1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

수학(mathematics)에서, 무한 급수(infinite series) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···는 절대적으로 수렴(converges absolutely)하는 기하 급수(geometric series)의 기본 예제입니다. 급수의 합은 1입니다. 합계 표기법(summation notation)에서, 이것은 다음으로 표현될 수 있습니다:

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1.

그 급수는 고대에 고려된 철학적 질문, 특히 제논의 역설(Zeno's paradoxes)과 관련됩니다.

Proof

임의의 무한 급수(infinite series)와 마찬가지로, 그 합은

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots

$n$ 이 무한대로 접근할 때, 다음 처음 $n$ 항의 부분 합(partial sum)의 극한(limit)을 의미하도록 정의됩니다:

s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}

.

다양한 논증에 의해,^[a] 우리는 이 유한 합이 다음과 같아짐을 보일 수 있습니다:

s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.

$n$ 이 무한대로 접근할 때, 항 ${\frac {1}{2^{n}}}$ 는 0에 접근하고 따라서 $s n$ 는 1로 경향입니다.

History

Zeno's paradox

이 급수는 제논의 많은 역설(Zeno's paradoxes)의 표현으로 사용되었습니다.^[1] 예를 들어, 아킬레스와 거북이의 역설에서, 전사 아킬레스는 거북이와 경주를 했습니다. 트랙은 100 미터입니다. 아킬레스는 10 m/s로 달릴 수 있지만, 거북이는 오직 5로 달립니다. 거북이는, 10-미터 이점과 함께, 제논은 주장했는데, 이길 것입니다. 아킬레스는 거북이를 잡기 위해 10 미터를 이동해야 할 것이지만, 그때에, 거북이는 이미 또 다른 5 미터를 움직일 것입니다. 아킬레스는 그런-다음 5 미터를 이동해야 할 것이며, 여기서 거북이는 2.5 미터를 이동할 것이고, 이런 식으로 계속됩니다. 제논은 거북이가 항상 아킬레스보다 앞 서 있을 것이라고 주장했습니다.

The Eye of Horus

호루스의 눈(Eye of Horus)의 부분은 한때 급수의 처음 여섯 더해지는-숫자를 나타내는 것으로 생각되었습니다.^[2]

In a myriad ages it will not be exhausted

급수의 버전은 고대 도교 책 Zhuangzi에 나타납니다. "All Under Heaven"의 기타 장은 다음 문장을 포함합니다: "자(chi) 길이 막대를 취하고 매일 절반을 제거하십시오. 무수한 시대에서 그것은 소진되지 않을 것입니다."^{[citation needed]}

References

^ Wachsmuth, Bet G. "Description of Zeno's paradoxes". Archived from the original on 2014-12-31. Retrieved 2014-12-29.
^ Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.

^ For example: multiplying $s n$ by 2 yields $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Subtracting $s n$ from both sides, one concludes $s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$ Other arguments might proceed by mathematical induction, or by adding ${\frac {1}{2^{n}}}$ to both sides of $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ and manipulating to show that the right side of the result is equal to 1.^{[citation needed]}

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[2] Wachsmuth, Bet G. "Description of Zeno's paradoxes". Archived from the original on 2014-12-31. Retrieved 2014-12-29.

[3] Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6.

[1] For example: multiplying $s n$ by 2 yields $2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right]=1+\left[s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}\right].$ Subtracting $s n$ from both sides, one concludes $s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$ Other arguments might proceed by mathematical induction, or by adding ${\frac {1}{2^{n}}}$ to both sides of $s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ and manipulating to show that the right side of the result is equal to 1.^{[citation needed]}

[a]

[1]

[2]