Limit superior and limit inferior

Original article: w:Limit superior and limit inferior

"Lower limit" and "upper limit" redirect here. For the statistical concept, see Lower/upper confidence limits.

수학(mathematics)에서, 수열(sequence)의 극한 하부(limit inferior) 및 극한 상부(limit superior)는 수열 위의 극한하는 경계 (즉, 최후 및 극단)로 생각될 수 있습니다. 그들은 함수(function)에 대해 비슷한 방식으로 생각될 수 있습니다 (함수의 극한(limit of a function)을 참조하십시오). 집합에 대해, 그들은 각각 집합의 극한 점(limit point)의 하한 및 상한(infimum and supremum)입니다. 일반적으로, 수열, 함수 또는 집합이 모으는 것 주위로 여러 대상이 있을 때, 하부 및 상부 극한은 그들의 가장 작은 것 및 가장 큰 것을 추출합니다; 대상의 유형과 크기의 측정은 문맥-의존이지만, 극단 극한의 개념은 불변입니다. 극한 하부는 하한 극한(infimum limit), 극한 하한(limit infimum), 극하(liminf), 하부 극한(inferior limit), 낮은 극한(lower limit), 또는 안의 극한(inner limit)으로 역시 불립니다; 극한 상부는 상한 극한(supremum limit), 극한 상한(limit supremum), 극상(limsup), 상부 극한(superior limit), 높은 극한(upper limit), 또는 밖의 극한(outer limit)으로 역시 알려져 있습니다.

An illustration of limit superior and limit inferior. The sequence x_n is shown in blue. The two red curves approach the limit superior and limit inferior of x_n, shown as dashed black lines. In this case, the sequence accumulates around the two limits. The superior limit is the larger of the two, and the inferior limit is the smaller of the two. The inferior and superior limits agree if and only if the sequence is convergent (i.e., when there is a single limit).

수열 $x_{n}$의 극한 하부는 다음에 의해 표시됩니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n}.$

수열 $x_{n}$의 극한 상부는 다음에 의해 표시됩니다:

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.$

Definition for sequences

수열 (x_n)의 극한 하부는 다음으로 정의됩니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$

또는

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

비슷하게, (x_n)의 극한 상부는 다음에 의해 정의됩니다:

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$

또는

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

대안적으로, 표기법 $\varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ 및 $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$는 때때로 사용됩니다.

극한 상부 및 하부는 수열 $(x_{n})$의 후속 극한의 개념을 사용하여 동등하게 정의될 수 있습니다. 확장된 실수 ${\overline {\mathbb {R} }}$의 원소 $\xi$는, 만약 $\xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}$을 만족하는 자연수 $(n_{k})$의 엄격하게 증가하는 수열이 존재하면, $(x_{n})$의 후속 극한(subsequential limit)입니다. 만약 $E\subset {\overline {\mathbb {R} }}$가 $(x_{n})$의 모든 후속 극한의 집합이면,

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E$

및

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.$

만약 수열 안의 항이 실수이면, 극한 상부 및 극한 하부는 항상 존재하는데, 왜냐하면 ±∞를 갖는 실수 (즉, 확장된 실수 직선(extended real number line))은 완비이기 때문입니다. 보다 일반적으로, 이들 정의는, 완비 격자(complete lattice) 안에서 처럼, 상한(suprema) 및 하한(infima)이 존재함으로 조건으로 하여, 임의의 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set)에서 의미가 있습니다.

보통의 극한이 존재할 때마다, 극한 하부 및 극한 상부는 그것과 둘 다 같습니다; 그러므로, 각각은, 보통 극한의 일반화로 여길 수 있으며 이것은 극한이 존재하지 않는 경우에서 주로 흥미롭습니다. lim inf x_n 및 lim sup x_n 둘 다가 존재할 때마다, 우리는 다음을 가집니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.$

극한 하부/상부는, 그들이 "극한 안에서" 오직 수열을 경계짓는 것에서, 대문자-O 표기법(big-O notation)과 관련됩니다; 수열은 경계를 초과할 수 있을 것입니다. 어쨌든, 대문자-O 표기법과 함께 수열은 수열의 유한 접두에서 경계를 오직 초과할 수 있지만, e⁻ⁿ과 같은 수열의 극한 상부는 수열의 모든 원소보다 실제로 작을 수 있습니다. 단지 만들어진 약속은 수열의 일부 꼬리가 높은 극한 더하기 임의의 작은 양의 상수로 위쪽 경계질 수 있고, 극한 하부 빼기 임의의 작은 양의 상수로 아래로 경계질 수 있다는 것입니다.

수열의 극한 상부 및 극한 하부는 함수의 그들의 특별한 경우입니다 (아래를 참조하십시오).

The case of sequences of real numbers

수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 극한 상부 및 극한 하부는 실수(real)의 수열을 연구하는 것에 대해 중요한 도구입니다. 실수의 무경계 집합의 상한과 하한은 존재하지 않을 수 있으므로 (실수는 완비 격자가 아닙니다), 그것은 아핀적으로 확장된 실수 시스템(affinely extended real number system) 안의 수열을 고려되는 것이 편리합니다: 우리는 완비 전체적으로 순서화 집합(totally ordered set) [−∞,∞]을 제공하기 위해 실수 직선에 양 및 음의 무한대를 추가하며, 이것은 완비 격자입니다.

Interpretation

실수로 구성되는 수열 $(x_{n})$을 생각해 보십시오. 극한 상부 및 극한 하부는 실수 (그래서, 무한이 아닌)임을 가정합니다.

• $x_{n}$의 극한 상부는, 임의의 양의 실수 $\varepsilon$에 대해, 모든 $n>N$에 대해 $x_{n}<b+\varepsilon$를 만족하는 자연수(natural number) $N$이 존재하는 것을 만족하는 가장 작은 실수 $b$입니다. 달리 말해서, 극한 상부보다 더 큰 임의의 숫자는 수열에 대해 궁극의 위쪽 경계입니다. 수열의 원소의 오직 유한 숫자가 $b+\varepsilon$보다 큽니다.
• $x_{n}$의 극한 하부는, 임의의 양의 실수 $\varepsilon$에 대해, 모든 $n>N$에 대해 $x_{n}>b-\varepsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 존재하는 것을 만족하는 가장 큰 실수 $b$입니다. 달리 말해서, 극한 하부 아래의 임의의 숫자는 수열에 대해 궁극의 아래 경계입니다. 수열의 원소의 오직 유한 숫자가 $b-\varepsilon$보다 작습니다.

Properties

In case the sequence is bounded, for all $\epsilon >0$ almost all sequence members lie in the open interval $(\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon )$.

실수의 수열에 대해 극한 하부와 극한 상부의 관계는 다음과 같습니다:

$\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}$

이전에 언급된 것처럼, 그것은 $\mathbb {R}$를 [−∞,∞]로 확장하는 것이 편리합니다. 그런-다음, [−∞,∞] 에서 (x_n)이 수렴(converges)하는 것과 다음은 필요충분(iff) 조건입니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$

이 경우에서 $\lim _{n\to \infty }x_{n}$는 그들의 공통 값은 같습니다. (단지 $\mathbb {R}$에서 작동할 때, −∞ 또는 ∞로 수렴은 수렴으로 여겨지지 않을 것임에 주목하십시오.) 극한 하부는 적어도 극한 상부이므로, 다음 조건이 유지됩니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\infty \;\;\Rightarrow \;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,$

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=-\infty \;\;\Rightarrow \;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .$

만약 $I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}$이고 $S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}$이면, 구간 [I, S]은 숫자 x_n의 임의의 것을 포함할 필요는 없지만, 모든 각 약간 확대 [I − ε, S + ε] (임의의 작은 ε > 0에 대해)는 모든 이지만 유한하게 많은 인덱스 n에 대해 x_n을 포함할 것입니다. 사실, 구간 [I, S]은 이 속성을 가진 가장-작은 닫힌 구간입니다. 우리는 다음처럼 이 속성을 공식화할 수 있습니다: $x_{n}$의 부분-수열(subsequence) $x_{k_{n}}$ 및 $x_{h_{n}}$이 존재하며 (여기서 $k_{n}$ 및 $h_{n}$은 단조로운 것입니다) 이것에 대해 우리는 다음을 가집니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon$

다른 한편으로, 모든 $n\geq n_{0}$에 대해 다음이 되도록

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon$

$n_{0}\in \mathbb {N}$이 존재합니다.

요약하면:

• 만약 $\Lambda$가 극한 상부보다 크면, 적어도 $\Lambda$보다 더 큰 유한하게 많은 $x_{n}$이 있습니다; 만약 그것이 작으면, 무한하게 많이 있습니다.
• 만약 $\lambda$가 극한 하부보다 작으면, 적어도 $\lambda$보다 작은 유한하게 많은 $x_{n}$이 있습니다; 만약 그것이 더 크면, 무한하게 많이 있습니다.

일반적으로 우리는 다음임을 가집니다:

$\inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}$

수열의 극하 및 극상은 각각 가장-작은 및 가장-큰 클러스터 점(cluster points)입니다.

• 실수의 임의의 두 수열 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$에 대해, 극한 상부는 부등식의 오른쪽 변이 정의될 때마다 (즉, $\infty -\infty$ 또는 $-\infty +\infty$가 아닐 때) 부분-덧셈성(subadditivity)을 만족시킵니다:

$\limsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }(a_{n})+\limsup _{n\to \infty }(b_{n}).$.

비슷하게, 극한 하부는 초-덧셈성(superadditivity)을 만족시킵니다:

$\liminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }(a_{n})+\liminf _{n\to \infty }(b_{n}).$

수열의 하나가 실제로 수렴하는 특별한 경우에서, 말하자면 $a_{n}\to a$이면, 위의 부등식은 등식이 됩니다 (이때 $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ 또는 $\liminf _{n\to \infty }a_{n}$는 $a$로 대체됩니다).

• 비-음의 실수의 임의의 두 수열 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$에 대해, 부등식

$\limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\leq {\biggl (}\limsup _{n\to \infty }a_{n}{\biggr )}{\biggl (}\limsup _{n\to \infty }b_{n}{\biggr )}$

및

$\liminf _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\geq {\biggl (}\liminf _{n\to \infty }a_{n}{\biggr )}{\biggl (}\liminf _{n\to \infty }b_{n}{\biggr )}$

은 오른쪽 변이 형식 $0\cdot \infty$의 것이 아닐 때마다 유지됩니다.

만약 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$가 존재하고 (경우 $A=+\infty$를 포함하여) $B=\limsup _{n\to \infty }b_{n}$이면, $\limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=AB$는, $AB$가 형식 $0\cdot \infty$의 것이 아닌 것으로 제공됩니다.

Examples

• 예제처럼, x_n = sin(n)에 의해 제공되는 수열을 생각해 보십시오. π가 무리수(irrational)라는 사실을 사용하여, 우리는 다음임을 보일 수 있습니다:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1$

및

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.$

(이것은 수열 {1,2,3,...}이 모드 2π로 등분포되며, 등분포 정리(Equidistribution theorem)의 결과이기 때문입니다.)

• 숫자 이론(number theory)으로부터 예제는 다음입니다:

$\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n}),$

여기서 p_n은 n-번째 소수(prime number)입니다. 이 극한 하부의 값은 2인 것으로 추측되지만 — 이것이 쌍둥이 소수 추측(twin prime conjecture)입니다 — 2014년 4월 이래로 246과 같거나 작은 것으로 오직 입증되어 왔습니다. 대응하는 극한 상부는 $+\infty$인데, 왜냐하면 임의의 연속 소수 사이의 틈(gaps between consecutive primes)이 있기 때문입니다.

Real-valued functions

함수가 실수의 부분-집합에서 실수로의 정의되었다고 가정합니다. 수열에 대한 경우에서 처럼, 극한 하부 및 극한 상부는 만약 우리가 값 +∞ 및 -∞을 허용하면 항상 잘-정의됩니다; 사실, 만약 둘 다 동의하면, 극한은 존재하고 (다시 아마도 무한대를 포함하여) 그들의 공통 값과 같습니다. 예를 들어, f(x) = sin(1/x)가 주어지면, 우리는 lim sup_x→0 f(x) = 1 및 lim inf_x→0 f(x) = -1을 가집니다. 둘 사이의 차이는 함수가 얼마나 "격렬하게" 진동하는지에 대한 대략적인 측정이고, 이 사실의 관찰에서, 그것은 a에서 f의 진동(oscillation)으로 불립니다. 진동의 이 아이디어는, 예를 들어, 리만-적분가능(Riemann-integrable) 함수를 측정 영(measure zero)의 집합을 제외하고 연속으로 특성화하기에 충분합니다. 비-영 진동의 점 (즉, f가 "나쁘게 행동하는(badly behaved)" 것에서 점)은 불연속성이며 이것은, 만약 그들이 영의 집합을 구성하지 않은 한, 무시할-수-있는 집합으로 제한됨에 주목하십시오.

Functions from metric spaces to complete lattices

실수-값 함수의 극한에 대한 친족관계가 극한 상부, 극한 하부, 및 실수 수열의 극한 사이의 관계의 그것을 반영하는 메트릭 공간(metric space) 위에 정의된 함수에 대한 극한 상부 및 극한 하부의 개념이 있습니다. 메트릭 공간 X 및 Y, X에 포함된 부분-공간 E, 및 함수 f : E → Y를 취합니다. E의 임의의 극한 점(limit point) a에 대해, 다음을 정의합니다:

$\limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})$

및

$\liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\inf\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})$

여기서 B(a;ε)는 a에 대한 반지름 ε의 메트릭 공(metric ball)을 나타냅니다.

ε가 줄어듦에 따라, 공에 걸쳐 함수의 상한은 단조롭게 감소하므로, 우리는 다음을 가짐에 주목하십시오:

$\limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})$

및 비슷하게

$\liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}(\inf\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\}).$

이것은 최종적으로 일반적인 토폴로지적 공간에 대한 정의에 동기를 부여합니다. X, Y, E 및 a를 이전처럼 취하지만, 이제 X와 Y 둘 다를 토폴로지적 공간으로 놓습니다. 이 경우에서, 우리는 메트릭 공을 이웃으로 대체합니다:

$\limsup _{x\to a}f(x)=\inf\{\sup\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}$

$\liminf _{x\to a}f(x)=\sup\{\inf\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}$

(넷과 인접 필터를 사용하여 "lim"을 사용하는 공식을 쓰기 위한 방법이 있습니다). 이 버전은 해석에서 꽤 자주 발생하는 반-연속성(semi-continuity)의 토론에서 종종 유용합니다. 흥미로운 특징은 이 버전은 자연수로부터 함수로 수열을 확장된 실수 직선의 토폴로지적 부분-공간으로 여김으로써 잇달아 일어나는 버전을 공간으로 포함한다는 것입니다 ([−∞,∞], 확장된 실수 직선(extended real number line)에서 N의 클로저는 N ∪ {∞}입니다.)

Sequences of sets

집합(set) X의 거듭제곱 집합(power set) ℘(X)는 집합 포함(set inclusion)에 의해 순서화된 완비 격자(complete lattice)이므로, (집합 포함의 관점에서) 부분-집합의 임의의 집합의 상한 및 하한은 항상 존재합니다. 특히, X의 모든 각 부분-집합 Y는 X에 의해 위로 경계지고 빈 집합 ∅에 의해 아래로 경계지는데 왜냐하면 ∅ ⊆ Y ⊆ X이기 때문입니다. 그러므로, 그것은 ℘(X)에서 수열 (즉, X의 부분-집합의 수열)의 상부 및 하부로 여기는 것이 가능합니다 (그리고 때때로 유용합니다).

집합의 수열의 극한을 정의하기 위한 두 공통적인 방법이 있습니다. 두 경우 모두에서:

• 수열은 단일 점 자체라기보다는 점의 집합 주위에 누적됩니다. 즉, 수열의 각 원소는 하나의 집합 자체이기 때문에, 수열의 무한하게 많은 원소 어떻게든지 근처에 있는 누적 집합이 존재합니다.
• 상한/상부/밖의 극한은 이들 누적 세트 함께 결합(join)하는 집합입니다. 즉, 그것은 모든 누적 집합의 합집합입니다. 집합 포함에 의해 순서화할 때, 상한 극한은 누적 점의 집합 가장-작은 위쪽 경계인데 왜냐하면 그것은 그들의 각각을 포함하기 때문입니다. 그러므로, 그것은 극한 점의 상한입니다.
• 하한/하부/안의 극한은 이들 누적 집합의 모두가 만나는(meet) 집합입니다. 즉, 그것은 모든 누적 집합의 교집합입니다. 집합 포함으로 순서화할 때, 하한 극한은 누적 점의 집합 위에 가장-큰 아래 경계인데 왜냐하면 그것은 그들의 각각 안에 포함되기 때문입니다. 그러므로, 그것은 극한 점의 하한입니다.
• 순서화는 집합 포함에 의한 것이기 때문에, 밖의 극한은 안의 극한을 항상 포함할 것입니다 (즉, lim inf X_n ⊆ lim sup X_n). 그러므로, 집합의 수열의 수렴을 고려할 때, 그것은 일반적으로 해당 수열의 밖의 극한의 수렴을 고려하는 것으로 충분합니다.

두 정의 사이의 차이는 토폴로지(topology)가 정의되는 방법 (즉, 분리를 정량화하는 방법)을 포함합니다. 사실, 두 번째 정의는 이산 메트릭(discrete metric)이 X 위에 토폴로지를 유도하기 위해 사용될 때 첫 번째와 동일합니다.

General set convergence

이 경우에서, 집합의 수열은, 수열의 각 구성원의 원소가 극한하는 집합의 원소에 접근할 때 극한하는 집합으로 접근합니다. 특히, 만약 {X_n}이 X의 부분-집합의 수열이면, 다음입니다:

• 밖의 극한으로 역시 불리는, lim sup X_n은 (셀-수-있는) 무한하게 많은 n으로부터 취해진 X_n 안의 점의 극한인 그들의 원소로 구성됩니다. 즉, x ∈ lim sup X_n인 것은 k → ∞일 때 x_k ∈ X_nk 및 x_k → x를 만족하는 점 x_k의 수열 및 {X_n}의 부분-수열 {X_nk}이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.
• 안의 극한으로 역시 불리는, lim inf X_n은 모두이지만 유한하게 많은 n (즉, 공-유한하게(cofinitely) 많은 n)에 대해 X_n 안의 점의 극한인 그들의 원소로 구성됩니다. 즉, x ∈ lim inf X_n인 것과 k → ∞일 때 x_k ∈ X_k 및 x_k → x을 만족하는 점 {x_k}의 수열이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

극한 lim X_n이 존재하는 것과 lim inf X_n 및 lim sup X_n이 일치하는 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 lim X_n = lim sup X_n = lim inf X_n입니다.

Special case: discrete metric

이것은 측정 이론(measure theory) 및 확률(probability)에서 사용되는 정의입니다. 아래에 논의된 토폴로지적 관점과 반대로, 집합-이론적 관점으로부터 추가적인 논의 및 예제는 집합-이론적 극한(set-theoretic limit)에 있습니다.

이 정의에 의해, 집합의 수열은 극한하는 집합이 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 있는 원소를 포함, 및 수열의 집합의 유한하게 많은 여(집합)를 제외한 모두에 있는 원소를 포함하지 않을 때 극한하는 집합에 접근합니다. 즉, 이 경우는 집합 X 위의 토폴로지가 이산 메트릭(discrete metric)으로부터 유도될 때 일반적인 정의를 한정합니다.

구체적으로, 점 x ∈ X 및 y ∈ X에 대해, 이산 메트릭은 다음으로 정의됩니다:

$d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}$

이것 아래에서 점 {x_k}의 수열이 점 x ∈ X에 수렴하는 것은 유한하게 많은 k를 제외한 모두에 대해 x_k = x인 것과 필요충분 조건입니다. 그러므로, 만약 극한 집합이 존재하면 그것은 그 점과 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 있는 오직 그 점을 포함합니다. 이산 메트릭에서 수렴은 수렴의 가장-엄격한 형식이므로 (즉, 가장-많은 것이 요구되므로), 극한 집합의 이 정의는 가장-엄격한 가능성입니다.

만약 {X_n}가 X의 부분-집합의 수열이면, 다음의 것은 항상 존재합니다:

• lim sup X_n은 X의 원소로 구성되며 이것은 무한하게 많은 n에 대해 X_n에 속합니다 (셀-수-있게 무한(countably infinite)을 참조하십시오). 즉, x ∈ lim sup X_n인 것과 모든 k에 대해 x ∈ X_nk를 만족하는 {X_n}의 부분-수열 {X_nk}이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.
• lim inf X_n는 X의 원소로 구성되며 이것은 유한하게 많은 n을 제외한 모두에 대해 (즉, 공-유한하게(cofinitely) 많은 n에 대해) X_n에 속합니다. 즉, x ∈ lim inf X_n인 것과 모든 n>m에 대해 x ∈ X_n을 만족하는 어떤 m>0이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

x ∈ lim sup X_n인 것과 x ∉ lim inf X_n^c인 것이 필요충분 조건임을 인지하십시오.

• lim X_n이 존재하는 것과 lim inf X_n 및 lim sup X_n이 일치하는 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 lim X_n = lim sup X_n = lim inf X_n입니다.

이 의미에서, 수열은 X에서 모든 각 점이 유한하게 많은 X_n을 제외한 모두에서 나타나는 것 또는 유한하게 많은 X_n^c를 제외한 모두에서 나타나는 것 중에 하나인 한 극한을 가집니다.

집합 이론의 표준 용어를 사용하여, 집합 포함(set inclusion)은 집합 교(set intersection)를 가장-큰 아래 경계를 생성하는 것 및 집합 합(set union)을 가장-작은 위쪽 경계를 생성하는 것에 허용하는 X의 모든 부분-집합의 모음에 대한 부분 순서화(partial ordering)를 제공합니다. 따라서, 부분-집합의 모음의 하한 또는 만남(meet)은 가장-큰 아래 경계인 반면에 상한 또는 결합(join)은 가장-작은 위쪽 경계입니다. 이 문맥에서, 안의 극한, lim inf X_n은 수열의 꼬리의 가장-큰 만남(largest meeting of tails)이고, 밖의 극한, lim sup X_n은 수열의 꼬리의 가장-작은 결합(smallest joining of tails)입니다. 다음은 이것을 정확하게 만듭니다.

• I_n을 수열의 n^번째 꼬리의 만남으로 놓습니다. 즉,

${\begin{aligned}I_{n}&=\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}$

수열 {I_n}은 비-감소하는 (I_n ⊆ I_n+1) 것인데 왜냐하면 각 I_n+1은 I_n보다 적은 집합의 교집합이기 때문입니다. 꼬리의 만남의 이 수열에 대한 가장-작은 위쪽 경계는 다음입니다:

${\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup\{\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{aligned}}$

그래서 극한 상한은 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 대한 아래 경계인 모든 부분-집합을 포함합니다.

• 비슷하게, J_n을 수열의 n^번째 꼬리의 결합으로 놓습니다. 즉,

${\begin{aligned}J_{n}&=\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}$

수열 {J_n}은 비-증가하는 (J_n ⊇ J_n+1) 것인데 왜냐하면 각 J_n+1은 J_n보다 적은 집합의 교집합이기 때문입니다. 꼬리의 결합의 이 수열의 가장-큰 아래 경계는 다음입니다:

${\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf\{\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{aligned}}$

그래서 극한 상한은 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 대해 위쪽 경계인 모든 부부-집합에 포함됩니다.

Examples

다음은 여러 집합 수렴 예제입니다. 그들은 집합 X 위에 토폴로지를 유도하기 위해 사용된 메트릭에 관한 섹션으로 나뉩니다.

이산 메트릭(discrete metric)을 사용하여

• 보렐—칸텔리 보조정리(Borel–Cantelli lemma)는 이들 구성의 예제 응용입니다.

이산 메트릭 또는 유클리드 메트릭(Euclidean metric) 중에 하나를 사용하여

• 집합 X = {0,1} 및 부분-집합의 수열을 생각해 보십시오:

$\{X_{n}\}=\{\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.$

이 수열의 "홀수" 및 "짝수" 원소는 두 부분-수열, {{0},{0},{0},...} 및 {{1},{1},{1},...}을 형성하며, 이것은 극한 점 0 및 1을, 각각, 가지므로, 밖의 또는 상부 극한은 이들 두 점의 집합 {0,1}입니다. 어쨌든, 전체로 {X_n} 수열로부터 취할 수 있는 극한 점은 없으므로, 안의 또는 하부 극한은 빈 집합 {}입니다. 즉,

• lim sup X_n = {0,1}
• lim inf X_n = {}

어쨌든, {Y_n} = {{0},{0},{0},...} 및 {Z_n} = {{1},{1},{1},...}에 대해:

• lim sup Y_n = lim inf Y_n = lim Y_n = {0}
• lim sup Z_n = lim inf Z_n = lim Z_n = {1}

• 집합 X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} 및 부분-집합의 수열을 생각해 보십시오:

$\{X_{n}\}=\{\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.$

이전 두 예제에서 처럼,

• lim sup X_n = {0,1}
• lim inf X_n = {}

즉, 패턴이 일치하지 않는 네 원소는 lim inf 및 lim sup에 영향을 미치지 않는데 왜냐하면 오직 그들의 유한하게 많은 것이 있기 때문입니다. 사실, 이들 원소는 수열에서 어디에나 위치될 수 있습니다 (예를 들어, 위치 100, 150, 275, 및 55000에). 수열의 꼬리가 유지되는 한, 밖의 및 안의 극한은 바뀌질 않을 것입니다. 본질적 상한(essential supremum) 및 본질적 하한(essential infimum)에서 사용되는, 본질적 안의 및 밖의 극한의 관련된 개념은 (단지 유한하게 많은 것이 아니라) 셀-수-있게 많은 틈의 덧셈을 "밀어넣은" 중요한 수정을 제공합니다.

유클리드 메트릭을 사용하여

• 유리수(rational number)의 부분-집합의 수열을 생각해 보십시오:

$\{X_{n}\}=\{\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots \}.$

이 수열의 "홀수" 및 "짝수" 원소는 두 부분-수열, {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...} 및 {{1},{1/2},{1/3},{1/4},...}을 형성하며, 이것은 극한 점 1 및 0, 각각, 가지므로, 밖의 또는 상부 극한은 이들 두 점의 집합 {0,1}입니다. 어쨌든, 전체로 {X_n} 수열로부터 취할 수 있는 극한 점은 없으므로, 안의 또는 하부 극한은 빈 집합 {}입니다. 그래서, 이전 예제에서 처럼,

• lim sup X_n = {0,1}
• lim inf X_n = {}

어쨌든, {Y_n} = {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...} 및 {Z_n} = {{1},{1/2},{1/3},{1/4},...}에 대해:

• lim sup Y_n = lim inf Y_n = lim Y_n = {1}
• lim sup Z_n = lim inf Z_n = lim Z_n = {0}

이들 네 경우의 각각에서, 극한하는 집합의 원소는 원래 수여로부터 집합의 임의의 것의 원소가 아닙니다.

• 동역학 시스템(dynamic system)에 대한 해의 Ω 극한 (즉, 극한 집합(limit set))은 시스템의 해 궤도의 밖의 극한입니다. 궤도는 이 극한 집합에 점점 더 가깝게 되기 때문에, 이들 궤도의 꼬리는 극한 집합에 수렴합니다.

• 예를 들어, 불-감쇠의 이차 LTI 시스템 (즉, 영 감쇠 비율(damping ratio))을 갖는 여러 안정(stable) 시스템의 종속 연결(cascade connection)인 LTI 시스템은 교란된 후에 끝없이 진동할 것입니다 (예를 들어, 타격을 가한 후의 이상적인 벨). 그러므로, 만약 이 시스템의 위치와 속도가 서로에 대해 그려지면, 궤도는 상태 공간(state space)에서 원에 접근할 것입니다. Ω 시스템의 극한 집합인 원은 시스템 해 궤도의 밖의 극한입니다. 원은 순수한 사인파 톤 출력에 해당하는 궤도의 궤적을 나타냅니다; 즉, 시스템 출력이 순수한 톤에 접근/근사됩니다.

Generalized definitions

위의 정의는 많은 기법 응용에 적합하지 않습니다. 사실, 위의 정의는 다음 정의의 특수화입니다.

Definition for a set

집합 X ⊆ Y의 극한 하부는 집합의 극한 점(limit point)의 모두의 하한(infimum)입니다. 즉, 다음입니다:

$\liminf X:=\inf\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,$

비슷하게, 집합 X의 극한 상부는 집합의 극한 점의 모두의 상한(supremum)입니다. 즉, 다음입니다:

$\limsup X:=\sup\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,$

집합 X는 이들 정의에 대해 의미있게 만들기 위해 역시 토폴로지적 공간(topological space)인 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set) Y의 부분-집합으로 정의될 필요가 있음에 주목하십시오. 게다가, 그것은 상한 및 하한이 항상 존재하도록 완비 격자(complete lattice)이어야 합니다. 해당 경우에서 모든 각 집합은 극한 상부 및 극한 하부를 가집니다. 역시 집합의 극한 하부 및 극한 상부는 반드시 집합의 원소인 것은 아닙니다.

Definition for filter bases

토폴로지적 공간(topological space) X 및 해당 공간에서 필터 기저(filter base) B를 취합니다. 해당 필터 기저에 대해 모든 클러스터 점(cluster point)의 집합은 다음으로 제공됩니다:

$\bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

여기서 ${\overline {B}}_{0}$는 $B_{0}$의 클로저(closure)입니다. 이것은 분명하게 닫힌 집합(closed set)이고 집합의 극한 점의 집합과 비슷합니다. X는 역시 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set)으로 가정합니다. 필터 기저 B의 극한 상부는 해당 상한이 존재할 때 다음으로 정의됩니다:

$\limsup B:=\sup \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

X는 전체 순서(total order), 완비 격자(complete lattice)이고 순서 토폴로지(order topology)를 가질 때:

$\limsup B=\inf\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}$

증명: 비슷하게, 필터 기저 B의 극한 하부는 해당 하한이 존재할 때 다음으로 정의됩니다:

$\liminf B:=\inf \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}$

만약 X가 전체적으로 순서화, 완비 격자이고, 순서 토폴로지를 가지면,

$\liminf B=\sup\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}$

만약 극한 하부 및 극한 상부가 일치하면, 정확히 한 클러스터 점이 있어야 하고 필터 기저의 극한은 이 유일한 클러스터 점과 같습니다.

Specialization for sequences and nets

필터 기저는 네트(nets)의 일반화이며, 이것은 수열(sequence)의 일반화임을 주목하십시오. 그러므로, 이들 정의는 마찬가지로 임의의 네트 (및 따라서 임의의 수열)의 극한 하부 및 극한 상부(limit superior)를 제공합니다. 예를 들어, 토폴로지적 공간 $X$ 및 $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$를 취하며, 여기서 $(A,{\leq })$는 방향화된 집합(directed set)이고 모든 $\alpha \in A$에 대해 $x_{\alpha }\in X$입니다. 이 네트에 의해 생성된 ("꼬리의") 필터 기저는 다음으로 정의된 $B$입니다:

$B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,$

그러므로, 네트의 극한 하부 및 극한 상부는, 각각, $B$의 극한 상부 및 극한 하부와 같습니다. 비슷하게, 토폴로지적 공간 $X$에 대해, 수열 $(x_{n})$을 취하며 여기서 자연수(natural number)의 집합인 $\mathbb {N}$을 갖는 임의의 $n\in \mathbb {N}$에 대해 $x_{n}\in X$입니다. 이 수열에 의해 생성된 ("꼬리의") 필터 기저는 다음으로 정의됩니다:

$C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,$

그러므로, 그 수열의 극한 하부 및 극한 상부는, 각각, $C$의 극한 상부 및 극한 하부와 같습니다.

See also

• Essential supremum and essential infimum
• Envelope (waves)
• One-sided limit
• Dini derivatives
• Set-theoretic limit

External links

• "Upper and lower limits", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]