Orthonormal basis

Original article: w:Orthonormal basis

수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 유한 차원(dimension)을 갖는 안의 곱 공간(inner product space) $V$에 대해 직교-정규 기저(orthonormal basis)는 그것들의 벡터가 직교정규(orthonormal), 즉, 그것들은 모두 단위 벡터(unit vectors)이고 서로 직교(orthogonal)하는 $V$에 대해 기저(basis)입니다. 예를 들어, 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$에 대해 표준 기저(standard basis)는 직교-정규 기저이며, 여기서 관련 안의 곱은 벡터의 점 곱(dot product)입니다. 회전 또는 반사 (또는 임의의 직교 변환) 아래에서 표준 기저의 이미지(image)도 직교-정규이고, $\mathbb {R} ^{n}$에 대해 모든 각 직교-정규 기저는 이러한 방식으로 발생합니다.

일반 안의 곱 공간 $V$에 대해, 직교-정규 기저는 $V$ 위에 정규화된 직교 좌표(orthogonal coordinates)를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 이들 좌표 아래에서, 안의 곱은 벡터의 점 곱이 됩니다. 따라서 직교-정규 기저의 존재는 유한-차원(finite-dimensional) 안의 곱 공간의 연구를 점 곱 아래에서 $\mathbb {R} ^{n}$의 연구로 축소합니다. 모든 각 유한-차원 안의 곱 공간은 직교-정규 기저를 가지며, 이는 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)을 사용하여 임의적인 기저에서 얻을 수 있습니다.

함수형 해석학(functional analysis)에서, 직교-정규 기저의 개념은 임의적인 (무한-차원) 안의 곱 공간(inner product spaces)으로 일반화될 수 있습니다. 전-힐베르트 공간 $H$가 주어지면, $H$에 대해 직교-정규 기저는 $H$에서 모든 각 벡터가 기저에 있는 벡터의 무한 선형 조합(infinite linear combination)으로 쓸 수 있다는 속성을 갖는 벡터의 직교-정규 집합입니다. 이 경우에서, 직교-정규 기저는 때때로 $H$에 대해 힐베르트 기저(Hilbert basis)라고 불립니다. 무한 선형 조합이 요구되기 때문에, 이러한 의미에서 직교-정규 기저는 일반적으로 하멜 기저(Hamel basis)가 아님을 주목하십시오. 구체적으로 특히, 기저의 선형 스팬은 $H$에서 조밀한(dense) 것이어야 하지만, 전체 공간이 아닐 수도 있습니다.

만약 우리가 힐베르트 공간(Hilbert spaces)으로 이동하면, 직교-정규 기저와 같은 선형 스팬을 가지는 비-직교정규 벡터의 집합이 전혀 기저가 아닐 수 있습니다. 예를 들어, 구간 $[-1,1]$ 위에 임의의 제곱-적분가능 함수(square-integrable function)는 (거의 모든 곳에서) 르장드르 다항식(Legendre polynomials) (직교-정규 기저)의 무한 합으로 표현될 수 있지만, 반드시 단항식 $x^{n}$의 무한 합으로 표현될 필요는 없습니다.

다른 일반화는 메트릭 텐서(metric tensor)로 알려진 비-퇴화 대칭 쌍-선형 형식을 갖춘 유사-안의 곱 공간, 유한-차원 벡터 공간 $M$에 대한 것입니다. 그러한 기저에서, 메트릭은 $p$개의 양수 일과 $q$개의 음수 일을 갖는 ${\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)$ 형식을 취합니다.

Examples

• $\mathbb {R} ^{3}$에 대해, 벡터 $\left\{e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0),e_{3}=(0,0,1)\right\}$의 집합은 표준 기저(standard basis)라고 불리고 표준 점 곱에 관해 $\mathbb {R} ^{3}$의 직교-정규 기저를 형성합니다. 표준 기저와 표준 점 곱 둘 다는 $\mathbb {R} ^{3}$를 데카르트 곱 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$로 보는 것에 의존함을 주목하십시오:

  Proof: 간단한 계산은 이들 벡터의 안의 곱이 영과 같고, $\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle =\left\langle e_{1},e_{3}\right\rangle =\left\langle e_{2},e_{3}\right\rangle =0$, 각각의 크기가 일과 같음, $\left\|e_{1}\right\|=\left\|e_{2}\right\|=\left\|e_{3}\right\|=1$임을 보입니다. 이것은 $\left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}$이 직교-정규 집합임을 의미합니다. 모든 벡터 $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$는 스케일링된 기저 벡터의 합으로 표현될 수 있으므로,$$(x,y,z)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3},$$$\left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}$는 $\mathbb {R} ^{3}$를 스팬하고 따라서 기저여야 합니다. 역시 원점을 통과하는 축을 중심으로 회전되거나 원점을 통과하는 평면에서 반사된 표준 기저도 $\mathbb {R} ^{3}$의 직교-정규 기저를 형성함을 나타낼 수 있습니다.

• $\mathbb {R} ^{n}$에 대해, 표준 기저와 안의 곱도 유사하게 정의됩니다. 임의의 다른 직교-정규 기저는 그룹 O(n)에서 직교 변환(orthogonal transformation)에 의해 표준 기준과 관련됩니다.
• 유사-유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{p,q}$에 대해, 메트릭 $\eta$을 갖는 직교 기저 $\{e_{\mu }\}$는 $\mu \neq \nu$이면 $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$이고, $1\leq \mu \leq p$이면 $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1$이고, $p+1\leq \mu \leq p+q$이면 $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1$을 대신 만족시킵니다. 임의의 두 개의 직교-정규 기저는 유사-직교 변환에 의해 관련됩니다. $(p,q)=(1,3)$의 경우에서, 이것들은 로렌츠 변환입니다.
• $f_{n}(x)=\exp(2\pi inx)$를 갖는 집합 $\left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}$은, 여기서 $\exp$는 지수 함수(exponential function)를 나타내며, 2-노름에 관한 유한 르베그 적분, $L^{2}([0,1])$을 갖는 함수의 공간의 직교-정규 기저를 형성합니다. 이것은 푸리에 급수(Fourier series)의 연구에서 기본적입니다.
• $b=c$이면 $e_{b}(c)=1$이고 그렇지 않으면 $e_{b}(c)=0$을 갖는 집합 $\left\{e_{b}:b\in B\right\}$은 $\ell ^{2}(B)$의 직교-정규 기저를 형성합니다.
• 스튀름-리우빌 고유문제(Sturm–Liouville eigenproblem)의 고유함수.
• 직교 행렬(orthogonal matrix)의 열 벡터는 직교-정규 기저를 형성합니다.

Basic formula

만약 $B$가 $H$의 직교 기저이면, 모든 각 원소 $x\in H$는 다음으로 쓸 수 있습니다: $$x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle b,x\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.$$

$B$가 직교-정규일 때, 이것은 다음으로 단수화합니다: $$x=\sum _{b\in B}\langle b,x\rangle b$$ 그리고 $x$의 노름(norm)의 제곱은 다음에 의해 제공됩니다: $$\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.$$

$B$가 셀-수-없는(uncountable) 것일지라도, 이 합계에서 셀-수-있게 많은 항만 비-영일 것이고, 표현식이 따라서 잘-정의됩니다. 이 합은 $x$의 푸리에 전개(Fourier expansion)라고도 불리고, 그 공식은 보통 파서반의 항등식(Parseval's identity)으로 알려져 있습니다.

만약 $B$가 $H$의 직교-정규 기저이면, $H$는 다음 의미에서 $\ell ^{2}(B)$에 동형적(isomorphic)입니다: 다음을 만족하는 전단사 선형 맵 $\Phi :H\to \ell ^{2}(B)$이 존재합니다:$$\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.$$

Incomplete orthogonal sets

힐베르트 공간 $H$와 $H$에서 서로 직교 벡터의 집합 $S$가 주어지면, 우리는 $S$를 포함하는 $H$의 가장 작은 닫힌 선형 부분-공간 $V$를 취할 수 있습니다. 그런-다음 $S$는 $V$의 직교 기저가 될 것입니다; 이는 불완전 직교 집합인 $H$ 자체보다 더 작을 수 있거나, 완전 직교 집합일 때 $H$일 수 있습니다.

Existence

조온의 보조정리(Zorn's lemma)와 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process) (또는 더 간단하게 잘-순서화되고 초월유한 재귀)을 사용하여, 모든 각 힐베르트 공간이 직교-정규 기저를 허용한다는 것을 보여줄 수 있습니다; 게다가, 같은 공간의 임의의 두 개의 직교-정규 기저는 같은 카디널리티(cardinality)를 가집니다 (이는 보통의 벡터 공간에 대해 차원 정리의 증명과 유사한 방식으로 입증될 수 있으며, 더 큰 기저 후보가 셀-수-있는지 여부에 따라 별도의 경우가 있습니다). 힐베르트 공간이 분리-가능(separable)인 것과 그것이 셀-수-있는 직교-정규 기저를 허용하는 것은 필요충분 조건입니다. (선택 공리의 사용 없이 이 마지막 명제를 증명할 수 있습니다.)

Choice of basis as a choice of isomorphism

구체성을 위해, 우리는 양의 한정 대칭 쌍-선형 형식 $\phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle$을 갖는 실수, $n$ 차원 벡터 공간 $V$에 대해 직교-정규 기저를 논의합니다.

$\phi$에 관한 직교-정규 기저를 보는 한 가지 방법은 벡터 ${\mathcal {B}}=\{e_{i}\}$의 집합으로 보는 것이며, 이를 통해 $v\in V$, 및 $v^{i}\in \mathbb {R}$ 또는 $(v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해 $v=v^{i}e_{i}$를 쓸 수 있습니다. 이 기저에 관해, $\phi$의 구성 요소는 특히 간단합니다: $\phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}.$

우리는 이제 기저를 내부 곱 공간의 동형인 맵 $\psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$으로 볼 수 있습니다: 이를 보다 명확하게 만들기 위해 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).$

명시적으로 우리는 $(\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)$라고 쓸 수 있으며, 여기서 $e^{i}$는 $e^{i}$에 대한 이중 기저 원소입니다.

그 역은 다음 구성 요소 맵입니다:

$C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.$

이들 정의는 다음 전단사가 있음을 나타냅니다:

$\{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.$

동형의 공간은 $V$ 측 또는 $\mathbb {R} ^{n}$ 측에서 직교 그룹의 작용을 허용합니다. 구체성을 위해 우리는 동형을 $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V$ 방향을 가리키도록 수정하고, 그러한 맵의 공간을 ${\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)$로 고려합니다.

이 공간은 $V$의 등거리-변환의 그룹에 의한 왼쪽 동작, 즉, 합성: $R*C=R\circ C$에 의해 주어진 동작을 갖는 $\phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )$임을 만족하는 $R\in {\text{GL}}(V)$를 허용합니다.

이 공간은 역시 $\mathbb {R} ^{n}$의 등거리-변환의 그룹에 의해 오른쪽 동작, 즉, 합성: $C*R_{ij}=C\circ R_{ij}$에 의한 다시 주어진 동작을 갖는 $R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )$를 허용합니다.

As a principal homogeneous space

Main article: Stiefel manifold

표준 안의 곱을 갖는 $\mathbb {R} ^{n}$에 대해 직교-정규 기저의 집합은 직교 그룹(orthogonal group) $G={\text{O}}(n)$에 대한 주요 동차 공간 또는 G-torsor이고, 직교-정규 $n$-프레임의 스티펠 매니폴드(Stiefel manifold) $V_{n}(\mathbb {R} ^{n})$이라고 불립니다.

다른 말로, 직교-정규 기저의 공간은 직교 그룹과 같지만, 기저 점의 선택이 없습니다: 직교-정규 기저의 공간이 주어지면, 직교-정규 기저의 자연적인 선택은 없지만, 일단 하나가 주어지면 하나가 있으며, 기저와 직교 그룹 사이의 일-대-일 대응이 있습니다. 구체적으로, 선형 맵은 주어진 기저를 어디로 보내느냐에 따라 결정됩니다: 역-가능 맵이 임의의 기저를 임의의 다른 기저로 취할 수 있는 것처럼, 직교 맵은 임의의 직교 기저를 임의의 다른 직교 기저로 취할 수 있습니다.

$k<n$에 대해 불완전 직교-정규 기저 (직교-정규 $k$-프레임)의 다른 스티펠 매니폴드 $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$은 여전히 직교 그룹에 대해 동차 공간이지만, 주요 동차 공간은 아닙니다: 임의의 $k$-프레임은 직교 맵에 의해 임의의 다른 $k$-프레임으로 취할 수 있지만, 이 맵은 고유하게 결정되지 않습니다.

• $\mathbb {R} ^{p,q}$에 대해 직교-정규 기저의 집합은 $G={\text{O}}(p,q)$에 대해 G-torsor입니다.
• $\mathbb {C} ^{n}$에 대해 직교-정규 기저의 집합은 $G={\text{U}}(n)$에 대해 G-torsor입니다.
• $\mathbb {C} ^{p,q}$에 대해 직교-정규 기저의 집합은 $G={\text{U}}(p,q)$에 대해 G-torsor입니다.
• $\mathbb {R} ^{n}$에 대해 오른쪽-손 직교-정규 기저의 집합은 $G={\text{SO}}(n)$에 대해 G-torsor입니다.

See also

• Orthogonal basis
• Basis (linear algebra) – Set of vectors used to define coordinates – Set of vectors used to define coordinates
• Orthonormal frame – Geometric structure that generalizes the Euclidean space – Geometric structure that generalizes the Euclidean space
• Schauder basis
• Total set

References

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

External links

• This Stack Exchange Post discusses why the set of Dirac Delta functions is not a basis of L²([0,1]).