Injective function

수학(mathematics)에서, 단사 함수(injective function 또는 단사(injection) 또는 일-대-일 함수(one-to-one function)로 역시 알려짐)는 그것의 도메인(domain)의 구별되는(distinct) 원소를 그것의 코도메인(codomain)의 구별되는 원소로 매핑하는 함수(function)입니다.^[1] 다시 말해서, 함수의 코도메인의 모든 각 원소는 그의 도메인의 많아야 하나의 원소의 이미지(image)입니다.^[2] 용어 일-대-일 함수(one-to-one function)는 전단사 함수(bjective function)를 참조하는 일-대-일 대응(one-to-one correspondence)과 결코 혼동되어서는 안되며, 전단사 함수는 코도메인에서 각 원소가 도메인에서 정확히 하나의 원소의 이미지를 만족하는 함수입니다.

An injective non-surjective function (injection, not a bijection)
An injective surjective function (bijection)
A non-injective surjective function (surjection, not a bijection)
A non-injective non-surjective function (also not a bijection)

대수적 구조(algebraic structure) 사이의 준동형(homomorphism)은 구조의 연산과 호환되는 함수입니다. 모든 공통적인 대수적 구조에 대해, 및, 특히 벡터 공간(vector space)에 대해, 단사 준동형은 역시 단사-사상(monomorphism)으로 불립니다. 어쨌든, 카테고리 이론(category theory)의 보다 일반적인 문맥에서, 단사-사상의 정의는 단사 준동형의 정의와 다릅니다.^[3] 이것은 따라서 그들이 대수적 구조에 대해 동등하다는 정리입니다; 자세한 내용에 대해 Homomorphism § Monomorphism을 참조하십시오.

단사가 아닌 함수 f는 때때로 다-대-일로 불립니다.^[2]

Definition

$f$ 를 그의 도메인(domain)이 집합 $X$ 인 함수(function)라고 놓습니다. 함수 $f$ 는 $X$ 에서 모든 $a$ 와 $b$ 에 대해 $f(a)=f(b)$ 이면, $a=b$ 라는 조건으로 제공되면 단사라고 말합니다; 즉, $f(a)=f(b)$ 는 $a=b$ 임을 의미합니다. 동등하게, 만약 $a\neq b$ 이면, $f(a)\neq f(b)$ 입니다.

기호적으로,

$\forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,$

이것은 대우(contrapositive)와 논리적으로 동등합니다:^[4]

$\forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).$

Examples

임의의 집합 X 및 X의 부분-집합 S에 대해, 포함 맵(inclusion map) S → X (S의 임의의 원소 s를 자신에게 보내는 맵)는 단사입니다. 특히, 항등 함수(identity function) X → X는 항상 단사입니다 (및 사실 전단사입니다).
만약 도메인 X = ∅ 또는 X가 오직 하나의 원소를 가지면, 함수 X → Y는 항상 단사입니다.
f(x) = 2x + 1에 의해 정의된 함수 f : R → R는 단사입니다.
g(x) = x²에 의해 정의된 함수 g : R → R는 단사가 아닌데, 왜냐하면 (예를 들어) g(1) = 1 = g(−1)입니다. 어쨌든, 만약 g가 그것의 도메인이 비-음의 실수 [0,+∞)를 만족하도록 다시-정의되면, g는 단사입니다.
exp(x) = e^x에 의해 정의된 지수 함수(exponential function) exp : R → R는 단사입니다 (그러나 전사(surjective)는 아닌데, 왜냐하면 실수 값이 아닌 것이 음수로 매핑하기 때문입니다.
x ↦ ln x에 의해 정의된 자연 로그 함수 ln : (0, ∞) → R는 단사입니다.
g(x) = xⁿ − x에 의해 정의된 함수 g : R → R는 단사가 아닌데, 왜냐하면, 예를 들어, g(0) = g(1) = 0이기 때문입니다.

보다 일반적으로, X와 Y가 둘 다 실수(real line) R일 때, 단사 함수 f : R → R는 그의 그래프가 결코 하나보다 많이 임의의 수평 직선과 교차하지 않는 것입니다. 이 원칙은 수평 직선 테스트(horizontal line test)로 참조됩니다.^[2]

Injections can be undone

왼쪽 역함수(left inverses)를 갖는 함수는 항상 단사입니다. 즉, f : X → Y가 주어지면, 만약 모든 각 x ∈ X에 대해, 다음을 만족하는 g : Y → X가 존재합니다:

g(f(x)) = x (f는 g에 의해 되돌려질 수 있음)이면, f는 단사입니다. 이 경우에서, g는 f의 수축(retraction)이라고 불립니다. 거꾸로, f는 g의 단면(section)으로 불립니다.

거꾸로, 비-빈 도메인을 가진 모든 단사 f는 왼쪽 역함수 g를 가지며, 이것은 g(x)가 만약 그것이 존재하고 그렇지 않으면 g(x) = a이면 f 아래에서 x의 고유한 이전-이미지와 같도록 f의 도메인에서 원소 a를 고정함으로써 정의될 수 있습니다.^[5]

왼쪽 역함수 g는 반드시 f의 역함수(inverse)인 것은 아닌데, 왜냐하면 다른 순서에서 합성, f ∘ g은 Y에 대한 항등으로부터 다를 수 있기 때문입니다. 달리 말해서, 단사 함수는 왼쪽 역함수에 의해 "역전"될 수 있지만, 반드시 역-가능한(invertible) 것은 아니며, 이것은 함수가 전단사(bijective)인 것을 요구합니다.

Injections may be made invertible

실제로, 단사 함수 f : X → Y를 전단사(bijective) (따라서 역-가능(invertible)) 함수로 바꾸려면, 그것의 코도메인 Y를 실제적인 범위 J = f(X)로 대체하는 것으로 충분합니다. 즉, X에서 모든 x에 대해 g(x) = f(x)를 만족하는 g : X → J로 놓습니다; 그런-다음 g는 전단사입니다. 실제로, f는 incl_J,Y ∘ g로 인수화될 수 있으며, 여기서 incl_J,Y는 J에서 Y로의 포함 함수(inclusion function)입니다.

보다 일반적으로, 단사 부분 함수(partial function)는 부분 전단사(partial bijection)로 불립니다.

Other properties

모든 f와 g가 둘 다 단사이면, f ∘ g는 단사입니다.
만약 g ∘ f가 단사이면, f는 단사입니다 (그러나 g는 그럴 필요없습니다).
f : X → Y가 단사인 것과 임의의 함수 g, f ∘ g = f ∘ h일 때마다 h : W → X가 주어지면, g = h인 것은 필요충분 조건입니다. 다른 말로, 단사 함수는 정확하게 집합의 카테고리(category) 집합(Set)에서 단사-사상(monomorphism)입니다.
만약 f : X → Y는 단사이고 A가 X의 부분-집합(subset)이면, f⁻¹(f(A)) = A입니다. 따라서, A는 그것의 이미지(image) f(A)로부터 복원될 수 있습니다.
만약 f : X → Y가 단사이고 A와 B가 X의 둘 다 부분-집합이면, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)입니다.
모든 각 함수 h : W → Y는 적당한 단사 f와 전사 g에 대해 h = f ∘ g로 분해될 수 있습니다. 이 분해는 동형까지(up to isomorphism) 고유하고, f는 h의 코도메인 Y의 부분-집합으로 h의 범위 h(W)의 포함 함수(inclusion function)로 생각될 수 있습니다.
만약 f : X → Y가 단사 함수이면, Y는, 세는-숫자(cardinal number)의 의미에서, 적어도 X만큼 많은 원소를 가집니다. 특히, 만약, 게다가, Y에서 X로의 단사가 있으면, X와 Y는 같은 세는-숫자를 가집니다. (이것은 칸토어–베른슈타인–슈뢰더 정리(Cantor–Bernstein–Schroeder theorem)로 알려져 있습니다.)
만약 X와 Y 둘 다가 같은 개수의 원소를 갖는 유한(finite)이면, f : X → Y가 단사인 것과 f가 전사(surjective)인 것은 필요충분 조건입니다 (이 경우에서 f는 전단사(bijective)입니다).
두 대수적 구조 사이에 준동형(homomorphism)인 단사 함수는 삽입(embedding)입니다.
함수의 그래프와 그것의 코도메인 사이의 관계인, 전사성과는 달리, 단사성은 단독으로 함수의 그래프의 속성입니다; 즉, 함수 f가 단사인지 여부는 f의 그래프 (및 코도메인은 아님)를 오직 고려함으로써 결정될 수 있습니다.

Proving that functions are injective

함수 f가 단사라는 증명은 함수가 표시되는 방법과 함수가 유지시키는 속성에 의존합니다. 일부 공식에 의해 주어지는 함수에 대해, 기본 아이디어가 있습니다. 우리는 단사성의 정의, 즉 만약 f(x) = f(y)이면, x = y임을 사용합니다.^[6]

다음은 하나의 예제입니다:

f = 2x + 3

증명: f : X → Y를 놓습니다. f(x) = f(y)임을 가정합니다. 따라서 2x + 3 = 2y + 3 ⇒ 2x = 2y ⇒ x = y입니다. 그러므로, f가 단사라는 정의를 따릅니다.

함수가 단사임을 입증하는 것에 대해 다른 여러 방법이 있습니다. 예를 들어, 미적분학에서 만약 f가 일부 구간에서 정의된 미분-가능 함수이면, 도함수가 해당 구간 위에 항상 양수 또는 항상 음수임을 보여주는 것으로 충분합니다. 선형 대수에서, 만약 f가 선형 변환이면, f의 커널이 오직 영 벡터를 포함함을 보여주는 것으로 충분합니다. 만약 f가 유한 도메인을 갖는 함수이면 각 도메인 원소의 이미지의 목록을 살펴보고 이미지가 목록에서 두 번 발생하지 않는지 확인하는 것으로 충분합니다.

실수 변수 x의 실수-값 함수 f에 대해 그래픽 접근은 수평 직선 테스트(horizontal line test)입니다. 모든 각 수평 직선이 많아야 한 점에서 f(x)의 곡선과 교차하면, f는 단사 또는 일-대-일입니다.

Notes

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — One-to-One". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-07.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ ^a ^b ^c "Injective, Surjective and Bijective". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-07.
^ "Section 7.3 (00V5): Injective and surjective maps of presheaves—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2019-12-07.
^ Farlow, S. J. "Injections, Surjections, and Bijections" (PDF). math.umaine.edu. Retrieved 2019-12-06.
^ Unlike the corresponding statement that every surjective function has a right inverse, this does not require the axiom of choice, as the existence of a is implied by the non-emptiness of the domain. However, this statement may fail in less conventional mathematics such as constructive mathematics. In constructive mathematics, the inclusion {0,1} → R of the two-element set in the reals cannot have a left inverse, as it would violate indecomposability, by giving a retraction of the real line to the set {0,1}.
^ Williams, Peter. "Proving Functions One-to-One". Archived from the original on 4 June 2017.

References

Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05464-1, p. 17 ff.
Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, New York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, p. 38 ff.

External links

[1] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — One-to-One". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-07.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[:0-2] "Injective, Surjective and Bijective". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-07.

[3] "Section 7.3 (00V5): Injective and surjective maps of presheaves—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2019-12-07.

[4] Farlow, S. J. "Injections, Surjections, and Bijections" (PDF). math.umaine.edu. Retrieved 2019-12-06.

[5] Unlike the corresponding statement that every surjective function has a right inverse, this does not require the axiom of choice, as the existence of a is implied by the non-emptiness of the domain. However, this statement may fail in less conventional mathematics such as constructive mathematics. In constructive mathematics, the inclusion {0,1} → R of the two-element set in the reals cannot have a left inverse, as it would violate indecomposability, by giving a retraction of the real line to the set {0,1}.

[6] Williams, Peter. "Proving Functions One-to-One". Archived from the original on 4 June 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
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