Homeomorphism

A continuous deformation between a coffee mug and a donut (torus) illustrating that they are homeomorphic. But there need not be a continuous deformation for two spaces to be homeomorphic – only a continuous mapping with a continuous inverse function.

토폴로지(topology)의 수학적 분야에서, 위상-동형, 토폴로지적 동형, 또는 쌍-연속 함수(homeomorphism, topological isomorphism, or bicontinuous function)는 연속적인 역 함수(inverse function)를 가지는 토폴로지적 공간(topological spaces) 사이의 전단사(bijective)이고 연속 함수(continuous function)입니다. 위상-동형은 토폴로지적 공간의 카테고리에서 동형(isomorphisms)입니다—즉, 그것들은 주어진 공간의 모든 토폴로지적 속성(topological properties)을 보존하는 매핑(mappings)입니다. 그들 사이에 위상-동형을 갖는 두 공간은 위상동형적(homeomorphic)이라고 불리고, 토폴로지적 관점에서, 그것들은 같습니다. 단어 homeomorphism은 1895년 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)에 의해 수학에 도입된 그리스어 단어 ὅμοιος (homoios) = 유사한 또는 같은 및 μορφή (morphē) = 모양 또는 형태에서 유래합니다.^[1]^[2]

매우 대략적으로 말하면, 토폴로지적 공간은 기하학적(geometric) 대상이고, 위상-동형은 대상이 새로운 형태로 연속적으로 늘어나고 구부러지는 것입니다. 따라서, 정사각형(square)과 원(circle)은 서로 위상동형적이지만, 구(sphere)와 토러스(torus)는 그렇지 않습니다. 어쨌든, 이 설명은 오해의 소지가 있습니다. 직선이 점으로 변형되는 것과 같은 일부 연속 변형은 위상-동형이 아닙니다. 세잎 매듭(trefoil knot)과 원 사이의 위상동형과 같은 일부 위상동형은 연속적인 변형이 아닙니다.

종종-반복되는 수학적 농담(mathematical joke)은 토폴로지-연구가는 커피 컵과 도넛의 차이를 구분할 수 없다는 것인데,^[3] 왜냐하면 충분하게 유연한 도넛은 딤플을 만들고 점진적으로 확대하면서, 컵의 손잡이에 도넛 구멍을 보존하면서 커피 컵의 형태로 변형될 수 있기 때문입니다.

Definition

두 토폴로지적 공간(topological spaces) 사이의 함수(function) $f:X\to Y$ 는 만약 그것이 다음 속성을 가지면 위상-동형입니다:

$f$ 는 전단사(bijection) (일-대-일(one-to-one)과 위로의(onto))이다,
$f$ 는 연속(continuous)이다,
역 함수(inverse function) $f^{-1}$ 는 연속이다 ( $f$ 는 열린 매핑(open mapping)이다).

위상동형은 때때로 쌍-연속(bicontinuous) 함수라고 불립니다. 만약 그러한 함수가 존재하면, $X$ 와 $Y$ 는 위상-동형적(homeomorphic)입니다. 자기-위상동형(self-homeomorphism)은 토폴로지적 공간에서 자기 자신 위로의 위상동형입니다. "위상-동형적이 되는 것"은 토폴로지적 공간 위에 동치 관계(equivalence relation)입니다. 그것의 동치 클래스(equivalence classes)가 위상동형 클래스(homeomorphism classes)라고 불립니다.

Examples

열린 구간(interval) ${\textstyle (a,b)}$ 는 임의의 ${\textstyle (a,b)}$ 에 대해 실수(real numbers) ${\textstyle \mathbf {R} }$ 로의 위상-동형적입니다. (이 경우에서, 쌍-연속 순방향 매핑은 ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$ 에 의해 제공되고, 반면에 다른 그러한 매핑은 $tan$ 또는 $arg tanh$ 함수의 스케일되고 평행이동된 버전에 의해 제공됩니다).
단위 2-디스크 ${\textstyle D^{2}}$ 와 $\mathbf {R} ^{2}$ 에서 단위 정사각형(unit square)은 위상동형적입니다; 왜냐하면 단위 디스크가 단위 정사각형으로 변형될 수 있기 때문입니다. 정사각형에서 디스크로의 쌍연속 매핑의 예제는 극 좌표(polar coordinates)에서 $(\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right)$ 입니다.
미분-가능 함수(differentiable function)의 그래프(graph)는 함수의 도메인(domain)로의 위상동형적입니다.
곡선(curve)의 미분-가능 매개변수화(parametrization)는 매개변수화 도메인과 곡선 사이의 위상동형입니다.
매니폴드(manifold)의 차트(chart)는 매니폴드의 열린 부분-집합(open subset)과 유클리드 공간(Euclidean space)의 열린 부분-집합 사이의 위상동형입니다.
입체 투영(stereographic projection)은 제거된 단일 점을 갖는 $\mathbf {R} ^{3}$ 에서 단위 구와 $\mathbf {R} ^{2}$ (2-차원 평면)에서 모든 점의 집합 사이의 위상동형입니다.
만약 $G$ 가 토폴로지적 그룹(topological group)이면, 그것의 반전 맵 $x\mapsto x^{-1}$ 은 위상동형입니다. 역시, 임의의 $x\in G$ 에 대해, 왼쪽 평행이동 $y\mapsto xy$ , 오른쪽 평행이동 $y\mapsto yx$ , 및 내부 자기-동형 $y\mapsto xyx^{-1}$ 은 위상동형입니다.

Non-examples

R^m과 Rⁿ은 m ≠ n에 대해 위상동형적이 아닙니다.
유클리드 실수 직선(real line)은 R²의 부분공간으로 단위 원과 위상동형적이 아닌데, 왜냐하면 단위 원은 유클리드 R²의 부분공간으로 컴팩트(compact)이지만 실수 직선은 컴팩트가 아니기 때문입니다.
일-차원 구간 $[0,1]$ 과 $]0,1[$ 은 위상동형적이 아닌데 왜냐하면 하나는 컴팩트이고 다른 하나는 컴팩트가 아니기 때문입니다.

Notes

세 번째 요구 사항, 즉 ${\textstyle f^{-1}}$ 가 연속이라는 것은 필수적입니다. 예를 들어 ${\textstyle f(\phi )=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ 에 의해 정의되는 함수 ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ( ${\textstyle \mathbf {R} ^{2}}$ 에서 단위 원)을 생각해 보십시오. 이 함수는 전단사적이고 연속적이지만, 위상동형은 아닙니다 ( ${\textstyle S^{1}}$ 은 컴팩트(compact)이지만 ${\textstyle [0,2\pi )}$ 는 그렇지 않습니다). 함수 ${\textstyle f^{-1}}$ 는 점 ${\textstyle (1,0)}$ 에서 연속적이지 않은데, 왜냐하면 비록 ${\textstyle f^{-1}}$ 가 ${\textstyle (1,0)}$ 을 ${\textstyle 0}$ 에 매핑하더라도, 이 점의 임의의 이웃(neighbourhood)은 역시 함수가 ${\textstyle 2\pi }$ 에 가깝게 매핑하는 점도 포함되지만, 그 사이의 숫자에 매핑되는 점은 이웃 외부에 놓이기 때문입니다.^[4]

위상동형은 토폴로지적 공간의 카테고리에서 동형(isomorphisms)입니다. 이를테면, 두 위상동형의 합성은 다시 위상동형이고, 모든 자기-위상동형 ${\textstyle X\to X}$ 의 집합은 종종 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ 로 표시되는 ${\textstyle X}$ 의 위상동형 그룹(homeomorphism group)이라고 불리는 그룹(group)을 형성합니다. 이 그룹은 컴팩트-열린 토폴로지(compact-open topology)와 같은 토폴로지를 제공할 수 있으며, 이는 특정 가정 아래에서 그것을 토폴로지적 그룹(topological group)으로 만듭니다.^[5]

어떤 목적을 위해, 위상동형 그룹이 너무 크게 발생하면, 아이소토피(isotopy) 관계를 수단으로, 우리는 이 그룹을 매핑 클래스 그룹(mapping class group)으로 줄일 수 있습니다.

유사하게, 보통 카테고리 이론에서 처럼, 위상동형적인 두 공간이 주어지면, 그들 사이의 위상동형 공간, ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y)}$ 는 위상동형 그룹 ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ 와 ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y)}$ 에 대해 토서(torsor)이고, $X$ 와 $Y$ 사이의 특정 위상동형이 주어지면, 모든 세 개의 집합이 식별됩니다.

Properties

두 위상동형적 공간은 같은 토폴로지적 속성(topological properties)을 공유합니다. 예를 들어, 만약 그것들 중 하나가 컴팩트(compact)이면, 다른 하나도 컴팩트입니다; 만약 그것들 중 하나가 연결된(connected) 것이면, 다른 하나도 연결된 것입니다; 만약 그것들 중 하나가 하우스도르프(Hausdorff)이면, 다른 하나도 마찬가지입니다; 그것들의 호모토피(homotopy)와 호몰로지 그룹(homology groups)은 일치할 것입니다. 어쨌든 이것은 메트릭(metric)을 통해 정의된 속성으로 확장되지 않음에 주목하십시오; 비록 그것들 중 하나가 완비(complete)이고 다른 하나는 그렇지 않더라도 위상동형적인 메트릭 공간이 있습니다.
위상동형은 열린 매핑(open mapping)인 동시에 닫힌 매핑(closed mapping)입니다; 즉, 그것은 열린 집합(open sets)을 열린 집합으로, 닫힌 집합(closed sets)을 닫힌 집합으로 매핑합니다.
$S^{1}$ 에서 모든 각 자기-위상동형은 전체 디스크 $D^{2}$ 의 자기-위상동형으로 확장될 수 있습니다 (Alexander's trick).

Informal discussion

늘리기, 구부리기, 자르기, 및 다시 붙이기의 직관적인 기준을 올바르게 적용하려면 일정량의 연습이 필요합니다—예를 들어, 선분을 점으로 변형하는 것이 허용되지 않는다는 것이 위의 설명에서 명확하지 않을 수 있습니다. 따라서 위에서 주어진 형식적인 정의가 가치 있다는 것을 깨닫는 것이 중요합니다. 이 경우에서, 예를 들어, 선분은 무한하게 많은 점을 보유하고, 따라서 단일 점을 포함하여 유한한 수의 점만 포함하는 집합으로의 전단사로 넣을 수 없습니다.

위상동형의 이러한 특성화는 종종 실제로 연속적 변형이지만, 한 공간에서 또 다른 공간으로가 아니라 한 함수에서 또 다른 함수로 정의되는 호모토피(homotopy)의 개념과 혼동을 일으킵니다. 위상동형의 경우에서, 연속적인 변형을 상상하는 것은 공간 X의 어느 점이 Y의 어느 점에 해당하는지 추적하기 위한 정신적 도구입니다—우리는 단지 그것들을 X가 변형될 때 따라갑니다. 호모토피의 경우에서, 한 맵에서 다른 맵으로의 연속적인 변형이 핵심이고, 관련된 맵 중 어느 것도 일-대-일 또는 위로의일 필요가 없기 때문에 덜 제한적입니다. 호모토피는 공간 위에 관계로 이어집니다: 호모토피 동등성(homotopy equivalence).

위상동형을 시각화하는 것과 관련된 변형의 종류에 대한 이름이 있습니다. 그것은 (절단과 재접착이 필요할 때를 제외하고) X 위의 항등 맵과 X에서 Y로의 위상동형 사이의 아이소토피(isotopy)입니다.

References

^ Poincaré, H. (1895). Analysis Situs. Journal de l'Ecole polytechnique. Gauthier-Villars. OCLC 715734142. Archived from the original on 11 June 2016. Retrieved 29 April 2018.
Poincaré, Henri (2010). Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements. Translated by Stillwell, John. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5234-7.
^ Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology (2nd ed.). Dover. p. 67. ISBN 978-0-486-40680-0.
^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ Väisälä, Jussi (1999). Topologia I. Limes RY. p. 63. ISBN 951-745-184-9.
^ Dijkstra, Jan J. (1 December 2005). "On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology" (PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (10): 910–912. doi:10.2307/30037630. JSTOR 30037630. Archived (PDF) from the original on 16 September 2016.

External links

"Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Poincaré, H. (1895). Analysis Situs. Journal de l'Ecole polytechnique. Gauthier-Villars. OCLC 715734142. Archived from the original on 11 June 2016. Retrieved 29 April 2018.
Poincaré, Henri (2010). Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements. Translated by Stillwell, John. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5234-7.

[2] Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology (2nd ed.). Dover. p. 67. ISBN 978-0-486-40680-0.

[3] Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.

[4] Väisälä, Jussi (1999). Topologia I. Limes RY. p. 63. ISBN 951-745-184-9.

[5] Dijkstra, Jan J. (1 December 2005). "On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology" (PDF). The American Mathematical Monthly. 112 (10): 910–912. doi:10.2307/30037630. JSTOR 30037630. Archived (PDF) from the original on 16 September 2016.

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