Linear function

수학(mathematics)에서, 용어 선형 함수(linear function)는 두 가지 구별되지만, 관련된 개념을 참조합니다:^[1]

As a polynomial function

미적분학, 해석 기하학(analytic geometry) 및 관련된 영역에서, 선형 함수는 영 다항식(zero polynomial)을 포함하여, 차수 일 또는 그것보다 적은 것의 다항식입니다 (영 다항식은 차수 영을 가지는 것으로 고려되지 않습니다).

함수가 오직 하나의 변수(variable)일 때, 그것은 다음 형식의 것입니다:

f(x)=ax+b,

여기서 $a$ 와 $b$ 는 상수(constant)이며, 종종 실수(real number)입니다. 하나의 변수의 그러한 함수의 그래프(graph)는 비-수직 직선입니다. $a$ 는 직선의 기울기로 자주 참조되고, $b$ 는 절편으로 참조됩니다.

임의의 유한한 개수의 독립 변수(independent variable)의 함수 $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$ 에 대해, 일반적인 형식은 다음입니다:

f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\ldots +a_{k}x_{k}

,

그리고 그 그래프는 차원 k의 초평면(hyperplane)입니다.

상수 함수(constant function)는 이 문맥에서 역시 선형으로 여겨지며, 왜냐하면 그것은 차수 영의 다항식 또는 영 다항식이기 때문입니다. 그의 그래프는, 오직 하나의 독립 변수가 있을 때, 수평 직선입니다.

이 문맥에서, 다른 의미 (선형 맵)은 동차(homogeneous) 선형 함수 또는 선형 형식(linear form)으로 참조될 수 있을 것입니다. 선형 대수의 문맥에서, 이 의미 (차수 0 또는 1의 다항 함수)는 아핀 맵(affine map)의 특별한 종류입니다.

선형 대수에서, 선형 함수는 다음의 벡터 덧셈(vector addition)과 스칼라 곱셈(scalar multiplication)을 보존하는 벡터 공터 공간 사이의 맵 $f$ 입니다.

f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )

f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).

여기서 $a$ 는 스칼라(scalar) (예를 들어, 실수(real number))의 일부 필드(field) $K$ 에 속하는 상수를 나타내고 $x$ 와 $y$ 는 벡터 공간(vector space)의 원소이며, 벡터 공간은 $K$ 자체일 수 있습니다.

일부 저자는 "선형 함수"를 오직 스칼라 필드에서 값을 취하는 선형 맵에 대해 사용합니다;^[6] 이들은 역시 선형 함수형(linear functional:선형 범함수)으로 불립니다.

미적분학의 "선형 함수"는 $f([0,\ldots ,0])=0$ 일 때 (및 오직 일 때), 또는, 동등하게, 상수 $b=0$ 일 때, "선형 맵"으로 한정합니다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 반드시 원점을 통과합니다.

^ "The term linear function means a linear form in some textbooks and an affine function in others." Vaserstein 2006, p. 50-1
^ Stewart 2012, p. 23
^ T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. p. 345.
^ Shores 2007, p. 71
^ A. Kurosh (1975). Higher Algebra. Mir Publishers. p. 214.
^ Gelfand 1961

Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6