Isosceles triangle

Isosceles triangle
Isosceles triangle
	Isosceles triangle with vertical axis of symmetry
Type	triangle
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	( ) ∨ { }
Symmetry group	Dih2, [ ], (*), order 2
Properties	convex, cyclic

기하학(geometry)에서, 이등변 삼각형(isosceles triangle)은 같은 길이의 두 변을 가지는 삼각형(triangle)입니다. 때때로 그것은 같은 길이의 정확하게 두 변을 갖는 것으로 지정되고 때때로 같은 길이의 적어도 두 변을 같은 것으로 지정되며, 후자 버전은 따라서 특별한 경우(special case)로 등변 삼각형(equilateral triangle)을 포함합니다. 이등변 삼각형의 예제는 이등변 직각 삼각형(isosceles right triangle), 황금 삼각형(golden triangle), 쌍-각뿔(bipyramid)과 특정 카탈랑 고체(Catalan solid)의 면을 포함합니다.

이등변 삼각형의 수학적 연구는 고대 이집트 수학(ancient Egyptian mathematics)과 바빌로니아 수학(Babylonian mathematics)으로 거슬러 올라갑니다. 이등변 삼각형은 더 일찍부터 장식으로 사용되어 왔고, 예를 들어 건물의 페더먼트(pediment)와 게이블(gable)에서 건축과 디자인에 자주 나타납니다.

둘의 같은 변은 다리라고 불리고 세 번째 변은 삼각형의 밑변이라고 불립니다. 높이, 넓이, 및 둘레와 같은 삼각형의 다른 치수는 다리와 밑변의 길이에서 간단한 공식에 의해 계산될 수 있습니다. 모든 각 이등변 삼각형은 밑변의 수직 이등분선(perpendicular bisector)을 따라 대칭의 축을 가집니다. 다리 반대편의 두 각은 같고 항상 예각(acute)이므로, 삼각형의 예각, 직각, 또는 둔각의 분류는 오직 그것의 두 다리 사이의 각도에 의존합니다.

Terminology, classification, and examples

유클리드(Euclid)는 이등변 삼각형을 정확하게 둘의 같은 변을 갖는 삼각형으로 정의했었지만,^[1] 현대 취급은 이등변 삼각형을 적어도 둘의 같은 변을 가지는 것으로 정의하는 것을 선호합니다. 이들 두 정의의 차이점은 현대 버전이 (셋의 같은 변을 갖는) 등변 삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로 만든다는 것입니다.^[2] (셋의 같지 않는 변을 가지는) 이등변이 아닌 삼각형은 부등변(scalene)이라고 불립니다.^[3] "부등변(Isosceles)"은 그리스 어근(Greek roots) "isos" (같음)와 "skelos" (다리)에서 만들어집니다. 같은 단어는, 예를 들어, 이등변 사다리꼴(isosceles trapezoid), 두 변이 같은 사다리꼴,^[4] 및 이등변 집합(isosceles set), 이등변 삼각형을 형성하는 그것의 모든 각 세 점의 집합에 대해 사용됩니다.^[5]

정확하게 둘의 같은 변을 가지는 이등변 삼각형에서, 같은 변은 다리(legs)라고 불리고 세 번째 변은 밑변(base)이라고 불립니다. 다리에 의해 포함된 각도는 꼭짓점 각도(vertex angle)라고 불리고 밑변을 그것들의 변의 하나로 가지는 각도는 밑변 각도(base angles)이라고 불립니다.^[6] 밑면의 반대편 꼭짓점은 꼭대기(apex)라고 불립니다.^[7] 등변 삼각형 경우에서, 모든 변이 같기 때문에, 임의의 변이 밑변이라고 불릴 수 있습니다.^[8]

Special isosceles triangles

Isosceles right triangle

Three congruent inscribed squares in the Calabi triangle

A golden triangle subdivided into a smaller golden triangle and golden gnomon

The triakis triangular tiling

Catalan solids with isosceles triangle faces

Triakis tetrahedron

Triakis octahedron

Tetrakis hexahedron

Pentakis dodecahedron

Triakis icosahedron

이등변 삼각형이 예각, 직각 또는 둔각인지 여부는 꼭대기의 각도에 오직 의존합니다. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 밑변 각도는 둔각 (90°보다 큼) 또는 직각 (90°와 같음)이 될 수 없는데 왜냐하면 그것들의 측정은 합해서 적어도 180°, 임의의 유클리드 삼각형에서 모든 각도의 합이 되기 때문입니다.^[8] 삼각형은 둔각 또는 직각인 것과 그것들의 각도 중 하나가 각각 둔각 또는 직각인 것은 필요충분 조건이고, 이등변 삼각형이 둔각, 직각 또는 예각인 것과 그것의 꼭대기 각도가 각각 둔각, 직각 또는 예각인 것은 필요충분 조건입니다.^[7] 에드윈 애보트(Edwin Abbott)의 책 Flatland에서, 이 모양의 분류는 사회 계층(social hierarchy)의 풍자로 사용되었습니다: 여기서 이등변 삼각형은 노동 계급(working class)을 나타내고, 직각 또는 둔각 이등변 삼각형보다 계층에서 예각 이등변 삼각형이 더 높게 표현됩니다.^[9]

이등변 직각 삼각형(isosceles right triangle)뿐만 아니라, 이등변 삼각형의 몇 가지 다른 특정 모양이 연구되어 왔습니다. 이것들은 칼라비 삼각형(Calabi triangle) (셋의 합동 내접된 정사각형을 갖는 삼각형),^[10] 황금 삼각형(golden triangle), 및 황금 노몬(golden gnomon) (변과 밑변이 황금 비율에 있는 둘의 이등변 삼각형),^[11] 랭리의 우연의 각도(Langley's Adventitious Angles)에서 나타나는 80-80-20 삼각형,^[12] 및 트라이아키스 삼각형 타일링(triakis triangular tiling)의 30-30-120 삼각형을 포함합니다. 다섯의 카탈랑 고체(Catalan solid), 트라이아키스 사면체(triakis tetrahedron), 트라이아키스 팔면체(triakis octahedron), 테트라키스 육면체(tetrakis hexahedron), 펜타키스 십이면체(pentakis dodecahedron), 및 트라이아키스 이십면체(triakis icosahedron), 각각은 이등변-삼각형 면을 가지고, 무한하게 많은 피라미드와 쌍-각뿔도 마찬가지입니다.^[13]

Formulas

Height

임의의 이등변 삼각형에 대해, 다음 여섯 선분(line segment)은 일치합니다:

고도(altitude), 꼭대기에서 밑면에 수직인 선분,^[14]
꼭대기에서 밑면까지의 각도 이등분선(angle bisector),^[14]
꼭대기에서 밑면의 중간점까지의 중앙값(median),^[14]
삼각형 내 밑변의 수직 이등분선(perpendicular bisector),^[14]
삼각형의 고유한 대칭의 축(axis of symmetry)의 삼각형 내 선분, 및^[14]
삼각형이 등변(equilateral)인 때를 제외하고, 삼각형의 오일러 직선의 삼각형 내의 선분.^[15]

그것들의 공통 길이는 삼각형의 높이 $h$ 입니다. 만약 삼각형이 길이 $a$ 의 같은 변과 길이 $b$ 의 밑변을 가지면, 이들 선분의 길이에 대해 일반 삼각형 공식은 모두 다음으로 단순화됩니다:^[16]

h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.

이 공식은 고도가 역시 밑변을 이등분하고 이등변 삼각형을 둘의 합동 직각 삼각형으로 분할한다는 사실을 사용하여 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에서 유도될 수 있습니다.^[17]

임의의 삼각형의 오일러 직선은 삼각형의 직교중심(orthocenter) (세 고도의 교점), 도형중심(centroid) (세 중앙선의 교점), 및 둘레중심(circumcenter) (세 변의 수직 이등분선의 교점이며, 역시 세 꼭짓점을 통과하는 둘레원의 중심)을 통과합니다. 정확하게 둘의 같은 변을 갖는 이등변 삼각형에서, 이들 세 점은 구별되고, (대칭에 의해) 모두는 삼각형의 대칭의 축 위에 놓이며, 이것으로부터 오일러 직선은 대칭의 축과 일치함을 따릅니다. 삼각형의 내중심(incenter)은 역시 오일러 직선 위에 놓이며, 다른 삼각형에 대해 참이 아닌 것이 있습니다.^[15] 만약 각도 이등분선, 중앙선, 또는 고도 중 임의의 둘이 주어진 삼각형에서 일치하면, 해당 삼각형은 이등변이어야 합니다.^[18]

Area

이등변 삼각형의 넓이 $T$ 는 그것의 높이에 대해 공식과 밑변과 높이의 곱의 절반으로 삼각형의 넓이에 대해 일반적인 공식에서 유도될 수 있습니다:^[16]

T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.

같은 넓이 공식은 역시 그것의 세 변으로부터 삼각형의 넓이에 대해 헤론의 공식(Heron's formula)에서 유도될 수 있습니다. 어쨌든, 헤론의 공식을 직접 적용하면 매우 날카로운 각을 가진 이등변 삼각형에 대해 수치적으로 불안정(numerically unstable)할 수 있는데, 왜냐하면 그들 삼각형에서 반둘레(semiperimeter)와 변 길이 사이의 거의-상쇄 때문입니다.^[19]

만약 이등변 삼각형의 꼭대기 각도 $(\theta )$ 와 다리 길이 $(a)$ 가 알려져 있으면, 해당 삼각형의 넓이는 다음입니다:^[20]

T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .

이것은 두 변의 곱의 절반 곱하기 포함된 각도의 사인으로 삼각형의 넓이에 대해 일반적인 공식의 특별한 경우입니다.^[21]

Perimeter

같은 변 $a$ 와 밑변 $b$ 를 갖는 이등변 삼각형의 둘레 $p$ 는 바로 다음입니다:^[16]

p=2a+b.

임의의 삼각형과 마찬가지로, 넓이 $T$ 와 둘레 $p$ 는 같은-둘레 부등식(isoperimetric inequality)에 의해 관련되어 있습니다:^[22]

p^{2}>12{\sqrt {3}}T.

이것은 밑변과 같지 않은 변을 갖는 이등변 삼각형에 대해 엄격한 부등식이고, 등변 삼각형에 대해 상등이 됩니다. 넓이, 둘레, 및 밑변은 역시 방정식에 의해 서로 관련될 수 있습니다:^[23]

2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.

만약 밑변과 둘레가 고정되어 있으면, 이 공식은 같은 밑변과 둘레를 갖는 모든 삼각형 중에서 가능한 최댓값인 결과 이등변 삼각형의 넓이를 결정합니다.^[24] 다른 한편으로, 만약 넓이와 둘레가 고정되어 있으면, 이 공식은 밑변 길이를 복구하기 위해 사용될 수 있지만, 고유하지는 않습니다: 일반적으로 주어진 넓이 $T$ 와 둘레 $p$ 를 갖는 둘의 구별되는 이등변 삼각형이 있습니다. 같은-둘레 부등식이 상등이 되었을 때, 그러한 삼각형은 단 하나, 즉 등변 삼각형입니다.^[25]

Angle bisector length

만약 둘의 같은 변이 길이 $a$ 를 가지고 나머지 다른 변이 길이 $b$ 를 가지면, 둘의 같은-각도 꼭짓점의 하나에서 내부 각도 이등분선(angle bisector) $t$ 는 다음을 만족시킵니다:

{\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}

마찬가지로

t<{\frac {4a}{3}};

그리로 반대로, 만약 후자 조건이 유지되면, $a$ 와 $t$ 에 의해 매개변수화된 이등변 삼각형이 존재합니다.^[26]

슈타이너–레무스 정리(Steiner–Lehmus theorem)는 같은 길이의 두 각도 이등분선을 갖는 모든 각 삼각형이 이등변이라고 말합니다. 그것은 1840년 레무스에 의해 공식화되었습니다. 그것의 다른 이름을 딴, 야코프 슈타이너(Jakob Steiner)는 하나의 해를 제공한 최초의 사람 중 한 명이었습니다.^[27] 비록 원래 오직 내각 이등분선에 대해 공식화되었을지라도, 그것은 대신 둘의 외부 각도 이등분선이 같을 때인 많은 (그러나 전부는 아닌) 경우에 대해 작동합니다. 30-30-120 이등변 삼각형은 그것이 넷의 같은 각도 이등분선 (둘의 내부, 둘의 외부)를 가지기 때문에 정리의 이러한 변형에 대해 경계 경우(boundary case)를 만듭니다.^[28]

Radii

Isosceles triangle showing its circumcenter (blue), centroid (red), incenter (green), and symmetry axis (purple)

이등변 삼각형에 대해 내반지름과 둘레반지름 공식은 임의적인 삼각형에 대해 그것들의 공식에서 유도될 수 있습니다. 변 길이 $a$ , 밑변 $b$ , 및 높이 $h$ 를 갖는 이등변 삼각형의 내접된 원(inscribed circle)의 반지름은 다음과 같습니다:^[16]

{\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.

원의 중심은 삼각형의 대칭의 축 위에 놓이며, 이 거리가 밑면보다 위에 놓입니다. 이등변 삼각형은 같은 밑변과 꼭대기 각도를 갖는 삼각형 중 가장 큰 가능한 내접된 원을 가지며, 마찬가지로 같은 종류의 삼각형 중에서 가장 큰 넓이와 둘레를 가집니다.^[29]

둘레내접된 원(circumscribed circle)의 반지름은 다음과 같습니다:^[16]

{\frac {a^{2}}{2h}}.

원의 중심은 삼각형의 대칭 축 위에 놓이며, 이 거리는 꼭대기보다 아래에 놓입니다.

Inscribed square

임의의 이등변 삼각형에 대해, 삼각형의 밑변과 공선형인 한 변과 그것의 변 위에 반대쪽 두 모서리를 갖는 고유한 정사각형이 있습니다. 칼라비 삼각형(Calabi triangle)은 삼각형의 변과 공선형인 변을 갖고, 다른 둘의 내접된 정사각형이 밑변 정사각형과 같은 크기라는 속성을 가진 특별한 이등변 삼각형입니다.^[10] 알렉산드리아의 히어로(Hero of Alexandria)의 연구에서 보존되어 있는 훨씬 오래된 정리는 밑변 $b$ 와 높이 $h$ 를 갖는 이등변 삼각형에 대해, 삼각형의 밑변에 내접한 정사각형의 한 변의 길이가 다음입니다:^[30]

{\frac {bh}{b+h}}.

Isosceles subdivision of other shapes

임의의 정수 $n\geq 4$ 에 대해, 임의의 삼각형(triangle)은 $n$ 이등변 삼각형으로 분할될 수 있습니다.^[31] 직각 삼각형(right triangle)에서, 빗변에서 중앙선 (즉, 빗변의 중간점에서 직각 꼭짓점까지의 선분)은 직각 삼각형을 둘의 이등변 삼각형으로 나눕니다. 이것은 빗변의 중점이 직각삼각형의 둘레원(circumcircle)의 중심이고, 분할에 의해 생성된 두 삼각형 각각은 둘의 같은 반지름으로 그것의 변의 둘을 갖기 때문입니다.^[32] 유사하게, 예각 삼각형(acute triangle)은 둘레중심으로부터의 선분에 의해 셋의 이등변 삼각형으로 분할될 수 있지만, 둘레중심이 삼각형 외부에 놓이기 때문에 이 방법은 둔각 삼각형에 대해 작동하지 않습니다.^[33]

예각 삼각형의 분할을 일반화하면, 그것의 둘레접된 원의 중심을 포함하는 임의의 순환 다각형(cyclic polygon)은 그것의 꼭짓점을 통해 이 원의 반지름에 의해 이등변 삼각형으로 분할될 수 있습니다. 원의 모든 반지름이 같은 길이를 가진다는 사실은 이들 삼각형의 모두가 이등변임을 의미합니다. 이 분할은 둘레중심을 포함하지 않는 순환 다각형의 경우에도 그것의 변 길이의 함수로 다각형의 넓이에 대한 공식을 유도하기 위해 사용될 수 있습니다. 이 공식은 삼각형에 대해 헤론의 공식(Heron's formula)과 순환 사변형(cyclic quadrilateral)에 대해 브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)을 일반화합니다.^[34]

마름모(rhombus)의 대각선(diagonal) 중 하나는 그것을 둘의 합동(congruent) 이등변 삼각형으로 나눕니다. 유사하게, 연(kite)의 두 대각선 중 하나는 그것을 둘의 이등변 삼각형으로 나누며, 이것은 연이 마름모일 때를 제외하고는 합동이 아닙니다.^[35]

Applications

In architecture and design

Obtuse isosceles pediment of the Pantheon, Rome

Acute isosceles gable over the Saint-Etienne portal, Notre-Dame de Paris

이등변 삼각형은 공통적으로 게이블(gable)과 페더먼트(pediment)의 모양으로 건축(architecture)에서 나타납니다. 고대 그리스 건축과 그 이후의 모방에서, 둔각 이등변 삼각형이 사용되었습니다; 고딕 건축(Gothic architecture)에서 이것은 예각 이등변 삼각형에 의해 대체되었습니다.^[8]

중세 건축에서, 또 다른 이등변 삼각형 모양이 인기를 얻었습니다; 바로 이집트 이등변 삼각형입니다. 이것은 예각이지만, 등변 삼각형보다는 덜한 이등변 삼각형입니다; 그것의 높이는 밑면의 5/8에 비례합니다.^[36] 이집트 이등변 삼각형은 네덜란드 건축가 헨드릭 페트루스 베를라주(Hendrik Petrus Berlage)에 의해 현대 건축에서 다시 사용되었습니다.^[37]

다리와 같은 와렌 트러스(Warren truss) 구조는 공통적으로 이등변 삼각형으로 배열되지만, 때때로 수직 빔이 역시 추가 강도를 위해 포함됩니다.^[38] 둔각 이등변 삼각형으로 테셀레이션된 표면은 두 가지 안정적인 상태를 가지는 전개-가능 구조(deployable structure)를 형성하기 위해 사용될 수 있습니다: 표면이 원통형 기둥으로 확장되는 펼쳐진 상태와 더 쉽게 운반될 수 있는 더 조밀한 프리즘 모양으로 접는 접힌 상태입니다.^[39] 같은 테셀레이션 패턴은 원통형 표면이 축 방향으로 압축될 때 형성되는 패턴, 요시무라 좌굴(Yoshimura buckling)과,^[40] 매끄러운 표면의 넓이가 항상 표면으로 수렴하는 다면체에 의해 정확하게 근사화될 수 없음을 보이기 위해 수학에서 사용되는 예제, 슈바르츠 랜턴(Schwarz lantern)의 기초를 형성합니다.^[41]

Flag of Guyana

Flag of Saint Lucia

그래픽 디자인(graphic design)과 장식 예술(decorative arts)에서, 이등변 삼각형은 적어도 초기 신석기(Early Neolithic) 시대부터 현대까지 전 세계 문화에서 빈번한 디자인 요소였습니다.^[42]^[43] 그것들은 깃발(flag)과 문장(heraldry)에서 공통적인 디자인 요소이며, 예를 들어 가이아나의 국기에서 수직 기반으로, 또는 세인트 루시아 국기에서 수평 기반으로 눈에 띄게 나타나며, 여기서 그것들은 산 섬의 양식화된 이미지를 형성합니다.^[44]

그것들은 역시 예를 들어 힌두 명상 수행의 스리 얀트라(Sri Yantra)에서 종교적 또는 신비적 의미를 지닌 디자인에 사용되어 왔습니다.^[45]

In other areas of mathematics

만약 실수 계수를 갖는 삼차 방정식(cubic equation)이 모두 실수(real number)는 아닌 셋의 근을 가지면, 이들 근은 아르강 다이어그램(Argand diagram)으로 복소 평면(complex plane)에서 그려질 때 그것들은 대칭 축이 수평 (실수) 축과 일치하는 이등변 삼각형의 꼭짓점을 형성합니다. 이것은 복소수 근이 복소 켤레(complex conjugate)이고 따라서 실수 축에 대한 대칭이기 때문입니다.^[46]

천체 역학(celestial mechanics)에서, 셋의-몸체 문제(three-body problem)는 셋의 몸체가 이등변 삼각형을 형성하는 특별한 경우에 연구되어 왔는데, 왜냐하면 이러한 방법에서 몸체가 등변 삼각형을 형성할 때 그것을 해결된 라그랑주 점(Lagrangian point) 경우로 줄어듬없이 시스템의 자유도(degrees of freedom)의 수를 줄이기 위해 배열됨을 가정하기 때문입니다. 무경계진 진동을 갖는 것으로 나타난 셋의-몸체 문제의 첫 번째 사례는 이등변 셋의-몸체 문제에서였습니다.^[47]

History and fallacies

고대 그리스 수학자들에 의한 이등변 삼각형이 연구되기 오래 전에, 고대 이집트 수학과 바빌론 수학의 실행가들은 그것들의 넓이를 계산하는 방법을 알고 있었습니다. 이러한 유형의 문제는 모스크바 수학적 파피루스와 린드 수학적 파피루스에 포함되어 있습니다.^[48]

이등변 삼각형의 밑변 각도가 같다는 정리는 유클리드에서 제안 I.5로 나타납니다.^[49] 이 결과는 pons asinorum (엉덩이의 다리) 또는 이등변 삼각형 정리라고 불려 왔습니다. 이 이름에 대해 경쟁하는 설명은 그것이 유클리드에 의해 결과의 그의 시연에서 사용된 다이어그램이 다리와 닮았기 때문이거나, 이것이 유클리드에서 처음으로 어려운 결과이고, 그것으로부터 유클리드의 기하학을 이해할 수 있는 사람과 이해할 수 없는 사람을 구분하는 역할을 하기 때문이라는 이론을 포함합니다.^[50]

잘-알려진 그릇된 믿음은 모든 삼각형이 이등변이라는 명제의 잘못된 증명입니다. 로빈 윌슨(Robin Wilson)은 이 논증을 루이스 캐럴(Lewis Carroll)에 의한 것으로 공인했으며,^[51] 그는 1899년에 그것을 출판했지만, W. W. 라우즈 볼(W. W. Rouse Ball)은 1892년에 그것을 출판했고 나중에 캐롤이 그로부터 논증을 얻었다고 썼습니다.^[52] 그릇된 믿음은 유클리드의 사이(betweenness)의 개념에 대한 인식 부족과 그로 인한 그림의 내부 대 외부의 모호성에 뿌리를 두고 있습니다.^[53]

Notes

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External links

Weisstein, Eric W., "Isosceles triangle", MathWorld

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[31] Lord (1982). See also Hadamard (2008, Exercise 340, p. 270).

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[48] Høyrup. Although "many of the early Egyptologists" believed that the Egyptians used an inexact formula for the area, half the product of the base and side, Vasily Vasilievich Struve championed the view that they used the correct formula, half the product of the base and height (Clagett 1989). This question rests on the translation of one of the words in the Rhind papyrus, and with this word translated as height (or more precisely as the ratio of height to base) the formula is correct (Gunn & Peet 1929, pp. 173–174).

[FOOTNOTEHeath1956p._251-49] Heath (1956), p. 251.

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