Linearity

선형성(linearity)은, 그래픽적으로 직선(line)으로 표현될 수 있는 것을 의미하는 수학적 관계 (함수(function))의 속성입니다. 선형성은 비례성(proportionality)과 밀접한 관계가 있습니다. 물리학(physics)에서 예제는 직선 운동(rectilinear motion), 전기 도체(electrical conductor)에서 전압(voltage)과 전류(current)의 선형 관계 (옴의 법칙(Ohm's law)), 및 질량(mass)과 무게(weight)의 관계를 포함합니다. 대조적으로, 보다 복잡한 관계는 비선형(nonlinear)입니다.

일 차원(dimension)보다 많은 차원에서 함수에 대해 일반화된, 선형성은 중첩 원리(superposition principle)라고도 하는 덧셈(addition)과 스케일링(scaling)과 호환되는 함수의 속성을 의미합니다.

단어 linear는 라틴어(Latin) linearis, "직선과 관련되거나 직선과 유사한"에서 옵니다.

In mathematics

수학에서, 선형 맵(linear map) 또는 선형 함수(linear function) f(x)는 다음 두 속성을 만족시키는 함수입니다:^[1]

덧셈성(Additivity): f(x + y) = f(x) + f(y).
차수 1의 동차성(Homogeneity): f(αx) = α f(x) for all α.

이들 속성은 중첩 원리라고 알려져 있습니다. 이 정의에서, x는 반드시 실수(real number)일 필요는 없지만, 일반적으로 임의의 벡터 공간(vector space)의 원소(element)일 수 있습니다. 선형 맵의 정의와 일치하지 않는, 선형 함수(linear function)의 더 특별한 정의는 초등 수학에서 사용됩니다 (아래를 참조하십시오).

단독으로 덧셈성은 유리수(rational) α에 대해 동차성을 의미하는데, 왜냐하면 $f(x+x)=f(x)+f(x)$ 는 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 임의의 자연수(natural number) n에 대해 $f(nx)=nf(x)$ 를 의미하고, 그런-다음 $nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)$ 는 $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ 를 의미합니다. 실수에서 유리수의 밀도(density)는 임의의 덧셈 연속 함수(continuous function)가 임의의 실수 α에 대해 동차성이고, 따라서 선형임을 의미합니다.

선형성의 개념은 선형 연산자(operators)로 확장될 수 있습니다. 선형 연산자의 중요한 예제는 미분 연산자로 고려된 도함수(derivative)와 del과 Laplacian과 같이 이것으로부터 구성된 다른 연산자를 포함합니다. 미분 방정식이 선형 형식으로 표현될 수 있을 때, 그것은 일반적으로 방정식을 더 작은 조각으로 나누고, 그들 각 조각을 풀고, 해를 합산하여 해결될 수 있습니다.

선형 대수(linear algebra)은 벡터(vectors), 벡터 공간(vector space) ('선형 공간'이라고도 함), 선형 변환(linear transformation) ('선형 맵'이라고도 함), 및 선형 방정식 시스템의 연구와 관련된 수학의 한 가지입니다.

선형과 비선형 방정식의 설명에 대해 선형 방정식(linear equation)을 참조하십시오.

Linear polynomials

위의 정의와 다른 사용법에서, 차수 1의 다항식(polynomial)은 선형이라고 하는데, 왜냐하면 해당 형식의 함수 그래프(graph of a function)가 직선이기 때문입니다.^[2]

실수에 걸쳐, 선형 방정식(linear equation)은 다음 형식 중 하나입니다:

f(x)=mx+b\

여기서 m은 종종 기울기(slope) 또는 그래디언트(gradient)라고 불립니다; b는 함수의 그래프와 y-축 사이의 교차점을 제공하는 y-절편(y-intercept)입니다.

용어 선형의 사용법은 위의 섹션에서와 같지 않은데, 왜냐하면 실수에 걸쳐 선형 다항식은 일반적으로 덧셈성 또는 동차성을 만족시키지 않기 때문임을 주목하십시오. 사실, 그것들은 그렇게 되는 것과 b = 0는 필요충분(iff) 조건입니다. 따라서, b ≠ 0이면, 그 함수는 종종 아핀 함수(affine function)라고 합니다 (더 큰 일반화에서 아핀 변환(affine transformation)을 참조하십시오).

Boolean functions

Hasse diagram of a linear Boolean function

부울 대수(Boolean algebra)에서, 선형 함수는 다음을 만족하는 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ 가 존재하는 함수 $f$ 입니다:

f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})

, where

b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.

만약 $a_{0}=1$ 이면, 위의 함수는 선형 대수에서 아핀으로 고려됨을 주목하십시오 (즉, 선형이 아닙니다).

부울 함수는 다음 중 하나가 함수의 진리 테이블(truth table)을 유지하면 선형입니다:

함수의 진리값이 T인 모든 각 행에서, 인수에 할당된 홀수 개의 T가 있고, 함수가 F인 모든 각 행에서 인수에 할당된 짝수 개의 T가 있습니다. 구체적으로 특별히, f(F, F, ..., F) = F이고 이들 함수는 부울 벡터 공간에 걸쳐 선형 맵(linear map)에 해당합니다.
함수의 값이 T인 모든 각 행에서, 함수의 인수에 할당된 짝수 개의 T가 있습니다; 그리고 함수의 진리값(truth value)이 F인 모든 각 행에서 인수에 할당된 홀수 개의 T가 있습니다. 이 경우에서, f(F, F, ..., F) = T입니다.

이것을 표현하기 위한 또 다른 방법은 각 변수가 항상 연산의 진리값(truth value)에 차이를 만들거나 결코 차이를 만들지 않는다는 것입니다.

부정(Negation), 논리적 쌍조건(Logical biconditional), 배타적 or(exclusive or), 동의어-반복(tautology), 및 모순은 선형 함수입니다.

Physics

물리학(physics)에서, 선형성은 많은 시스템을 지배하는 미분 방정식(differential equations)의 속성입니다; 예를 들어, 맥스웰 방정식(Maxwell equations) 또는 확산 방정식(diffusion equation) 등이 있습니다.^[3]

동차 미분 방정식의 선형성은 두 함수 f와 g가 방정식의 해이면, 임의의 선형 조합(linear combination) af + bg도 마찬가지임을 의미합니다.

계측에서, 선형성은 입력 변수에서 주어진 변화가 측정 장치의 출력에서 같은 변화를 준다는 것을 의미합니다: 이것은 과학 연구에서 매우 바람직합니다. 일반적으로, 계측기는 특정 범위에 걸쳐 선형에 가깝고, 해당 범위 내에서 가장 유용합니다. 대조적으로, 인간의 감각은 매우 비선형적입니다: 예를 들어, 뇌는 들어오는 빛이 특정 절대 임계(absolute threshold) 광자 수를 초과하지 않은 한 들어오는 빛을 완전히 무시합니다.

Electronics

전자 공학(electronics)에서, 트랜지스터(transistor)와 같은 장치의 선형 작동 영역은 출력 종속 변수(dependent variable) (예를 들어 트랜지스터 컬렉터 전류)가 입력 종속 변수 (예를 들어 기본 전류)에 비례(proportional)하는 곳입니다. 이것은 아날로그 출력이 전형적으로 더 높은 진폭 (증폭됨)과 함께 입력의 정확한 표현함을 보증하며, 선형 장비의 전형적인 예는 파형을 변경없이 신호를 증폭해야 하는 높은 충실도(high fidelity) 오디오 증폭기(audio amplifier)입니다. 다른 것들은 선형 필터(linear filter)와 일반적으로 선형 증폭기(linear amplifier)입니다.

수학적 응용과 구별될 때, 대부분의 과학(scientific)과 기술 분야(technological)에서, 어떤 것이 만약 특성이 근사적이지만 정확히 직선은 아니면 선형으로 설명될 수 있습니다; 그리고 선형성은 특정 작동 영역 내에서만 유효할 수 있습니다 – 예를 들어, 높은-충실도 증폭기는 작은 신호를 왜곡할 수 있지만, 수용될 만큼 충분히 적습니다 (수용될 수 있지만 불완전한 선형성); 그리고 만약 입력이 특정 값을 초과하면 매우 심하게 왜곡될 수 있습니다.^[4]

Integral linearity

한 양을 또 다른 양으로 변환하는 전자 장치 (또는 다른 물리적 장치)에 대해, Bertram S. Kolts는 다음과 같이 씁니다:^[5]^[6]

공통적인 사용에서 적분 선형성에 대해 세 가지 기본 정의가 있습니다: 독립 선형성, 영-기반 선형성, 및 종단 또는 끝점 선형성입니다. 각 경우에서, 선형성은 지정된 작동 범위에 걸쳐 장치의 실제 성능이 직선에 얼마나 근접하는지로 정의합니다. 선형성은 보통 이상적인 직선으로부터의 편차, 또는 비-선형성의 관점에서 측정되고 전형적으로 전체 스케일(full scale)의 백분율ㅡ 또는 전체 스케일의 ppm (백만분의 일)으로 표시됩니다. 전형적으로, 직선은 데이터의 최소-제곱 피팅을 수행함으로써 얻습니다. 세 가지 정의는 실제 장치의 성능을 기준으로 직선이 배치되는 방식에 따라 다릅니다. 역시, 이들 세 가지 정의는 모두 실제 장치의 성능 특성에 존재할 수 있는 임의의 이득, 또는 오프셋 오류를 무시합니다.

Military tactical formations

군사 전술 대형(military tactical formations)에서, "선형 대형"은 권총 사수에 의해 보호되는 지골과 같은 단창(pike)에서 시작하여, 점차적으로 적은 수의 창에 의해 보호된 얕은 권총 대형으로 조정되었습니다. 이러한 종류의 형성은 Wellington의 'Thin Red Line' 시대에 극단까지 점진적으로 얇아졌습니다. 그것은 결국 포미-장전(breech-loading) 소총(rifle)의 발명으로 병사들이 어떤 형태의 대규모 대형도 지원하지 않는 소규모 이동 유닛으로 이동 및 사격할 수 있게 되자 소규모 교전 명령(skirmish order)으로 대체되었습니다.

Art

Linear는 스위스 미술 역사가 Heinrich Wölfflin에 의해 "고전", 또는 르네상스 미술(Renaissance art)을 바로크(Baroque)와 구별하기 위해 제안한 5가지 범주 중 하나입니다. Wölfflin에 따르면, 15세기와 16세기 초반의 화가 (Leonardo da Vinci, Raphael 또는 Albrecht Dürer)는 모양(shape)을 만들기 위해 주로 윤곽선을 사용하기 때문에 17세기의 "회화적인(painterly)" 바로크 화가 (Peter Paul Rubens, Rembrandt, 및 Velázquez)보다 선형입니다.^[7] 예술에서 선형성은 디지털 아트(digital art)에서도 참조될 수 있습니다. 예를 들어, 하이퍼텍스트 소설(hypertext fiction)은 비선형 이야기체(nonlinear narrative)의 예제가 될 수 있지만, 역시 선형 경로를 따라 지정되고 조직화된 방식으로 이동하도록 설계된 웹사이트도 있습니다.

Music

음악에서 선형 측면은 동시성(simultaneity) 또는 버티컬(vertical) 측면과 반대되는 음정(interval) 또는 멜로디(melody)의 연속입니다.

In statistics

References

^ Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.
^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8, Section 1.2
^ Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
^ Whitaker, Jerry C. (2002). The RF transmission systems handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
^ Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity" (PDF). analogZONE. Archived from the original (PDF) on February 4, 2012. Retrieved September 24, 2014.
^ Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30–31. Retrieved September 25, 2014.
^ Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (ed.). Principles of Art History: The Problem of the Development of Style in Later Art. New York: Dover. pp. 18–72.

External links

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[1] Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.

[2] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8, Section 1.2

[3] Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, vol. 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943

[Whitaker-4] Whitaker, Jerry C. (2002). The RF transmission systems handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.

[5] Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity" (PDF). analogZONE. Archived from the original (PDF) on February 4, 2012. Retrieved September 24, 2014.

[6] Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30–31. Retrieved September 25, 2014.

[7] Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (ed.). Principles of Art History: The Problem of the Development of Style in Later Art. New York: Dover. pp. 18–72.

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