Distance

거리(Distance)는 물체나 점이 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 대한 수치적 또는 때때로 정성적 측정(measurement)입니다. 물리학(physics) 또는 일상적인 사용에서, 거리는 물리적 길이(length) 또는 다른 기준 (예를 들어, "2개 군에 걸쳐")을 기반으로 한 추정을 참조할 수 있습니다. 공간적 생각(spatial thinking)은 인간 사고(human thought)에서 개념적 은유(conceptual metaphors)의 풍부한 원천이기 때문에,^[1] 그 용어는 두 개의 유사한 대상 (예를 들어 확률 분포(probability distributions) 사이의 통계적 거리(statistical distance) 또는 텍스트의 문자열 사이의 편집 거리) 사이의 차이 또는 또는 분리의 정도 (소셜 네트워크에서 사람들 사이의 거리로 예시됨)의 차이의 총양의 측정을 의미하기 위해 은유적으로 자주 사용됩니다. 물리적 및 은유적 거리에 대한 대부분의 그러한 개념은 메트릭 공간(metric space)의 개념을 사용하여 수학(mathematics)에서 공식화됩니다.

사회 과학(social sciences)에서, 거리는 사회적 거리(social distance) 또는 심리적 거리(psychological distance)와 같은 분리의 질적 측정을 참조할 수 있습니다.

Distances in physics and geometry

물리적 위치 사이의 거리는 상황에 따라 다양한 방식으로 정의될 수 있습니다.

Straight-line or Euclidean distance

물리적 공간(space)에서 두 점 사이의 거리는 가능한 최단 경로인 두 점 사이의 직선(straight line) 길이(length)입니다. 이것은 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)을 포함한 고전 물리학(classical physics)에서 거리의 일반적인 의미입니다.

직선 거리는 이-차원(two-)과 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 수학적으로 유클리드 거리(Euclidean distance)로 공식화됩니다. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 두 점 $A$ 와 $B$ 사이의 거리는 종종 $|AB|$ 로 표시됩니다. 좌표 기하학(coordinate geometry)에서, 유클리드 거리는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용하여 계산됩니다. 평면에서 점 $(x 1, y 1)$ 과 $(x 2, y 2)$ 사이의 거리는 다음에 의해 제공됩니다:^[2]^[3] $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ 유사하게, 삼-차원 공간에서 점 $(x 1, y 1, z 1)$ 과 $(x 2, y 2, , z 2)$ 가 주어지면, 그들 사이의 거리는 다음입니다:^[2] $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$ 이 아이디어는 고차 유클리드 공간(Euclidean spaces)으로 일반화합니다.

Measurement

직선 거리를 측정(measuring)하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 예를 들어, 그것은 눈금자(ruler)를 사용하여 직접 수행하거나 레이더(radar, 장거리용) 또는 간섭계(interferometry, 매우 짧은 거리용)를 사용하여 간접적으로 수행될 수 있습니다. 우주 거리 사다리(cosmic distance ladder)는 극단적으로 먼 거리를 측정하는 일련의 방법입니다.

Shortest-path distance on a curved surface

지구 표면 위의 두 점 사이의 직선 거리는 지구의 맨틀(Earth's mantle)을 똑바로 뚫을 수 없기 때문에 대부분의 목적에 그다지 유용하지 않습니다. 대신, 우리는 까마귀가 날아갈 때 전형적으로 지구 표면을 따라 가장 짧은 경로를 측정합니다. 이것은 구 위의 큰-원 거리(great-circle distance)에 의해 수학적으로 근사화됩니다.

보다 일반적으로, 곡선 표면(curved surface)을 따라 두 점 사이의 최단 경로는 측지선(geodesic)으로 알려져 있습니다. 측지학의 호 길이(arc length)는 그 표면에 사는 개미(ant) 또는 날지 못하는 다른 생물의 관점에서 거리를 측정하는 방법을 제공합니다.

Effects of relativity

상대성 이론(theory of relativity)에서, 길이 수축(length contraction)과 동시성의 상대성(relativity of simultaneity)과 같은 현상으로 인해 물체 사이의 거리는 관성 참조 프레임(inertial frame of reference)의 선택에 따라 달라집니다. 은하계와 더 큰 스케일에서, 거리의 측정은 역시 우주 팽창(expansion of the universe)에 의해 영향을 받습니다. 실제로, 우주론(cosmology)에서는 그러한 거리를 수량화하기 위해 많은 거리 측정(distance measures)이 사용됩니다.

Other spatial distances

거리에 대한 비정상적인 정의는 특정 물리적 상황을 모델링하는 데 도움이 될 수 있지만, 이론 수학에서도 사용됩니다:

실제로, 까마귀가 날아가는 것보다 도로를 따라 두 지점 사이의 이동 거리에 관심이 있는 경우가 많습니다. 격자 계획(grid plan)에서, 거리 모퉁이 사이의 이동 거리는 맨해튼 거리(Manhattan distance)에 의해 제공됩니다: 그들 두 지점 사이를 이동하기 위해 횡단해야 하는 동-서와 북-남 블록의 개수입니다.
체비쇼프 거리(Chebyshev distance)로 공식화된 체스판 거리는 왕이 두 정사각형 사이를 이동하기 위해 체스판(chessboard)에서 수행해야 하는 최소 이동 개수입니다.

Metaphorical distances

수학, 과학, 및 공학에서 사용되는 거리에 대한 많은 추상적 개념은 유사한 대상 사이의 차이 또는 분리의 정도를 나타냅니다. 아래 부분은 몇 가지 예를 제공합니다.

Statistical distances

통계학(statistics)과 정보 기하학(information geometry)에서, 통계적 거리(statistical distances)는 두 확률 분포(probability distributions) 사이의 차이의 정도를 측정합니다. 전형적으로 발산(divergences)으로 공식화되는 많은 종류의 통계적 거리가 있습니다; 이것들은 확률 분포의 집합을 통계적 매니폴드(statistical manifold)라고 하는 기하학적 대상(geometrical object)으로 이해하는 것을 허용합니다. 가장 기본적인 것은 제곱된 유클리드 거리(squared Euclidean distance)이며, 이것은 최소 제곱(least squares) 방법으로 최소화됩니다; 이것은 가장 기본적인 브레그만 발산(Bregman divergence)입니다. 정보 이론에서 가장 중요한 것은 상대 엔트로피(relative entropy, 쿨백-라이블러 발산(Kullback–Leibler divergence))로, 기하학적으로 최대 가능도 추정(maximum likelihood estimation)을 유사하게 연구하는 것을 허용합니다; 이것은 f-발산(f-divergence)과 브레그만 발산 모두의 예입니다(그리고 사실 둘 다인 유일한 예제입니다). 브레그만 발산에 해당하는 통계적 매니폴드는 해당 기하학에서 평평한 매니폴드(flat manifolds)이며, 최적화 이론(optimization theory)에 의한 추론에서 선형 역 문제(linear inverse problems)에 대해 사용되려는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem) (제곱 유클리드 거리에 대해 유지됨)의 유사체를 허용합니다.

다른 중요한 통계적 거리는 Mahalanobis 거리(Mahalanobis distance)와 에너지 거리(energy distance)를 포함합니다.

Edit distances

컴퓨터 과학(computer science)에서, 두 문자열(strings) 사이의 편집 거리(edit distance) 또는 문자열 메트릭(string metric)은 두 문자열이 얼마나 다른지를 측정합니다. 예를 들어, 한 문자만 다른 'don'와 'dot'이라는 단어는 공통으로 문자를 가지지 않는 'dog'와 'cat'보다 더 가깝습니다. 이 아이디어는 맞춤법 검사기(spell checkers)와 코딩 이론(coding theory)에서 사용되고, 레벤슈타인 거리(Levenshtein distance), 해밍 거리(Hamming distance), 리 거리(Lee distance), 및 자로-윙클러 거리(Jaro–Winkler distance)를 비롯한 다양한 방식으로 수학적으로 공식화됩니다.

Distance in graph theory

그래프(graph)에서, 두 꼭짓점 사이의 거리(distance)는 두 꼭짓점 사이의 가장 짧은 가장자리 경로(edge path)의 길이에 의해 측정됩니다. 예를 들어, 만약 그래프가 소셜 네트워크(social network)를 나타내면, 분리의 6 정도(six degrees of separation)라는 개념은 임의의 두 꼭짓점 사이의 거리가 최대 6이라고 수학적으로 해석될 수 있습니다. 마찬가지로, 에르되시 숫자(Erdős number)와 베이컨 숫자(Bacon number)—각각 사람을 멀리하는 협력 관계의 숫자는 다작 수학자 폴 에르되시(Paul Erdős)와 배우 케빈 베이컨(Kevin Bacon)의 것—는 그래프에서 가장자리가 수학적 또는 예술적 협력을 나타내는 거리입니다.

In the social sciences

심리학(psychology), 인문 지리학(human geography), 및 사회 과학(social sciences)에서, 거리는 종종 객관적인 수치 측정이 아니라, 주관적 경험에 대한 정성적 설명으로 이론화됩니다.^[4] 예를 들어, 심리적 거리(psychological distance)는 "시간, 공간, 사회적 거리, 및 가설성"과 같은 차원에 따라 "대상이 자아로부터 제거될 수 있는 다양한 방법"입니다.^[5] 사회학(sociology)에서, 사회적 거리(social distance)는 사회 계층, 인종/민족, 성별, 또는 성적-관심(sexuality)과 같은 차원에 따라 사회에서 개인 또는 사회 그룹(social groups) 사이의 분리를 설명합니다.

Mathematical formalization

위에서 설명한 두 점 또는 대상 사이의 거리 개념의 대부분은 메트릭(metric)의 수학적 개념의 예입니다. 메트릭(metric) 또는 거리 함수(distance function)는 점 또는 객체 쌍을 실수(real numbers)로 취하고 다음 규칙을 만족시키는 함수(function) d입니다:

대상과 자신 사이의 거리는 항상 영입니다.
구별되는 대상 사이의 거리는 항상 양수입니다.
거리는 대칭적(symmetric)입니다: $x$ 에서 $y$ 로의 거리는 항상 $y$ 에서 $x$ 로의 거리와 같습니다.
거리는 삼각 부등식(triangle inequality)을 만족시킵니다: 만약 $x$ , $y$ , 및 $z$ 가 세 개의 대상이면, $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$ 이 조건은 "중간 정지는 속력을 높일 수 없습니다"로 비공식적으로 설명될 수 있습니다.

예외로서, 통계에서 사용되는 많은 발산(divergences)은 메트릭이 아닙니다.

Distance between sets

둘 이상의 점으로 구성된 물체 사이의 물리적 거리를 측정하는 방법에는 여러 가지가 있습니다:

질량 중심(center of mass)과 같은 대표 점들 사이의 거리를 측정할 수 있습니다; 이것은 지구-달 거리(Earth–Moon distance)와 같은 천문학적 거리에 사용됩니다.
두 물체의 가장 가까운 점 사이의 거리를 측정할 수 있습니다; 이런 의미에서, 비행기나 우주선의 고도(altitude)는 지구로부터의 그것의 거리입니다. 같은 거리의 의미는 유클리드 기하학에서 점에서 직선까지의 거리(distance from a point to a line), 점에서 평면까지의 거리(distance from a point to a plane), 또는, 더 일반적으로, 아핀 부분-공간(affine subspaces) 사이의 수직 거리(perpendicular distance)를 정의하기 위해 사용됩니다.

훨씬 더 일반적으로, 이 아이디어는 메트릭 공간의 두 부분-집합 사이의 거리를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 집합

A

와

B

사이의 거리는 그들 각각의 임의의 두 점 사이의 하한(infimum)입니다:

d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).

이것은 그러한 부분-집합의 집합에 대한 메트릭을 정의하지 않습니다: 겹치는 집합 사이의 거리는 영이고, 이 거리는 두 개 이상의 점을 갖는 임의의 메트릭 공간에 대한 삼각형 부등식을 만족시키지 않습니다 (두 개의 별개의 한원소로 구성된 집합의 세-쌍과 그것들의 합집합을 생각해 보십시오).

메트릭 공간의 두 부분-집합 사이의 하우스도르프 거리(Hausdorff distance)는 완벽하게 겹치는 부분에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 측정하는 것으로 생각될 수 있습니다. 좀 더 정확하게 말하면, $A$ 와 $B$ 사이의 하우스도르프 거리는 $A$ 에서 $B$ 의 가장 먼 점까지의 거리, 또는 $B$ 에서 $A$ 의 가장 먼 점까지의 거리 중 더 큰 것입니다. (여기서 "가장 먼 점"은 상한으로 해석되어야 합니다.) 하우스도르프 거리는 메트릭 공간의 컴팩트 부분-집합(compact subsets)에 대한 메트릭을 정의합니다.

Related ideas

거리라는 단어는 "점이나 물체가 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 대한 수치적 측정"이라는 설명에 포함되지 않는 관련된 개념에도 사용됩니다.

Distance travelled

물체가 이동한 거리(distance travelled)는 미로(maze)를 탐색하는 동안 걸은 거리와 같이 두 점 사이를 이동했던 특정 경로의 길이입니다.^[6] 이것은 직선으로 던진 공이나, 지구가 한 궤도(orbit)를 완료할 때와 같이 같은 지점에서 시작하고 끝나는 닫힌 곡선을 따라 닫힌 거리(closed distance)일 수도 있습니다. 이것은 곡선의 호 길이로 수학적으로 형식화됩니다.

이동한 거리도 부호화될 수 있습니다: "전진" 거리는 양수이고 "후진" 거리는 음수입니다.

원형 거리(Circular distance)는 바퀴(wheel) 원주 위의 한 지점에 의해 이동된 거리로, 차량이나 기계 기어를 설계할 때 고려하는 것에서 유용할 수 있습니다 (주행 거리(odometry) 참조). 바퀴의 원주는 $2π \times 반지름$ 입니다; 반지름이 1이면, 바퀴가 회전할 때마다 차량이 $2π$ 라디안을 이동합니다.

Displacement and directed distance

Distance along a path compared with displacement. The Euclidean distance is the length of the displacement vector.

고전 물리학에서 변위(displacement)는 시간 구간 동안 물체의 위치에서 변화를 측정합니다. 거리는 스칼라(scalar) 양, 또는 크기(magnitude)이지만, 변위는 크기와 방향(direction) 둘 다를 갖는 벡터(vector) 양입니다. 일반적으로, 두 위치 (상대 위치)의 차이를 측정하는 벡터는 때때로 방향화된 거리(directed distance)라고 불립니다.^[7] 예를 들어, 뉴욕시 중앙 도서관 깃대에서 자유의 여신상 깃대까지의 방향 거리는 다음과 같습니다:

A starting point: library flag pole
An ending point: statue flag pole
A direction: -38°
A distance: 8.72 km

Signed distance

수학(mathematics)과 해당 응용에서, 부호화된 거리 함수 (또는 방향화된 거리 함수)는 메트릭 공간(metric space)에서 주어진 점 x와 집합 Ω의 경계(boundary)까지의 직교 거리(orthogonal distance)이며, 그 부호는 x가 Ω의 내부(interior)에 있는지 여부에 따라 결정됩니다. 그 함수(function)는 Ω 내부의 점 x에서 양수 값을 가지며, x가 부호화된 거리 함수가 0인 Ω의 경계에 접근함에 따라 값이 감소하고, Ω의 외부에서 음수 값을 취합니다.^[8] 어쨌든, 대안적인 규칙이 대신 취해지기도 합니다 (즉, Ω 내부는 음수를 취하고 외부는 양수를 취합니다).^[9]

Library support

Python (programming language)
- Interspace -A package for finding the distance between two vectors, numbers and strings.
- SciPy -Distance computations (scipy.spatial.distance)
Julia (programming language)
- Julia Statistics Distance -A Julia package for evaluating distances (metrics) between vectors.

References

^ Schnall, Simone (2014). "Are there basic metaphors?". The power of metaphor: Examining its influence on social life. American Psychological Association. pp. 225–247. doi:10.1037/14278-010.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.
^ "Distance Between 2 Points". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-01.
^ "SOCIAL DISTANCES". www.hawaii.edu. Retrieved 2020-07-20.
^ Trope Y, Liberman N (April 2010). "Construal-level theory of psychological distance". Psychological Review. 117 (2): 440–63. doi:10.1037/a0018963. PMC 3152826. PMID 20438233.
^ "What is displacement? (article)". Khan Academy. Retrieved 2020-07-20.
^ "The Directed Distance" (PDF). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Archived from the original (PDF) on 10 November 2016. Retrieved 18 September 2018.
^ Chan, T.; Zhu, W. (2005). Level set based shape prior segmentation. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. doi:10.1109/CVPR.2005.212.
^ Malladi, R.; Sethian, J.A.; Vemuri, B.C. (1995). "Shape modeling with front propagation: a level set approach". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443. doi:10.1109/34.368173.

Bibliography

Deza E, Deza M (2006). Dictionary of Distances. Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.

[1] Schnall, Simone (2014). "Are there basic metaphors?". The power of metaphor: Examining its influence on social life. American Psychological Association. pp. 225–247. doi:10.1037/14278-010.

[:0-2] Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.

[3] "Distance Between 2 Points". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-01.

[4] "SOCIAL DISTANCES". www.hawaii.edu. Retrieved 2020-07-20.

[psych-5] Trope Y, Liberman N (April 2010). "Construal-level theory of psychological distance". Psychological Review. 117 (2): 440–63. doi:10.1037/a0018963. PMC 3152826. PMID 20438233.

[6] "What is displacement? (article)". Khan Academy. Retrieved 2020-07-20.

[ittcKU-7] "The Directed Distance" (PDF). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Archived from the original (PDF) on 10 November 2016. Retrieved 18 September 2018.

[8] Chan, T.; Zhu, W. (2005). Level set based shape prior segmentation. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. doi:10.1109/CVPR.2005.212.

[9] Malladi, R.; Sethian, J.A.; Vemuri, B.C. (1995). "Shape modeling with front propagation: a level set approach". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443. doi:10.1109/34.368173.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]