Image (mathematics)
Algebraic structure → Group theory Group theory |
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수학(mathematics)에서, 함수(function)의 이미지(image)는 그것이 생성할 수 있는 모든 출력 값의 집합입니다.
보다 일반적으로, 그것의 도메인(domain)의 주어진 부분집합 A의 각 원소에서 함수 f를 평가하면 집합을 생성하며, "f 아래의 (또는 통한) A의 이미지"라고 불립니다. 유사하게, f의 코도메인(codomain)의 주어진 부분집합 B의 역 이미지(inverse image) 또는 이전-이미지(preimage)는 B의 구성원에 매핑하는 도메인의 모든 원소의 집합입니다.
이미지와 역 이미지는 역시, 함수뿐만 아니라, 일반적인 이항 관계(binary relations)에 대해 정의될 수 있습니다.
Definition
단어 "image"는 셋의 관련된 방법에서 사용됩니다. 이들 정의에서, f : X → Y는 집합(set) X에서 집합 Y로의 함수(function)입니다.
Image of an element
만약 x가 X의 구성원이면, f에서 x의 이미지는, f(x)로 표시되며,[1] x에 적용될 때 f의 값(value)입니다. f(x)는 대안적으로 인수 x에 대해 f의 출력으로 알려져 있습니다.
Image of a subset
f 아래에서 부분집합 A ⊆ X의 이미지는, 로 표시되면, 다음처럼 집합-구성 표기법(set-builder notation)을 사용하여 정의될 수 있는 Y의 부분집합입니다:[2]
혼동의 여지가 없을 때, 는 간단히 로 쓰입니다. 이 관례는 공통적인 것입니다; 의도된 의미는 문맥으로부터 추론되어야 합니다. 이것은 f[.]를 그것의 도메인(domain)이 X의 거듭제곱 집합(power set) (X의 모든 부분집합(subset)의 집합)이고, 그것의 코도메인(codomain)이 Y의 거듭제곱 집합인 함수를 만듭니다. 자세한 것에 대해 아래 § Notation을 참조하십시오.
Image of a function
함수의 이미지는 그것의 전체 도메인(domain)의 이미지이며, 역시 함수의 치역(range)으로 알려져 있습니다.[3]
Generalization to binary relations
만약 R이 X×Y 위에 임의의 이항 관계(binary relation)이면, 집합 { y∈Y | xRy for some x∈X }은 R의 이미지, 또는 치역이라고 불립니다. 이중으로, 집합 { x∈X | xRy for some y∈Y }은 R의 도메인이라고 불립니다.
Inverse image
f를 X에서 Y로의 함수로 놓습니다. f 아래에서 집합 B ⊆ Y의 이전-이미지 또는 역 이미지는, 로 표시되면, 다음에 의해 정의된 x의 부분집합입니다:
다른 표기법은 f −1 (B)[4] 및 f − (B)[5]을 포함합니다. 한원소(singleton)의 역 이미지는, f −1[{y}] 또는 f −1[y]로 표시되며, 역시 y에 걸쳐 올(fiber) 또는 y의 수준 집합으로 불립니다. Y의 원소에 걸쳐 모든 올의 집합은 Y에 의해 인덱스된 집합의 가족입니다.
예를 들어, 함수 f(x) = x2에 대해, {4}의 역 이미지는 {−2, 2}일 것입니다. 다시 한번, 만약 혼동의 여지가 없으면, f −1[B]는 f −1(B)에 의해 표시될 수 있고, f −1는 역시 Y의 거듭제곱 집합에서 X의 거듭제곱 집합으로의 함수로 생각될 수 있습니다. 표기법 f −1는, 비록 그것이 f 아래에서 B의 역 이미지가 f −1 아래에서 B의 이미지라는 것에서 전단사에 대해 보통 표기법과 혼동될지라도, 역 함수(inverse function)에 대해 표기법과 혼동해서는 안됩니다.
Notation for image and inverse image
이전 섹션에서 사용된 전통적인 표기법은 혼동스러울 수 있습니다. 대안은[6] 이미지와 이전-이미지에 대해 명시적 이름을 거듭제곱 집합 사이의 함수로 제공하는 것입니다.
Arrow notation
- 와 함께
- 와 함께
Star notation
- 대신에
- 대신에
Other terminology
- 수학적 논리(mathematical logic)와 집합 이론(set theory)에 사용되는 f[A]에 대해 대안적인 표기법은 f "A입니다.[7][8]
- 일부 텍스트는 f의 이미지를 f의 치역으로 참조하지만, 이 사용법은 피해야 하는데 왜냐하면 단어 "range"는 역시 f의 코도메인(codomain)을 의미하기 위해 공통적으로 사용되기 때문입니다.
Examples
- f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d}는 에 의해 정의됩니다 f 아래에서 집합 {2, 3}의 이미지는 f({2, 3}) = {a, c}입니다. 함수 f의 이미지는 {a, c}입니다. a의 이전-이미지는 f −1({a}) = {1, 2}입니다. {a, b}의 이전-이미지는 역시 {1, 2}입니다. {b, d}의 이전-이미지는 빈 집합(empty set) {}입니다.
- f: R → R는 f(x) = x2에 의해 정의됩니다. f 아래에서 {−2, 3}의 이미지는 f({−2, 3}) = {4, 9}이고, f의 이미지는 R+입니다. f 아래에서 {4, 9}의 이전-이미지는 f −1({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}입니다. f 아래에서 집합 N = {n ∈ R | n < 0}의 이전이미지는 빈 집합인데, 왜냐하면 음수는 실수의 집합에서 제곱 근을 가지지 않기 때문입니다.
- f: R2 → R는 f(x, y) = x2 + y2에 의해 정의됩니다. 올(fibres) f −1({a})은 원점(origin), 원점 자체, 및 빈 집합(empty set)에 대한 동심 원(concentric circles)이며, 각각, a > 0, a = 0, 또는 a < 0 여부에 따라 다릅니다.
- 만약 M이 매니폴드(manifold)이고 π: TM → M가 접 다발(tangent bundle) TM에서 M으로의 정식의 투영(projection)이면, π의 올은 x∈M에 대해 접 공간(tangent spaces) Tx(M)입니다. 이것은 역시 올 다발(fiber bundle)의 예제입니다.
- 몫 그룹은 준동형 이미지입니다.
Properties
Counter-examples based on f:ℝ→ℝ, x↦x2, showing that equality generally need not hold for some laws: |
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General
모든 각 함수 및 모든 부분집합 와 에 대해, 다음 속성은 유지됩니다:
이미지 | 이전-이미지 |
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(equal if , e.g. is surjective)[9][10] |
(equal if is injective)[9][10] |
[9] | |
[11] | [11] |
[11] | [11] |
역시:
Multiple functions
부분집합 와 을 갖는 함수 와 에 대해, 다음 속성이 유지됩니다:
Multiple subsets of domain or codomain
함수 및 부분집합 와 에 대해, 다음 속성이 유지됩니다:
이미지 | 이전-이미지 |
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[11][12] | |
[11][12] (equal if is injective[13]) |
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[11] (equal if is injective[13]) |
[11] |
(equal if is injective) |
이미지와 이전-이미지를 교집합(intersection)과 합집합(union)의 (부울(Boolean)) 대수와 관련시키는 결과는 부분집합의 쌍뿐만 아니라 부분집합의 임의의 모음에 대해 작동합니다:
(여기서, S는 무한, 심지어 셀-수-없는 무한(uncountably infinite)일 수 있습니다.)
위에서 설명된 부분집합의 대수와 관련하여, 역 이미지 함수는 격자 준동형(lattice homomorphism)이지만, 이미지 함수는 오직 반-격자(semilattice) 준동형입니다 (즉, 항상 교집합을 보존하지는 않습니다).
See also
Notes
- ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-28.
- ^ "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets". Mathematics LibreTexts. 2019-11-05. Retrieved 2020-08-28.
- ^ Weisstein, Eric W. "Image". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-28.
- ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault. 2020-03-25. Retrieved 2020-08-28.
- ^ Dolecki & Mynard 2016, pp. 4–5.
- ^ Blyth 2005, p. 5.
- ^ Jean E. Rubin (1967). Set Theory for the Mathematician. Holden-Day. p. xix. ASIN B0006BQH7S.
- ^ M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
- ^ a b c See Halmos 1960, p. 39
- ^ a b See Munkres 2000, p. 19
- ^ a b c d e f g h See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
- ^ a b Kelley 1985, p. 85
- ^ a b See Munkres 2000, p. 21
References
- Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
- Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
- Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
- Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
- Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
- Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
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