History of calculus

그의 초기 역사에서 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)으로 알려진, 미적분학(Calculus)은 극한(limits), 함수(functions), 도함수(derivative), 적분(integral), 및 무한 급수(infinite series)에 초점을 맞춘 수학 분야입니다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)는 17세기 중반에 독립적으로 미적분학을 발견했습니다. 어쨌든, 두 발명가는 상대방이 자신의 연구를 훔쳤음을 주장했고, 라이프니츠-뉴턴 미적분학 논쟁(Leibniz-Newton calculus controversy)은 그들 삶의 끝까지 계속되었습니다.

Pioneers of calculus

Ancient

고대 시대는 적분학(integral)을 가져왔던 일부 아이디어가 소개되었지만, 이들 아이디어를 엄격하고 시스템적인 방식에서 개발되었던 것은 아닌 것으로 보입니다. 적분법의 목표 중 하나, 부피와 넓이의 계산은 이집트의(Egyptian) 모스코우 파피루스(Moscow papyrus) (기원전 c. 1820)에서 찾아질 수 있지만, 공식은 구체적인 숫자에 대해 오직 주어졌고, 일부는 오직 대략 참이고, 그들은 연역적 추론에 의해 파생되지 않았습니다.^[1] 바빌로니아(Babylon)인은 목성(Jupiter)의 천문학적 관측을 하는 동안 사다리꼴 규칙(trapezoidal rule)을 발견했을 것입니다.^[2]^[3]

그리스 수학(Greek mathematics)의 시대부터, 에우독소스(Eudoxus) (기원전 c. 408–355)는 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했는데, 이것은 넓이와 부피를 계산하기 위한 극한의 개념을 예고하는 것이었고, 반면에 아르키메데스(Archimedes) (기원전 c. 287–212)는 이 아이디어를 더 발전시켰는데, 적분학의 방법을 닮은 휴리스틱(heuristics)을 발명했습니다.^[4] 그리스 수학자(Greek mathematicians)는 무한소(infinitesimal)의 중요한 사용을 역시 믿었습니다. 데모크리토스(Democritus)는 대상의 분할을 단면적의 무한한 숫자로 심각하게 고려한 기록된 첫 번째 사람이지만, 원뿔의 매끄러운 경사면을 가진 이산 단면적을 유리화하기 위한 그의 비능력은 그 아이디어를 받아들이는 것으로부터 그를 막았습니다. 거의 같은 시기에, 엘레아의 제논(Zeno of Elea)은 그들이 만든 역설(paradoxes)의 그의 분절에 의해 더이상 무한소를 신용하지 않았습니다.

아르키메데스는 이 방법을 더욱 발전시켰는데, 그의 The Quadrature of the Parabola, The Method, 및 On the Sphere and Cylinder에서 현대의 개념과 약간 비슷한 휴리스틱 방법을 역시 발명했습니다.^[5] 어쨌든, 그것은 무한소가 이 기간 동안 엄격한 기반에 놓여 있다고 생각해서는 안됩니다. 오직 적절한 기하학적 증명으로 보완되었을 때 그리스 수학자는 명제를 사실로 받아들였습니다. 그것은 17세기까지 공식화되지 않았고, 그 방법은 카발리에리(Cavalieri)에 의해 불가분의 방법(method of indivisibles)으로 공식화되었고 결국 뉴턴(Newton)에 의해 적분학(integral calculus)의 일반적인 프레임워크로 통합되었습니다. 아르키메데스는 미적분학과 비슷한 방법으로 원이 아닌 곡선에 대한 접선을 처음으로 발견했습니다. 나선형을 연구하는 동안, 그는 점의 운동을 두 개의 성분, 방사형의 운동 성분 하나 그리고 원형의 운동 성분 하나로 분리했었고, 그런 다음 두 성분 운동을 계속 추가하여, 그것에 의하여 곡선에 대한 접선을 찾았습니다.^[6] 아이작 배로(Isaac Barrow)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)와 같은 미적분학의 개척자들은 아르키메데스의 근면한 학생들이었습니다; 예를 들어 C. S. Roero (1983)를 참조하십시오.

Medieval

소진의 방법(method of exhaustion)은 원의 넓이를 찾기 위해 기원후 4세기에서 류 혜(Liu Hui)에 의해 중국(China)에서 재발명되었습니다.^[7] 기원후 5세기에서, 조충지(Zu Chongzhi)는 구(sphere)의 부피를 찾기 위한 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)라고 나중에 불리는 방법을 확립했습니다.^[8] 중동 지역에서, 알하젠(Alhazen)은 네 번째 거듭제곱(fourth power)의 합에 대해 공식을 도출했습니다. 그는 지금 적분화(integration)라고 불리는 것을 수행하기 위해 그 결과를 사용했는데, 여기서 제곱과 네 번째 거듭제곱 적분의 합에 대해 공식은 포물면체(paraboloid)의 부피를 계산하는 것을 그에게 허용했습니다.^[9] 14세기에서, 인도의 수학자 산가마그라마의 마드하바(Madhava of Sangamagrama)와 천문과 수학의 케랄라 학교(Kerala School of Astronomy and Mathematics)는 테일러 급수(Taylor series)와 무한 급수(infinite series) 근사법과 같은 미적분학의 구성 요소를 기술했습니다.^[10] 어쨌든, 그들은 도함수(derivative)와 적분(integral)이라는 두 가지 통일된 주제 아래에서 많은 다른 아이디어를 결합하는 것, 둘 사이의 관계를 보여주는 것, 미적분을 오늘날 우리가 가지고 있는 강력한 문제-해결 도구로 바꾸기 위한 능력은 없었습니다.^[9]

연속성의 수학적 연구는 옥스퍼드의 연구자들(Oxford Calculators)과 니콜 오렘(Nicole Oresme)과 같은 프랑스 공동작업자들에 의해 14세기에서 부활되었습니다. 그들은 "머턴 평균 속력 정리(mean speed theorem)"을 증명했습니다: 그것은 균일하게 가속된 몸체는 그의 속도가 가속된 몸체의 최종 속력의 절반인 균등한 속력을 가진 몸체와 동일한 거리를 이동한다는 것입니다.^[11]

Modern

17세기에서, 유럽의 수학자 아이작 배로(Isaac Barrow), 르네 데카르트(René Descartes), 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat), 블레즈 파스칼(Blaise Pascal), 존 월리스(John Wallis) 및 다른 사람들은 도함수(derivative)의 아이디어를 논의했습니다. 특히 Methodus ad disquirendam maximam et minima와 De tangentibus linearum curvarum에서, 페르마는 미분화와 밀접한 관련된 다양한 곡선에 대한 최대, 최소 및 접선을 결정하기 위한 적합성(adequality) 방법을 개발했습니다.^[12] 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 나중에 미적분에 관한 자신의 초기 아이디어는 "접선을 그리는 페르마의 방법"에서 직접 나온 것이라고 씁니다.^[13]

적분 측면에서, 카발리에리(Cavalieri)는 1630년대와 1640년대에, 고대 그리스의 소진의 방법(method of exhaustion)의 보다 현대의 형태를 제공하고,^{[disputed – discuss]} 이전에 아르키메데스에 의한 포물선에 대해 오직 계산될 수 있었던, 높은 차수의 곡선 xⁿ 아래의 넓이, 카발리에리의 구적법 공식(Cavalieri's quadrature formula)을 계산하는, 그의 불가분의 방법(method of indivisibles)을 개발했습니다. 토리첼리(Torricelli)는 이 연구를 싸이클로이드(cycloid)와 같은 다른 곡선으로 확장했고, 그 후에 1656년 월리스(Wallis)에 의해 분수적 및 음의 거듭제곱으로 일반화되었습니다. 1659년 논문에서, 페르마는 직접 임의의 거듭제곱 함수의 적분을 평가하는 독창적인 트릭과 함께 인증됩니다.^[14] 페르마는, 구적법에서 뒤따른 연구에 영향을 미치는, 다양한 평면 및 고체 모양의 무게 중심을 찾는 기법을 역시 얻었습니다. 접하는 것과 구적법 둘 다에 대한 페르마에 의한 기여에 영향을 받은, 제임스 그레고리(James Gregory)는 17세기 중반에서 두 번째 미적분의 근본 정리(fundamental theorem of calculus)의 제한된 버전을 그 후에 증명할 수 있었습니다.^{[citation needed]} 미적분학의 근본 정리(fundamental theorem of calculus)에 대한 최초의 완전한 증명은 아이작 배로(Isaac Barrow)에 의해 제공되었습니다.^[15]

실수 변수의 함수의 미적분학의 수립에 대한 하나의 전제는 유리 함수(rational function) $f(x)\ =\ {\frac {1}{x}}$ 에 대해 역도함수(antiderivative)를 찾는 것을 포함합니다. 이 문제는 직각 쌍곡선 xy = 1의 구적법(quadrature)으로 표현될 수 있습니다. 1647년에서, 그레고와르 데 생-빈센트(Grégoire de Saint-Vincent)는 요구된 함수 F가 $F(st)=F(s)+F(t)$ 를 만족하므로, 기하 수열(geometric sequence)은, F 아래에서, 산술 수열(arithmetic sequence)이 되는 것을 주목합니다. 알퐁스 안토니오 드 사라사(A. A. de Sarasa)는 이 특색을 로그라고 불리는 현대 알고리듬과 결합하여 곱셈을 덧셈으로 렌더링함으로써 산술을 절약했습니다. 그래서 F는 "쌍곡 로그(hyperbolic logarithm)"로 최초로 알려졌습니다. 오일러(Euler)가 e = 2.71828...을 개척하고, F가 지수 함수(exponential function)의 역함수(inverse function)로 식별된 후, 그것은 ${\frac {dF}{dx}}\ =\ {\frac {1}{x}}$ 를 만족하는 자연 로그(natural logarithm)가 되었습니다.

롤의 정리(Rolle's theorem)의 최초의 증명은 네덜란드 수학자 요한 반 웨이블렌 허드(Johann van Waveren Hudde)에 의해 개발된 방법을 사용하여 1691년 미셸 롤(Michel Rolle)에 의해 제공되었습니다.^[16] 그의 현대 형태에서 평균값 정리는 현대 미적분학의 설립 후에 역시 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)와 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy) (1789–1857)에 의해 기술되었습니다. 중요한 기여는 배로(Barrow), 하위헌스(Huygens) 및 많은 다른 사람들에 의해 역시 이루어졌습니다.

Newton and Leibniz

뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz) 이전에, 단어 "미적분학"은 수학의 임의의 몸에 대해 언급했었지만, 그 다음 해에서, "미적분학"은 그들 통찰력을 바탕으로 수학의 한 분야에 대해 인기있는 용어가 되었습니다.^[17] 이 연구를 토대로, 뉴턴과 라이프니츠는 17세기 후반에 무한소 미적분학의 주변 이론을 독자적으로 개발했습니다. 또한 라이프니츠는 일관되고 유용한 표기법 및 개념을 개발하는 데 많은 노력을 기울였습니다. 뉴턴은 물리학, 특히 적분 미적분학(integral calculus)의 가장 중요한 응용의 일부를 제공했습니다. 이 절의 목적은 뉴턴과 라이프니츠의 조사를 무한소 미적분학의 발전 분야로 검토하는 것입니다. 특정한 중요성은 그들이 스스로 미적분학을 상상했을 때 그들이 미적분학을 이해하기 위한 시도에서 사용했던 정당성과 서술적 용어를 쓸 것입니다.

17세기 중반에, 유럽 수학은 지식의 그의 주요 저장소를 변경했습니다. 연구에 대해 출발점으로 헬레니즘(Hellenistic) 수학을 유지했던 지난 세기에 대한 비교에서, 뉴턴, 라이프니츠와 그 동시대인들은 점점 더 현대 사상가들의 연구를 바라보았습니다.^[18] 유럽은 급성장하는 수학 공동체의 고향으로 자리잡았고 강화된 제도적 및 조직적 기반의 출현으로 새로운 수준의 조직 및 학업 통합이 이루어졌습니다. 중요하게, 어쨌든, 공동체는 형식주의가 부족했습니다; 대신 그것은 다양한 방법, 기술, 표기법(notation), 이론(theories), 및 역설(paradox)의 무질서한 질량으로 구성되었습니다.

뉴턴은 물리학(physics)과 기하학(geometry)에서 그의 조사의 일부로 미적분학에 도달했습니다. 그는 미적분학을 운동과 크기(magnitude)의 생성의 과학적 서술로 보았습니다. 비교해서, 라이프니츠는 접선 문제(tangent problem)에 초점을 맞췄었고 미적분학은 변화의 형이상학적(metaphysical) 설명이라고 믿게 되었습니다. 중요하게, 그들 통찰력의 핵심은 함수의 적분(integral)과 미분(differential) 사이의 역 속성의 형식화였습니다. 이 통찰력은 그들 전임자들에 의해 예측되어 왔지만, 그들은 새로운 수사학 및 서술적 용어가 만들어지는 것에서 시스템으로 미적분학을 상상했던 것은 처음이었습니다.^[19] 그들의 유일한 발견은 그들의 상상력뿐만 아니라, 그들 주변의 통찰력을 보편적 알고리듬 과정을 종합, 그것에 의하여 새로운 수학적 시스템을 형성하는 그들 능력에 둡니다.

Newton

뉴턴은 그의 유율(fluxion)적 미적분학을 형식화하는 결정적인 출판물을 완성하지 못했습니다; 오히려, 그의 수학적 발견의 많은 부분은 서신, 작은 논문 또는 Principia와 Opticks와 같은 그의 다른 결정적인 편집에서 삽입된 관점을 통해 전달되었습니다. 뉴턴은 캠브리지(Cambridge)에서 아이작 배로(Isaac Barrow)의 선택된 후계자로 수학적 교육을 시작했을 것입니다. 그의 적성은 일찍이 인식되었고 그는 현재 이론을 빠르게 배웠었습니다. 1664년에 뉴턴은 분수와 음의 지수(exponent)를 포함하도록 확장한 이항 정리(binomial theorem)를 발전시킴으로써 그의 첫 번째 중요한 기여를 만들었습니다. 뉴턴은 무한 급수(infinite series)의 해석에서 유한 양의 대수를 적용함으로써 이항 정리의 응용가능성을 확대하는 것에서 성공했습니다. 그는 무한 급수를 근사적 장치뿐만 아니라, 항을 표현하는 대안적인 형태로 무한 급수를 보는 의지를 보였습니다.^[20]

뉴턴의 비판적 통찰력의 대부분은 1665–1666년 전염병 기간 동안 발생했는데,^[21] 그는 나중에 그 시기를 "그 어느 때보다 발명과 한 마음의 수학 및 [자연] 철학에 대해 내 시대의 청춘"으로 묘사했습니다. 그의 전염병으로 인한-인공적으로 유발된 고립화 동안, 유율적 미적분학(fluxionary calculus)의 최초의 서술은 미출판된 De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas에 기록되었습니다. 이 논문에서, 뉴턴은 먼저 순간적인 변화율을 계산한 다음 전체 넓이를 외삽함으로써 곡선(curve) 아래의 넓이를 결정했습니다. 그는 그의 넓이가 x와 y의 함수인 무한하게 작은 삼각형에 대해 추론함으로써 시작했습니다. 그는 그런 다음 앱시서( $x$ -좌표)에서 무한소(infinitesimal) 증가가 x = x + o (중요하게, o는 자릿수(digit) 0가 아닌 문자입니다)라는 새로운 수식을 만들 것이라고 추론했습니다. 그는 그런 다음 이항 정리의 도움과 함께 넓이를 다시 계산했고, 문자 o가 포함된 모든 양을 제거했고 넓이에 대해 대수적 표현을 다시 형성했습니다. 의미심장하게, 뉴턴은 그런 다음 o를 포함하는 양을 "버렸을" 것인데 왜냐하면 "그것에 의해 곱해졌던 항은 나머지에 관해서는 아무것도 아닐 것"이기 때문입니다.

이 점에서 뉴턴은 역의 중심적인 속성을 깨닫기 시작했습니다. 그는 한 점에서 순간적인 증가를 고려함으로써 곡선 아래의 넓이에 대해 표현을 만들었습니다. 사실상, 미적분학의 근본 정리(fundamental theorem of calculus)가 그의 계산에 포함되었습니다. 그의 새로운 공식은 놀라운 잠재력을 제공했지만, 뉴턴은 그 당시에 그의 논리적 한계를 잘 알고 있었습니다. 그는 "오류가, 얼마나 작은지 상관없이, 수학에서 무시되어서는 안됩니다"라고 인정했었고 그가 달성 한 바는 "정확하게 시연되었던 것보다는 짧게 설명되어진 것"을 이루었습니다.

미적분학에 더 엄격한 설명과 프레임워크를 제공하기 위한 노력에서, 뉴턴은 1671년 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum를 편찬했습니다. 이 책에서, 뉴턴의 엄격한 경험주의(empiricism)는 유율적 미적분학을 형성하고 정의했습니다. 그는 비공식적으로 순간(instantaneous) 운동(motion)과 무한소를 활용했습니다. 그는 물리적 세계를 설명하기 위해 방법론적(methodological) 도구로 수학을 사용했습니다. 뉴턴의 수정된 미적분학의 기초는 연속성이 되었습니다; 이를 테면 그는 계속적으로 흐르는 운동의 관점에서 그의 계산을 재정의했습니다. 뉴턴의에 대해, 변수 크기는 무한소 원소의 집합체가 아니며, 운동의 논쟁의 여지가 없는 사실에 의해 생성됩니다. 많은 그의 연구와 함께, 뉴턴은 출판을 미루었습니다. Methodus Fluxionum은 1736년까지 출판되지 않았습니다.^[22]

뉴턴은 변화의 비율(ratio)에 기초한 계산을 형성함으로써 무한소의 사용을 피하기 위해 시도했습니다. Methodus Fluxionum에서 그는 생성된 변화의 비율을 유율(fluxion)로 정의하고, 그것은 점이 찍힌 글자로 나타내었고, 생성된 양을 그는 플루언트(fluent)로 정의했습니다. 예를 들어, 만약 ${x}$ 와 ${y}$ 가 플루언트이면, ${\dot {x}}$ 와 ${\dot {y}}$ 는 그들 각각의 유율입니다. 비율의 이 수정된 미적분은 계속해서 개발되었고 1676년 텍스트 De Quadratura Curvarum에서 성숙하게 말했었고 여기서 뉴턴은 현재의 도함수를 변화의 근본적인 비율로 정의하는 것에 도달했는데, 이것을 그는 질문에서 그 순간에 순수하게 (유율의 비율) 지극히 미미한 증분 사이의 비율로 정의했습니다. 본질적으로, 궁극적인 비율은 증분을 없는 것으로 사라지는 비율입니다. 중요하게, 뉴턴이 운동에 해단 흥미를 끄는 궁극적인 비율의 존재를 설명했습니다;

“궁극적인 속도에 의해, 몸체가 움직이면서, 운동이 중지되었을 때, 그것이 그의 마지막 장소에 도착하기 전이 아니거나, 그것이 도착했을 때 그러나 매우 즉각적이 아닌 것을 의미합니다... 사라져 가는 양의 궁극적인 비율은, 그것들이 소멸되기 전도 아니고, 소멸된 후도 아니지만, 그들이 소멸된 것을 가진 양의 비율로 이해되어야 합니다”^[23]

뉴턴은 그의 계산에서 무한소의 비공식적 사용을 회피하기 위한 시도에서 그의 유율적 미적분학을 발전시켰습니다.

Leibniz

뉴턴이 1665–1666년에 유율적 미적분학의 개발을 시작한 이래로 그의 발견은 나중까지 널리 확산되지 못했습니다. 중재하는 년에서 라이프니츠는 그의 미적분을 만들기 위해 역시 노력했습니다. 어린 시절에 수학을 접했던 뉴튼과 비교에서, 라이프니츠는 성숙한 지성과 함께 엄격한 수학 연구를 시작했습니다. 그는 폴리매쓰(polymath)였고, 그의 지적 관심사와 성취는 형이상학(metaphysics), 법학(law), 경제학(economics), 정치학(politics), 논리학(logic), 및 수학(mathematics)을 포함했습니다. 미적분학에서 라이프니츠의 추론을 이해하기 위해서 그의 배경은 염두에 두어져야 합니다. 특히, 우주를 모너달러지(Monadology)로 묘사한 그의 형이상학(metaphysics)과 정확한 형식적인 논리를 창조하려는 그의 계획, 그것에 의하여, "그 이유의 모든 진리가 계산의 일종으로 축소될 수 있는 일반적인 방법"입니다.

1672년에서 라이프니츠는 수학자 하위헌스(Huygens)를 만나는데 그는 수학의 연구에 대한 상당한 시간을 바쳐야 하는 것에 대해 라이프니츠를 납득시켰습니다. 1673년에 그는 파스칼(Pascal)의 Traité des Sinus du Quarte Cercle을 읽는 것으로 나아갔었고 그것이 그의 크게 자가 진단의(autodidactic) 연구 동안 라이프니츠가 "빛이 켜졌었다"고 말하는 것입니다. 뉴턴과 마찬가지로, 라이프니츠는 접선을 비율로 보았지만 그것을 단순히 세로좌표(ordinate)와 가로좌표(abscissa) 사이의 비율로 선언했습니다. 그는 추론을 계속하여 적분(integral)은 사실상 앱시서의 무한소 구간에 대해 올디닛의 합; 사실상, 무한한 숫자의 사각형의 합이라고 주장했습니다. 이들 정의들로부터 역 관계 또는 미분이 명확해졌고 그리고 라이프니츠는 수학의 완전히 새로운 시스템을 형성하기 위한 잠재력을 빠르게 깨달았습니다. 여기서 그의 경력의 과정에 걸쳐 뉴턴은 무한소(infinitesimal)를 사용하는 접근법 외에도 여러 접근법을 사용했었고, 라이프니츠는 그의 표기법과 미적분학의 이 초석을 만들었습니다.

1675년 10월 25일부터 11월 11일까지의 원고에서, 라이프니츠는 다양한 표기법으로 그의 발견과 실험을 기록했습니다. 그가 사용된 표기법적 용어를 심하게 인식했었고 정확한 논리적 기호(symbol)주의를 형성하기 위한 그의 초기 계획은 분명하게 되었습니다. 결국 라이프니츠는 앱시서와 올디닛의 무한소 증분을 dx와 dy로 나타내고, 무한히 많은 무한소적으로 얇은 직사각형의 합을 긴 에스(long s) (∫ )로 나타내는데, 이것은 현재 적분 기호 $\scriptstyle \int$ 가 되었습니다.

라이프니츠의 표기법이 현대 수학에서 사용되지만, 그의 논리적 기반은 우리의 현재 그것과는 달랐습니다. 라이프니츠는 무한소를 받아들였고 “파스칼처럼, 무한히 작은 수수께끼를 만들어서는 안된다”고, 광범위하게 썼습니다.^[24] 질 들뢰즈(Gilles Deleuze)에 따르면, 라이프니츠의 영은 "무(無)이지만, 그들은 절대적 무(無)가 아니며, 그들은 각각 무(無)입니다" (인용: 라이프니츠의 텍스트 "Justification of the calculus of infinitesimals by the calculus of ordinary algebra").^[25] 양자 택일로, 그는 그들을, "임의의 주어진 양보다 적은 것"으로 정의합니다. 라이프니츠에 대해, 세상은 무한소 점들의 집합체였었고 그들의 존재에 대해 과학적 증명의 부재가 그를 괴롭히지는 않았습니다. 라이프니츠에게 무한소는 감지할 수 있을 정도의 숫자로부터 다른 유형의 이상적인 양이었습니다. 연속성의 진실은 존재 자체에 의해 입증되었습니다. 라이프니츠에게 연속성의 원리와 따라서 그의 미적분학의 정당함이 보장되었습니다. 라이프니츠의 연구 300년 후에, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 미적분학에서 무한소 양을 사용하는 것은 견고한 기초를 제공될 수 있음을 보였습니다.

Legacy

미적분학의 부상은 수학에서 독특한 계기로 두드러집니다. 미적분학은 운동과 변화의 수학이고, 이를테면 그의 발명은 새로운 수학적 시스템의 창조를 요구했습니다. 중요하게, 뉴턴과 라이프니츠는 같은 미적분을 만들지 않았고 그들은 현대 미적분학을 상상하지 않았습니다. 그들은 둘 다 변하는 양을 다룰 수 있는 수학 시스템을 만드는 과정에 참여했지만, 그들의 기본이 되는 근거는 달랐습니다. 뉴튼에게, 변화는 시간이 지남에 따라 변하는 양이었고 라이프니츠에게 그것은 무한히 가까운 값의 수열에 이르는 차이였습니다. 특히, 변화를 묘사하기 위해 각 시스템에서 만든 서술적 용어가 달랐습니다.

역사적으로, "발명된" 미적분학을 뉴턴 또는 라이프니츠 중 누가 처음으로 했었는지 여부에 대해 많은 논쟁이 있었습니다. 독일인이었던, 라이프니츠와 영국인 뉴턴을 포함하는, 이 논쟁, 라이프니츠와 뉴턴 미적분학 논쟁(Leibniz and Newton calculus controversy)은 한 세기에 걸쳐 영속하는 유럽 수학 공동체의 균열을 가져왔습니다. 라이프니츠는 그의 조사를 발표한 것이 최초였습니다; 어쨌든, 그것은 뉴턴이 라이프니츠보다 몇 년 전에 그의 연구를 시작했었고 라이프니츠가 그 문제에 관심을 갖게 되는 시기에 접선(tangent)의 이론을 이미 개발했었던 것으로 적절히 확증했었습니다. 그것은 이것이 라이프니츠에게 얼마나 영향을 주었었는지에 대해 알려주지 않습니다. 초기 비난은 세기의 전환기에 두 위대한 과학자의 학생과 지지자에 의해 만들어졌지만, 1711년 이후에 그들 둘 다는 개인적으로 관련되어, 서로 상대방의 표절(plagiarism)을 비난했습니다.

우선 순위 논쟁은 수년에 대해 유럽 대륙의 수학자로부터 영어권 수학자를 분리시키는 효과가 있었습니다. 단지 1820년대에서, 해석 학회(Analytical Society)의 노력에 기인하여, 라이프니츠 해석적 미적분학(Leibnizian analytical calculus)이 영국에서 받아들여졌습니다. 오늘날, 뉴턴과 라이프니츠 둘 다는 미적분학의 기초를 독립적으로 개발한 것에 대해 명성을 받았습니다. 라이프니츠는, 어쨌든, 새로운 분야에 오늘날까지 알려진 이름; "미적분학"을 부여하는 것으로 인정받고 있습니다. 그것에 대해 뉴턴의 이름은 "플루언트(fluent)와 유율(fluxion의 과학"이었습니다.

뉴턴과 라이프니츠의 연구는 오늘날 사용되는 표기법에 반영됩니다. 뉴턴은 함수 f의 도함수(derivative)에 대해 표기법 ${\dot {f}}$ 을 도입했습니다.^[26] 라이프니츠는 적분(integral)에 대해 기호 $\int$ 를 도입했고 변수 x의 함수 y의 도함수(derivative)를 ${\frac {dy}{dx}}$ 로 썼었는데, 그것 둘 다는 여전히 사용 중입니다.

라이프니츠와 뉴턴 시대 이래로, 많은 수학자들이 미적분학의 지속적인 발전에 기여해 왔습니다. 무한소 및 적분 미적분학(integral calculus)에 대한 최초이자 가장 완벽한 작품 중 하나는 마리아 가에타나 아녜지(Maria Gaetana Agnesi)에 의해 1748년에 쓰였습니다.^[27]^[28]

Operational methods

엉투앙 아르보개스트(Antoine Arbogast) (1800)는 미분 방정식에서 양의 기호와 연산의 기호를 분리한 것이 최초였습니다. 프랑소와-조제프 세르보와(Francois-Joseph Servois) (1814)는 그 주제에 대한 올바른 규칙을 처음으로 제시한 것으로 보입니다. 찰스 제임스 하그리브(Charles James Hargreave) (1848)는 이들 방법을 미분 방정식에 대한 그의 회고록에 적용했고, 조지 부울(George Boole)은 자유롭게 그들을 사용했습니다. 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)과 헤르만 한켈(Hermann Hankel)은 그 이론의 대단한 사용을 만들었고, 전자는 방정식(equations)의 연구에서, 후자는 복소수(complex numbers)의 이론에서 사용했습니다.

Calculus of variations

변이의 미적분학(calculus of variations:변분법)은 요한 베르누이(Johann Bernoulli) (1696)의 문제로 시작한다고 말할 수 있습니다. 그것은 즉시 야코프 베르누이(Jakob Bernoulli)의 관심을 사로잡았지만 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 처음으로 그 주제를 갈고 닦습니다. 그의 기여는 1733년에 시작되었고, 그의 Elementa Calculi Variationum은 과학에 그의 이름을 부여했습니다. 조제프 루이 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)는 그 이론에 광범위하게 공헌했고, 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre) (1786)는 최대 및 최소의 구별에 대해, 완전히 만족한 것은 아니지만, 방법을 세웠습니다. 이 구별을 위해 브루나치(Brunacci) (1810), 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss) (1829), 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson) (1831), 미케일 바실리이치 아스트라그라스키(Mikhail Vasilievich Ostrogradsky) (1834), 카를 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jakob Jacobi) (1837)는 기여자들 사이에 있어 왔습니다. 중요한 일반적 연구는 사뤼스(Sarrus) (1842)의 연구인데 그것은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy) (1844)에 의해 응축되고 개선되었습니다. 다른 귀중한 논문과 회고록은 스트라흐(Strauch) (1849), 옐라(Jellett) (1850), 오토 헤세(Otto Hesse) (1857), 알프레트 클렙슈(Alfred Clebsch) (1858), 카를(Carll) (1885)에 의해 쓰여 왔지만, 아마 세기의 가장 중요한 연구는 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)의 그것입니다. 그 이론에 관한 그의 과정은 확고하고 엄격한 기초 위에 미적분학을 놓기 위한 최초로 된 것이라고 주장될 수 있습니다.

Integrals

닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)은 미분 방정식(differential equation)이 보통의 함수의 도움에 의해 유한한 형태, 리우빌(Liouville)에 의해 확장된 조사에서 통합될 수 있는지에 대한 질문을 일반적인 방식으로 처음으로 고려한 것으로 보입니다. 코시(Cauchy)는 한정 적분(definite integral)을 결정하는 것의 일반 이론을 일찍이 착수했고, 그 주제는 19세기 동안 두드러져 왔습니다. 프룰라니 적분(Frullani integral), 이론과 정교한 테이블에 대한 다비트 비렌스 드 한(David Bierens de Haan)의 연구, 마이어(Meyer)의 논문에 포함된 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)의 강의, 르장드르(Legendre), 푸아송(Poisson), 플라나(Plana), 라베(Raabe), 존커(Sohncke), 슈르밀흐(Schlömilch), 엘리엇(Elliott), 루데스도르프(Leudesdorf) 및 크로네커(Kronecker)의 수많은 회고록이 주목할만한 공헌사이에 있습니다.

오일러 적분(Eulerian integrals)은 오일러(Euler)에 의해 처음 연구되었었고 그후에 르장드르에 의해 조사되었는데, 르장드르에 의해 그것들은, 다음으로, 비록 이것들은 오일러의 연구의 정확한 형태는 아닐지라도, 첫 번째와 두 번째 종의 오일러 적분으로 분류되었습니다:

\int _{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^{n-1}\,dx

\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}\,dx

만약 n이 양의 정수이면, 그것은 다음을 따릅니다:

\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=(n-1)!,

그러나 적분은 모든 양의 실수 $n$ 에 대해 수렴하고 영과 음의 정수(integers)에서 극을 제외하고 복소 평면(complex plane)의 모든 것에 대한 팩토리얼(factorial) 함수의 해석적 연속(analytic continuation)을 정의합니다. 그것에 대한 르장드르가 기호 $\Gamma$ 를 지정했었고, 그것은 이제 감마 함수(gamma function)라고 불립니다. 양의 실수(positive reals) ℝ⁺에 걸쳐 해석적이 되는 것 외에도, $\Gamma$ 는 유일하게 정의하는 속성을 역시 갖고 있는데 $\log \Gamma$ 는, 임의의 다른 해석적 연속에 걸쳐 팩토리얼 함수의 이 해석적 연속을 미적으로 정당화하는, 볼록(convex)입니다. 그 주제에 대해 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet)는 중요한 정리 (르죈, 1839)를 기여해 왔는데, 이것은 리우빌(Liouville), 카탈랑(Catalan), 레슬리 엘리스(Leslie Ellis), 및 다른 사람들에 의해 정교화되었습니다. $\Gamma (x)$ 와 $\log \Gamma (x)$ 의 평가에 대해 라베(Raabe) (1843–44), 바우어(Bauer) (1859) 및 구데르만(Gudermann) (1845)이 썼습니다. 르장드르의 위대한 테이블은 1816년에 나타났습니다.

Applications

물리학(physics)과 천문학(astronomy)에서 문제에 대한 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 응용은 과학의 기원과 동시대였습니다. 18세기를 전체를 통해 이들 응용은 증가되었으며, 그의 끝날 때까지 라플라스(Laplace)와 라그랑주(Laplace)가 힘의 연구의 전체 범위를 해석학의 영역으로 끌어들였습니다. 비록 이름 "위치 함수(potential function)"와 주제의 기초 회고록은 그린(Green) (1827, 1828년에 인쇄된)에 기인할지라도, 라그랑주(Lagrange) (1773)까지 우리는 동역학 속에 위치의 이론에 대한 도입을 빚지고 있습니다. 이름 "퍼텐셜(potential:위치)"은 가우스(Gauss) (1840)에 기인하고, 위치과 위치 함수 사이의 구별은 클라우지우스(Clausius)에 기인합니다. 그것의 발달로 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet), 리만(Riemann), 폰 노이만(von Neumann), 하이네(Heine), 크로네커(Kronecker), 립시츠(Lipschitz), 크리스토펠(Christoffel), 키르히호프(Kirchhoff), 벨트라미(Beltrami), 및 세기의 많은 주요 물리학자의 이름이 연결됩니다.

이 곳에서 물리적 문제에 대한 해석학의 다른 응용의 위대한 다양성에 들어가는 것이 불가능합니다. 그들 중에서 진동하는 현에 대한 오일러; 탄성 멤브레인에 대한 소피 제르맹(Sophie Germain); 푸아송(Poisson), 라메(Lamé), 생-브낭(Saint-Venant), 및 삼차원적 몸체의 탄력성(elasticity)에 대한 클렙슈(Clebsch); 열(heat) 확산에 대한 푸리에(Fourier); 빛(light)에 대한 프레넬(Fresnel); 전기(electricity)에 대한 맥스웰(Maxwell), 헬름홀츠(Helmholtz), 및 헤르츠(Hertz); 천문학(astronomy)에 대한 한센(Hansen), 힐(Hill), 및 얄덴(Gyldén); 구형 고조파(spherical harmonic)에 대한 맥스웰; 음향학(acoustics)에 대한 레일리 경(Lord Rayleigh); 그리고 일반적인 물리학에 대한 르죈 디리클레(Lejeune Dirichlet), 웨버(Weber), 키르히호프(Kirchhoff), 프란츠 노이만(F. Neumann), 켈빈 경(Lord Kelvin), 클라우지우스(Clausius), 비에르크네스(Bjerknes), 맥클라흐(MacCullagh), 및 퍼먼(Fuhrmann)의 기여를 조사합니다. 헬름홀츠의 연구는 특별히 언급해야 하는데, 왜냐하면 그는 동역학, 전기 등의 이론에 기여했고, 역학의 기본 공리뿐만 아니라 순수 수학의 기본 공리를 다룰 훌륭한 해석적 능력을 제공했기 때문입니다.

게다가, 무한소 미적분학은, 신고전주의 경제학(Neoclassical economics)과 함께 시작하는, 사회 과학에 도입되었습니다. 오늘날, 그것은 주류 경제에서 가치있는 도구입니다.

Notes

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Archimedes' study of the spiral, a curve that he ascribed to his friend Conon of Alexandria, was part of the Greek search for the solution of the three famous problems.
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External links

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[7] Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles. Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. Vol. 130. Springer. p. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7., Chapter , p. 279

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[10] Indian mathematics

[11] Boyer, Carl B. (1959). "III. Medieval Contributions". A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover. pp. 79–89. ISBN 978-0-486-60509-8. {{cite book}}: External link in |chapterurl= (help); Unknown parameter |chapterurl= ignored (|chapter-url= suggested) (help)

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[15] The geometrical lectures of Isaac Barrow, translated, with notes and proofs, and a discussion on the advance made therein on the work of his predecessors in the infinitesimal calculus. Chicago: Open Court. 1916.

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[17] Reyes 2004, p. 160

[18] Such as Kepler, Descartes, Fermat, Pascal and Wallis. Calinger 1999, p. 556

[19] Foremost among these was Barrow who had created formulas for specific cases and Fermat who created a similar definition for the derivative. For more information; Boyer 184

[20] Calinger 1999, p. 610

[21] Newton, Isaac. "Waste Book". Retrieved 10 January 2012.

[22] Eves, Howard. An introduction to the history of mathematics, 6th edition. p. 400.

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[24] Boyer, Carl (1939). The History of the Calculus and Its Conceptual Development. ISBN 9780486605098.

[Deleuze-25] Deleuze, Gilles. "DELEUZE / LEIBNIZ Cours Vincennes - 22/04/1980". Retrieved 30 April 2013.

[26] The use of prime to denote the derivative, $f'\left(x\right),$ is due to Lagrange.

[27] Allaire, Patricia R. (2007). Foreword. A Biography of Maria Gaetana Agnesi, an Eighteenth-century Woman Mathematician. By Cupillari, Antonella (illustrated ed.). Edwin Mellen Press. p. iii. ISBN 978-0-7734-5226-8.

[28] Unlu, Elif (April 1995). "Maria Gaetana Agnesi". Agnes Scott College.

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