harmonic analysis)에서 적분 변환(integral transforms)이 있으면, 이산 함수 또는 디지털 신호에 대해 이산 변환(discrete transforms)이 있습니다. 이산 메트릭 공간(discrete metric spaces)뿐만 아니라, 더 일반적인 이산 토폴로지적 공간(discrete topological spaces), 유한 메트릭 공간(finite metric spaces), 유한 토폴로지적 공간(finite topological spaces)이 있습니다.

시간 스케일 미적분(time scale calculus)은 미분 방정식(differential equations)의 이론과 차이 방정식(difference equations)의 이론을 통합한 것으로, 이산 데이터와 연속 데이터의 동시 모델링을 요구하는 분야에 응용을 가집니다. 그러한 상황을 모델링하는 또 다른 방법은 하이브리드 동역학적 시스템(hybrid dynamical systems)의 개념입니다.

Discrete geometry

이산 기하학(discrete geometry)과 조합론적기하학은 기하학적 대상의 이산 모음(discrete collections)의 조합론적 속성에 대한 것입니다. 이산 기하학에서 오랜 주제는 평면의 타일링(tiling of the plane)입니다.

대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 곡선의 개념은 유한 필드(finite fields)에 걸쳐 다항식 링(polynomial rings)의 스펙트럼(spectra)을 해당 필드에 걸쳐 아핀 공간(affine spaces)의 모델로 취하고, 다른 링의 부분-다양체(subvarieties) 또는 스펙트럼이 해당 공간에 놓이는 곡선을 제공하도록 설정함으로써 이산 기하학으로 확장될 수 있습니다. 비록 곡선이 나타나는 공간이 유한한 숫자의 점이 있지만, 곡선은 연속 설정에서 곡선의 아날로그만큼 점 집합이 아닙니다. 예를 들어, $K$ 필드에 걸쳐 $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ 형식의 모든 각 점은 $\operatorname {Spec} K[x]/(x-c)\cong \operatorname {Spec} K$ , 하나의 점, 또는 (x-c)에서 지역적 링의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ , 그것 주위의 이웃과 함께 하나의 점으로서 연구될 수 있습니다. 대수적 다양체는 역시 자르스키 접 공간(Zariski tangent space)이라고 불리는 잘-정의된 접 공간(tangent space)의 개념을 가지며, 미적분의 많은 특색을 유한 설정에서도 적용할 수 있도록 만듭니다.

Discrete modelling

응용 수학(applied mathematics)에서, 이산 모델링(discrete modelling)은 연속 모델링(continuous modelling)의 이산 아날로그입니다. 이산 모델링에서, 이산 형식은 데이터에 적합합니다. 이러한 형태의 모델링에서 공통적인 방법은 재귀 관계(recurrence relation)를 사용하는 것입니다. 이산화(Discretization)는 종종 근사를 사용함으로써 계산을 쉽게 하기 위한 목적으로 연속 모델과 방정식을 이산 짝으로 옮기는 과정과 관련이 있습니다. 수치 해석학(Numerical analysis)은 중요한 예제를 제공합니다.

References

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External links

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Iowa Central: Electrical Technologies Program Discrete mathematics for Electrical engineering.

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