Internal and external angles

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"Interior angle" redirects here. For interior angles on the same side of the transversal, see Transversal line.

Internal and external angles

기하학(geometry)에서, 다각형(polygon)의 각도(angle)는 끝점을 공유하는 다각형의 두 변에 의해 형성됩니다. 단순한(simple) (비-자체-교차하는) 다각형에 대해, 그것이 볼록 또는 비볼록 여부에 관계없이, 이 각도는 만약 각도 내의 한 점이 다각형의 내부에 있으면 내부 각도 (또는 내각)라고 불립니다. 다각형은 꼭짓점(vertex)당 정확하게 하나의 내부 각도를 가집니다.

만약 단순 다각형의 모든 각 내부 각도가 π 라디안 (180°)보다 작으면, 그 다각형은 볼록(convex)이라고 불립니다.

반면에, 외부 각도(역시 외각 또는 회전하는 각도라고 불림)는 단순 다각형의 한 변과 인접한 변에서 연장된 직선에 의해 셩성된 각도입니다.

Properties

• 같은 꼭짓점에 대한 내부 각도와 외부 각도의 합은 π 라디안 (180°)입니다.
• 단순 다각형의 모든 내부 각도의 합은 π(n−2) 라디안 또는 180(n–2)도이며, 여기서 n은 변의 개수입니다. 공식은 수학적 귀납법(mathematical induction)을 사용하여 입증될 수 있습니다: 각 합이 180°인 삼각형에서 시작하고, 그런-다음 한 변을 또 다른 꼭짓점에 연결된 두 변으로 대체하고, 이런 식으로 계속됩니다.
• 임의의 단순 볼록 또는 비-볼록 다각형의 외부 각도의 합은, 만약 두 외부 각도 중 오직 하나가 각 꼭짓점에 가정되면, 2π 라디안 (360°)입니다.
• 한 꼭짓점에서 외부 각도의 측정은 어느 쪽이 연장되는지에 영향을 받지 않습니다: 한 꼭짓점에서 교대로 한 변 또는 다른 변을 연장함으로써 형성될 수 있는 둘의 외부 각도는 수직 각도(vertical angles)이고 따라서 같습니다.

Extension to crossed polygons

내부 각도 개념은 방향화된 각도(directed angles)의 개념을 사용함으로써 별 다각형(star polygon)과 같은 교차된 다각형(crossed polygon)으로 일관된 방법으로 확장될 수 있습니다. 일반적으로 교차된 (자체-교차하는) 다각형을 포함하여 임의의 닫힌 다각형의 도 단위에서 내부 각도 합은 그때에 180(n–2k)°로 제공되며, 여기서 n은 꼭짓점의 개수이고, 엄격하게 양의 정수 k는 다각형의 둘레(perimeter of the polygon) 주위를 걸음으로써 겪는 총 (360°) 회전의 숫자입니다. 다시 말해서, 모든 외부 각도의 합은 2πk 라디안 또는 360k도입니다. 예제: 보통의 볼록 다각형(convex polygon)과 오목 다각형(concave polygon)에 대해, k = 1이고, 외부 각도 합이 360°이기 때문에, 둘레 주의를 걸음으로써 오직 한번 완전한 회전을 겪습니다.

External links

• Internal angles of a triangle
• Interior angle sum of polygons: a general formula - Provides an interactive Java activity that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons.