Isomorphism

The group of fifth roots of unity under multiplication is isomorphic to the group of rotations of the regular pentagon under composition.

수학(mathematics)에서, 동형 사상(isomorphism)은 역 매핑(inverse mapping)에 의해 되돌려질 수 있는 같은 유형의 두 구조(structures) 사이의 구조-보존하는 매핑(mapping)입니다. 두 수학적 구조는 만약 동형 사상이 그것들 사이에 존재하면 동형적(isomorphic)입니다. 단어 isomorphism은 고대 그리스어: ἴσος isos "같음"과, μορφή morphe "형태" 또는 "모양"에서 파생되었습니다.

동형 사상에 대한 관심은 두 동형적 대상이 같은 속성을 갖는다는 사실에 있습니다 (추가적인 구조 또는 대상의 이름과 같은 추가 정보는 제외합니다). 따라서 동형적 구조는 오직 구조의 관점에서 구별될 수 없고, 식별될 수 있습니다. 수학적 전문용어에서, 우리는 두 대상이 동형 사상까지(up to) 같다고 말합니다.

자기 동형 사상(automorphism)은 한 구조에서 자체로의 동형 사상입니다. 두 구조 사이의 동형 사상은 두 구조 사이에 오직 하나의 동형 사상이 있으면 (보편적 속성(universal property)의 해결책의 경우와 같이), 또는 동형 사상이 다른 동형 사상보다 (어떤 의미에서) 훨씬 더 자연스러우면 정식의 동형 사상(canonical isomorphism) (동형 사상인 정식 맵(canonical map))입니다. (어떤 의미에서) 다른 동형학보다. 예를 들어, 모든 각 소수(prime number) $p$ 에 대해, $p$ 원소를 갖는 모든 필드(fields)는 고유한 동형 사상을 가진 정식의 동형적입니다. 동형-사상 정리(isomorphism theorems)는 고유하지 않은 정식의 동형-사상을 제공합니다.

용어 isomorphism는 주로 대수 구조(algebraic structure)에 대해 사용됩니다. 이 경우에서, 매핑은 준동형(homomorphism)이라고 불리고, 준동형이 동형 사상인 것과 그것이 전단사(bijective)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

수학의 다양한 분야에서, 동형-사상은 고려 중인 구조 유형에 따라 전문화된 이름을 받아왔습니다. 예를 들어:

등거리-변환(isometry)은 메트릭 공간의 동형-사상입니다.
위상동형(homeomorphism)은 토폴로지적 공간(topological space)의 동형-사상입니다.
미분-동형(diffeomorphism)은 미분 구조(differential structure), 전형적으로 미분 매니폴드(differentiable manifold)를 갖춘 공간의 동형-사상입니다.
순열(permutation)은 집합(set)의 자기-동형입니다.
기하학(geometry)에서, 동형과 자기-동형은 변환(transformations)이라고 불리며, 예를 들어 강성 변환(rigid transformation), 아핀 변환(affine transformation), 투영 변환(projective transformation) 등이 있습니다.

구조 사이의 매핑 개념의 형식화로 보일 수 있는 카테고리 이론(Category theory)은 기본 아이디어의 이들 다른 관점에 대한 접근 방식을 통합하기 위해 사용될 수 있는 언어를 제공합니다.

Examples

Logarithm and exponential

$\mathbb {R} ^{+}$ 을 양의 실수(positive real numbers)의 곱셈 그룹[(multiplicative group)으로 놓고, $\mathbb {R}$ 를 실수의 덧셈 그룹으로 놓습니다.

로그 함수(logarithm function) $\log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ 는 모든 $x,y\in \mathbb {R} ^{+}$ 에 대해 $\log(xy)=\log x+\log y$ 를 만족시키므로, 그것은 그룹 준동형(group homomorphism)입니다. 지수 함수(exponential function) $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ 는 모든 $x,y\in \mathbb {R}$ 에 대해 $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ 를 만족시키므로, 그것 역시 준동형입니다.

항등식 $\log \exp x=x$ 와 $\exp \log y=y$ 는 $\log$ 와 $\exp$ 가 서로의 역(inverses)임을 보여줍니다. $\log$ 는 역시 준동형인 역을 가지는 준동형이고, 따라서 $\log$ 는 그룹의 동형입니다.

$\log$ 함수는 양의 실수의 곱셈을 실수의 덧셈으로 변환하는 동형-사상입니다. 이 기능성은 눈금자(ruler)와 로그 테이블(table of logarithms)을 사용하거나, 로그 스케일을 갖는 미끄럼 자(slide rule)를 사용하여 실수를 곱할 수 있도록 만듭니다.

Integers modulo 6

그룹 $(\mathbb {Z} _{6},+),$ 0부터 정수 5에 덧셈 모듈로(modulo) 6를 갖는 정수로 생각해 보십시오. 역시 그룹 $\left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),$ x 좌표가 0 또는 1일 수 있고 y 좌표는 0, 1 또는 2일 수 있는 순서쌍을 생각해 보십시오, 여기서 x-좌표에서 덧셈은 모듈로 2이고 y-좌표에서 덧셈은 모듈로 3입니다.

이들 구조는 다음 체계 아래에서, 덧셈 아래에서 동형적입니다: ${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$ 또는 일반적으로 $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6$ 입니다.

예를 들어, $(1,1)+(1,0)=(0,1)$ 이며, 이것은 다른 시스템에서 $1+3=4$ 으로 번역됩니다.

이들 두 그룹은 집합이 서로 다른 원소를 포함한다는 점에서 다르게 "보이지만", 그것들은 실제로 동형적입니다: 그들의 구조는 정확히 같습니다. 보다 일반적으로, 두 순환 그룹(cyclic group) $\mathbb {Z} _{m}$ 과 $\mathbb {Z} _{n}$ 의 직접 곱(direct product)이 $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ 에 동형적인 것과 m과 n이 중국의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)에 따라 서로소(coprime)인 것은 필요충분 조건입니다.

Relation-preserving isomorphism

만약 하나의 대상이 이항 관계(binary relation) R을 갖는 집합 X로 구성되고 다른 대상이 이항 관계 S를 갖는 집합 Y로 구성되면 X에서 Y로의 동형은 다음을 만족하는 전단사 함수 $f:X\to Y$ 입니다:^[1] $\operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)$

S는 반사적(reflexive), 비반사적(irreflexive), 대칭적(symmetric), 반대칭적(antisymmetric), 비대칭적(asymmetric), 전이적(transitive), 전체적(total), 삼분화(trichotomous), 부분 순서(partial order), 전체 순서(total order), 바른-순서(well-order), 엄격하게 약한 순서(strict weak order), 전체 준순서(total preorder) (약한 순서), 동치 관계(equivalence relation), 또는 임의의 다른 특별한 속성을 갖는 것과 R인 것은 필요충분 조건입니다.

예를 들어, R이 순서화(ordering) ≤이고 S가 순서화 $\scriptstyle \sqsubseteq$ 이면, X에서 Y로의 동형은 다음을 만족하는 전단사 함수 $f:X\to Y$ 입니다: $f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.$

그러한 동형은 순서 동형(order isomorphism) 또는 (덜 공통적으로) 등톤 동형(isotone isomorphism)이라고 합니다.

만약 $X=Y$ 이면 이것은 관계-보존하는 자기-동형(automorphism)입니다.

Applications

대수학(algebra)에서, 동형은 모든 대수적 구조(algebraic structure)에 대해 정의됩니다. 일부는 더 구체적으로 연구됩니다; 예를 들어:

벡터 공간(vector space) 사이의 선형 동형(linear isomorphism); 그것들은 역-가능 행렬에 의해 지정됩니다.
그룹(groups) 사이의 그룹 동형(group isomorphism); 유한 그룹(finite group)의 동형 클래스(isomorphism class)의 분류는 열린 문제입니다.
링(rings) 사이의 링 동형(ring isomorphism).
필드 동형은 필드(fields) 사이의 링 동형과 같습니다; 그것들의 연구, 및 필드 자기-동형(field automorphism)의 보다 구체적인 연구는 갈루아 이론(Galois theory)의 중요한 부분입니다.

대수적 구조(algebraic structure)의 자기동형(automorphism)이 그룹(group)을 형성하는 것처럼, 공통 구조를 공유하는 두 대수 사이의 동형은 힙(heap)을 형성합니다. 특정 동형이 두 구조를 식별하도록 하면 이 힙이 그룹으로 바뀝니다.

수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 라플라스 변환(Laplace transform)은 어려운 미분 방정식(differential equations)을 더 쉬운 대수적 방정식으로 매핑하는 동형입니다.

그래프 이론(graph theory)에서, 두 그래프 G와 H 사이의 동형은 G에서 꼭짓점(vertex) u에서 꼭짓점 v로의 가장자리가 있다는 의미에서 "가장자리 구조"를 유지하는 G의 꼭짓점에서 H의 꼭짓점으로의 전단사(bijective) 맵 f인 것과 H에서 $f(u)$ 에서 $f(v)$ 로의 가장자리가 있는 것은 필요충분 조건입니다. 그래프 동형(graph isomorphism)을 참조하십시오.

수학적 해석학에서, 두 힐베르트 공간(Hilbert space) 사이의 동형은 전단사 보존하는 덧셈, 스칼라 곱셈, 및 안의 곱입니다.

논리적 원자론(logical atomism)의 초기 이론에서, 사실과 진리 명제 사이의 형식적 관계는 버트런드 러셀(Bertrand Russell)과 루트비히 비트겐슈타인(Ludwig Wittgenstein)에 의해 동형적인 것으로 이론화되었습니다. 이러한 사고 방식의 예제는 러셀의 Introduction to Mathematical Philosophy에서 찾을 수 있습니다.

사이버네틱스(cybernetics)에서, 좋은 레귤레이터(good regulator) 또는 Conant–Ashby 정리는 "시스템의 모든 각 좋은 레귤레이터는 해당 시스템의 모델이어야 합니다"라고 명시되어 있습니다. 규제된 또는 자기-규제하는 여부에 관계없이, 동형은 시스템의 레귤레이터와 처리하는 부분 사이에 필요합니다.

Category theoretic view

카테고리 이론(category theory)에서, 카테고리(category) C가 주어지면, 동형은 역 사상 $g:b\to a,$ 즉, $fg=1_{b}$ 와 $gf=1_{a}$ 를 가지는 사상 $f:a\to b$ 입니다. 예를 들어, 전단사 선형 맵(linear map)은 벡터 공간(vector space) 사이의 동형이고, 그것의 역함수도 연속적인 전단사 연속 함수(continuous function)는 토폴로지적 공간(topological space) 사이의 동형이며, 위상동형(homeomorphism)이라고 불립니다.

만약 함수자 $F:C\to D$ 와 $G:D\to C$ 가 존재하고 그것들이 서로 역, 즉 $FG=1_{D}$ ( $D$ 에 대한 항등 함수자)와 $GF=1_{C}$ ( $C$ 에 대한 항등 함수자)이면, 두 카테고리 $C$ 와 $D$ 는 동형적(isomorphic)입니다.

Isomorphism vs. bijective morphism

토폴로지적 공간의 카테고리(category of topological spaces) 또는 대수적 대상의 카테고리 (예를 들어, 그룹의 카테고리(category of groups), 링의 카테고리(category of rings), 및 모듈의 카테고리(category of modules))와 같은 구체적 카테고리(concrete category) (대략 그것의 대상이 집합 (아마도 여분의 구조를 가짐)과 그것의 사상이 구조-보존하는 함수인 카테고리)에서, 동형은 놓여있는 집합(underlying set)에서 전단사여야 합니다. 대수 카테고리 (특히, 보편적 대수학의 의미에서 다양체의 카테고리)에서, 동형은 놓여있는 집합에서 전단사인 준동형과 같습니다. 어쨌든, 전단사 사상이 반드시 동형은 아닌 구체적 카테고리 (예를 들어 토폴로지적 공간의 카테고리)가 있습니다.

Relation with equality

수학의 특정 영역, 특히 카테고리 이론에서, 한편으로 상등(equality)과 나머지 한편으로 동형(isomorphism) 사이의 구별이 가치있는 일입니다.^[2] 상등은 두 대상이 정확히 같고, 한 대상에 대해 참인 모든 것이 다른 대상에 대해 참인 경우이고, 반면에 동형은 한 대상 구조의 지정된 부분에 대해 참인 모든 것이 다른 대상에 대해서도 참임을 의미합니다. 예를 들어, 다음 집합은 같습니다: $A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$

그것들은 단지 정수의 같은 부분집합의 다른 표현입니다–첫 번째는 (집합 구성 표기법(set builder notation)에서) 내부적(intensional) 표현이고, 두 번째는 (명시적 열거에 의한) 외부적(extensional) 표현입니다. 대조적으로, 집합 $\{A,B,C\}$ 와 $\{1,2,3\}$ 은 같지 않습니다–첫 번째는 문자인 원소를 가지고, 반면에 두 번째는 숫자인 원소를 가집니다. 유한 집합은 카디널리티(cardinality) (원소의 수)에 의해 동형까지(up to isomorphism) 결정되고 둘 다 셋의 원소를 갖지만, 동형의 많은 선택이 있기 때문에 이것들은 집합으로 동형적입니다–하나의 동형은 다음이고

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,

반면에 또 다른 것은

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1

입니다

그리고 위의 둘 중에 어떤 동형이 다른 어떤 것보다 본질적으로 더 낫지 않습니다.^{[note 1]}^{[note 2]} 이러한 관점과 이러한 의미에서, 이들 두 집합은 같지 않은데 왜냐하면 우리가 그것들을 동일하다고 고려할 수 없기 때문입니다; 우리는 그것들 사이의 동형을 선택할 수 있지만, 그것은 동일성보다 약한 주장입니다–그리고 선택된 동형의 맥락에서 오직 유효합니다.

때로는 동형이 명백하고 설득력 있게 보일 수 있지만, 여전히 상등은 아닙니다. 간단한 예로서, Joe, John, 및 Bobby Kennedy 사이의 족보(genealogical) 관계는, 실제 의미에서, Manning family의 미식 축구 쿼터백: Archie, Peyton, 및 Eli 사이의 관계와 같습니다. 아버지-아들 짝짓기와 손위-형-손아래-동생 짝짓기가 완벽하게 대응합니다. 두 가족 구조 사이의 유사성은 isomorphism (그리스어 iso-, "같음" 및 -morph, "형식" 또는 "모양")이라는 단어의 기원을 보여줍니다. 그러나 케네디 가문은 매닝 가문과 같은 민족이 아니기 때문에, 두 족보 구조는 단지 동형일 뿐이며 같지는 않습니다.

또 다른 예제는 보다 형식적이고 동형과 상등을 구별하는 동기를 보다 직접적으로 보여줍니다: 유한-차원 벡터 공간(finite-dimensional vector space) V와 선형의 이중 공간(dual space) $V^{*}=\left\{\varphi :V\to \mathbf {K} \right\}$ 사이의 구별은 V에서 자체의 스칼라 필드 $\mathbf {K}$ 로 매핑합니다. 이들 공간은 같은 차원을 가지고, 따라서 추상 벡터 공간과 동형적이지만 (왜냐하면 단지 집합이 카디널리티에 의해 분류될 때, 대수적으로, 벡터 공간은 차원에 의해 분류됨), 동형사상 $\scriptstyle V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{*}$ 의 "자연스러운" 선택은 없습니다. 만약 우리가 V에 대해 기저를 선택하면, 이것은 다음 동형 사상을 산출합니다: 모든 $u,v\in V$ 에 대해,

v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{ such that }}\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u.

이것은 전치(transpose)에 의해 열 벡터(column vector) (V의 원소)를 행 벡터(row vector) (V*의 원소)로 변환하는 것에 해당하지만, 기저의 다른 선택은 다른 동형을 제공합니다: 동형은 "기저의 선택에 따라 달라집니다". 보다 미묘하게, 기저의 선택에 의존하지 않는 벡터 공간 V에서 그것의 이중 쌍대 $V^{**}=\left\{x:V^{*}\to \mathbf {K} \right\}$ 로의 맵이 있습니다: 모든 $v\in V{\text{ and }}\varphi \in V^{*}$ 에 대해,

v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} x_{v}\in V^{**}\quad {\text{ such that }}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v).

이것은 세 번째 개념, 자연스러운 동형사상(natural isomorphism)의 개념으로 이어집니다: $V$ 와 $V^{**}$ 는 서로 다른 집합이지만, 그들 사이의 동형의 "자연스러운" 선택이 있습니다. "임의의 선택에 의존하지 않는 동형"의 직관적인 개념은 자연스러운 변환(natural transformation)의 개념으로 공식화됩니다; 간단히 말해서, 유한 차원 벡터 공간에서 일관된 방법으로 임의의 벡터 공간에 대해 이중 쌍대, $\scriptstyle V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{**}$ 로의 일관되게 식별하거나 더 일반적으로 매핑할 수 있습니다. 이 직관을 공식화하는 것이 카테고리 이론의 발전을 위한 동기입니다.

어쨌든, 자연스러운 동형과 상등의 구분이 보통 만들어지지 않는 경우가 있습니다. 그것은 보편적인 속성(universal property)으로 특징지어질 수 있는 대상을 위한 것입니다. 사실, 같은 보편적 속성을 공유하는 두 대상 사이의, 필연적으로 자연스러운 고유한 동형이 있습니다. 전형적인 예제는 무한 십진 전개, 무한 이진 전개, 코시 수열(Cauchy sequence), 데데킨트 자름(Dedekind cut), 및 기타 여러 방법을 통해 정의될 수 있는 실수(real number)의 집합입니다. 공식적으로, 이들 구성은 같은 보편적 속성을 갖는 모든 해인 다른 대상을 정의합니다. 이들 대상은 정확하게 같은 속성을 갖기 때문에, 우리는 구성 방법을 잊어버리고 그것들을 같은 것으로 고려할 수 있습니다. 이것은 "실수의 그 집합"을 참조할 때 모두가 하는 것입니다. 같은 것이 몫 공백(quotient space)에서 발생합니다: 그것들은 공통적으로 동치 클래스(equivalence class)의 집합으로 구성됩니다. 어쨌든, 집합의 집합을 참조하는 것은 반-직관적일 수 있고, 따라서 몫 공간은 공통적으로 종종 "점"이라고 하는 비결정 대상의 집합과 이 집합 위로의 전사 맵의 쌍으로 고려됩니다.

만약 우리가 임의의 동형 (선택에 의존하는 것)과 자연스러운 동형 (일관되게 수행될 수 있는 것) 사이의 구별을 원하면, 우리는 $V\approx V^{*}$ 와 $V\cong V^{**}$ 에서 처럼 부자연스러운 동형(unnatural isomorphism)에 대해 $\,\approx \,$ 과 자연스러운 동형에 대해 $≅$ 를 쓸 수 있습니다. 이 규칙은 보편적으로 따르지 않았고, 부자연스러운 동형과 자연적인 동형을 구별하기를 원하는 저자는 일반적으로 구별을 명시적으로 설명할 것입니다.

일반적으로, 두 대상이 같다고 말하는 것은 이들 대상이 살고 있는 더 큰 (주변) 공간의 개념이 있을 때 예약됩니다. 가장 자주, 우리는 주어진 집합의 두 부분집합의 상등을 말하지만 (위의 정수 집합 예제에서와 같이), 추상적으로 제시된 두 대상의 것은 아닙니다. 예를 들어, 3-차원 공간에서 2-차원 단위 구

S^{2}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}

그리고 복소 평면 $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ 의 한-점 컴팩트화 또는 복소 투영 직선 (몫 공간)으로 제시될 수 있는 리만 구(Riemann sphere) ${\widehat {\mathbb {C} }}$ 는

\mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=\left(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)/\left(\mathbb {C} ^{*}\right)

셋의 모두가 동형적이지만, 같지는 않은 수학적 대상에 대해 셋의 다른 설명인데, 왜냐하면 그것들은 단일 공간의 모든 부분집합이 아니기 때문입니다: 첫 번째는 $\mathbb {R} ^{3}$ 의 부분집합이고, 두 번째는 $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ ^{[note 3]} 더하기 추가적인 점이고, 세 번째는 $\mathbb {C} ^{2}$ 의 부분-몫(subquotient)입니다.

카테고리 이론의 문맥에서, 대상은 보통 기껏해야 동형입니다–실제로 카테고리 이론의 개발에 대한 동기는 호몰로지 이론(homology theory)에서 다른 구성이 동치 (동형) 그룹을 산출한다는 것을 보여주기 위한 것이었습니다. 두 대상 X와 Y 사이의 맵이 주어지면, 어쨌든, 우리는 특히 교환 다이어그램(commutative diagram)에서 그것들이 같은지 또는 그렇지 않은지 여부를 묻습니다 (그것들은 둘 다 집합 $\hom(X,Y)$ 이고, 따라서 상등은 적절한 관계입니다).

Notes

^ $A,B,C$ have a conventional order, namely alphabetical order, and similarly 1, 2, 3 have the order from the integers, and thus one particular isomorphism is "natural", namely
${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.$
More formally, as sets these are isomorphic, but not naturally isomorphic (there are multiple choices of isomorphism), while as ordered sets they are naturally isomorphic (there is a unique isomorphism, given above), since finite total orders are uniquely determined up to unique isomorphism by cardinality. This intuition can be formalized by saying that any two finite totally ordered sets of the same cardinality have a natural isomorphism, the one that sends the least element of the first to the least element of the second, the least element of what remains in the first to the least element of what remains in the second, and so forth, but in general, pairs of sets of a given finite cardinality are not naturally isomorphic because there is more than one choice of map—except if the cardinality is 0 or 1, where there is a unique choice.
^ In fact, there are precisely $3!=6$ different isomorphisms between two sets with three elements. This is equal to the number of automorphisms of a given three-element set (which in turn is equal to the order of the symmetric group on three letters), and more generally one has that the set of isomorphisms between two objects, denoted $\operatorname {Iso} (A,B),$ is a torsor for the automorphism group of A, $\operatorname {Aut} (A)$ and also a torsor for the automorphism group of B. In fact, automorphisms of an object are a key reason to be concerned with the distinction between isomorphism and equality, as demonstrated in the effect of change of basis on the identification of a vector space with its dual or with its double dual, as elaborated in the sequel.
^ Being precise, the identification of the complex numbers with the real plane, $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} \cdot 1\oplus \mathbb {R} \cdot i=\mathbb {R} ^{2}$ depends on a choice of $i;$ one can just as easily choose $(-i),$ which yields a different identification—formally, complex conjugation is an automorphism—but in practice one often assumes that one has made such an identification.