Orthonormality

선형 대수(linear algebra)에서, 안의 곱 공간(inner product space)에서 두 벡터(vectors)는 만약 그것들이 직교(orthogonal) (또는 직선을 따라 수직) 단위 벡터(unit vector)이면 직교정규(orthonormal)입니다. 벡터의 집합은 만약 집합에서 모든 벡터가 서로 직교이고 모두 단위 길이이면 직교정규 집합을 형성합니다. 기저(basis)를 형성하는 직교정규 집합은 직교정규 기저(orthonormal basis)라고 불립니다.

Intuitive overview

벡터의 직교성(orthogonality of vectors)의 구성은 수직 벡터의 직관적인 개념을 고-차원 공간으로 확장하려는 욕구에 의해 동기가 부여됩니다. 데카르트 평면(Cartesian plane)에서, 두 벡터(vectors)는 만약 그것들 사이의 각도가 90°이면 (즉, 그것들이 직각(right angle)을 형성하면) 수직이라고 말합니다. 이 정의는 점 곱을 정의하고 평면에서 두 벡터가 만약 그것들의 점 곱(dot product)이 영이면 직교라고 지정함으로써 데카르트 공간에서 공식화될 수 있습니다.

유사하게, 벡터의 노름(norm)의 구성은 벡터의 길이(length)의 직관적인 개념을 고-차원 공간으로 확장하려는 욕구에 의해 동기가 부여됩니다. 데카르트 공간에서, 벡터의 노름은 벡터와 그 자체와 점 곱된 벡터의 제곱근입니다. 즉,

||\mathbf {x} ||={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}

선형 대수의 많은 중요한 결과는 둘 이상의 직교 벡터의 모음을 다룹니다. 그러나 종종, 단위 길이(unit length)의 벡터를 다루는 것이 더 쉽습니다. 즉, 그것은 종종 그것의 노름이 1과 같은 벡터를 오직 고려하기 위해 그것을 단순화합니다. 벡터의 직교 쌍을 오직 단위 길이의 그것들로 제한한다는 개념은 특별한 이름을 부여하기에 충분히 중요합니다. 직교이고 길이 1의 두 벡터는 직교정규라고 말합니다.

Simple example

2-D 유클리드 공간에서 한 쌍의 직교정규 벡터는 어떻게 생겼습니까?

u = (x₁, y₁)와 v = (x₂, y₂)라고 놓습니다. u와 v가 직교정규 쌍을 형성하는 데 요구된 x₁, x₂, y₁, y₂에 대한 제한을 생각해 보십시오.

직교성 제한에서, u • v = 0.
u에 대한 단위 길이 제한에서, ||u|| = 1.
v에 대한 단위 길이 제한에서, ||v|| = 1.

이들 항을 전개하면 3 방정식을 제공합니다:

$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$

데카르트를 극 좌표(polar coordinates)로 변환하고, 방정식 $(2)$ 와 방정식 $(3)$ 을 고려하면 즉시 결과 r₁ = r₂ = 1를 얻습니다. 다시 말해서, 벡터가 단위 길이여야 한다는 것은 벡터를 단위 원(unit circle) 위에 놓이도록 제한합니다.

치환 후, 방정식 $(1)$ 은 $\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0$ 가 됩니다. 재정렬하면 $\tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}$ 를 제공합니다. 삼각 항등식(trigonometric identity)을 코탄젠트(cotangent) 항을 변환하기 위해 사용하면 다음을 제공합니다:

\tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)

\Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}

평면에서 직교정규 벡터는 단순히 각도 차이가 90°와 같은 단위 원의 반지름임을 명확히 합니다.

Definition

${\mathcal {V}}$ 를 안의-곱 공간(inner-product space)으로 놓습니다. 다음 벡터의 집합이

\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}

다음인 것과 필요충분(iff) 조건이면 직교정규라고 불립니다:

\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}

여기서 $\delta _{ij}\,$ 는 크로네커 델타(크로네커 델타)이고 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 는 ${\mathcal {V}}$ 에 걸쳐 정의된 안의 곱(inner product)입니다.

Significance

직교정규 집합은 그 자체로는 특별히 중요하지 않습니다. 어쨌든, 그것들은 벡터 공간 위에 특정 연산자(operators)의 대각화-가능성(diagonalizability)의 개념을 탐구하는 데 기본이 되는 특정 기능을 표시합니다.

Properties

직교정규 집합은 매우 매력적인 속성을 가지며, 이것은 그것들을 특히 작업하기 쉽게 만듭니다.

정리. 만약 {e₁, e₂,...,e_n}가 벡터의 직교정규 목록이면, 다음입니다:

\forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];||a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}||^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}

정리. 벡터의 모든 각 직교정규 목록은 선형적으로 독립(linearly independent)입니다.

Existence

그람–슈미트 정리(Gram–Schmidt theorem). 만약 {v₁, v₂,...,v_n}가 안의-곱 공간 ${\mathcal {V}}$ 에서 벡터의 선형적으로 독립 목록이면, span(e₁, e₂,...,e_n) = span(v₁, v₂,...,v_n)을 만족하는 ${\mathcal {V}}$ 에서 벡터의 직교정규 목록 {e₁, e₂,...,e_n}이 존재합니다.

그람-슈미트 정리의 증명은 구성적(constructive)이고, 다른 곳에서 자세히 논의됩니다. 선택의 공리(axiom of choice)와 함께 그람-슈미트 정리는 모든 각 벡터 공간이 직교정규 기저를 허용함을 보장합니다. 이것은 아마도 직교정규성의 가장 중요한 사용인데, 왜냐하면 이 사실은 안의-곱 공간에 대한 연산자를 공간의 직교정규 기저 벡터에 대한 그것들의 행동의 관점에서 논의되도록 허용하기 때문입니다. 결과는 연산자의 대각화가능성과 그것이 직교정규 기저 벡터에 작용하는 방법 사이의 깊은 관계입니다. 이 관계는 스펙트럼 정리(Spectral Theorem)에 의해 특성화됩니다.

Examples

Standard basis

좌표 공간(coordinate space) Fⁿ에 대해 표준 기저(standard basis)는 다음입니다:

{e₁, e₂,...,e_n} 여기서	e₁ = (1, 0, ..., 0)
	e₂ = (0, 1, ..., 0)
	$\vdots$
	e_n = (0, 0, ..., 1)

임의의 두 벡터 e_i, e_j는, 여기서 i≠j, 직교이고 모든 벡터는 분명히 단위 길이입니다. 따라서 {e₁, e₂,...,e_n}는 직교정규 기저를 형성합니다.

Real-valued functions

실수(real)-값 함수(function)를 참조할 때, 보통 L² 안의 곱이 달리 명시되지 않은 한 가정됩니다. 두 함수 $\phi (x)$ 와 $\psi (x)$ 는 만약 다음이면 구간(interval) $[a,b]$ 에 걸쳐 직교정규입니다:

(1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}

(2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.

Fourier series

푸리에 급수(Fourier series)는 정현파 기저(basis) 함수의 관점에서 주기적 함수를 표현하는 한 방법입니다. C[−π,π]를 구간 [−π,π] 위에 연속인 모든 실수-값의 공간으로 취하고 안의 곱을 다음으로 취하십시오:

\langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx

다음이 직교정규 집합을 형성함을 보일 수 있습니다:

\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N}

어쨌든, 이것은 별로 중요하지 않은데, 왜냐하면 C[−π,π]가 무한-차원이고, 벡터의 유한 집합은 그것을 확장할 수 없기 때문입니다. 그러나, n이 유한하다는 제한을 제거하면 집합이 C[−π,π]에서 조밀(dense)해지고 따라서 C[−π,π]의 직교정규 기저가 됩니다.

Sources

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
Chen, Wai-Kai (2009), Fundamentals of Circuits and Filters (3rd ed.), Boca Raton: CRC Press, p. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1