Integration using Euler's formula

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적분 미적분학(integral calculus)에서, 복소수(complex number)에 대해 오일러의 공식(Euler's formula)은 삼각 함수(trigonometric functions)를 포함하는 적분을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다. 오일러의 공식을 사용하여, 임의의 삼각 함수는 복소 지수 함수, 즉 $e^{ix}$와 $e^{-ix}$의 관점에서 쓸 수 있고 그런-다음 적분될 수 있습니다. 이 기법은 종종 삼각 항등식(trigonometric identities) 또는 부분에 의한 적분화(integration by parts)를 사용하는 것보다 더 간단하고 더 빠르고, 삼각 함수를 포함하는 임의의 유리 표현(rational expression)을 적분하기 위해 충분히 강력합니다.

Euler's formula

오일러의 공식은 다음임을 말합니다:

$e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.$

$-x$를 $x$로 대체하면 다음 방정식을 제공합니다:

$e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x$

왜냐하면 코사인은 짝수 함수이고 사인은 홀수 함수이기 때문입니다. 이들 두 방정식은 다음을 제공하기 위해 사인과 코사인에 대해 풀릴 수 있습니다:

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{and}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.$

Examples

First example

다음 적분을 생각해 보십시오:

$\int \cos ^{2}x\,dx.$

이 적분에 대한 표준 접근법은 피적분을 단순화하기 위해 절반-각도 공식(half-angle formula)을 사용하는 것입니다. 우리는 대신에 오일러의 항등식을 사용할 수 있습니다:

${\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}$

이 점에서, 공식 e^2ix + e^−2ix = 2 cos 2x을 사용하여 다시 실수로 변경할 수 있습니다. 대안적으로, 우리는 복소 지수를 적분할 수 있고 끝까지 삼각 함수로 다시 변경되지 않습니다:

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}$

Second example

다음 적분을 생각해 보십시오:

$\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.$

이 적분은 삼각 항등식을 사용하여 해결하는 것은 매우 지루할 수 있지만, 오일러의 항등식은 그것을 비교적 고통없이 만듭니다:

${\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}$

이 점에서, 우리는 직접 적분할 수 있거나, 우리는 먼저 피적분을 2 cos 6x − 4 cos 4x + 2 cos 2x로 바꾸고 그것으로부터 계속할 수 있습니다.

두 방법은 다음을 제공합니다.

$\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.$

Using real parts

오일러의 항등식 외에도, 복소 표현의 실수 부분(real part)을 현명하게 사용하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 적분을 생각해 보십시오:

$\int e^{x}\cos x\,dx.$

cos x는 e^ix의 실수 부분이므로, 우리는 다음임을 압니다:

$\int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.$

오른쪽에서 적분은 평가하기 쉽습니다:

$\int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.$

따라서:

${\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}$

Fractions

일반적으로, 이 기법은 삼각 함수를 포함하는 임의의 분수를 평가하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 적분을 생각해 보십시오:

$\int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\,dx.$

오일러의 항등식을 사용하여, 이 적분은 다음이 됩니다:

${\frac {1}{2}}\int {\frac {6+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.$

만약 우리가 이제 치환(substitution) $u=e^{ix}$를 만들면, 결과는 유리 함수(rational function)의 적분입니다:

$-{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+6u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\,du.$

우리는 부분 분수 분해(partial fraction decomposition)를 사용하여 진행할 수 있습니다.

See also

• Trigonometric substitution
• Weierstrass substitution
• Euler substitution