Limit superior and limit inferior
수학(mathematics)에서, 수열(sequence)의 극한 하부(limit inferior) 및 극한 상부(limit superior)는 수열 위의 극한하는 경계 (즉, 최후 및 극단)로 생각될 수 있습니다. 그들은 함수(function)에 대해 비슷한 방식으로 생각될 수 있습니다 (함수의 극한(limit of a function)을 참조하십시오). 집합에 대해, 그들은 각각 집합의 극한 점(limit point)의 하한 및 상한(infimum and supremum)입니다. 일반적으로, 수열, 함수 또는 집합이 모으는 것 주위로 여러 대상이 있을 때, 하부 및 상부 극한은 그들의 가장 작은 것 및 가장 큰 것을 추출합니다; 대상의 유형과 크기의 측정은 문맥-의존이지만, 극단 극한의 개념은 불변입니다. 극한 하부는 하한 극한(infimum limit), 극한 하한(limit infimum), 극하(liminf), 하부 극한(inferior limit), 낮은 극한(lower limit), 또는 안의 극한(inner limit)으로 역시 불립니다; 극한 상부는 상한 극한(supremum limit), 극한 상한(limit supremum), 극상(limsup), 상부 극한(superior limit), 높은 극한(upper limit), 또는 밖의 극한(outer limit)으로 역시 알려져 있습니다.
수열 의 극한 하부는 다음에 의해 표시됩니다:
수열 의 극한 상부는 다음에 의해 표시됩니다:
Definition for sequences
수열 (xn)의 극한 하부는 다음으로 정의됩니다:
또는
비슷하게, (xn)의 극한 상부는 다음에 의해 정의됩니다:
또는
대안적으로, 표기법 및 는 때때로 사용됩니다.
극한 상부 및 하부는 수열 의 후속 극한의 개념을 사용하여 동등하게 정의될 수 있습니다.[1] 확장된 실수 의 원소 는, 만약 을 만족하는 자연수 의 엄격하게 증가하는 수열이 존재하면, 의 후속 극한(subsequential limit)입니다. 만약 가 의 모든 후속 극한의 집합이면,
및
만약 수열 안의 항이 실수이면, 극한 상부 및 극한 하부는 항상 존재하는데, 왜냐하면 ±∞를 갖는 실수 (즉, 확장된 실수 직선(extended real number line))은 완비이기 때문입니다. 보다 일반적으로, 이들 정의는, 완비 격자(complete lattice) 안에서 처럼, 상한(suprema) 및 하한(infima)이 존재함으로 조건으로 하여, 임의의 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set)에서 의미가 있습니다.
보통의 극한이 존재할 때마다, 극한 하부 및 극한 상부는 그것과 둘 다 같습니다; 그러므로, 각각은, 보통 극한의 일반화로 여길 수 있으며 이것은 극한이 존재하지 않는 경우에서 주로 흥미롭습니다. lim inf xn 및 lim sup xn 둘 다가 존재할 때마다, 우리는 다음을 가집니다:
극한 하부/상부는, 그들이 "극한 안에서" 오직 수열을 경계짓는 것에서, 대문자-O 표기법(big-O notation)과 관련됩니다; 수열은 경계를 초과할 수 있을 것입니다. 어쨌든, 대문자-O 표기법과 함께 수열은 수열의 유한 접두에서 경계를 오직 초과할 수 있지만, e−n과 같은 수열의 극한 상부는 수열의 모든 원소보다 실제로 작을 수 있습니다. 단지 만들어진 약속은 수열의 일부 꼬리가 높은 극한 더하기 임의의 작은 양의 상수로 위쪽 경계질 수 있고, 극한 하부 빼기 임의의 작은 양의 상수로 아래로 경계질 수 있다는 것입니다.
수열의 극한 상부 및 극한 하부는 함수의 그들의 특별한 경우입니다 (아래를 참조하십시오).
The case of sequences of real numbers
수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 극한 상부 및 극한 하부는 실수(real)의 수열을 연구하는 것에 대해 중요한 도구입니다. 실수의 무경계 집합의 상한과 하한은 존재하지 않을 수 있으므로 (실수는 완비 격자가 아닙니다), 그것은 아핀적으로 확장된 실수 시스템(affinely extended real number system) 안의 수열을 고려되는 것이 편리합니다: 우리는 완비 전체적으로 순서화 집합(totally ordered set) [−∞,∞]을 제공하기 위해 실수 직선에 양 및 음의 무한대를 추가하며, 이것은 완비 격자입니다.
Interpretation
실수로 구성되는 수열 을 생각해 보십시오. 극한 상부 및 극한 하부는 실수 (그래서, 무한이 아닌)임을 가정합니다.
- 의 극한 상부는, 임의의 양의 실수 에 대해, 모든 에 대해 를 만족하는 자연수(natural number) 이 존재하는 것을 만족하는 가장 작은 실수 입니다. 달리 말해서, 극한 상부보다 더 큰 임의의 숫자는 수열에 대해 궁극의 위쪽 경계입니다. 수열의 원소의 오직 유한 숫자가 보다 큽니다.
- 의 극한 하부는, 임의의 양의 실수 에 대해, 모든 에 대해 을 만족하는 자연수 이 존재하는 것을 만족하는 가장 큰 실수 입니다. 달리 말해서, 극한 하부 아래의 임의의 숫자는 수열에 대해 궁극의 아래 경계입니다. 수열의 원소의 오직 유한 숫자가 보다 작습니다.
Properties
실수의 수열에 대해 극한 하부와 극한 상부의 관계는 다음과 같습니다:
이전에 언급된 것처럼, 그것은 를 [−∞,∞]로 확장하는 것이 편리합니다. 그런-다음, [−∞,∞] 에서 (xn)이 수렴(converges)하는 것과 다음은 필요충분(iff) 조건입니다:
이 경우에서 는 그들의 공통 값은 같습니다. (단지 에서 작동할 때, −∞ 또는 ∞로 수렴은 수렴으로 여겨지지 않을 것임에 주목하십시오.) 극한 하부는 적어도 극한 상부이므로, 다음 조건이 유지됩니다:
만약 이고 이면, 구간 [I, S]은 숫자 xn의 임의의 것을 포함할 필요는 없지만, 모든 각 약간 확대 [I − ε, S + ε] (임의의 작은 ε > 0에 대해)는 모든 이지만 유한하게 많은 인덱스 n에 대해 xn을 포함할 것입니다. 사실, 구간 [I, S]은 이 속성을 가진 가장-작은 닫힌 구간입니다. 우리는 다음처럼 이 속성을 공식화할 수 있습니다: 의 부분-수열(subsequence) 및 이 존재하며 (여기서 및 은 단조로운 것입니다) 이것에 대해 우리는 다음을 가집니다:
다른 한편으로, 모든 에 대해 다음이 되도록
이 존재합니다.
요약하면:
- 만약 가 극한 상부보다 크면, 적어도 보다 더 큰 유한하게 많은 이 있습니다; 만약 그것이 작으면, 무한하게 많이 있습니다.
- 만약 가 극한 하부보다 작으면, 적어도 보다 작은 유한하게 많은 이 있습니다; 만약 그것이 더 크면, 무한하게 많이 있습니다.
일반적으로 우리는 다음임을 가집니다:
수열의 극하 및 극상은 각각 가장-작은 및 가장-큰 클러스터 점(cluster points)입니다.
- 실수의 임의의 두 수열 에 대해, 극한 상부는 부등식의 오른쪽 변이 정의될 때마다 (즉, 또는 가 아닐 때) 부분-덧셈성(subadditivity)을 만족시킵니다:
- .
비슷하게, 극한 하부는 초-덧셈성(superadditivity)을 만족시킵니다:
수열의 하나가 실제로 수렴하는 특별한 경우에서, 말하자면 이면, 위의 부등식은 등식이 됩니다 (이때 또는 는 로 대체됩니다).
- 비-음의 실수의 임의의 두 수열 에 대해, 부등식
및
은 오른쪽 변이 형식 의 것이 아닐 때마다 유지됩니다.
만약 가 존재하고 (경우 를 포함하여) 이면, 는, 가 형식 의 것이 아닌 것으로 제공됩니다.
Examples
- 예제처럼, xn = sin(n)에 의해 제공되는 수열을 생각해 보십시오. π가 무리수(irrational)라는 사실을 사용하여, 우리는 다음임을 보일 수 있습니다:
및
(이것은 수열 {1,2,3,...}이 모드 2π로 등분포되며, 등분포 정리(Equidistribution theorem)의 결과이기 때문입니다.)
- 숫자 이론(number theory)으로부터 예제는 다음입니다:
여기서 pn은 n-번째 소수(prime number)입니다. 이 극한 하부의 값은 2인 것으로 추측되지만 — 이것이 쌍둥이 소수 추측(twin prime conjecture)입니다 — 2014년 4월 이래로 246과 같거나 작은 것으로 오직 입증되어 왔습니다.[2] 대응하는 극한 상부는 인데, 왜냐하면 임의의 연속 소수 사이의 틈(gaps between consecutive primes)이 있기 때문입니다.
Real-valued functions
함수가 실수의 부분-집합에서 실수로의 정의되었다고 가정합니다. 수열에 대한 경우에서 처럼, 극한 하부 및 극한 상부는 만약 우리가 값 +∞ 및 -∞을 허용하면 항상 잘-정의됩니다; 사실, 만약 둘 다 동의하면, 극한은 존재하고 (다시 아마도 무한대를 포함하여) 그들의 공통 값과 같습니다. 예를 들어, f(x) = sin(1/x)가 주어지면, 우리는 lim supx→0 f(x) = 1 및 lim infx→0 f(x) = -1을 가집니다. 둘 사이의 차이는 함수가 얼마나 "격렬하게" 진동하는지에 대한 대략적인 측정이고, 이 사실의 관찰에서, 그것은 a에서 f의 진동(oscillation)으로 불립니다. 진동의 이 아이디어는, 예를 들어, 리만-적분가능(Riemann-integrable) 함수를 측정 영(measure zero)의 집합을 제외하고 연속으로 특성화하기에 충분합니다.[3] 비-영 진동의 점 (즉, f가 "나쁘게 행동하는(badly behaved)" 것에서 점)은 불연속성이며 이것은, 만약 그들이 영의 집합을 구성하지 않은 한, 무시할-수-있는 집합으로 제한됨에 주목하십시오.
Functions from metric spaces to complete lattices
실수-값 함수의 극한에 대한 친족관계가 극한 상부, 극한 하부, 및 실수 수열의 극한 사이의 관계의 그것을 반영하는 메트릭 공간(metric space) 위에 정의된 함수에 대한 극한 상부 및 극한 하부의 개념이 있습니다. 메트릭 공간 X 및 Y, X에 포함된 부분-공간 E, 및 함수 f : E → Y를 취합니다. E의 임의의 극한 점(limit point) a에 대해, 다음을 정의합니다:
및
여기서 B(a;ε)는 a에 대한 반지름 ε의 메트릭 공(metric ball)을 나타냅니다.
ε가 줄어듦에 따라, 공에 걸쳐 함수의 상한은 단조롭게 감소하므로, 우리는 다음을 가짐에 주목하십시오:
및 비슷하게
이것은 최종적으로 일반적인 토폴로지적 공간에 대한 정의에 동기를 부여합니다. X, Y, E 및 a를 이전처럼 취하지만, 이제 X와 Y 둘 다를 토폴로지적 공간으로 놓습니다. 이 경우에서, 우리는 메트릭 공을 이웃으로 대체합니다:
(넷과 인접 필터를 사용하여 "lim"을 사용하는 공식을 쓰기 위한 방법이 있습니다). 이 버전은 해석에서 꽤 자주 발생하는 반-연속성(semi-continuity)의 토론에서 종종 유용합니다. 흥미로운 특징은 이 버전은 자연수로부터 함수로 수열을 확장된 실수 직선의 토폴로지적 부분-공간으로 여김으로써 잇달아 일어나는 버전을 공간으로 포함한다는 것입니다 ([−∞,∞], 확장된 실수 직선(extended real number line)에서 N의 클로저는 N ∪ {∞}입니다.)
Sequences of sets
집합(set) X의 거듭제곱 집합(power set) ℘(X)는 집합 포함(set inclusion)에 의해 순서화된 완비 격자(complete lattice)이므로, (집합 포함의 관점에서) 부분-집합의 임의의 집합의 상한 및 하한은 항상 존재합니다. 특히, X의 모든 각 부분-집합 Y는 X에 의해 위로 경계지고 빈 집합 ∅에 의해 아래로 경계지는데 왜냐하면 ∅ ⊆ Y ⊆ X이기 때문입니다. 그러므로, 그것은 ℘(X)에서 수열 (즉, X의 부분-집합의 수열)의 상부 및 하부로 여기는 것이 가능합니다 (그리고 때때로 유용합니다).
집합의 수열의 극한을 정의하기 위한 두 공통적인 방법이 있습니다. 두 경우 모두에서:
- 수열은 단일 점 자체라기보다는 점의 집합 주위에 누적됩니다. 즉, 수열의 각 원소는 하나의 집합 자체이기 때문에, 수열의 무한하게 많은 원소 어떻게든지 근처에 있는 누적 집합이 존재합니다.
- 상한/상부/밖의 극한은 이들 누적 세트 함께 결합(join)하는 집합입니다. 즉, 그것은 모든 누적 집합의 합집합입니다. 집합 포함에 의해 순서화할 때, 상한 극한은 누적 점의 집합 가장-작은 위쪽 경계인데 왜냐하면 그것은 그들의 각각을 포함하기 때문입니다. 그러므로, 그것은 극한 점의 상한입니다.
- 하한/하부/안의 극한은 이들 누적 집합의 모두가 만나는(meet) 집합입니다. 즉, 그것은 모든 누적 집합의 교집합입니다. 집합 포함으로 순서화할 때, 하한 극한은 누적 점의 집합 위에 가장-큰 아래 경계인데 왜냐하면 그것은 그들의 각각 안에 포함되기 때문입니다. 그러므로, 그것은 극한 점의 하한입니다.
- 순서화는 집합 포함에 의한 것이기 때문에, 밖의 극한은 안의 극한을 항상 포함할 것입니다 (즉, lim inf Xn ⊆ lim sup Xn). 그러므로, 집합의 수열의 수렴을 고려할 때, 그것은 일반적으로 해당 수열의 밖의 극한의 수렴을 고려하는 것으로 충분합니다.
두 정의 사이의 차이는 토폴로지(topology)가 정의되는 방법 (즉, 분리를 정량화하는 방법)을 포함합니다. 사실, 두 번째 정의는 이산 메트릭(discrete metric)이 X 위에 토폴로지를 유도하기 위해 사용될 때 첫 번째와 동일합니다.
General set convergence
이 경우에서, 집합의 수열은, 수열의 각 구성원의 원소가 극한하는 집합의 원소에 접근할 때 극한하는 집합으로 접근합니다. 특히, 만약 {Xn}이 X의 부분-집합의 수열이면, 다음입니다:
- 밖의 극한으로 역시 불리는, lim sup Xn은 (셀-수-있는) 무한하게 많은 n으로부터 취해진 Xn 안의 점의 극한인 그들의 원소로 구성됩니다. 즉, x ∈ lim sup Xn인 것은 k → ∞일 때 xk ∈ Xnk 및 xk → x를 만족하는 점 xk의 수열 및 {Xn}의 부분-수열 {Xnk}이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.
- 안의 극한으로 역시 불리는, lim inf Xn은 모두이지만 유한하게 많은 n (즉, 공-유한하게(cofinitely) 많은 n)에 대해 Xn 안의 점의 극한인 그들의 원소로 구성됩니다. 즉, x ∈ lim inf Xn인 것과 k → ∞일 때 xk ∈ Xk 및 xk → x을 만족하는 점 {xk}의 수열이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.
극한 lim Xn이 존재하는 것과 lim inf Xn 및 lim sup Xn이 일치하는 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 lim Xn = lim sup Xn = lim inf Xn입니다.[4]
Special case: discrete metric
이것은 측정 이론(measure theory) 및 확률(probability)에서 사용되는 정의입니다. 아래에 논의된 토폴로지적 관점과 반대로, 집합-이론적 관점으로부터 추가적인 논의 및 예제는 집합-이론적 극한(set-theoretic limit)에 있습니다.
이 정의에 의해, 집합의 수열은 극한하는 집합이 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 있는 원소를 포함, 및 수열의 집합의 유한하게 많은 여(집합)를 제외한 모두에 있는 원소를 포함하지 않을 때 극한하는 집합에 접근합니다. 즉, 이 경우는 집합 X 위의 토폴로지가 이산 메트릭(discrete metric)으로부터 유도될 때 일반적인 정의를 한정합니다.
구체적으로, 점 x ∈ X 및 y ∈ X에 대해, 이산 메트릭은 다음으로 정의됩니다:
이것 아래에서 점 {xk}의 수열이 점 x ∈ X에 수렴하는 것은 유한하게 많은 k를 제외한 모두에 대해 xk = x인 것과 필요충분 조건입니다. 그러므로, 만약 극한 집합이 존재하면 그것은 그 점과 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 있는 오직 그 점을 포함합니다. 이산 메트릭에서 수렴은 수렴의 가장-엄격한 형식이므로 (즉, 가장-많은 것이 요구되므로), 극한 집합의 이 정의는 가장-엄격한 가능성입니다.
만약 {Xn}가 X의 부분-집합의 수열이면, 다음의 것은 항상 존재합니다:
- lim sup Xn은 X의 원소로 구성되며 이것은 무한하게 많은 n에 대해 Xn에 속합니다 (셀-수-있게 무한(countably infinite)을 참조하십시오). 즉, x ∈ lim sup Xn인 것과 모든 k에 대해 x ∈ Xnk를 만족하는 {Xn}의 부분-수열 {Xnk}이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.
- lim inf Xn는 X의 원소로 구성되며 이것은 유한하게 많은 n을 제외한 모두에 대해 (즉, 공-유한하게(cofinitely) 많은 n에 대해) Xn에 속합니다. 즉, x ∈ lim inf Xn인 것과 모든 n>m에 대해 x ∈ Xn을 만족하는 어떤 m>0이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.
x ∈ lim sup Xn인 것과 x ∉ lim inf Xnc인 것이 필요충분 조건임을 인지하십시오.
- lim Xn이 존재하는 것과 lim inf Xn 및 lim sup Xn이 일치하는 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 lim Xn = lim sup Xn = lim inf Xn입니다.
이 의미에서, 수열은 X에서 모든 각 점이 유한하게 많은 Xn을 제외한 모두에서 나타나는 것 또는 유한하게 많은 Xnc를 제외한 모두에서 나타나는 것 중에 하나인 한 극한을 가집니다.[5]
집합 이론의 표준 용어를 사용하여, 집합 포함(set inclusion)은 집합 교(set intersection)를 가장-큰 아래 경계를 생성하는 것 및 집합 합(set union)을 가장-작은 위쪽 경계를 생성하는 것에 허용하는 X의 모든 부분-집합의 모음에 대한 부분 순서화(partial ordering)를 제공합니다. 따라서, 부분-집합의 모음의 하한 또는 만남(meet)은 가장-큰 아래 경계인 반면에 상한 또는 결합(join)은 가장-작은 위쪽 경계입니다. 이 문맥에서, 안의 극한, lim inf Xn은 수열의 꼬리의 가장-큰 만남(largest meeting of tails)이고, 밖의 극한, lim sup Xn은 수열의 꼬리의 가장-작은 결합(smallest joining of tails)입니다. 다음은 이것을 정확하게 만듭니다.
- In을 수열의 n번째 꼬리의 만남으로 놓습니다. 즉,
- 수열 {In}은 비-감소하는 (In ⊆ In+1) 것인데 왜냐하면 각 In+1은 In보다 적은 집합의 교집합이기 때문입니다. 꼬리의 만남의 이 수열에 대한 가장-작은 위쪽 경계는 다음입니다:
- 그래서 극한 상한은 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 대한 아래 경계인 모든 부분-집합을 포함합니다.
- 비슷하게, Jn을 수열의 n번째 꼬리의 결합으로 놓습니다. 즉,
- 수열 {Jn}은 비-증가하는 (Jn ⊇ Jn+1) 것인데 왜냐하면 각 Jn+1은 Jn보다 적은 집합의 교집합이기 때문입니다. 꼬리의 결합의 이 수열의 가장-큰 아래 경계는 다음입니다:
- 그래서 극한 상한은 수열의 유한하게 많은 집합을 제외한 모두에 대해 위쪽 경계인 모든 부부-집합에 포함됩니다.
Examples
다음은 여러 집합 수렴 예제입니다. 그들은 집합 X 위에 토폴로지를 유도하기 위해 사용된 메트릭에 관한 섹션으로 나뉩니다.
- 이산 메트릭(discrete metric)을 사용하여
- 보렐—칸텔리 보조정리(Borel–Cantelli lemma)는 이들 구성의 예제 응용입니다.
- 이산 메트릭 또는 유클리드 메트릭(Euclidean metric) 중에 하나를 사용하여
- 집합 X = {0,1} 및 부분-집합의 수열을 생각해 보십시오:
- 이 수열의 "홀수" 및 "짝수" 원소는 두 부분-수열, {{0},{0},{0},...} 및 {{1},{1},{1},...}을 형성하며, 이것은 극한 점 0 및 1을, 각각, 가지므로, 밖의 또는 상부 극한은 이들 두 점의 집합 {0,1}입니다. 어쨌든, 전체로 {Xn} 수열로부터 취할 수 있는 극한 점은 없으므로, 안의 또는 하부 극한은 빈 집합 {}입니다. 즉,
- lim sup Xn = {0,1}
- lim inf Xn = {}
- 어쨌든, {Yn} = {{0},{0},{0},...} 및 {Zn} = {{1},{1},{1},...}에 대해:
- lim sup Yn = lim inf Yn = lim Yn = {0}
- lim sup Zn = lim inf Zn = lim Zn = {1}
- 집합 X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} 및 부분-집합의 수열을 생각해 보십시오:
- 이전 두 예제에서 처럼,
- lim sup Xn = {0,1}
- lim inf Xn = {}
- 즉, 패턴이 일치하지 않는 네 원소는 lim inf 및 lim sup에 영향을 미치지 않는데 왜냐하면 오직 그들의 유한하게 많은 것이 있기 때문입니다. 사실, 이들 원소는 수열에서 어디에나 위치될 수 있습니다 (예를 들어, 위치 100, 150, 275, 및 55000에). 수열의 꼬리가 유지되는 한, 밖의 및 안의 극한은 바뀌질 않을 것입니다. 본질적 상한(essential supremum) 및 본질적 하한(essential infimum)에서 사용되는, 본질적 안의 및 밖의 극한의 관련된 개념은 (단지 유한하게 많은 것이 아니라) 셀-수-있게 많은 틈의 덧셈을 "밀어넣은" 중요한 수정을 제공합니다.
- 유클리드 메트릭을 사용하여
- 유리수(rational number)의 부분-집합의 수열을 생각해 보십시오:
- 이 수열의 "홀수" 및 "짝수" 원소는 두 부분-수열, {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...} 및 {{1},{1/2},{1/3},{1/4},...}을 형성하며, 이것은 극한 점 1 및 0, 각각, 가지므로, 밖의 또는 상부 극한은 이들 두 점의 집합 {0,1}입니다. 어쨌든, 전체로 {Xn} 수열로부터 취할 수 있는 극한 점은 없으므로, 안의 또는 하부 극한은 빈 집합 {}입니다. 그래서, 이전 예제에서 처럼,
- lim sup Xn = {0,1}
- lim inf Xn = {}
- 어쨌든, {Yn} = {{0},{1/2},{2/3},{3/4},...} 및 {Zn} = {{1},{1/2},{1/3},{1/4},...}에 대해:
- lim sup Yn = lim inf Yn = lim Yn = {1}
- lim sup Zn = lim inf Zn = lim Zn = {0}
- 이들 네 경우의 각각에서, 극한하는 집합의 원소는 원래 수여로부터 집합의 임의의 것의 원소가 아닙니다.
- 동역학 시스템(dynamic system)에 대한 해의 Ω 극한 (즉, 극한 집합(limit set))은 시스템의 해 궤도의 밖의 극한입니다.[4]: 50–51 궤도는 이 극한 집합에 점점 더 가깝게 되기 때문에, 이들 궤도의 꼬리는 극한 집합에 수렴합니다.
- 예를 들어, 불-감쇠의 이차 LTI 시스템 (즉, 영 감쇠 비율(damping ratio))을 갖는 여러 안정(stable) 시스템의 종속 연결(cascade connection)인 LTI 시스템은 교란된 후에 끝없이 진동할 것입니다 (예를 들어, 타격을 가한 후의 이상적인 벨). 그러므로, 만약 이 시스템의 위치와 속도가 서로에 대해 그려지면, 궤도는 상태 공간(state space)에서 원에 접근할 것입니다. Ω 시스템의 극한 집합인 원은 시스템 해 궤도의 밖의 극한입니다. 원은 순수한 사인파 톤 출력에 해당하는 궤도의 궤적을 나타냅니다; 즉, 시스템 출력이 순수한 톤에 접근/근사됩니다.
Generalized definitions
위의 정의는 많은 기법 응용에 적합하지 않습니다. 사실, 위의 정의는 다음 정의의 특수화입니다.
Definition for a set
집합 X ⊆ Y의 극한 하부는 집합의 극한 점(limit point)의 모두의 하한(infimum)입니다. 즉, 다음입니다:
비슷하게, 집합 X의 극한 상부는 집합의 극한 점의 모두의 상한(supremum)입니다. 즉, 다음입니다:
집합 X는 이들 정의에 대해 의미있게 만들기 위해 역시 토폴로지적 공간(topological space)인 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set) Y의 부분-집합으로 정의될 필요가 있음에 주목하십시오. 게다가, 그것은 상한 및 하한이 항상 존재하도록 완비 격자(complete lattice)이어야 합니다. 해당 경우에서 모든 각 집합은 극한 상부 및 극한 하부를 가집니다. 역시 집합의 극한 하부 및 극한 상부는 반드시 집합의 원소인 것은 아닙니다.
Definition for filter bases
토폴로지적 공간(topological space) X 및 해당 공간에서 필터 기저(filter base) B를 취합니다. 해당 필터 기저에 대해 모든 클러스터 점(cluster point)의 집합은 다음으로 제공됩니다:
여기서 는 의 클로저(closure)입니다. 이것은 분명하게 닫힌 집합(closed set)이고 집합의 극한 점의 집합과 비슷합니다. X는 역시 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set)으로 가정합니다. 필터 기저 B의 극한 상부는 해당 상한이 존재할 때 다음으로 정의됩니다:
X는 전체 순서(total order), 완비 격자(complete lattice)이고 순서 토폴로지(order topology)를 가질 때:
증명: 비슷하게, 필터 기저 B의 극한 하부는 해당 하한이 존재할 때 다음으로 정의됩니다:
만약 X가 전체적으로 순서화, 완비 격자이고, 순서 토폴로지를 가지면,
만약 극한 하부 및 극한 상부가 일치하면, 정확히 한 클러스터 점이 있어야 하고 필터 기저의 극한은 이 유일한 클러스터 점과 같습니다.
Specialization for sequences and nets
필터 기저는 네트(nets)의 일반화이며, 이것은 수열(sequence)의 일반화임을 주목하십시오. 그러므로, 이들 정의는 마찬가지로 임의의 네트 (및 따라서 임의의 수열)의 극한 하부 및 극한 상부(limit superior)를 제공합니다. 예를 들어, 토폴로지적 공간 및 를 취하며, 여기서 는 방향화된 집합(directed set)이고 모든 에 대해 입니다. 이 네트에 의해 생성된 ("꼬리의") 필터 기저는 다음으로 정의된 입니다:
그러므로, 네트의 극한 하부 및 극한 상부는, 각각, 의 극한 상부 및 극한 하부와 같습니다. 비슷하게, 토폴로지적 공간 에 대해, 수열 을 취하며 여기서 자연수(natural number)의 집합인 을 갖는 임의의 에 대해 입니다. 이 수열에 의해 생성된 ("꼬리의") 필터 기저는 다음으로 정의됩니다:
그러므로, 그 수열의 극한 하부 및 극한 상부는, 각각, 의 극한 상부 및 극한 하부와 같습니다.
See also
- Essential supremum and essential infimum
- Envelope (waves)
- One-sided limit
- Dini derivatives
- Set-theoretic limit
References
- ^ Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. p. 56. ISBN 007054235X.
- ^ "Bounded gaps between primes". Polymath wiki. Retrieved 14 May 2014.
- ^ "Lebesgue's Criterion for Riemann integrability (MATH314 Lecture Notes)" (PDF). University of Windsor. Archived from the original (PDF) on 2007-03-03. Retrieved 2006-02-24.
- ^ a b Goebel, Rafal; Sanfelice, Ricardo G.; Teel, Andrew R. (2009). "Hybrid dynamical systems". IEEE Control Systems Magazine. 29 (2): 28–93. doi:10.1109/MCS.2008.931718.
- ^ Halmos, Paul R. (1950). Measure Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, Inc.
- Amann, H.; Escher, Joachim (2005). Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-7153-6.
- González, Mario O (1991). Classical complex analysis. New York: M. Dekker. ISBN 0-8247-8415-4.
External links
- "Upper and lower limits", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]