Endomorphism

수학(mathematics)에서, 자기-사상(endomorphism)은 수학적 대상(mathematical object)에서 자체로의 사상(morphism)입니다. 동형(isomorphism)이기도 한 자기-사상은 자기동형(automorphism)입니다. 예를 들어, 벡터 공간(vector space) $V$ 의 자기-사상은 선형 맵(linear map) $f : V \to V$ 이고, 그룹(group) $G$ 의 자기-사상은 그룹 준동형(group homomorphism) $f : G \to G$ 입니다. 일반적으로, 우리는 임의의 카테고리(category)에서 자기-사상에 대해서 얘기할 수 있습니다. 집합의 카테고리에서, 자기-사상은 집합(set) S에서 자체로의 함수(functions)입니다.

임의의 카테고리에서, $X$ 의 임의의 두 개의 자기-사상의 합성(composition)은 다시 $X$ 의 자기-사상입니다. 그것은 $X$ 의 모든 자기-사상의 집합은, $End(X)$ (또는 카테고리 $C$ 를 강조하기 위해 $End C (X)$ )로 표시되는, 모노이드(monoid)를 형성합니다.

Automorphisms

$X$ 의 역-가능(invertible) 가지-사상은 자기동형(automorphism)이라고 불립니다. 모든 자기동형의 집합은 $X$ 의 자기동형 그룹(automorphism group)이라고 불리고 $Aut(X)$ 로 표시되는 그룹 구조를 갖는 $End(X)$ 의 부분집합(subset)입니다. 다음 다이어그램에서, 화살표는 함축을 나타냅니다:

자기동형(Automorphism)	⇒	동형(Isomorphism)
⇓		⇓
자기사상(Endomorphism)	⇒	준동형(Homomorphism

Endomorphism rings

아벨 그룹(abelian group) $A$ 의 임의의 두 개의 자기-사상은 규칙 $(f + g)(a) = f (a) + g (a)$ 에 의해 함께 더해질 수 있습니다. 이 덧셈 아래에서, 그리고 곱셈이 함수 합성으로 정의됨과 함께, 아벨 그룹의 자기사상이 링 (자기사상 링)을 형성합니다. 예를 들어, $ℤ n$ 의 자기-사상의 집합은 정수 항목을 갖는 모든 $n \times n$ 행렬의 링입니다. 벡터 공간 또는 모듈로(module)의 자기사상은 전-덧셈 카테고리(preadditive category)에 있는 임의의 대상의 자기-사상과 마찬가지로 링을 형성합니다. 비-아벨 그룹의 자기사상은 근처-링(near-ring)으로 알려진 대수적 구조를 생성합니다. 일을 갖는 모든 각 링은 정규 모듈(regular module)의 자기사상 링이고, 아벨 그룹의 자기사상 링의 부분-링도 마찬가지입니다;^[1] 어쨌든 임의의 아벨 그룹의 자기사상 링이 아닌 링이 있습니다.

Operator theory

모든 구체적 카테고리(concrete category)에서, 특히 벡터 공간(vector spaces)에 대해, 자기사상은 집합에서 자체로의 맵이고, 해당 집합 위에 단항 연산자(unary operators)로 해석되며, 원소에 동작(acting)하고, 원소 궤도(orbits)의 개념을 정의되도록 허용하고, 등입니다.

현재 카테고리 (토폴로지, 메트릭, ...)에 대해 정의된 추가 구조에 따라, 그러한 연산자는 연속성(continuity), 경계성(boundedness), 등과 같은 속성을 가질 수 있습니다. 자세한 내용은 연산자 이론(operator theory)에 대한 기사에서 찾을 수 있습니다.

Endofunctions

자기함수(endofunction)는 그것의 도메인(domain)이 그것의 코도메인(codomain)과 같은 함수입니다. 준동형(homomorphic) 자기함수는 자기사상입니다.

$S$ 를 임의적인 집합이라고 놓습니다. $S$ 위의 자기사상 중에서, $S$ 의 순열(permutations)과 $S$ 에서 모든 각 $x$ 에 $S$ 에서 같은 원소 $c$ 를 연결하는 상수 함수를 찾습니다. $S$ 의 모든 각 순열은 도메인과 같은 코도메인을 가지고 전단사(bijective)이고 역-가능입니다. 만약 $S$ 가 에 둘 이상의 원소를 가지면, $S$ 위에 상수 함수는 그것의 코도메인의 적절한 부분집합인 이미지(image)를 가지고, 따라서 전단사가 아닙니다 (및 따라서 역-가능이 아닙니다). 각 자연수 $n$ 을 $n /2$ 의 바닥과 연결하는 함수는 그것의 코도메인과 같은 이미지를 가지고 역-가능이 아닙니다.

유한 자기함수는 방향화된 유사-숲(directed pseudoforests)과 동등합니다. 크기 $n$ 의 집합에 대해, 그 집합 위에 $n n$ 개의 자기함수가 있습니다.

전단사 자기함수의 특정 예제는 인볼루션(involutions); 즉, 역함수와 일치하는 함수입니다.

Notes

^ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

References

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

External links

"Endomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

[1]