Lebesgue measure

수학(mathematics)의 한 가지, 측정 이론(measure theory)에서, 프랑스 수학자 앙리 르베그(Henri Lebesgue)의 이름을 따서 지은 르베그 측정은 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)의 부분집합(subset)에 측정(measure)을 할당하는 표준 방법입니다. n = 1, 2, 또는 3에 대해, 그것은 길이(length), 넓이(area), 또는 부피(volume)의 표준 측정과 일치합니다. 일반적으로, 그것은 역시 n-차원 부피, n-부피, 또는 단순히 부피라고 불립니다.^[1] 그것은 실수 해석학(real analysis) 전반에 걸쳐, 특히 르베그 적분(Lebesgue integration)을 정의하기 위해 사용됩니다. 르베그 측정을 할당될 수 있는 집합을 르베그 측정-가능이라고 불립니다; 르베그-측정가능 집합 A의 측정은 여기에서 λ(A)로 표시됩니다.

앙리 르베그는 1901년에 이 측정을 설명했으며, 다음 해에는 그의 르베그 적분(Lebesgue integral)에 대한 설명이 이어졌습니다. 둘 다는 1902년 그의 논문의 일부로 출판되었습니다.^[2]

르베그 측정은 종종 dx로 표시되지만, 이것이 부피 형식(volume form)의 구별되는 개념과 혼동되어서는 안 됩니다.

Definition

실수의 집합 $\mathbb {R}$ 에서 임의의 구간(interval) $I=[a,b]$ (또는 $I=(a,b)$ )에 대해, $\ell (I)=b-a$ 가 그것의 길이를 나타낸다고 놓습니다. 임의의 부분집합 $E\subseteq \mathbb {R}$ 에 대해, 르베그 밖의 측정(outer measure)^[3] $\lambda ^{\!*\!}(E)$ 은 다음 하한(infimum)으로 정의됩니다:

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.

일부 집합 $E$ 는 카라테오도리 기준(Carathéodory criterion)을 만족시켜며, 모든 각 $A\subseteq \mathbb {R}$ 에 대해, 다음임을 요구합니다:

\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).

모든 그러한 $E$ 의 집합은 σ-대수(σ-algebra)를 형성합니다. 임의의 그러한 $E$ 에 대해, 그것의 르베그 측정은 그것의 르베그 밖의 측정: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$ 으로 정의됩니다:

카라테오도리 기준을 만족시키지 못하는 집합 $E$ 는 르베그-측정가능이 아닙니다. 비-측정가능 집합(non-measurable set)이 존재합니다; 하나의 예제는 비탈리 집합(Vitali set)입니다.

Intuition

정의의 첫 번째 부분은 실수의 부분집합 $E$ 가 열린 구간의 집합에 의한 범위에 의해 밖의 측정으로 줄어든다는 것을 나타냅니다. 이들 구간 $I$ 의 집합 각각은 하나의 의미에서 $E$ 를 덮는데, 왜냐하면 이들 구간의 합집합은 $E$ 를 포함하기 때문입니다. 임의의 덮는 구간 집합의 총 길이는 $E$ 의 측정을 과대평가할 수 있는데, 왜냐하면 $E$ 는 구간의 합집합의 부분집합이고, 따라서 그 구간은 $E$ 에 있지 않는 점을 포함할 수 있기 때문입니다. 르베그 밖의 측정은 모든 가능한 그러한 집합 중에서 길이의 가장 큰 아래쪽 경계 (하한)으로 나타납니다. 직관적으로, 그것은 $E$ 에 가장 단단하게 맞고 겹치지 않는 그들 구간 집합의 총 길이입니다.

그것이 르베그 밖의 측정의 특성을 부여합니다. 이 밖의 측정이 적절한 르베그 측정으로 변환되는지 여부는 추가 조건에 따라 다릅니다. 이 조건은 $A$ 를 둘의 분할로 나누는 도구로 $E$ 를 사용하는 실수의 부분집합 $A$ 를 취함으로써 테스트됩니다: $E$ 와 교차하는 $A$ 의 부분과 $E$ 에 있지 않는 $A$ 의 남아있는 부분: $A$ 와 $E$ 의 차이 집합. $A$ 의 이들 분할은 밖의 측정의 주제입니다. 만약 실수의 모든 가능한 그러한 부분집합 $A$ 에 대해, $E$ 에 의해 잘린 $A$ 의 분할은 그것의 합이 $A$ 의 밖의 측정인 밖의 측정을 가지면, $E$ 의 밖의 르베그 측정은 그것의 르베그 측정을 제공합니다. 직관적으로, 이 조건은 집합 $E$ 가 $E$ 가 "클립"에 대한 "마스크"로 사용될 때 또 다른 집합의 측정에서 불일치를 일으키는 일부 이상한 속성을 가지지 않아야 함을 의미하며, 르베그 밖의 측정이 르베그 측정을 제공하지 않는 집합의 존재로 암시합니다. (그러한 집합은, 실제로, 르베그-측정가능이 아닙니다.)

Examples

실수(real number)의 임의의 닫힌 구간(interval) [a, b]는 르베그-측정가능이고, 그것의 르베그 측정은 길이 b − a입니다. 열린 구간(open interval) (a, b)는 같은 측정을 가지는데, 왜냐하면 두 집합 사이의 차이(difference)는 오직 끝점 a와 b로 구성되고 측정 영(measure zero)을 가지기 때문입니다.
구간 [a, b]와 [c, d]의 임의의 데카르트 곱(Cartesian product)은 르베그-측정가능이고, 그것의 르베그 측정은 (b − a)(d − c), 해당하는 직사각형(rectangle)의 넓이입니다.
게다가, 모든 각 보렐 집합(Borel set)은 르베그-측정가능입니다. 어쨌든, 보렐 집합이 아닌 르베그-측정가능 집합이 있습니다.^[4]^[5]
실수의 임의의 셀-수-있는(countable) 집합은 르베그 측정 0을 가집니다. 특히, 대수적 숫자(algebraic numbers)의 집합의 르베그 측정은, 심지어 그 집합이 R에서 조밀한(dense) 것일지라도, 0입니다.
칸토어 집합(Cantor set)과 리우빌 숫자(Liouville number)의 집합은 르베그 측정 0을 가지는 셀-수-없는 집합(uncountable set)의 예제입니다.
만약 결정성의 공리(axiom of determinacy)가 유지되면 실수의 모든 집합은 르베그-측정가능입니다. 결정은 어쨌든 선택의 공리(axiom of choice)와 호환되지 않습니다.
비탈리 집합(Vitali set)은 르베그 측정에 관해 측정가능이 아닌 집합의 예제입니다. 그것들의 존재는 선택의 공리(axiom of choice)에 의존합니다.
오즈구드 곡선(Osgood curve)은 양의(positive) 르베그 측정을 갖는 간단한 평면 곡선(curve)입니다^[6] (그것은 페아노 곡선(Peano curve) 구성의 작은 변화로 얻어질 수 있습니다). 용 곡선(dragon curve)은 또 다른 특이한 예제입니다.
$n\geq 2$ 에 대해, $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 임의의 직선은 영 르베그 측정을 가집니다. 일반적으로, 모든 각 적절한 초평면(hyperplane)은 그것의 주변 공간(ambient space)에서 영 르베그 측정을 가집니다.

Properties

Rⁿ 위에 르베그 측정은 다음 속성을 가집니다:

만약 A가 구간(intervals)의 데카르트 곱(cartesian product) I₁ × I₂ × ⋯ × I_n이면, A는 르베그-측정가능이고 $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|$ 입니다.
만약 A가 셀-수-있게 많은(countably many) 서로소 르베그-측정가능 집합의 서로소 합집합(disjoint union)이면, A는 자체로 르베그-측정가능이고 λ(A)는 포함된 측정가능 집합의 측정의 합 (또는 무한 급수)과 같습니다.
만약 A가 르베그-측정가능이면, 그것의 여집합(complement)도 마찬가지입니다.
모든 각 르베그-측정가능 집합 A에 대해 λ(A) ≥ 0.
만약 A와 B가 르베그-측정가능이고 A가 B의 부분집합이면, λ(A) ≤ λ(B). (2의 하나의 결과.)
르베그-측정가능 집합의 셀-수-있는 합집합(unions)과 교집합(intersections)은 르베그-측정가능입니다. (2와 3의 결과가 아닌데, 왜냐하면 여집합과 서로소 셀-수-있는 합집합 아래에서 닫혀 있는 집합의 가족은 셀-수-있는 합집합 아래에서 닫혀 있을 필요는 없기 때문입니다: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$ .)
만약 A가 Rⁿ (또는 심지어 보렐 집합, 메트릭 공간을 참조)의 열린(open) 또는 닫힌(closed) 부분집합이면, A는 르베그-측정가능입니다.
만약 A가 르베그-측정가능 집합이면, 그것은 르베그 측정의 의미에서 "근사적으로 열린" 및 "근사적으로 닫힌" 것입니다 (르베그 측정에 대해 정규성 정리를 참조하십시오).
르베그-측정가능 집합은 포함하는 열린 집합과 포함된 닫힌 집합 사이에 "조여질" 수 있습니다. 이 속성은 르베그 측정가능성의 대안 정의로 사용되어 왔습니다. 보다 정확하게, $E\subset \mathbb {R}$ 가 르베그-측정가능인 것과 모든 각 $\varepsilon >0$ 에 대해, $F\subset E\subset G$ 와 $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ 를 만족하는 열린 집합 $G$ 와 닫힌 집합 $F$ 가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.^[7]
르베그-측정가능 집합은 포함하는 G_δ 집합과 F_σ 사이에 "조여질" 수 있습니다. 즉, 만약 A가 르베그-측정가능이면 G ⊇ A ⊇ F와 λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0를 만족하는 G_δ 집합 G와 F_σ F가 존재합니다.
르베그 측정은 지역적으로 유한(locally finite)이고 안의 정규(inner regular) 둘 다이고, 따라서 그것은 라돈 측정(Radon measure)입니다.
르베그 측정은 비-빈 열린 집합 위에 엄격하게 양수(strictly positive)이고, 따라서 그것의 지원(support)은 Rⁿ의 전체입니다.
만약 A가 λ(A) = 0 (a 널 집합)을 갖는 르베그-측정가능 집합이면, A의 모든 각 부분집합은 역시 널 집합입니다. 포르티오리, A의 모든 각 부분집합은 측정가능입니다.
만약 A가 르베그-측정가능이고 x가 Rⁿ의 원소이면, A + x = {a + x : a ∈ A}에 의해 정의된, A의 x 만큼 평행이동은 역시 르베그-측정가능이고 A와 같은 측정을 가집니다.
만약 A가 르베그-측정가능이고 $\delta >0$ 이면, $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ 에 의해 정의된 $A$ 의 $\delta$ 만큼 팽창은 역시 르베그-측정가능이고 측정 $\delta ^{n}\lambda \,(A)$ 를 가집니다.
보다 일반적으로, 만약 T가 선형 변환(linear transformation)이고 A가 Rⁿ의 측정가능 부분집합이면, T(A)는 역시 르베그-측정가능이고 측정 $\left|\det(T)\right|\lambda (A)$ 를 가집니다.

위의 모든 내용은 다음과 같이 간결하게 요약될 수 있습니다 (비록 마지막 두 주장이 다음과 비-자명하게 연결될지라도):

르베그-측정가능 집합은 구간의 모든 곱을 포함하는 σ-대수(σ-algebra)를 형성하고, λ는

\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1

를 갖는 해당 σ-대수 위에 고유한 완비(complete) 평행이동-불변(translation-invariant) 측정(measure)입니다.

르베그 측정은 역시 σ-유한(σ-finite)인 속성을 가집니다.

Null sets

Rⁿ의 부분집합은 만약, 모든 각 ε > 0에 대해, 그것이 그것의 전체 부피가 많아야 ε인 n 구간의 셀-수-있게 많은 곱으로 덮혀질 수 있으면 널 집합입니다. 모든 셀-수-있는(countable) 집합은 널 집합입니다.

만약 Rⁿ의 부분집합이 n보다 작은 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)을 가지면, 그것은 n-차원 르베그 측정에 관해 널 집합입니다. 여기서 하우스도르프 차원은 Rⁿ (또는 그것과 동등한 임의의 메트릭 립시츠(Lipschitz)) 위에 유클리드 메트릭(Euclidean metric)과 상대적입니다. 다른 한편으로, 집합은 n보다 작은 토폴로지적 차원(topological dimension)을 가질 수 있고 양수 n-차원 르베그 측정을 가질 수 있습니다. 이것의 한 예제는 토폴로지적 차원 0을 가지지만 양수 1-차원 르베그 측정을 가지는 스미스–볼테라–칸토어 집합(Smith–Volterra–Cantor set)입니다.

주어진 집합 A가 르베그-측정가능임을 보여주기 위해, 우리는 보통 A와 오직 널 집합 (대칭 차이(symmetric difference) (A − B) ∪ (B − A)가 널 집합이라는 의미에서) 만큼 차이나는 "더 미세한" 지합 B를 찾으려고 시도하고 그런-다음 B가 열린 집합 또는 닫힌 집합에서 셀-수-있는 합집합과 교집합을 사용하여 생성될 수 있음을 보여줍니다.

Construction of the Lebesgue measure

르베그 측정의 현대적인 구성은 카라테오도리의 확장 정리(Carathéodory's extension theorem)의 응용입니다. 그것은 다음과 같이 진행됩니다.

n ∈ N를 고정합니다. Rⁿ에서 상자가 다음 형식의 집합입니다:

B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,

여기서 b_i ≥ a_i이고, 여기서 곱 기호는 데카르트 곱을 나타냅니다. 이 상자의 부피는 다음으로 정의됩니다:

\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.

Rⁿ의 임의의 부분집합 A에 대해, 우리는 다음에 의해 그것의 밖의 측정(outer measure) λ*(A)를 정의할 수 있습니다:

\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.

우리는 그런-다음 만약 Rⁿ의 모든 각 부분집합 S에 대해 다음이면 집합 A를 르베그-측정가능이라고 정의합니다:

\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.

이들 르베그-측정가능 집합은 σ-대수(σ-algebra)를 형성하고, 르베그 측정은 임의의 르베그-측정가능 집합 A에 대해 λ(A) = λ*(A)로 정의됩니다.

르베그-측정가능이 아닌 집합의 존재는 집합 이론(set theory)에 대해 많은 기존의 공리의 시스템과 독립적인 집합-이론적인 선택의 공리(axiom of choice)의 결과입니다. 그 공리에서 뒤따르는 비탈리 정리(Vitali theorem)는 르베그-측정가능이 아닌 R의 부분집합이 존재한다고 말합니다. 선택의 공리를 가정하여, 바나흐-타르스키 역설(Banach–Tarski paradox)의 속성과 같은 많은 놀라운 속성을 갖는 비-측정가능 집합(non-measurable set)이 시연되어 왔습니다.

1970년에 로버트 마틴 솔로베이(Robert M. Solovay)는 르베그-측정가능이 아닌 집합의 존재가 선택의 공리의 부재에서 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 프레임 내에서 입증될 수 없음을 보여주었습니다 (솔로베이의 모델(Solovay's model)을 참조하십시오).^[8]

Relation to other measures

보렐 측정(Borel measure)은 그것이 정의된 그들 집합 위에 르베그 측정과 일치합니다; 어쨌든, 보렐 측정가능 집합이 있는 것보다 더 많은 르베그 측정가능 집합이 있습니다. 보렐 측정은 평행이동-불변이지만, 완비(complete)는 아닙니다.

하르 측정(Haar measure)은 임의의 지역적으로 컴팩트(locally compact) 그룹(group) 위에 정의될 수 있고 르베그 측정의 일반화입니다 (덧셈을 갖는 Rⁿ이 지역적으로 컴팩트 그룹입니다).

하우스도르프 측정(Hausdorff measure)은 부분매니폴드(submanifold), 예를 들어, R³와 프랙탈(fractal) 집합에서 표면 또는 곡선과 같이 n보다 더 낮은 차원의 Rⁿ의 부분집합을 측정하는 데 유용한 르베그 측정의 일반화입니다. 하우스도르프 측정은 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)의 개념과 혼동되어서는 안 됩니다.

르베그 측정의 무한-차원 아날로그가 없음을 보여줄 수 있습니다.

References

^ The term volume is also used, more strictly, as a synonym of 3-dimensional volume
^ Henri Lebesgue (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
^ Royden, H. L. (1988). Real Analysis (3rd ed.). New York: Macmillan. p. 56. ISBN 0-02-404151-3.
^ Asaf Karagila. "What sets are Lebesgue-measurable?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.
^ Asaf Karagila. "Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.
^ Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society. 4 (1). American Mathematical Society: 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.
^ Carothers, N. L. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 293. ISBN 9780521497565.
^ Solovay, Robert M. (1970). "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue-measurable". Annals of Mathematics. Second Series. 92 (1): 1–56. doi:10.2307/1970696. JSTOR 1970696.

[1] The term volume is also used, more strictly, as a synonym of 3-dimensional volume

[2] Henri Lebesgue (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[3] Royden, H. L. (1988). Real Analysis (3rd ed.). New York: Macmillan. p. 56. ISBN 0-02-404151-3.

[4] Asaf Karagila. "What sets are Lebesgue-measurable?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.

[5] Asaf Karagila. "Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?". math stack exchange. Retrieved 26 September 2015.

[6] Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society. 4 (1). American Mathematical Society: 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

[7] Carothers, N. L. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 293. ISBN 9780521497565.

[8] Solovay, Robert M. (1970). "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue-measurable". Annals of Mathematics. Second Series. 92 (1): 1–56. doi:10.2307/1970696. JSTOR 1970696.

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