Multiplicative inverse

수학(mathematics)에서, 숫자 x에 대해 곱셈의 역(multiplicative inverse) 또는 역수(reciprocal)는, 1/x 또는 x⁻¹로 표시되며, x에 의해 곱해질(multiplied) 때 곱셈의 항등원(multiplicative identity), 1을 산출하는 숫자입니다. 분수(fraction) a/b의 곱셈의 역은 b/a입니다. 실수의 곱셈의 역에 대해, 1을 숫자로 나눕니다. 예를 들어, 5의 역수는 오분의 일 (1/5 또는 0.2)이고, 0.25의 역수는 1을 0.25로 나누거나, 4입니다. 역수 함수(reciprocal function), x를 1/x로 매핑하는 함수 f(x)는, 그것 자신의 역 (인볼루션(involution)인 함수의 가장-간단한 예제 중 하나입니다.

숫자를 곱하는 것은 그것의 역수로 나누는(dividing) 것과 같고 반대도 마찬가지입니다. 예를 들어, 4/5 (또는 0.8)에 의한 곱셈은 5/4 (또는 1.25)에 의한 나눗셈과 같은 결과를 제공할 것입니다. 그러므로, 숫자에 의한 곱셈의 결과를 숫자의 역수의 곱셈은 원래 숫자를 산출합니다 (왜냐하면 그것들의 곱은 1이기 때문입니다).

용어 역수(reciprocal)는 그의 곱이 1인 두 숫자를 설명하기 위해 적어도 브리태니커 백과사전(Encyclopædia Britannica) (1797)의 제 3판까지 먼 옛날로 거슬러 올라가 공통적으로 사용되었습니다; 반 비례의 기하학적 양은 유클리드(Euclid)의 원론(Elements) 1570 번역에서 역수(reciprocall)로 설명됩니다.^[1]

구문 곱셈의 역(multiplicative inverse)에서, 한정어 곱셈의(multiplicative)는 종종 생략되고 그때에 암묵적으로 이해됩니다 (덧셈의 역(additive inverse)과 대조적입니다). 곱셈의 역은 숫자뿐만 아니라 많은 수학적 도메인에 걸쳐 정의될 수 있습니다. 이들 경우에서, ab ≠ ba가 일어날 수 있습니다; 그때에 "역(inverse)"은 전형적으로 원소가 왼쪽과 오른쪽 역(inverse) 둘 다임을 의미합니다.

표기법 f ⁻¹은 때때로 역시 함수 f의 역 함수(inverse function)에 사용되며, 일반적으로 곱셈의 역과 같지 않습니다. 예를 들어, 곱셈의 역 1/(sin x) = (sin x)⁻¹은 x의 코시컨트(cosecant)이고, sin⁻¹ x 또는 arcsin x로 표시되는, x의 역 사인(inverse sine of x)은 그렇지 않습니다. 단지 선형 맵에 대해 그것들은 강하게 관련됩니다 (아래를 참조하십시오). 용어 역수(reciprocal)와 역(inverse)의 차이는 이 구별을 만들기에 충분하지 않는데, 왜냐하면 많은 저자들이, 아마도 역사적인 이유로, 반대 이름-짓는 규칙을 선호하기 때문입니다 (예를 들어 프랑스어(French)에서, 역 함수는 전단사 역수(bijection réciproque)로 불리는 것을 선호합니다).

Examples and counterexamples

실수에서, 영(zero)은 역수를 가지지 않는데 왜냐하면 0에 곱해진 실수는 1을 생성하지 않기 때문입니다 (영과 함께 임의의 숫자의 곱은 영입니다). 0을 제외하고, 모든 각 실수(real number)의 역수는 실수, 모든 각 유리수(rational number)의 역수는 유리수이고, 모든 각 복소수(complex number)의 역수는 복소수입니다. 영 이외의 모든 각 원소가 곱셈의 역을 갖는 속성은 필드(field)의 정의의 일부이며, 이것들이 그것의 모든 예제입니다. 다른 한편으로, 1과 −1 이외의 정수(integer)는 정수 역수를 가지지 않으므로, 정수는 필드가 아닙니다.

모듈러 산술(modular arithmetic)에서, a의 모듈러 곱셈의 역(modular multiplicative inverse)은 역시 정의됩니다: 그것은 ax ≡ 1 (mod n)를 만족하는 숫자 x입니다. 이 곱셈의 역이 존재하는 것과 a와 n이 서로소(coprime)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 예를 들어, 3 모듈로 11의 역은 4인데 4 · 3 ≡ 1 (모드 11)이기 때문입니다. 확장된 유클리드 알고리듬(extended Euclidean algorithm)은 그것을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

스데니언(sedenion)은 대수이며, 이것에서 모든 각 비-영 원소는 곱셈의 역을 가지지만, 그럼에도 불구하고 영의 나눗셈을 가지며, 즉, xy = 0를 만족하는 비-영 원소 x, y를 가집니다.

정사각 행렬(square matrix)이 역을 가지는 것과 그것의 행렬식(determinant)이 계수 링(ring)에서 역을 가지는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 일부 기저에 관한 행렬 A⁻¹를 가지는 선형 맵은 그런-다음 같은 기저에서 행렬로 A를 가지는 맵의 역수 함수입니다. 따라서, 함수의 역의 두 구별되는 개념은 이 의미에서 강하게 관련되지만, 그것들은 (위에서 언급된 것처럼) 일반적인 경우에서 주의 깊게 구별되어야 합니다.

삼각 함수(trigonometric functions)는 역수 항등식에 의해 관련됩니다: 코탄젠트는 탄젠트의 역수입니다; 시컨트는 코사인의 역수입니다; 코시컨트는 사인의 역수입니다.

모든 각 비-영 원소가 곱셈의 역을 가지는 링은 나눗셈 링(division ring)입니다; 마찬가지로 이것이 유지되는 대수(algebra)는 나눗셈 대수(division algebra)입니다.

Complex numbers

위에서 언급된 것처럼, 모든 각 비-영 복소수 $z = a + bi$ 의 역수는 복소수입니다. 그것은 1/z의 위와 아래 둘 다에 그것의 복소 켤레(complex conjugate) ${\bar {z}}=a-bi$ 를 곱하고 $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$ , z의 절댓값(absolute value)의 제곱, 결과가 실수 $a 2 + b 2$ 인 속성을 사용함으로써 구할 수 있습니다:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.

다음이라는 직관은

{\frac {\bar {z}}{\|z\|}}

1의 값으로 줄어든 크기(magnitude)를 갖는 복소 켤레(complex conjugate)를 제공하므로, 다시 $\|z\|$ 로 나누는 것은 크기가 이제 마찬가지로 원래 크기의 역수와 같아짐을 보장하며, 따라서:

{\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}

특히, 만약 ||z||=1이면 (z가 단위 크기를 가지면), $1/z={\bar {z}}$ 입니다. 결론적으로, 허수 단위(imaginary unit), ± $i$ 는 곱셈의 역과 같은 덧셈의 역(additive inverse)을 가지고, 이 속성을 갖는 유일한 복소수입니다. 예를 들어, $i$ 의 덧셈과 곱셈의 역은 각각 −( $i$ ) = − $i$ 및 1/ $i$ = − $i$ 입니다.

극 형식 $z = r (cos φ + i sin φ)$ 에서 복소수에 대해, 역수는 간단히 크기를 역수로 취하고 각도의 음수로 취합니다:

{\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).

Calculus

실수 미적분(calculus)에서, $1/ x = x -1$ 의 도함수(derivative)는 거듭제곱 −1을 갖는 거듭제곱 규칙(power rule)에 의해 제공됩니다:

{\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.

적분에 대해 거듭제곱 규칙 (카바리에리의 구적법 공식(Cavalieri's quadrature formula))은 1/x의 적분을 계산하기 위해 사용될 수 없는데, 왜냐하면 그렇게 하는 것은 0에 의한 나눗셈을 초래하기 때문입니다:

\int {\frac {1}{x}}\,dx={\frac {x^{0}}{0}}\ +C

대신에 적분은 다음에 의해 제공됩니다:

\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,

\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C.

여기서 ln은 자연 로그(natural logarithm)입니다. 이것을 보이기 위해, ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ 이므로, 만약 $y=e^{x}$ 및 $x=\ln y$ 이면, 우리가 다음을 가짐을 주목하십시오:^[2]

{\frac {dy}{dx}}=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y}}=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=x+C=\ln y+C.

Algorithms

역수는 긴 나눗셈(long division)의 사용과 함께 손으로 계산될 수 있습니다.

역수를 계산하는 것은 많은 나눗셈 알고리듬(division algorithm)에서 중요한데, 왜냐하면 몫 a/b는 먼저 1/b을 계산하고 그런-다음 그것에 a를 곱함으로써 계산될 수 있기 때문입니다. $f(x)=1/x-b$ 가 x = 1/b에서 영(zero)을 가짐에 주목하여, 뉴턴의 방법(Newton's method)이 추측 $x_{0}$ 에서 시작하고 규칙을 반복적으로 사용하여 해당 영을 찾을 수 있습니다:

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).

이것은 요구된 정밀도가 도달할 때까지 계속됩니다. 예를 들어, 우리가 3 정밀도의 자릿수를 갖는 1/17 ≈ 0.0588을 계산하기를 원한다고 가정합니다. x₀ = 0.1을 취하면, 다음 수열이 생성됩니다:

x₁ = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03

x₂ = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447

x₃ = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554

x₄ = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586

x₅ = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588

전형적인 초기 추측은 b를 가까운 2의 거듭제곱으로 반올림하고, 그런-다음 그것의 역수를 계산하기 위해 비트 시프트(bit shift)를 사용함으로써 구할 수 있습니다.

구성 수학(constructive mathematics)에서, 실수 x에서 역수를 가지기 위해, x ≠ 0인 것으로 충분하지 않습니다. 대신에 0 < r < |x|를 만족하는 유리수 r이 주어져야 합니다. 위에 설명된 근사 알고리듬(algorithm)의 측면에서, 이것은 y에서 변화가 결국 임의적으로 작아질 것임을 입증하기 위해 필요합니다.

이 반복은 역시 더 넓은 종류의 역으로 일반화될 수 있습니다; 예를 들어, 행렬 역(matrix inverses)이 있습니다.

Reciprocals of irrational numbers

영을 제외한 모든 각 실수 또는 복소수는 역수를 가지고, 특정 무리수(irrational number)의 역수는 중요한 특별한 속성을 가질 수 있습니다. 예제는 e의 역수 (≈ 0.367879)와 황금 비율의 역수(golden ratio's reciprocal) (≈ 0.618034)를 포함합니다. 첫 번째 역수는 특별한데 왜냐하면 다른 양의 숫자가 자체의 거듭제곱을 놓을 때 더 작은 숫자를 생성할 수 없기 때문입니다; $f(1/e)$ 은 $f(x)=x^{x}$ 의 전역 최솟값(global minimum)입니다. 두 번째 숫자는 그것의 역수 더하기 일과 같은 유일한 양의 숫자입니다. 그것의 덧셈의 역은 그것의 역수 빼기 1과 같은 유일한 음수입니다: $-\varphi =-1/\varphi -1$ .

함수 $f(n)=n+{\sqrt {(n^{2}+1)}},n\in \mathbb {N} ,n>0$ 는 그것들의 역수와 정수만큼 다른 무리수의 무한 숫자를 제공합니다. 예를 들어, $f(2)$ 는 무리수 $2+{\sqrt {5}}$ 입니다. 그것의 역수 $1/(2+{\sqrt {5}})$ 는 정확히 4 작은 $-2+{\sqrt {5}}$ 입니다. 그러한 무리수는 분명한 속성을 고유합니다: 그것들은 그것들의 역으로 같은 분수 부분(fractional part)을 가지는데, 왜냐하면 이들 숫자는 정수만큼 다르기 때문입니다.

Further remarks

만약 곱셈이 결합적이면, 곱셈 역을 갖는 원소 x는 영 제수(zero divisor)가 될 수 없습니다 (x는 만약 일부 비-영 y가 xy = 0이면 영 제수입니다). 이를 보려면 방정식 xy = 0에 x의 역 (왼쪽)을 곱한 다음 연관성을 사용하여 단순화하면 됩니다. 연관성이 없는 경우, sedenions는 반례를 제공합니다. 이것을 보이기 위해, 방정식 xy = 0에 x의 역을 (왼쪽 변에) 곱하고, 그런-다음 결합성을 사용하여 단순화하는 것으로 충분합니다. 결합성의 부재에서, 스데니언(sedenion)은 반대-예제를 제공합니다.

그 전환은 유지되지 않습니다: 영 제수(zero divisor)가 아닌 원소는 곱셈의 역을 가지는 것을 보장하지 않습니다. Z 내에서, −1, 0, 1을 제외한 모든 정수는 예제를 제공합니다; 그것들은 영 제수도 아니고 그것들은 Z에서 역을 가지지도 않습니다. 만약 링 또는 대수가 유한(finite)이면, 어쨌든, 영 제수가 아닌 모든 원소 a는 (왼쪽과 오른쪽) 역을 가집니다. 먼저, 맵 f(x) = ax가 단사(injective)여야 함을 관찰하십시오: f(x) = f(y)는 x = y를 의미합니다:

{\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}

구별되는 원소는 구별되는 원소로 매핑하므로, 이미지는 같은 유한 숫자의 원소로 구성되고, 그 맵은 반드시 전사(surjective)입니다. 구체적으로 특별히, ƒ (즉 a에 의한 곱셈)는, x가 a에 대해 역, ax = 1이 되도록, 일부 원소 x를 1로 매핑해야 합니다.

Applications

임의의 밑수에서 역수 1/q의 확장은, 만약 q가 "적절한" 안전한 소수(safe prime), p가 역시 소수인 곳에서 형식 2p + 1의 소수이면, 역시 유사-무작위 숫자(pseudo-random numbers)의 원천으로 작용할 수 있습니다.^[3] 길이 q − 1의 유사-무작위 숫자의 수열은 확장에 의해 생성될 것입니다.

Notes

^ " In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.
^ Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx = lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. Retrieved 22 March 2013.
^ Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," Cryptologia 17, January 1993, 55–62.

References

Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992

[1] " In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.

[2] Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx = lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. Retrieved 22 March 2013.

[Mitchell-3] Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," Cryptologia 17, January 1993, 55–62.

[1]

[2]

[3]