Law of total probability

확률 이론(probability theory)에서, 전체 확률의 법칙 (또는 공식)은 주변 확률(marginal probabilities)을 조건부 확률(conditional probabilities)과 관련시키는 기본 규칙입니다. 그것은 몇 가지 별개의 사건을 통해 실현될 수 있는 결과의 전체 확률—따라서 그 이름을 표현합니다.

Statement

전체 확률의 법칙은^[1], 만약 $\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}$ 이 표본 공간(sample space) (다른 말로, 그의 합집합(union)이 전체 표본 공간인 쌍별 서로소(pairwise disjoint) 사건(event)의 집합)의 유한 또는 셀-수-있는 무한(countably infinite) 분할(partition)이고 각 사건 $B_{n}$ 이 측정-가능(measurable)이면, 같은 확률 공간(probability space)의 임의의 사건 A에 대해 다음인 제안(proposition)입니다:

\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})

또는, 대안적으로,^[1]

\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),

여기서, 임의의 $n$ 에 대해 $\Pr(B_{n})=0$ 에 대해 이들 항은 합으로부터 단순히 생략되는데, 왜냐하면 $\Pr(A\mid B_{n})$ 은 유한이기 때문입니다.

합은 가중된 평균(weighted average)으로 해석될 수 있고, 결과적으로 주변 확률, $\Pr(A)$ 는 때때로 "평균 확률"이라고 불립니다;^[2] "전체의 확률(overall probability)"은 때때로 덜 공식적인 글에서 사용됩니다.^[3]

전체 확률의 법칙은 조건부 확률에 대해 역시 기술될 수 있습니다.

P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_{n})P(B_{n}\mid C)

위에서 처럼 $B_{n}$ 을 취하고, $C$ 가 $B_{n}$ 의 임의의 것과 독립(independent) 사건으로 가정하면:

P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_{n})P(B_{n})

Informal formulation

위의 수학적 명제는 다음으로 해석될 수 있습니다: 각각에 대해 그 자체의 확률이 알려져 있는, $B_{n}$ 사건들의 임의의 것이 주어진 조건부 확률이 알려져 있는, 사건 $A$ 가 주어지면, $A$ 가 발생할 전체 확률은 얼마입니까? 이 질문에 대한 답은 $\Pr(A)$ 에 의해 주어집니다.

Example

두 공장이 전구(light bulb)를 시장에 공급한다고 가정합니다. 공장 X의 전구는 경우의 99%에서 5000 시간 이상에 걸쳐 작동하지만, 공장 Y의 전구는 경우의 95%에서 5000 시간 이상에 대해 작동합니다. 공장 X는 사용-가능한 전체 전구의 60%를 공급하고 Y는 사용-가능한 전체 전구의 40%를 공급하는 것으로 알려져 있습니다. 구입한 전구가 5000 시간 이상 작동하는 확률은 무엇입니까?

전체 확률의 법칙을 적용하면, 우리는 다음을 가집니다:

{\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}

여기서

$P(B_{X})={6 \over 10}$ 는 구입한 전구가 공장 X에 의해 생산된 것일 확률입니다;
$P(B_{Y})={4 \over 10}$ 는 구입한 전구가 공장 Y에 의해 생산된 것일 확률입니다;
$P(A\mid B_{X})={99 \over 100}$ 는 X에 의해 생산된 전구가 5000 시간 이상 작동할 확률입니다;
$P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}$ 는 Y에 의해 생산된 전구가 5000 시간 이상 작동할 확률입니다.

따라서 각 구입된 전구는 5000 시간 이상 작동하기 위해 97.4% 확률을 가집니다.

Other names

용어 전체 확률의 법칙은 때때로 대안의 법칙(law of alternatives)을 의미하기도 하는데, 이것은 이산 확률 변수(discrete random variable)에 적용되는 전체 확률의 법칙의 특수한 경우입니다.^{[citation needed]} 한 저자는 심지어 연속 경우에서 용어 "대안의 연속 법칙(continuous law of alternatives)"을 사용합니다.^[4] 이 결과는, 그들이 역시 관련된 전체 기대의 법칙(law of total expectation)을 제시하는 이름, 파티션 정리(partition theorem)로, 그리밋(Grimmett)와 웨일쉬(Welsh)에 의해 제공됩니다.^[5]

Notes

^ ^a ^b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 page 31.
^ Paul E. Pfeiffer (1978). Concepts of probability theory. Courier Dover Publications. pp. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
^ Deborah Rumsey (2006). Probability for dummies. For Dummies. p. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
^ Kenneth Baclawski (2008). Introduction to probability with R. CRC Press. p. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.
^ Probability: An Introduction, by Geoffrey Grimmett and Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B.

References

Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159.
Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995.
Schaum's Outline of Probability, Second Edition, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw–Hill Professional, 2010, page 89.
A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432.
An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.

[ZK-1] Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 page 31.

[Pfeiffer1978-2] Paul E. Pfeiffer (1978). Concepts of probability theory. Courier Dover Publications. pp. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.

[Rumsey2006-3] Deborah Rumsey (2006). Probability for dummies. For Dummies. p. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.

[Baclawski2008-4] Kenneth Baclawski (2008). Introduction to probability with R. CRC Press. p. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.

[5] Probability: An Introduction, by Geoffrey Grimmett and Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]