Transpose

Original article: w:Transpose

This article is about the transpose of matrices and linear operators. For other uses, see Transposition (disambiguation).

The transpose A^T of a matrix A can be obtained by reflecting the elements along its main diagonal. Repeating the process on the transposed matrix returns the elements to their original position.

선형 대수(linear algebra)에서, 행렬(matrix)의 전치(transpose)는 행렬을 대각선에 걸쳐 뒤집는 연산자입니다; 즉, 그것은 (다른 표기법 중에서) 종종 A^T로 표시되는 또 다른 행렬을 생성함으로써 행렬 A의 행과 열 인덱스를 전환합니다.

행렬의 전치는 1858년 영국 수학자 아서 케일리(Arthur Cayley)에 의해 소개되었습니다. 이항 관계(binary relation) R을 나타내는 논리적 행렬(logical matrix)의 경우에서, 전치는 전환 관계(converse relation) R^T에 해당합니다.

Transpose of a matrix

Note that this article assumes that matrices are taken over a commutative ring. These results may not hold in the non-commutative case.

Definition

행렬 A의 전치는, A^T, ^⊤A, A^⊤, $A^{\intercal }$, A′, A^tr, ^tA, 또는 A^t로 표시되며, 다음 방법 중 임의의 하나로 구성될 수 있습니다:

1. A^T를 얻기 위해 주요 대각선 (왼쪽-꼭대기에서 아래쪽-바닥까지)에 걸쳐 반사합니다.
2. A의 행을 A^T의 열로 씁니다.
3. A의 열을 A^T의 행으로 씁니다.

형식적으로, A^T의 i-번째 행, j-번째 열 원소는 A의 j-번째 행, i-번째 열 원소입니다:

$\left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.$

만약 A가 m × n 행렬이면, A^T는 n × m 행렬입니다.

정사각 행렬의 경우에서, A^T는 행렬 A의 T번째 거듭제곱을 나타낼 수도 있습니다. 가능한 혼동을 피하기 위해, 많은 저자는 왼쪽 위첨자를 사용하며, 즉, 전치를 ^TA로 나타냅니다. 이 표기법의 장점은 지수가 포함될 때 괄호가 필요하지 않다는 것입니다: (^TA)ⁿ = ^T(Aⁿ)이므로 표기법 ^TAⁿ은 모호하지 않습니다.

이 기사에서, 기호 T를 변수(variable) 이름으로 사용하지 않음으로써 이러한 혼동을 피합니다.

Matrix definitions involving transposition

전치가 자체와 같은 정사각 행렬은 대칭 행렬(symmetric matrix)이라고 불립니다; 즉, A는 만약 다음이면, 대칭입니다:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .$

전치가 음수와 같은 정사각 행렬은 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)이라고 불립니다; 즉, A는 다음이면 반-대칭입니다:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .$

전치가 복소수 켤레 (여기서 윗-줄로 표시됨)로 대체된 모든 각 엔트리를 갖는 행렬과 같은 정사각 복소 행렬은 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이라고 불립니다 (행렬이 그것의 켤레 전치와 같습니다): 즉, A는 만약 다음이면 에르미트입니다:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.$

전치가 그것의 켤레 복소수의 부정과 같은 정사각 복소 행렬은 반-에르미트 행렬(skew-Hermitian matrix)이라고 불립니다; 즉, A는 만약 다음이면 반-대칭 에르미트입니다:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.$

전치가 그것의 역(inverse)과 같은 정사각 행렬은 직교 행렬(orthogonal matrix)이라고 불립니다; 즉, A는 만약 다음이면 직교입니다:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.$

전치가 그것의 켤레 역과 같은 정사각 복소 행렬은 유니태리 행렬(unitary matrix)이라고 불립니다; 즉, A는 만약 다음이면 유니태리입니다:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.$

Examples

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Properties

A와 B를 행렬이라고 놓고 c를 스칼라(scalar)라고 놓습니다.

1. $\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .$

   전치를 취하는 연산은 인볼루션 (자기-역)입니다.

2. $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.$
   전치는 덧셈을 존중합니다.
3. $\left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
   인수의 순서가 역전됨에 주목하십시오. 이것으로부터, square matrix A가 역가능인 것과 A^T가 역가능인 것은 필요충분 조건임을 추론할 수 있고, 이 경우에서 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹를 가집니다. 귀납법에 의해, 이 결과는 여러 행렬의 일반적인 경우로 확장되며, 여기서 우리는 (A₁A₂...A_k−1A_k)^T = A_k^TA_k−1^T…A₂^TA₁^T임을 찾습니다.
4. $\left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
   스칼라의 전치는 같은 스칼라입니다. (2)와 함께, 이것은 전치가 m × n 행렬의 공간에서 모든 n × m 행렬의 공간으로의 선형 맵임을 말합니다.
5. $\det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).$
   정사각 행렬의 행렬식은 그것의 전치의 행렬식과 같습니다.
6. 두 열 벡터 a와 b의 점 곱은 행렬 곱의 단일 엔트리로 계산될 수 있습니다:
   $\left[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} ,$
   이는 아인슈타인 합 규칙에서 a_i bⁱ로 씁니다.
7. 만약 A가 오직 실수 엔트리를 가지면, A^TA는 양의 반-한정 행렬입니다.
8. $\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.$

   역가능 행렬의 전치는 역시 역가능이고, 그것의 역은 원래 행렬의 역의 전치입니다. 표기법 A^−T은 때때로 이들 동등한 표현 중 하나를 표현하기 위해 사용됩니다.

9. 만약 A가 정사각 행렬이면, 그것의 고윳값(eigenvalues)은 그것의 전치의 고윳값과 같은데, 왜냐하면 그것들은 같은 특성 다항식을 공유하기 때문입니다.

Products

만약 A가 m × n 행렬이고 A^T가 그것의 전치이면, 이들 두 행렬을 갖는 행렬 곱셈(matrix multiplication)의 결과는 두 개의 정사각 행렬을 제공합니다: A A^T는 m × m 행렬이고 A^T A는 n × n 행렬입니다. 게다가, 이들 곱은 대칭 행렬(symmetric matrices)입니다. 실제로, 행렬 곱 A A^T는 A의 행과 A^T의 열의 안의 곱(inner product)인 엔트리를 가집니다. 그러나 A^T의 열은 A의 행이므로, 그 엔트리는 A의 두 행의 안의 곱에 해당합니다. 만약 p_{i j}가 그 곱의 엔트리이면, 그것은 A에서 행 i와 열 j에 의해 얻습니다. 엔트리 p_{j i}는 역시 이들 행에서 얻어지고, 따라서 p_{i j} = p_{j i}이고, 곱 행렬 p_{i j}는 대칭입니다. 유사하게, 곱 A^T A는 대칭 행렬입니다.

A A^T의 대칭성에 대한 빠른 증명은 그것이 자체 전치라는 사실에서 비롯됩니다:

$\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$

Implementation of matrix transposition on computers

See also: In-place matrix transposition

Illustration of row- and column-major order

컴퓨터에서, 종종 단순히 같은 데이터를 다른 순서로 접근함으로써 메모리(memory)에서 행렬을 명시적으로 전치하는 것을 피할 수 있습니다. 예를 들어, BLAS와 같은 선형 대수(linear algebra)에 대한 소프트웨어 라이브러리는 전형적으로 데이터 이동의 필요성을 피하기 위해 특정 행렬을 전치 순서로 해석하도록 지정하는 옵션을 제공합니다.

어쨌든, 메모리의 행렬을 그것의 전치된 순서화로 물리적으로 재정렬하는 것이 필요하거나 바람직한 여러 상황이 남아 있습니다. 예를 들어, 행-우선 순서(row-major order)로 저장된 행렬과 함께, 행렬의 행은 메모리에서 연속되고 열은 연속되지 않습니다. 만약 예를 들어, 빠른 푸리에 변환(fast Fourier transform) 알고리듬에서 열에 대해 반복된 연산을 수행해야 하면, (열을 연속적으로 만들기 위해) 메모리에서 행렬을 전치하면 메모리 집약성(memory locality)을 증가함으로써 성능을 개선할 수 있습니다.

이상적으로, 최소한의 추가 저장 공간으로 행렬을 전치하는 것을 희망할 수 있습니다. 이로 인해 O(1) 추가 저장장치 또는 기껏해야 mn보다 훨씬 적은 저장장치로 n × m 행렬을 제자리(in-place)에서 전치하는 문제가 발생합니다. n ≠ m에 대해, 여기에는 제자리 구현이 쉽지 않은 데이터 원소의 복잡한 순열(permutation)이 포함됩니다. 그러므로, 효율적인 제자리 행렬 전치(in-place matrix transposition)는 1950년대 후반부터 시작하여 컴퓨터 과학 분야에서 수많은 연구 출판물의 주제였고, 여러 알고리듬이 개발되어 왔습니다.

Transposes of linear maps and bilinear forms

See also: Transpose of a linear map

행렬의 주요 용도는 유한-차원 벡터 공간(finite-dimensional vector spaces) 사이의 선형 맵을 나타내는 것이므로, 전치는 선형 맵 위에 일부 연산의 표현으로 볼 수 있는 행렬 위에 연산입니다.

이것은 심지어 선형 맵이 행렬로 표현될 수 없을 때 (예를 들어, 무한-차원 벡터 공간의 경우), 모든 각 선형 맵 위에 작동하는 전치의 훨씬 더 일반적인 정의로 이어집니다. 유한 차원의 경우에서, 선형 맵의 전치를 나타내는 행렬은 기저(basis) 선택과 독립적으로 선형 맵을 나타내는 행렬의 전치입니다.

Transpose of a linear map

Main article: Transpose of a linear map

X^#이 R-모듈 X의 대수적 이중 공간을 나타낸다고 놓습니다. X와 Y를 R-모듈이라고 놓습니다. 만약 u : X → Y가 선형 맵(linear map)이면, 그것의 대수적 인접(algebraic adjoint) 또는 이중(dual)은 f ↦ f ∘ u에 의해 정의된 맵 u^# : Y^# → X^#입니다. 결과 함수 u^#(f)는 u에 의한 f의 당김(pullback)이라고 불립니다. 다음 관계는 u의 대수적 인접을 특징짓습니다:

⟨u^#(f), x⟩ = ⟨f, u(x)⟩ for all f ∈ Y^# and x ∈ X

여기서 ⟨•, •⟩는 자연스러운 쌍화(natural pairing)입니다 (즉, ⟨h, z⟩ := h(z)에 의해 정의됩니다). 이 정의는 역시 왼쪽 모듈과 벡터 공간에도 변경되지 않고 적용됩니다.

전치의 정의는 인접 (아래)과 달리 모듈의 쌍선형 형식과 독립적인 것으로 볼 수 있습니다.

토폴로지적 벡터 공간 (TVS) X의 연속 이중 공간은 X'로 표시됩니다. 만약 X와 Y가 TVS이면 선형 맵 u : X → Y가 약하게 연속인 것과 u^#(Y') ⊆ X'인 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서, ^tu : Y' → X'가 u^#에서 Y'로의 제한을 나타내도록 합니다. 맵 ^tu는 u의 전치라고 불립니다.

만약 행렬 A가 V와 W의 기저(bases)에 관한 선형 맵을 설명하면, 행렬 A^T는 이중 기저(dual bases)에 관한 해당 선형 맵의 전치를 설명합니다.

Transpose of a bilinear form

Main article: Bilinear form

이중 공간 u : X → X^#에 대한 모든 각 선형 맵은 관계 B(x, y) = u(x)(y)와 함께 쌍선형 형식 B : X × X → F를 정의합니다. 이 쌍선형 형식의 전치를 전치 ^tu : X^## → X^#에 의해 정의된 쌍선형 형식 ^tB로 정의함으로써, 즉, ^tB(y, x) = ^tu(Ψ(y))(x)로써, 우리는 B(x, y) = ^tB(y, x)임을 찾습니다. 여기서, Ψ는 두배 이중(double dual)에 대한 자연스러운 준동형(homomorphism) X → X^##입니다.

Adjoint

Not to be confused with Hermitian adjoint.

만약 벡터 공간 X와 Y가 각각 비-퇴화 쌍선형 형식 B_X와 B_Y를 가지면, 전치와 밀접하게 관련된 인접(adjoint)으로 알려진 개념이 정의될 수 있습니다:

만약 u : X → Y가 벡터 공간(vector spaces) X와 Y 사이의 선형 맵(linear map)이면, g를 만약 g : Y → X가 다음을 만족시키면 u의 인접(adjoint)으로 정의합니다:

$B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}$ for all x ∈ X and y ∈ Y.

이들 쌍선형 형식은 X와 X^# 사이, 및 Y와 Y^# 사이의 동형(isomorphism)을 정의하여, u의 전치와 인접 사이의 동형을 초래합니다. 맵의 인접의 행렬은 기저(bases)가 그것들의 쌍선형 형식에 관해 직교정규(orthonormal)인 경우에만 전치된 행렬입니다. 이 맥락에서, 많은 저자는, 어쨌든, 여기에 정의된 인접(djoint)을 참조하기 위해 전치(transpose)라는 용어를 사용합니다.

인접을 사용하면 g : Y → X가 u⁻¹ : Y → X와 같은지 여부를 고려할 수 있습니다. 특히, 이것은 행렬을 참조 없이 (그것으로부터 성분의 참조 없이) 인접이 역과 같은 모든 선형 맵 X → X의 집합으로 정의될 수 있는 이차 형식을 갖는 벡터 공간 X에 걸쳐 직교 그룹(orthogonal group)을 허용합니다.

복소 벡터 공간에 걸쳐, 종종 쌍선형 형식 대신 반쌍선형 형식(sesquilinear form) (하나의 인수에서 켤레-선형)으로 작업합니다. 그러한 공간 사이의 맵의 에르미트 인접(Hermitian adjoint)은 유사하게 정의되고, 에르미트 인접의 행렬은 만약 기저가 직교정규이면 켤레 전치 행렬에 의해 제공됩니다.

See also

• Adjugate matrix, the transpose of the cofactor matrix
• Conjugate transpose
• Moore–Penrose pseudoinverse
• Projection (linear algebra)

Further reading

• Template:Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
• Maruskin, Jared M. (2012). Essential Linear Algebra. San José: Solar Crest. pp. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Schwartz, Jacob T. (2001). Introduction to Matrices and Vectors. Mineola: Dover. pp. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

External links

• Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware