Infinitesimal

Original article: wikipedia:Infinitesimal

Infinitesimals (ε) and infinities (ω) on the hyperreal number line (ε = 1/ω)

수학(mathematics)에서, 무한소(infinitesimals) 또는 무한소 숫자(infinitesimal numbers)는 임의의 표준 실수(real number)보다 영에 가깝지만, 영이 아닌 양입니다. 그것들은 표준 실수 시스템에 존재하지 않지만, 초현실수(surreal numbers)와 초실수(hyperreal numbers)와 같은 많은 다른 숫자 시스템에 존재하며, 이것은 무한소의 역수인 무한한 양뿐만 아니라, 무한소 양의 시스템으로 증강된 실수로 생각될 수 있습니다.

그것들은 미적분학(calculus)의 발전에서 유명하게 도입되었으며, 여기서 도함수는 원래 둘의 무한소 양의 비율로 생각되었습니다. 이 정의는, 당시의 많은 수학과 마찬가지로, 완벽하게 엄격한 방법으로 공식화되지 않았습니다. 그 결과로써, 이후의 미적분학의 형식적 처리는 표준 실수를 사용하여 수행될 수 있는 극한(limits)에 찬성하여 무한소 관점을 버리는 경향이 있었습니다.

무한소는 20세기에 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)의 비표준 해석학(nonstandard analysis)과 초실수(hyperreal numbers)의 개발과 함께 인기를 되찾았으며, 이것은 수학의 수세기에 걸친 이 주제에 대한 오랜 논쟁 끝에 무한소 미적분학의 형식적인 처리가 가능하다는 것을 보여주었습니다. 이것을 뒤따르는 것이 초실수(hyperreal numbers)와 순서-숫자(ordinal numbers) 둘 다를 포함하는 무한과 무한소 숫자의 밀접하게 관련된 형식화, 초현실수(surreal numbers)의 개발이었고, 이것이 가장 큰 순서화된 필드(ordered field)입니다.

무한소를 활용한 통찰은, 심지어 이들 엔터디가 무한하게 작더라도, 엔터디가 각도(angle) 또는 기울기(slope)와 같은 특정 정의된 속성을 여전히 유지할 수 있다는 것입니다. 단어 무한소(infinitesimal)는 원래 수열에서 "무한대-번째" 항목을 참조하는 17세기 현대 라틴(Modern Latin) 조어 infinitesimus에서 유래했습니다. 무한소는 연속성의 법칙(law of continuity)과 동질성의 초월 법칙(transcendental law of homogeneity)을 포함하여 라이프니츠(Leibniz)에 의해 개발된 무한소 미적분(calculus)의 절차의 기본 성분입니다. 공통적 말에서, 무한소 대상은 임의의 가능한 측정보다 작지만, 크기가 영이 아닌–또는, 그것이 임의의 유용한 수단에 의해 영과 절대 구별될 수 없을 정도로 작은 대상입니다. 따라서, 수학적 사용에서 형용사로 사용될 때, "무한소"는 "무한하게 작은", 또는 임의의 표준 실수보다 더 작은 것을 의미합니다. 그것에 의미를 부여하기 위해, 무한소는 종종 (도함수(derivative)에서 처럼) 비슷한 크기의 다른 무한소와 비교됩니다. 무한하게 많은 무한소는 적분(integral)을 생성하기 위해 합해집니다.

무한소의 개념은 원래 니콜라스 메르카토르(Nicolaus Mercator) 또는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 의해 1670년경에 도입되었습니다. 아르키메데스(Archimedes)는 고체의 부피와 영역의 넓이를 구하기 위해 그의 연구 The Method of Mechanical Theorems에서 불가분의 방법(method of indivisibles)으로 결국 알려지게 되는 것에서 그것을 사용했습니다. 그의 공식적으로 발표된 논문에서, 아르키메데스는 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용하여 같은 문제를 해결했습니다. 15세기에 쿠사의 니콜라스(Nicholas of Cusa)의 연구에서 보였고, 요하네스 케플러(Johannes Kepler)에 의해 17세기에 더 개발되었으며, 특히 후자는 무한-변 다각형에 의해 표현함으로써 원의 넓이를 계산했습니다. 16세기에 모든 숫자에 대한 십진 표현에 대한 시몬 스테빈(Simon Stevin)의 연구는 실수 연속체에 대해 기반을 마련했습니다. 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)의 불가분의 방법은 고전 저자들의 결과의 확장으로 이어졌습니다. 불가분의 방법은 여차원(codimension) 1의 엔터디로 구성된 기하학적 그림과 관련합니다. 존 월리스(John Wallis)의 무한소는 그림과 같은 차원의 무한하게 얇은 빌딩 블록으로 기하학적 그림을 재구성하여, 적분 미적분의 일반적인 방법을 위한 기초를 마련했다는 점에서 불가분과는 달랐습니다. 그는 넓이 계산에서 1/∞로 표시되는 무한소를 이용했습니다.

라이프니츠(Leibniz)에 의한 무한소의 사용은, 유한 숫자에서 계속되는 것은 무한 숫자에서 역시 계속되고, 그 반대도 마찬가지라는 연속성의 법칙과; 오직 할당 가능한 양을 포함한 표현에 의해, 할당 불가능한 양을 포함하는 표현으로 대체하는 절차를 지정하는 동질성의 초월 법칙과 같은 발견적 원칙에 의존합니다. 18세기에는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)와 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)와 같은 수학자들에 의해 무한소의 일상적인 사용을 보입니다. 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)는 그의 Cours d'Analyse에서 연속성(continuity)을 정의하는 것과 디랙 델타 함수(Dirac delta function)의 초기 형식을 정의하는 것 둘 다에 무한소를 이용했습니다. 칸토어(Cantor)와 데데킨트(Dedekind)가 스테빈의 연속체의 더 추상적인 버전을 개발함에 따라, 폴 뒤 부아-레몽(Paul du Bois-Reymond)은 함수의 증가율을 기반으로 무한소-강화 연속체에 대한 일련의 논문을 저술했습니다. 뒤 부아-레몽의 연구는 에밀 보렐(Émile Borel)과 토랄프 스콜렘(Thoralf Skolem) 둘 다에게 영감을 주었습니다. 보렐은 뒤 부아-레몽의 연구를 코시의 무한소의 증가율에 대한 연구에 명시적으로 연결했습니다. 스콜렘은 1934년에 산술의 첫 번째 비-표준 모델을 개발했습니다. 연속성과 무한소 둘 법칙 둘 다의 수학적 구현은, 1948년 에드윈 휴잇(Edwin Hewitt)과 1955년 예르지 워시(Jerzy Łoś)의 초기 연구를 기초로 비-표준 해석학(non-standard analysis)을 개발한, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)에 의해 1961년에 이루어졌습니다. 초실수(hyperreals)는 무한소-강화 연속체를 구현하고 전달 원리(transfer principle)는 연속성의 라이프니츠의 법칙을 구현합니다. 표준 부분 함수(standard part function)는 페르마의 적합성(adequality)을 구현합니다.

블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)는 1990년에 다음과 같이 썼습니다:

Nowadays, when teaching analysis, it is not very popular to talk about infinitesimal quantities. Consequently present-day students are not fully in command of this language. Nevertheless, it is still necessary to have command of it.

History of the infinitesimal

무한하게 작은 양의 개념은 엘리아 학파(Eleatic School)에서 논의되었습니다. 그리스(Greek) 수학자 아르키메데스(Archimedes) (기원전 c. 287 – 기원전 c. 212)는, The Method of Mechanical Theorems에서, 무한소의 논리적으로 엄격한 정의를 처음으로 제안했습니다. 그의 아르키메데스 속성(Archimedean property)은 숫자 x를 만약 그것이 조건 |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ...을 만족시키면 무한대로 정의하고, 만약 x≠0이고 유사한 조건의 집합이 양의 정수 x와 역수에 대해 유지되면 무한소로 정의합니다. 숫자 시스템은 만약 그것이 무한대 또는 무한소 구성원을 포함하지 않으면 아르키메데스로 말합니다.

영국 수학자 존 월리스(John Wallis)는 그의 1655년 책 Treatise on the Conic Sections에서 표현 1/∞를 도입했습니다. ∞의 역수, 또는 역을 표시하는 그 기호는 무한소의 수학적 개념의 기호적 표현입니다. 그의 Treatise on the Conic Sections에서, 월리스는 역시 그가 도입했던 무한소 1/∞의 표현과 그가 기호 ∞로 도입했던 무한대의 개념 사이의 관계의 개념을 논의했습니다. 그 개념은 유한 넓이를 형성하기 위해 무한소 너비의 무한 개수의 평행사변형(parallelogram)을 더하는 사고 실험(thought experiment)을 제안합니다. 이 개념은 적분 미적분(integral calculus)에서 사용되는 현대 적분화의 방법의 전신이었습니다. 무한소 1/∞의 그 개념의 개념적 기원은 그리스 철학자 엘레나의 제논(Zeno of Elea)만큼 멀리 거슬러 올라가서 추적할 수 있으며, 제논의 이분법 역설(Zeno's dichotomy paradox)은 유한 구간과 무한소-크기 구간의 구간에 접근하는 구간 사이의 관계를 고려한 최초의 수학적 개념이었습니다.

무한소는 1632년에 로마에서 성직자들에 의해 발행된 무한소에 대한 금지를 포함하여 17세기 유럽에서 정치적 및 종교적 논쟁의 주제였습니다.

미적분학의 발명 이전에, 수학자들은 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)의 부등식(adequality)의 방법과 르네 데카르트(René Descartes)의 법선의 방법(method of normals)을 사용하여 접선을 계산할 수 있었습니다. 그 방법이 본질적으로 무한소 또는 대수적인지에 대해 학자들 사이에서 논쟁이 있습니다. 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)가 미적분학(calculus)을 발명했을 때, 그들은 무한소, 뉴턴의 유율(fluxions)과 라이프니츠의 미분(differential)의 사용을 만들었습니다. 무한소의 사용은 버클리 주교(Bishop Berkeley)에 의한 그의 연구 The Analyst에서 잘못된 것으로 공격받았습니다. 수학자, 과학자, 및 공학자는 정확한 결과를 생성하기 위해 계속해서 무한소를 사용했습니다. 19세기 후반에, 미적분학은 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy), 버나드 볼차노(Bernard Bolzano), 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass), 칸토어(Cantor), 데데킨트(Dedekind)와 다른 사람들에 의해 극한의 (ε, δ)-정의((ε, δ)-definition of limit)와 집합 이론(set theory)을 사용하여 재-공식화되었습니다. 칸토어, 데데킨트, 및 바이어슈트라스의 추종자들은 무한소의 해석을 없애려고 노력했고, 버트런드 러셀(Bertrand Russell)과 루돌프 카르나프(Rudolf Carnap)와 같은 철학적 동맹은 무한소가 유사개념(pseudoconcepts)이라고 선언했지만, 헤르만 코헨(Hermann Cohen)과 그의 신칸트주의(neo-Kantianism)의 마르부르크 학파(Marburg school)는 무한소의 작동 논리를 개발하려고 노력했습니다. 무한소를 포함하는 시스템의 수학적 연구는, 필립 에를리히(Philip Ehrlich) (2006)에 의해 문서화된 것처럼, 19세기 후반과 20세기 전체를 통틀어, 레비-치비타(Levi-Civita), 주세페 베로네세(Giuseppe Veronese), 폴 뒤 부아-레몽(Paul du Bois-Reymond), 및 다른 사람들의 연구를 통해 계속되었습니다. 20세기에서, 무한소가 미적분과 해석학의 기초로 역할을 할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다 (초실수(hyperreal numbers)를 참조하십시오).

First-order properties

무한한 및 무한소 양을 포함하기 위해 실수를 확장하는 것에서, 우리는 전형적으로 그것들의 초등 속성의 임의의 것을 변경하지 않음으로써 가능한 한 보수적이기를 원합니다. 이것은 가능한 한 많은 친숙한 결과가 여전히 유용할 것임을 보장합니다. 전형적으로 초등은 집합(sets)에 걸쳐 정량화(quantification)가 없지만, 오직 원소에 걸쳐 있음을 의미합니다. 이 제한은 형식 "임의의 숫자 x에 대해 ..."의 명제를 허용합니다. 예를 들어, "임의의 숫자 x, x + 0 = x에 대해"라고 말하는 공리가 여전히 적용됩니다. 같은 것은 여러 숫자에 걸쳐 정량화, 예를 들어, "임의의 숫자 x와 y에 대해, xy = yx"에 대해 참입니다. 어쨌든, 형식 "숫자의 임의의 집합 S에 대해 ..."의 명제가 전해질 수 없습니다. 이러한 정량화의 제한을 갖는 논리가 일-차 논리(first-order logic)로 참조됩니다.

결과 확장된 숫자 시스템은 집합에 걸쳐 정량화로 표현될 수 있는 모든 속성에 대한 실수와 일치할 수 없는데, 왜냐하면 목표가 비-아르키메데스 시스템을 구성하는 것이고, 아르키메데스 원칙은 집합에 걸쳐 정량화로 표현될 수 있기 때문입니다. 우리는 집합 이론을 포함하여, 무한소를 포함하기 위해, 단지 숫자가 1/2, 1/3, 1/4, 등보다 작다고 주장하는 셀-수-있는 무한한 공리의 목록을 추가함으로써, 실수를 포함하여 임의의 이론을 보수적으로 확장할 수 있습니다. 유사하게, 완비성(completeness) 속성은 전해질 것으로 기대할 수 없는데, 왜냐하면 실수는 동형까지 고유한 완전 순서화된 필드이기 때문입니다.

우리는 비-아르키메데스 숫자 시스템이 실수의 속성과 호환되는 일-차 속성을 가질 수 있는 세 가지 수준을 구분할 수 있습니다:

1. 순서화된 필드(ordered field)는 일-차 논리로 말할 수 있는 실수 시스템의 모든 보통의 공리를 따릅니다. 예를 들어, 교환성(commutativity) 공리 x + y = y + x가 유지됩니다.
2. 실수 닫힌 필드(real closed field)는 그것들이 기본 순서화된-필드 관계, +, ×, 및 ≤를 포함하는 명제에 대해 보통의 공리로 취해지는지 여부에 관계없이, 실수 시스템의 모든 일-차 속성을 가집니다. 이것은 순서화된-필드 공리를 따르는 것보다 더 강한 조건입니다. 보다 구체적으로, 우리는 모든 각 홀수-차수 다항식에 대해 근의 존재와 같은 추가적인 일-차 속성을 포함합니다. 예를 들어, 모든 각 숫자는 세제곱근(cube root)을 가져야 합니다.
3. 시스템은 (그것들의 관계가 +, ×, 및 ≤를 사용하여 표현될 수 있는지 여부에 관계없이) 임의의 관계를 포함하는 명제에 대해 실수 시스템의 모든 일-차 속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 무한 입력에 대해 잘 정의된 사인(sine) 함수가 있어야 합니다; 같은 것은 모든 각 실수 함수에 대해 참입니다.

카테고리 1에서 시스템은, 스펙트럼의 약한 끝에서, 상대적으로 구성하기 쉽지만, 뉴턴과 라이프니츠의 정신에서 무한소를 사용하여 고전적 해석을 완전히 처리하는 것을 허용하지 않습니다. 예를 들어, 초월적 함수(transcendental functions)는 무한 극한하는 과정의 관점에서 정의되고, 따라서 전형적으로 일-차 논리에서 그것들을 정의하기 위한 방법이 없습니다. 카테고리 2와 3으로 넘어감으로써, 시스템의 해석적 강도를 높이면, 우리는 처리의 풍미가 덜 구성적으로 되는 경향이 있고, 그것은 무한대와 무한소의 계층 구조에 대한 어떤 것을 구체적으로 말하기가 더 어렵게 됩니다.

Number systems that include infinitesimals

Formal series

Laurent series

위의 카테고리 1에서 예제는 유한 숫자의 음의 거듭제곱 항을 갖는 로랑 급수(Laurent series)의 필드입니다. 예를 들어, 오직 상수 항 1로 구성하는 로랑 급수는 실수 1로 식별되고, 오직 선형 항 x를 갖는 급수는 다른 무한소가 구성되는 것으로부터 가장 단순한 무한소로 생각됩니다. 사전 순서화가 사용되며, 이것은 x의 더 높은 거듭제곱을 더 낮은 거듭제곱에 비해 무시할 수 있는 것으로 고려하는 것과 동등합니다. 데이비드 톨(David Tall)은 이 시스템을 데일스(Dales)와 워딘(Woodin)의 극상실수(superreal number) 시스템과 혼동하지 않도록, 과도-실수(super-reals)로 참조합니다. 로랑 급수를 인수로 사용하여 평가된 테일러 급수는 여전히 로랑 급수이기 때문에, 그 시스템은 만약 그것들이 해석적이면 초월적 함수에 대한 미적분을 행하기 위해 사용될 수 있습니다. 이들 무한소는 실수와 다른 일-차 속성을 가지는데 왜냐하면, 예를 들어, 기본 무한소 x는 제곱근을 가지지 않기 때문입니다.

The Levi-Civita field

레비-치비타 필드(Levi-Civita field)는 로랑 급수와 유사하지만 대수적으로 닫혀 있습니다. 예를 들어, 기본 무한소 x는 제곱근을 가집니다. 이 필드는 상당한 양의 해석을 수행할 수 있을 만큼 풍부하지만, 그것의 원소는 실수를 부동 점으로 표현할 수 있음이라는 같은 의미로 컴퓨터에서 여전히 표현될 수 있습니다.

Transseries

초월급수(transseries)의 필드는 레비-치비타 필드보다 큽니다. 초월급수의 예제는 다음입니다:

$e^{\sqrt {\ln \ln x}}+\ln \ln x+\sum _{j=0}^{\infty }e^{x}x^{-j},$

여기서 순서화의 목적을 위해 x는 무한으로 고려됩니다.

Surreal numbers

콘웨이의 초현실수(surreal numbers)는 카테고리 2에 속합니다. 이것들은 다양한 크기의 숫자로 가능한 한 풍부하게 설계되었지만, 해석 수행의 편의를 위해 반드시 필요한 것은 아닙니다. 특정 초월적 함수는 로그와 지수를 포함하지만, 대부분, 예를 들어, 사인 함수를 포함하지 않는, 초현실수로 전달될 수 있습니다. 임의의 특정 초현실수의 존재는, 심지어 실수와 직접적으로 짝을 가지는 숫자라도, 선험적으로 알려지지 않았고, 증명되어야 합니다.

Hyperreals

Main article: Hyperreal number

무한소를 처리하는 가장 널리 사용되는 기법은 1960년대 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)에 의해 개발된 초실수입니다. 그것들은 위의 카테고리 3에 속하며, 그런 식으로 설계되었으므로 모든 고전적 해석이 실수에서 전달될 수 있습니다. 자연적인 방법으로 모든 관계를 전달할 수 있는 이 속성은 전달 원리(transfer principle)로 알려져 있으며, 1955년에 예르지 워시(Jerzy Łoś)에 의해 입증되었습니다. 예를 들어, 초월 함수 sin은 초실수 입력을 받아 초실수를 제공하는 자연스러운 짝 *sin을 가지고, 유사하게 자연수의 집합 $\mathbb {N}$은 자연스러운 짝 $^{*}\mathbb {N}$을 가지며, 이것은 유한과 무한 정수 둘 다를 포함합니다. $\forall n\in \mathbb {N} ,\sin n\pi =0$와 같은 제안은 초실수를 $\forall n\in {}^{*}\mathbb {N} ,{}^{*}\!\!\sin n\pi =0$으로 전달합니다.

Superreals

Main article: Superreal number

데일스와 워딘의 과도실수 시스템(superreal number)은 초실수의 일반화입니다. 그것은 데이비드 톨(David Tall)에 의해 정의된 과도-실수 시스템과 다릅니다.

Dual numbers

Main article: Dual number

선형 대수(linear algebra)에서, 이중 숫자(dual number)는 하나의 무한소, 속성 ε² = 0 (즉, ε은 거듭제곱영(nilpotent)을 갖는 새로운 원소 ε과 인접함으로써 실수를 확장합니다. 모든 각 이중 숫자는 형식 z = a + bε를 가지며 여기서 a와 b는 고유하게 결정된 실수입니다.

이중 숫자의 한 가지 응용은 자동 미분화(automatic differentiation)입니다. 이 응용은 n-차원 벡터 공간의 외부 대수(Exterior algebra)를 사용하여 n 변수에서 다항식으로 일반화될 수 있습니다.

Smooth infinitesimal analysis

Main article: Smooth infinitesimal analysis

합성 미분 기하학(Synthetic differential geometry) 또는 매끄러운 무한소 해석학(smooth infinitesimal analysis)은 카테고리 이론(category theory)에 뿌리를 두고 있습니다. 이 접근법은 제외된 중간의 법칙(law of excluded middle) – 즉, (a ≠ b)가 아님이 a = b를 의미할 필요가 없음의 일반적인 적용 가능성을 부인함으로써 전통적인 수학에서 사용되는 고전적 논리에서 벗어납니다. 제곱영(nilsquare) 또는 거듭제곱영(nilpotent) 무한소가 그런-다음 정의될 수 있습니다. 이것은 x² = 0이 참이지만, x = 0이 동시에 참일 필요는 없는 숫자 x입니다. 배경 논리는 직관론적 논리(intuitionistic logic)이므로, 클래스 1, 2 및 3과 관한 이 시스템을 분류하는 방법이 즉시 명확하지 않습니다. 이들 클래스의 직관론적 아날로그는 먼저 개발되어야 합니다.

Infinitesimal delta functions

코시(Cauchy)는 1827년의 여러 기사에서 $\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)$을 만족시키는 단위 임펄스, 무한하게 크고 좁은 디렉-유형 델타 함수 $\delta _{\alpha }$를 기록하기 위해 무한소 $\alpha$를 사용했습니다 (라우크비츠(Laugwitz, 1989)을 참조하십시오). 코시는 1821년 (Cours d'Analyse)에 영으로 경향인 수열의 관점에서 무한소를 정의했습니다. 즉, 그러한 영 수열은 코시의 용어와 라자르 카르노(Lazare Carnot)의 용어에서 무한소가 됩니다.

현대 집합-이론적 접근법은 극단-거듭제곱(ultrapower) 구성을 통해 무한소를 정의하는 것을 허용하며, 여기서 영 수열은 적절한 극단-필터(ultrafilter)의 관점에서 정의된 동치 클래스 모듈로 관계의 의미에서 무한소가 됩니다. 야마시카(Yamashita, 2007)의 기사는 초실수(hyperreals)에 의해 제공된 무한소-풍부한 연속체의 맥락에서 현대 디랙 델타 함수(Dirac delta function)에 대한 참고 문헌을 포함합니다.

Logical properties

비표준 해석에 사용되는 종류의 무한소를 구성하는 방법은 모델(model)과 사용되는 공리(axiom)의 모음에 따라 다릅니다. 우리는 여기서 무한소가 존재하는 것을 보여줄 수 있는 시스템을 고려합니다.

1936년에 말트제프(Maltsev)는 컴팩트성 정리(compactness theorem)를 입증했습니다. 이 정리는 그것들을 공식화할 수 있음을 증명하기 때문에 무한소의 존재를 위한 기본입니다. 이 정리의 결과는 만약 임의의 양의 정수 n에 대해 0 < x < 1/n를 만족하는 양수 x이 있으면, 임의의 양의 정수 n에 대해 우리가 0 < x < 1/n을 가짐을 만족하는 양수 x가 존재한다는 것이 참인 숫자 시스템의 확장이 있다는 것입니다. "임의의 것에 대해"와 "존재합니다"를 전환하기 위한 가능성이 치명적입니다. 첫 번째 명제는 ZFC 집합 이론(set theory)에 주어진 것처럼 실수에서 참입니다: 임의의 양의 정수 n에 대해 1/n과 영 사이의 실수를 찾는 것이 가능하지만, 이 실수는 n에 의존합니다. 여기서, 우리가 먼저 n을 선택하고, 그런-다음 우리는 대응하는 x를 찾습니다. 두 번째 표현에서, 그 명제는 처음 선택된, (적어도 하나의) x가 있음을 말하며, 이것은 임의의 n에 대해 0과 1/n 사이에 있습니다. 이 경우에서 x는 무한소입니다. 이것은 ZFC에 의해 주어진 실수 (R)에서 참이 아닙니다. 그럼에도 불구하고, 그 정리는 이것이 참인 모델 (숫자 시스템)이 존재함을 입증합니다. 질문은 다음입니다: 이 모델은 무엇입니까? 그것의 속성은 무엇입니까? 오직 하나의 그러한 모델이 있습니까?

실제로 그러한 일-차원(one-dimensional) 선형적으로 순서화된(linearly ordered) 숫자의 집합을 구성하기 위한 많은 방법이 있지만, 기본적으로, 두 가지 다른 접근 방식이 있습니다:

1) 실수보다 더 많은 숫자를 포함하도록 숫자 시스템을 확장합니다.

2) 무한소와 비-무한소 사이의 구별이 실수 자체에서 이루어질 수 있도록 공리를 확장합니다 (또는 언어를 확장합니다).

1960년에, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 첫 번째 접근 방식을 따르는 답을 제공했습니다. 확장된 집합은 초실수(hyperreals)라고 불리고 임의의 양의 실수보다 절댓값이 적은 숫자를 포함합니다. 그 방법은 상대적으로 복잡한 것으로 여길 수 있지만 무한소가 ZFC 집합 이론의 전체집합에 존재한다는 것을 입증합니다. 실수는 표준 숫자라고 불리고 새로운 비-실수 초실수가 비표준(nonstandard)이라고 불립니다.

1977년에, 에드워드 넬슨(Edward Nelson)은 두 번째 접근 방식을 따르는 답을 제공했습니다. 확장된 공리는 IST로, 내부 집합 이론(Internal set theory) 또는 세 가지 여분의 공리의 첫머리 글자: 이상화(Idealization), 표준화(Standardization), 전이(Transfer)를 나타냅니다. 이 시스템에서, 우리는 무한소에 대한 사실을 표현할 수 있는 그러한 방법에서 언어가 확장됨을 고려합니다. 실수는 표준 또는 비표준입니다. 무한소는 임의의 양의 표준 실수보다, 절댓값에서, 작은 비표준 실수입니다.

2006년에, 카를 하르바체크(Karel Hrbacek)는 실수가 (무한하게) 많은 수준으로 계층화되는 넬슨의 접근 방식의 확장을 개발했습니다; 즉, 가장 거친 수준에서 무한소도 없고 무제한 숫자도 없습니다. 무한소는 더 미세한 수준에 있고 역시 이 새로운 수준에 관한 무한소가 있고 이런 식으로 계속됩니다.

Infinitesimals in teaching

무한소를 기반으로 한 미적분 텍스트는 실배너스 톰슨(Silvanus Thompson)에 의한 고전적인 Calculus Made Easy ("한 바보가 또 다른 사람이 할 수 있는 것을 할 수 있는 것"이라는 모토가 있음)와 나엔도르프(R. Neuendorff)에 의한 독일어 텍스트 Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie를 포함합니다. 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)의 무한소를 기반으로 한 선구적인 연구는 스트로얀(Stroyan) (1972년으로 기록됨)과 하워드 제롬 카이슬러(Howard Jerome Keisler) (Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach)의 텍스트를 포함합니다. 학생들은 무한소 차이 1-"0.999..."의 직관적인 개념에 쉽게 공감할 수 있으며, 여기서 "0.999..."는 실수 1의 그것의 표준 의미와 다르고, 1보다 엄격하게 작은 것인 무한하게 종료하는 확장된 십진수로 재해석됩니다.

로빈슨에 의해 개발된 무한소의 이론을 사용하는 또 다른 기본 미적분 텍스트는 원래 1979년에 출판된 헨레(Henle)와 클라인베르크(Kleinberg)에 의한 Infinitesimal Calculus입니다. 저자는 일-차 논리의 언어를 도입하고, 초실수의 일-차 모델의 구성을 시연합니다. 그 텍스트는 수열과 일련의 함수를 포함하여 일 차원에서 적분과 미분 미적분의 기초에 대한 소개를 제공합니다. 부록에서, 그들은 역시 모델의 초초(hyperhyper) 실수에 대한 확장을 다루고, 확장된 모델에 대해 몇 가지 응용을 시연합니다.

Functions tending to zero

"무한소"의 원래 정의에서 무한하게 작은 양으로 진화된, 관련되지만 약간 다른 의미에서, 그 용어는 역시 영으로 경향이 있는 함수를 참조하기 위해 사용되어 왔습니다. 보다 정확하게, 루미스(Loomis)와 스턴버그(Sternberg)의 Advanced Calculus는 무한소의 함수 클래스, ${\mathfrak {I}}$를 다음에 의한 노름화 벡터 공간 사이의 함수 $f:V\to W$의 부분집합으로 정의합니다:

${\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}$,

마찬가지로 다음에 의한 둘의 관련된 클래스 ${\mathfrak {O}},{\mathfrak {o}}$를 정의합니다: (큰-O 표기법(Big-O notation)을 참조하십시오)

${\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}$, 및

${\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}$.

집합 포함 ${\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)$은 일반적으로 유지됩니다. 그 포함이 적절하다는 것은 실수의 실수-값 함수 $f:x\mapsto |x|^{1/2}$, $g:x\mapsto x$, and $h:x\mapsto x^{2}$에 의해 시연됩니다:

$f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 그러나 $f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 및 $f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$.

이들 정의의 응용으로서, 노름화 벡터 공간 사이의 매핑 $F:V\to W$은 $\alpha$의 이웃에서 다음을 만족하는 $T\in \mathrm {Hom} (V,W)$ [즉, 경계진 선형 맵 $V\to W$]이 있으면 $\alpha \in V$에서 미분가능임으로 정의됩니다:

$[F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)$

만약 그러한 맵이 존재하면, 그것은 고유합니다; 이 맵은 미분이라고 불리고 $dF_{\alpha }$에 의해 표시되며, F의 무한하게 작은 "조각"으로서 미분의 고전적 (논리적으로 결함이 있지만) 개념에 대해 전통적인 표기법과 일치합니다. 이 정의는 유클리드 공간(의 열린 부분집합)의 벡터-값 함수에 대해 미분가능성의 보통 정의의 일반화를 나타냅니다.

Array of random variables

$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$를 확률 공간(probability space)으로 놓고 $n\in \mathbb {N}$라고 놓습니다. 확률 변수(random variable)의 배열 $\{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}$은 만약 모든 각 $\epsilon >0$에 대해, 우리가 다음을 가지면 무한소라고 불립니다:

$\max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty$

무한소 배열의 개념은 일부 중심 극한 정리에서 본질적이고 린데베르그의 조건(Lindeberg's condition)을 만족시키는 임의의 배열은 무한소이고, 따라서 린데베르그의 중심 극한 정리(Lindeberg's Central Limit Theorem) (중심 극한 정리(central limit theorem)의 일반화)에서 중요한 역할을 한다는 것을 기대 연산자의 단조성에 의해 쉽게 알 수 있습니다.

See also

• Adequality
• Cantor function
• Differential (mathematics)
• Dual number
• Hyperreal number
• Indeterminate form
• Infinity
• Infinitesimal calculus
• Infinitesimal transformation
• Instant
• Levi-Civita field
• Nonstandard calculus
• Nonstandard analysis
• Surreal number
• Model theory