Generator (mathematics)
수학(mathematics)과 물리학(physics)에서, 생성기(generator) 또는 생성하는 집합(generating set)이라는 용어는 여러 관련 개념 중 하나를 참조할 수 있습니다. 각 경우에서 놓여있는 개념은 더 작은 대상의 집합(set)과 이에 적용될 수 있는 연산(operations)의 집합으로, 결과적으로 생성된 집합(generated set)이라고 불리는 더 큰 대상의 모음을 생성한다는 것입니다. 더 큰 집합은 그런-다음 더 작은 집합에 의해 생성된다(generated by)고 말합니다. 공통적으로 생성하는 집합은 생성된 집합보다 더 간단한 속성의 집합을 가지는 경우이며, 따라서 그것을 논의하고 조사하기가 더 쉽습니다. 보통 생성하는 집합의 속성은 생성의 행위에 의해 어떤 식으로든 보존되는 경우입니다; 마찬가지로, 생성된 집합의 속성은 종종 생성하는 집합에 반영됩니다.
List of generators
생성하는 집합의 예제의 목록은 다음과 같습니다:
- 벡터 공간(vector space)의 생성하는 집합 또는 스팬하는 집합(spanning set): 벡터 공간을 스팬하는 집합
- 그룹의 생성하는 집합: 전체 그룹이 아닌 그룹의 임의의 부분그룹(subgroup)에 포함되지 않은 그룹(group)의 부분집합
- 링의 생성하는 집합: 링 A의 부분집합 S는 만약 S를 포함하는 A의 유일한 부분-링이 A이면 A를 생성합니다(generates).
- 링에서 아이디얼의 생성하는 집합
- 모듈의 생성하는 집합
- 생성기는, 카테고리 이론에서, 사상을 구별하기 위해 사용될 수 있는 대상입니다.
- 토폴로지(topology)에서, 토폴로지를 생성하는 집합의 모음은 부분-기저(subbase)라고 불립니다.
- 토폴로지적 대수의 생성하는 집합: S는 만약 S를 포함하는 A의 가장 작은 닫힌 부분-대수가 A이면 토폴로지적 대수 A의 생성하는 집합입니다.
Differential equations
미분 방정식(differential equations)의 연구에서, 그리고 공통적으로 물리학(physics)에서 발생하는 방정식에서, 우리는 적분을 수단으로 매니폴드(manifold), 또는 적어도, 그것의 지역적 부분을 얻기 위해 확장될 수 있는 무한소 변위의 급수의 아이디어를 가집니다. 일반적인 개념은 지수 맵을 접 공간(tangent space)에서 벡터를 가져오기 위해 사용하는 것이고 접점을 둘러싸는 열린 집합에 대한, 측지선으로, 그것들을 확장하는 것입니다. 이 경우에서, 접 공간의 원소를 매니폴드의 생성기(generators)라고 부르는 것은 드문 일이 아닙니다. 매니폴드가 일종의 대칭을 보유할 때, 전하(charge) 또는 전류(current)와 관련된 개념도 있으며, 이는 때때로 생성기라고도 불리지만, 엄밀히 말하면, 전하는 접 공간의 원소가 아닙니다.
- 리 그룹(Lie group)에 대한 리 대수(Lie algebra)의 원소는 때때로 특히 물리학자들에 의해 "그룹의 생성기"라고 참조됩니다.[1] 리 대수는 지수 맵(exponential map)을 수단으로, 적어도 지역적으로, 그룹을 생성하는 무한소 벡터로 생각될 수 있지만, 리 대수는 엄격한 의미에서 생성하는 집합을 형성하지 않습니다.[2]
- 확률론적 해석(stochastic analysis)에서, 이토 확산(Itō diffusion) 또는 보다 일반적인 이토 프로세스(Itō process)는 무한소 생성기(infinitesimal generator)를 가집니다.
- 뇌터의 정리(Noether's theorem)에 의해 암시된 임의의 연속 대칭(continuous symmetry)의 생성기(generator), 리 그룹의 생성기는 특수한 경우입니다. 이 경우에서, 생성기는 전하(charge) 또는 뇌터 전하(Noether charge)라고도 불리고, 예제는 다음을 포함합니다:
- 회전(rotations)의 생성기로 각 운동량(angular momentum),[3]
- 평행이동(translations)의 생성기로 선형 운동량(linear momentum),[3]
- 전자기학(electromagnetism)의 U(1) 대칭 그룹의 생성기인 전하(electric charge),
- 쿼크(quarks)의 색 전하(color charges)는 양자 색역학(quantum chromodynamics)에서 SU(3) 색 대칭의 생성기입니다.
- 보다 정확하게, "전하"는 리 그룹의 근 시스템(root system)에만 적용되어야 합니다.
See also
- Generating function
- Lie theory
- Symmetry (physics)
- Particle physics
- Supersymmetry
- Gauge theory
- Field (physics)
References
- ^ McMahon, D. (2008). Quantum Field Theory. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
- ^ Parker, C.B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
- ^ a b Abers, E. (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 978-0-131-461000.
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