Affine space

수학(mathematics)에서, 아핀 공간(affine space)은 속성들이 거리와 각도 측정의 개념과 무관하며 평행한 선분(line segments)에 대해 평행성(parallelism)과 길이의 비율과 관련된 속성만 유지하는 그러한 방법에서 유클리드 공간(Euclidean spaces)의 속성 중 일부를 일반화하여 기하학적 구조(structure)입니다.

아핀 공간에서, 원점 역할을 하는 구별되는 점이 없습니다. 따라서, 어떤 벡터도 고정된 원점을 가지지 않고 어떤 벡터도 한 점에 고유하게 결합될 수 없습니다. 아핀 공간에서, 대신에 공간의 두 점 사이의 평행이동(translation) 벡터 또는 단순히 평행이동이라고도 하는 변위 벡터(displacement vectors)가 있습니다.^[1] 따라서 공간의 두 점을 빼서 변환 벡터를 제공하는 것은 의미가 있지만, 공간의 두 점을 더하는 것은 의미가 없습니다. 마찬가지로, 변위 벡터를 아핀 공간의 한 점에 더하여 해당 벡터에 의해 시작 점에서 평행이동된 새 점을 초래하는 것은 의미가 있습니다.

임의의 벡터 공간(vector space)은 아핀 공간으로 볼 수 있습니다; 이것은 영 벡터(zero vector)에 의해 수행되는 특별한 역할을 잊어버리는 것과 같습니다. 이 경우에서, 벡터 공간의 원소는 아핀 공간의 점으로 또는 변위 벡터 또는 평행이동으로 볼 수 있습니다. 점으로 고려될 때, 영 벡터는 원점이라고 불립니다. 벡터 공간의 선형 부분-공간(linear subspace) 원소에 고정된 벡터를 더하는 것은 아핀 부분공간을 생성합니다. 공통적으로 이 아핀 부분-공간이 평행이동 벡터에 의해 선형 부분-공간을 (원점에서 멀리) 평행이동함으로써 얻어져 왔다고 말합니다. 유한 차원에서, 그러한 아핀 부분-공간은 비-동차(inhomogeneous) 선형 시스템의 해 집합입니다. 해당 아핀 공간에 대해 변위 벡터는 선형 부분-공간인 대응하는 동차(homogeneous) 선형 시스템의 해입니다. 선형 부분공간은, 대조적으로, 항상 벡터 공간의 원점을 포함합니다.

아핀 공간의 차원은 평행이동의 벡터 공간의 차원으로 정의됩니다. 차원 일의 아핀 공간은 아핀 직선(affine line)입니다. 차원 2의 아핀 공간은 아핀 평면(affine plane)입니다. 아핀 공간 또는 차원 $n$ 의 벡터 공간에서 차원 $n - 1$ 의 아핀 부분공간은 아핀 초평면(affine hyperplane)입니다.

Informal description

다음 특성화(characterization)는 보통의 형식적 정의보다 이해하기 더 쉬울 수 있습니다: 아핀 공간은 어느 점이 원점인지 잊어버린 후 벡터 공간(vector space)에 남아 있는 것입니다 (또는 프랑스 수학자 Marcel Berger의 말에 따르면, "아핀 공간은 선형 맵에 평행이동을 더함으로써 원점을 잊어버리려고 시도하는 벡터 공간에 불과합니다"^[2]). Alice는 특정 점이 실제 원점이라는 것을 알고 있지만, Bob은 또 다른 점—그것을 $p$ 라고 부름—이 원점이라고 믿는다고 상상해 보십시오. 두 벡터, $a$ 와 $b$ 가 더합니다. Bob은 점 $p$ 에서 점 $a$ 로 화살표를 그리고 점 $p$ 에서 점 $b$ 로 또 다른 화살표를 그리고, Bob이 생각하는 $a + b$ 를 찾기 위해 평행-사변형을 완성하지만, Alice는 그가 실제로 다음을 계산했다는 것을 알고 있습니다:

p + (a - p) + (b - p)

.

마찬가지로, Alice와 Bob은 $a$ 와 $b$ 의 임의의 선형 조합(linear combination), 또는 임의의 유한 벡터의 집합을 평가할 수 있고, 일반적으로 다른 답을 얻을 것입니다. 어쨌든, 만약 선형 조합에서 계수의 합이 1이면, Alice와 Bob은 같은 답에 도달할 것입니다.

만약 Alice가 다음으로 이동하면:

λ a + (1 - λ) b

Bob은 유사하게 다음으로 이동할 수 있습니다:

p + λ(a - p) + (1 - λ)(b - p) = λ a + (1 - λ) b

.

이 조건 아래에서, 모든 계수 $λ + (1 - λ) = 1$ 에 대해, Alice와 Bob은 다른 원점을 사용함에도 불구하고 같은 선형 조합으로 같은 점을 설명합니다.

Alice만 "선형 구조"를 알고 있지만, Alice와 Bob은 모두 "아핀 구조"를 알고 있습니다—즉, 계수의 합이 1인 선형 조합으로 정의된 아핀 조합(affine combinations)의 값입니다. 아핀 구조를 갖는 집합은 아핀 공간입니다.

Definition

아핀 공간은 벡터 공간 ${\overrightarrow {A}}$ 와 함께 집합 $A$ 이고, 집합 $A$ 위에 ${\overrightarrow {A}}$ 의 덧셈 그룹(additive group)의 전이와 자유 동작(action)입니다.^[3] 아핀 공간 $A$ 의 원소는 점이라고 불립니다. 벡터 공간 ${\overrightarrow {A}}$ 는 아핀 공간과 결합된 것이라고 말하고, 그 원소는 벡터, 평행이동, 또는 때때로 자유 벡터(free vectors)라고 불립니다.

명시적으로, 위의 정의는 동작이 일반적으로 덧셈으로 표시되는 매핑임을 의미합니다:

{\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}

이때 다음 속성을 가집니다.^[4]^[5]^[6]

오른쪽 항등원(Right identity):
$\forall a\in A,\;a+0=a$ , 여기서 $0$ 은 ${\overrightarrow {A}}$ 에서 영 벡터입니다.
결합성(Associativity):
$\forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ (여기서 마지막 $+$ 은 ${\overrightarrow {A}}$ 에서 덧셈입니다)
자유와 전이 동작(Free and transitive action):
모든 각 $a\in A$ 에 대해, 매핑 ${\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v$ 은 전단사(bijection)입니다.

처음 두 속성은 단순히 (오른쪽) 그룹 동작의 속성을 정의하는 것입니다. 세 번째 속성은 자유와 전이 동작을 특징짓는데, 전이성에서 온 문자가 나오고, 그 다음에는 동작이 자유인 데에서 단사가 뒤따릅니다. 위의 1, 2에 이어 네 번째 속성이 있습니다:

일-대-일 평행이동(translations)의 존재

모든

v\in {\overrightarrow {A}}

에 대해, 매핑

A\to A\colon a\mapsto a+v

은 전단사입니다.

속성 3은 종종 다음 동등한 형식에서 사용됩니다.

뺄셈(Subtraction):

A

에서 모든 각

a, b

에 대해,

b=a+v

를 만족하는

b - a

로 표시되는 고유한

v\in {\overrightarrow {A}}

가 존재합니다.

정의를 표현하는 또 다른 방법은 아핀 공간이 벡터 공간의 덧셈 그룹의 동작에 대해 주요 동차 공간(principal homogeneous space)이라는 것입니다. 동차 공간은 정의에 의해 전이 그룹 동작이 부여되고, 주요 동차 공간에 대해 그러한 전이 동작이 정의에 의해 자유입니다.

Subtraction and Weyl's axioms

그룹 동작의 속성은 ${\overrightarrow {A}}$ 의 벡터를 생성하는 $A$ 에 있는 점의 임의의 주어진 순서화된 쌍 $(b, a)$ 에 대해 뺄셈의 정의를 허용합니다. $b-a$ 또는 ${\overrightarrow {ab}}$ 로 표시된 이 벡터는 다음임을 만족하는 ${\overrightarrow {A}}$ 에서 고유한 벡터로 정의됩니다:

a+(b-a)=b.

동작의 전이성에서 존재가 따르고, 동작이 자유이기 때문에 유일성이 뒤따릅니다.

이 뺄셈은 바일의 공리라고 불리는 다음 두 가지 속성을 가집니다:^[7]

$\forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}$ , $b-a=v$ 를 만족하는 고유한 점 $b\in A$ 가 있습니다.
$\forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.$

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 두 번째 바일의 공리는 공통적으로 평행사변형 규칙(parallelogram rule)이라고 불립니다.

아핀 공간은 벡터 공간 ${\overrightarrow {A}}$ 와 바일의 공리를 만족시키는 뺄셈과 함께 점 집합 $A$ 로 동등하게 정의될 수 있습니다. 이 경우에서, 점에 대한 벡터의 덧셈은 첫 번째 바일의 공리에서 정의됩니다.

Affine subspaces and parallelism

아핀 공간 $A$ 의 아핀 부분-공간 (일부 문맥에서, 선형 다양체, 플랫, 또는, 실수에 걸쳐 선형 매니폴드라고도 불림) $B$ 는 점 $a\in B$ 가 주어졌을 때, 벡터의 집합 ${\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}$ 은 ${\overrightarrow {A}}$ 의 선형 부분공간(linear subspace)임을 만족하는 $A$ 의 부분집합입니다. $a$ 의 선택에 의존하지 않는 이 속성은 $B$ 가 결합된 벡터 공간으로 ${\overrightarrow {B}}$ 를 가지는 아핀 공간임을 의미합니다.

$A$ 의 아핀 부분공간은 다음 형식의 $A$ 의 부분집합입니다:

a+V=\{a+w:w\in V\},

여기서 $a$ 는 $A$ 의 점이고, $V$ 는 ${\overrightarrow {A}}$ 의 선형 부분공간입니다.

아핀 부분공간과 결합된 선형 부분공간은 종종 그것의 방향(direction)이라고 불리고, 같은 방향을 공유하는 두 부분공간은 평행(parallel)이라고 말합니다.

이것은 플레이페어의 공리(Playfair's axiom)의 다음 일반화를 의미합니다: 방향 $V$ 가 주어지면, $A$ 의 임의의 점 $a$ 에 대해, $a$ 를 통과하는 방향 $V$ 의 하나이자 유일한 하나의 아핀 부분 공간, 즉 부분공간 $a + V$ 가 있습니다.

모든 각 평행이동 $A\to A:a\mapsto a+v$ 는 임의의 아핀 부분공간을 평행 부분공간으로 매핑합니다.

평행이라는 용어는 하나의 방향이 다른 하나의 방향에 포함됨을 만족하는 두 개의 아핀 부분공간에도 사용됩니다.

Affine map

결합된 벡터 공간이 ${\overrightarrow {A}}$ 와 ${\overrightarrow {B}}$ 인 두 개의 아핀 공간 $A$ 와 $B$ 가 주어지면, $A$ 에서 $B$ 로의 아핀 맵(affine map) 또는 아핀 준동형(affine homomorphism)은 다음이

{\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}

잘 정의된(well defined) 선형 맵임을 만족하는 다음 맵입니다:

f:A\to B\;.

$f$ 가 잘 정의된다는 것은 $b - a = d - c$ 가 $f (b) - f (a) = f (d) - f (c)$ 임을 의미합니다.

이것은 점 $a\in A$ 와 벡터 $v\in {\overrightarrow {A}}$ 에 대해, 다음을 가짐을 의미합니다:

f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).

그러므로, $A$ 에 있는 임의의 주어진 $b$ 에 대해, 고유한 $v$ 에 대해 $b = a + v$ 이기 때문에, $f$ 는 단일 점의 값과 결합된 선형 맵 ${\overrightarrow {f}}$ 에 의해 완전하게 정의됩니다.

Endomorphisms

아핀 공간 $A$ 의 아핀 변환(affine transformation) 또는 자기-사상(endomorphism)은 해당 공간에서 자체로의 아핀 맵입니다. 예제의 한 가지 중요한 가족은 평행이동입니다: 벡터 ${\overrightarrow {v}}$ 가 주어지면, $A$ 에서 모든 각 $a$ 에 대해 $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ 를 보내는 평행이동 맵 $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ 은 아핀 맵입니다. 예제의 또 다른 중요한 가족은 원점을 중심으로 하는 선형 맵입니다: 점 $b$ 와 선형 맵 $M$ 이 주어지면, 다음에 의해 $A$ 에서 모든 각 $a$ 에 대해 아핀 맵 $L_{M,b}:A\rightarrow A$ 을 정의할 수 있습니다: $L_{M,b}(a)=b+M(a-b)\;.$ 원점 $b$ 를 선택한 후, 임의의 아핀 맵은 평행이동과 $b$ 를 중심으로 하는 선형 맵의 조합으로 고유하게 쓸 수 있습니다.

Vector spaces as affine spaces

모든 각 벡터 공간 $V$ 는 자체에 걸쳐 아핀 공간으로 고려될 수 있습니다. 이것은 $V$ 의 모든 각 원소가 점 또는 벡터로 고려될 수 있음을 의미합니다. 이 아핀 공간은 $V$ 의 원소의 이중 역할을 강조하기 위해 때때로 $(V, V)$ 로 표시됩니다. 점으로 고려될 때, 영 벡터(zero vector)는 공통적으로 $o$ (또는 대문자가 점에 사용될 때, $O$ )로 표시되고 원점이라고 불립니다.

만약 $A$ 가 같은 벡터 공간 (즉, $V={\overrightarrow {A}}$ )에 걸쳐 또 다른 아핀 공간이면, $A$ 에서 임의의 점 $a$ 의 선택은 고유한 아핀 동형이 정의하며, 이는 $V$ 의 항등이고 $a$ 를 $o$ 로 매핑합니다. 다시 말해서, $A$ 에서 원점 $a$ 의 선택은 정식의 동형(canonical isomorphism)까지(up to) $A$ 와 $(V, V)$ 를 식별하는 것을 허용합니다. 이 속성의 짝은 아핀 공간 $A$ 가 "원점을 잊어버린 " 벡터 공간 $V$ 로 식별될 수 있다는 것입니다.

Relation to Euclidean spaces

Definition of Euclidean spaces

유클리드 공간(Euclidean spaces) (기본 기하학에서 공통적으로 연구되는 일-차원 직선, 이-차원 평면, 및 삼-차원 공간과 마찬가지로 고차원 유사체 포함)은 아핀 공간입니다.

실제로, 대부분의 현대 정의에서, 유클리드 공간은 결합된 벡터 공간이 유한 차원의 실수 안의 곱 공간(inner product space), 즉 양수-한정 이차 형식(positive-definite quadratic form) $q (x)$ 를 갖는 실수에 걸쳐 벡터 공간임을 만족하는 아핀 공간으로 정의됩니다. 두 벡터 $x$ 와 $y$ 의 안의 곱은 대칭 쌍-선형 형식(symmetric bilinear form)의 값입니다:

x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).

두 점 $A$ 와 $B$ 사이의 보통의 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음입니다:

d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.

합성 기하학(synthetic geometry)을 통한 유클리드 공간의 이전 정의에서, 벡터는 등평성(equipollence) 아래에서 점의 순서화된 쌍(ordered pairs)의 동치 클래스(equivalence classes)로 정의됩니다 (쌍 $(A, B)$ 와 $(C, D)$ 는 만약 점 $A, B, D, C$ 가 (이 순서에서) 평행사변형을 형성하면 등평적(equipollent )입니다). 벡터가 벡터 공간을 형성하고, 유클리드 거리(Euclidean distance)의 제곱이 벡터 공간의 이차 형식이고, 유클리드 공간의 두 정의가 동등함을 확인하는 것은 간단합니다.

Affine properties

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, "아핀 속성(affine property)"이라는 공통적인 문구는 아핀 공간에서 입증될 수 있는 속성을 참조합니다. 즉, 그것은 이차 형식과 결합된 안의 곱을 사용하는 것 없이 입증될 수 있습니니다. 다시 말해서, 아핀 속성은 길이와 각도를 포함하지 않는 속성입니다. 전형적인 예제는 평행성(parallelism)와 접선(tangent)의 정의입니다. 예제가 아닌 것은 법선(normal)의 정의입니다.

동등하게, 아핀 속성은 유클리드 공간의 아핀 변환(affine transformations) 아래에서 불변인 속성입니다.

Affine combinations and barycenter

$a 1, ..., a n$ 를 아핀 공간에서 $n$ 점의 모음으로 놓고, $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ 를 바닥 필드(ground field)의 $n$ 원소로 놓습니다.

$\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$ 라고 가정합니다. 임의의 두 점 $o$ 와 $o'$ 에 대해, 다음임을 가집니다:

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.

따라서, 이 합은 원점의 선택과 독립이고, 결과 벡터는 다음으로 표현될 수 있습니다:

\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

$n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$ 일 때, 우리는 점의 뺄셈의 정의를 검색합니다.

이제 대신 필드(field) 원소가 $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$ 를 만족시킨다고 가정합니다. 원점 $o$ 의 일부 선택에 대해, 다음임을 만족하는 고유한 점을 $g$ 에 의해 표시합니다:

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.

우리는 $g$ 가 $o$ 의 선택과 독립적임을 보여줄 수 있습니다. 그러므로, 만약 다음이면:

\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,

다음을 쓸 수 있습니다:

g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

점 $g$ 는 가중값 $\lambda _{i}$ 에 대해 $a_{i}$ 의 베리센터(barycenter)라고 불립니다. 우리는 $g$ 가 계수 $\lambda _{i}$ 를 갖는 $a_{i}$ 의 아핀 조합(affine combination)이라고 말합니다.

Examples

아이들이 숫자 직선(number line)에서 오른쪽이나 왼쪽을 셈으로써 $4 + 3$ 또는 $4 - 2$ 와 같은 합에 대한 답을 찾을 때, 그들은 숫자 직선을 일-차원 아핀 공간으로 취급하는 것입니다.
에너지 공간은 절대 에너지에 대해 이야기하는 것이 종종 의미가 없지만 에너지 차이에 대해 이야기하는 것은 의미가 있기 때문에 $\mathbb {R}$ 에 대해 아핀 공간입니다. 진공 에너지(vacuum energy)는, 그것이 정의될 때, 정식의 원점을 선택합니다.
물리적 공간(Physical space)은 종종 비-상대적 설정에서 $\mathbb {R} ^{3}$ 에 대해 그리고 상대론적 설정에서 $\mathbb {R} ^{1,3}$ 에 대해 아핀 공간으로 모델링됩니다. 그것들을 벡터 공간과 구별하기 위해, 이것들은 때때로 유클리드 공간 ${\text{E}}(3)$ 와 ${\text{E}}(1,3)$ 이라고 불립니다.
벡터 공간의 부분공간 $V$ 의 임의의 코셋(coset)은 해당 부분공간에 걸쳐 아핀 공간입니다.
만약 $T$ 가 행렬(matrix)이고 $b$ 가 그것의 열 공간(column space)에 놓이면, 방정식 $T x = b$ 의 해의 집합은 $T x = 0$ 의 해의 부분공간에 걸쳐 아핀 공간입니다.
비-동차 선형 미분 방정식의 해는 해당하는 동차 선형 방정식의 해에 걸쳐 아핀 공간을 형성합니다.
위의 모든 것을 일반화하면, 만약 $T : V \to W$ 가 선형 맵이고 $y$ 가 그것의 이미지에 놓이면, 방정식 $T x = y$ 에 대한 해 $x \in V$ 의 집합은 $T$ 의 커널의 코셋이고, 따라서 $Ker T$ 에 걸쳐 아핀 공간입니다.
벡터 공간 $W$ 에서 벡터 부분공간 $V$ 의 (선형) 여 부분공간의 공간은 $Hom(W / V, V)$ 에 걸쳐 아핀 공간입니다. 즉, 만약 $0 \to V \to W \to X \to 0$ 가 벡터 공간의 짧은 정확한 수열(short exact sequence)이면, 정확한 수열의 모든 분할(splittings)의 공간은 자연스럽게 $Hom(X, V)$ 에 걸쳐 아핀 공간의 구조를 전달합니다.
연결(connections)의 공간 (벡터 다발 $E\xrightarrow {\pi } M$ 에서 봄, 여기서 $M$ 은 매끄러운 매니폴드임)은 ${\text{End}}(E)$ -값 1-형식의 벡터 공간에 대해 아핀 공간입니다. 연결의 공간 (주요 다발 $P\xrightarrow {\pi } M$ 에서 봄)은 ${\text{ad}}(P)$ -값 1-형식의 벡터 공간에 대해 아핀 공간이며, 여기서 ${\text{ad}}(P)$ 는 결합된(associated) 인접 다발입니다.

Affine span and bases

아핀 공간 $A$ 의 임의의 부분집합 $X$ 에 대해, 그것을 포함하는 가장 작은 아핀 부분공간이 있으며, 이를 $X$ 의 아핀 스팬(affine span)이라고 부릅니다. 그것은 $X$ 를 포함하는 모든 아핀 부분공간의 교차점이고, 그것의 방향은 $X$ 를 포함하는 아핀 부분공간의 방향의 교차점입니다.

$X$ 의 아핀 스팬은 $X$ 의 점의 모든 (유한) 아핀 조합의 집합이고, 그것의 방향은 $X$ 에서 $x$ 와 $y$ 에 대해 $x - y$ 의 선형 스팬(linear span)입니다. 만약 우리가 특정 점 $x 0$ 를 선택하면, $X$ 의 아핀 스팬의 방향은 $X$ 에서 $x$ 에 대해 $x - x 0$ 의 선형 스팬이기도 합니다.

우리는 $X$ 의 아핀 스팬이 $X$ 에 의해 생성되고 $X$ 가 그것의 아핀 스팬의 생성 집합이라고 말합니다.

아핀 공간의 점들의 집합 $X$ 는 만약 $X$ 의 임의의 엄격한 부분-집합의 아핀 스팬이 $X$ 의 아핀 스팬의 엄격한 부분집합이면 아핀적으로 독립(affinely independent) 또는, 간단히, 독립(independent)이라고 말합니다. 아핀 공간의 아핀 기저 또는 베리센터 프레임 (아래 § Barycentric coordinates를 참조)은 독립적인 생성 집합입니다 (그것이 최소 생성 집합입니다).

아핀 공간의 차원은 그것의 결합된 벡터 공간의 차원이라는 것을 기억하십시오. 유한 차원 $n$ 의 아핀 공간의 기저는 $n + 1$ 원소의 독립적인 부분집합, 또는, 동등하게, $n + 1$ 원소의 생성 부분집합입니다. 동등하게, ${x 0, ..., x n}$ 가 아핀 공간의 아핀 기저인 것과 ${x 1 - x 0, ..., x n - x 0}$ 가 결합된 벡터 공간의 선형 기저(linear basis)인 것은 필요충분 조건입니다.

Coordinates

아핀 공간에서 정의될 수 있는 두 가지 유형의 강력하게 관련된 좌표 시스템(coordinate systems)이 있습니다.

Barycentric coordinates

$A$ 를 필드(field) $k$ 에 걸쳐 차원 $n$ 의 아핀 공간으로 놓고, $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ 을 $A$ 의 아핀 기저라고 놓습니다. 아핀 기저의 속성은 $A$ 에서 모든 각 $x$ 에 대해 다음임을 만족하는 $k$ 의 원소의 고유한 $(n + 1)$ -튜플 $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$ 이 있음을 의미합니다:

\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1

그리고

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

$\lambda _{i}$ 는 아핀 기저 $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ 에 걸쳐 $x$ 의 베리센터 좌표(barycentric coordinates)라고 불립니다. 만약 $x i$ 가 무게 (또는 질량) $\lambda _{i}$ 를 갖는 물체로 보면, 점 $x$ 는 따라서 $x i$ 의 베리센터(barycenter)이고, 이것이 베리-센터 좌표(barycentric coordinates)라는 용어의 기원을 설명합니다.

베리센터 좌표는 아핀 공간 $A$ 와 방정식 $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$ 에 의해 정의된 $k n + 1$ 의 아핀 부분-공간 사이의 아핀 동형을 정의합니다.

무한 차원의 아핀 공간에 대해, 유한 합만 사용하여 같은 정의가 적용됩니다. 이것은 각 점에 대해, 유한한 숫자의 좌표만 비-영임을 의미합니다.

Affine coordinates

아핀 공간의 아핀 프레임(affine frame)은 원점이라고 불리는 한 점과 결합된 벡터 공간의 선형 기저(linear basis)로 구성됩니다. 보다 정확하게, 결합된 벡터 공간 ${\overrightarrow {A}}$ 를 갖는 아핀 공간 $A$ 에 대해, 원점 $o$ 는 $A$ 에 속하고, 선형 기저는 ${\overrightarrow {A}}$ 의 기저 $(v 1, ..., v n)$ 입니다 (표기법의 단순화를 위해, 우리는 유한 차원의 경우만 고려하며, 일반적인 경우는 유사합니다).

$A$ 의 각 점 $p$ 에 대해, 다음을 만족하는 바닥 필드의 원소의 고유한 수열 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ 이 있습니다:

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

또는 동등하게

{\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

$\lambda _{i}$ 는 아핀 프레임 $(o, v 1, ..., v n)$ 에 걸쳐 $p$ 의 아핀 좌표(affine coordinates)라고 불립니다.

Example: 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)는 직교-정규 프레임(orthonormal frame), 즉, $(v 1, ..., v n)$ 가 직교-정규 기저(orthonormal basis)임을 만족하는 아핀 프레임 $(o, v 1, ..., v n)$ 과 상대적인 아핀 좌표입니다.

Relationship between barycentric and affine coordinates

베리-센터 좌표와 아핀 좌표는 밀접한 관련이 있고, 동등한 것으로 고려될 수 있습니다.

실제로, 다음 베리센터 좌표가 주어지면:

(x_{0},\dots ,x_{n}),

즉시 다음 아핀 프레임을 추론합니다:

(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),

그리고, 만약 다음이

\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

베리-센터 프레임에 걸쳐 점의 베리-센터 좌표이면, 아핀 프레임에 걸쳐 같은 점의 아핀 좌표는 다음입니다:

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

반대로, 만약 다음이

\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)

아핀 프레임이면, 다음은 베리-센터 프레임입니다:

\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)\;.

만약 다음이

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

아핀 프레임에 걸쳐 점의 아핀 좌표이면, 베리-센터 프레임에 걸쳐 그것의 베리센터 좌표는 다음입니다:

\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

그러므로, 베리-센터 좌표와 아핀 좌표는 거의 동등합니다. 대부분의 응용에서, 독립적인 좌표가 더 적기 때문에 아핀 좌표가 선호됩니다. 어쨌든, 연구된 문제의 중요 점이 아핀적으로 독립인 상황에서, 베리-센터 좌표가 다음 예와 같이 더 간단한 계산으로 이어질 수 있습니다.

Example of the triangle

비-플랫 삼각형(triangle)의 꼭짓점은 유클리드 평면(Euclidean plane)의 아핀 기저를 형성합니다. 베리-센터 좌표는 각도나 거리를 포함하지 않는 삼각형의 원소의 쉬운 특성화를 허용합니다.

꼭짓점은 베리-센터 좌표 $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , 및 $(0, 0, 1)$ 의 점입니다. 가장자리를 지지하는 직선은 영 좌표를 가지는 점입니다. 가장자리 자체는 하나의 영 좌표와 두 개의 비-음의 좌표를 가지는 점입니다. 삼각형의 내부는 좌표가 모두 양수인 점입니다. 중앙선(medians)은 두 개의 같은 좌표를 가지는 점이고, 도형-중심은 좌표 $(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:.0 .1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:.1em .1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0 0,0 0,0 0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/3, 1/3, 1/3)$ 의 점입니다.

Change of coordinates

Case of affine coordinates

Case of barycentric coordinates

Properties of affine homomorphisms

Matrix representation

Image and fibers

다음을

f\colon E\to F

아핀 준동형으로 놓고, 이때 다음을 결합된 선형 맵으로 가집니다:

{\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}\;.

$f$ 의 이미지(image)는 결합된 벡터 공간으로 ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ 를 가지는 $F$ 의 아핀 부분공간 $f (E)$ 입니다. 아핀 공간은 영 원소(zero element)를 가지지 않기 때문에, 아핀 준동형은 커널(kernel)을 가지지 않습니다. 어쨌든, $f (E)$ 의 임의의 점 $x$ 에 대해, 역 이미지(inverse image) $f -1 (x)$ 는 ${\overrightarrow {f}}^{-1}(x)$ 방향의 $E$ 의 아핀 부분공간입니다. 이 아핀 부분공간은 $x$ 의 올(fiber)이라고 불립니다.

Projection

중요한 예제는 아핀 부분공간 위로의 어떤 방향에 평행한 투영입니다. 이 예제의 중요성은 유클리드 공간(Euclidean spaces)이 아핀 공간이고, 이들 종류의 투영이 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 기본이라는 사실에 있습니다.

보다 정확하게, 결합된 벡터 공간 ${\overrightarrow {E}}$ 를 갖는 아핀 공간 $E$ 가 주어질 때, $F$ 를 방향 ${\overrightarrow {F}}$ 의 아핀 부분공간이라고 놓고, $D$ 를 ${\overrightarrow {E}}$ 에서 ${\overrightarrow {F}}$ 의 여 부분공간(complementary subspace)이라고 놓습니다 (이것은 ${\overrightarrow {E}}$ 의 모든 각 벡터가 ${\overrightarrow {F}}$ 의 원소와 $D$ 의 원소의 합과 같은 고유한 방법으로 분해될 수 있음을 의미합니다). $E$ 의 모든 각 점 $x$ 에 대해, $D$ 에 평행한 $F$ 로의 투영(projection)은 다음임을 만족하는 $F$ 에서 고유한 점 $p (x)$ 입니다:

p(x)-x\in D.

이것은 결합된 선형 맵 ${\overrightarrow {p}}$ 가 $E$ 에서 $x$ 와 $y$ 에 대해 다음에 의해 정의되는 아핀 준동형입니다:

{\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y)\;.

이 투영의 이미지는 $F$ 이고, 그것의 올은 방향 $D$ 의 부분공간입니다.

Quotient space

비록 커널이 아핀 공간에 대해 정의되지 않을지라도, 몫 공간은 정의됩니다. 이것은 "아핀 준동형의 같은 올에 속함"이 동치 관계라는 사실에서 비롯됩니다.

$E$ 를 아핀 공간이라고 놓고, $D$ 를 결합된 벡터 공간 ${\overrightarrow {E}}$ 의 선형 부분공간(linear subspace)이라고 놓습니다. $D$ 에 의한 $E$ 의 몫(quotient) $E / D$ 는 $x$ 와 $y$ 가 만약 다음이면 동등함을 만족하는 동치 관계(equivalence relation)에 의한 $E$ 의 몫(quotient)입니다:

x-y\in D.

이 몫은 아핀 공간이며, 이는 결합된 벡터 공간으로 ${\overrightarrow {E}}/D$ 를 가집니다.

모든 각 아핀 준동형 $E\to F$ 에 대해, 이미지는 결합된 선형 맵의 커널에 의한 $E$ 의 몫과 동형입니다. 이것은 아핀 공간에 대한 첫 번째 동형 정리(first isomorphism theorem)입니다.

Axioms

아핀 공간은 보통 좌표를 사용하는 해석적 기하학(analytic geometry), 또는 동등하게 벡터 공간에 의해 연구됩니다. 그것들은 공리를 적음으로써 합성 기하학(synthetic geometry)으로 연구될 수도 있지만, 이 접근 방식은 훨씬 덜 공통적입니다. 아핀 공간에 대해 여러 다른 공리적 시스템이 있습니다.

Coxeter (1969, p. 192)는 Desargues's theorem의 아핀 형식과 평면에서 주어진 직선과 만나지 않는 주어진 점을 통과하는 많아야 하나의 직선이 있다라고 말하는 공리와 함께 순서화된 기하학(ordered geometry)으로서 실수에 걸쳐 아핀 기하학(affine geometry)의 특별한 경우를 공리화합니다.

아핀 평면은 다음 공리를 맘족시킵니다 (Cameron 1991, chapter 2): (이것에서 두 직선이 만약 그것들이 같거나 서로소이면 평행이라고 불립니다):

임의의 두 구별되는 점은 고유한 직선에 놓입니다.
점과 직선이 주어지면 그 점을 포함하고 그 직선에 평행한 고유한 직선이 있습니다.
세 개의 비-공선형 점이 존재합니다.

필드 (또는 나눗셈 링)에 걸쳐 아핀 평면뿐만 아니라, 이들 공리를 만족시키는 비-데자르그 평면(non-Desarguesian planes)도 많이 있습니다. (Cameron 1991, chapter 3)는 고차원 아핀 공간에 대해 공리를 제공합니다.

순수하게 공리적 아핀 기하학은 아핀 공간보다 더 일반적이고 별도의 기사에서 다룹니다.

Relation to projective spaces

유사 공간은 투영 공간(projective spaces)에 포함됩니다. 예를 들어, 아핀 평면은 하나의 직선과 그 위의 모든 점을 제거함으로써 임의의 투영 평면에서 얻을 수 있고, 반대로 임의의 아핀 평면은 그것의 점이 평행 직선(parallel lines)의 동치 클래스에 해당하는 무한대에서 직선(line at infinity)을 추가함으로써 클로저(closure)로 투영 평면을 구성하기 위해 사용될 수 있습니다. 유사한 구조가 더 높은 차원에서 유지됩니다.

게다가, 아핀 공간을 보존하는 (동등하게, 무한대에서 초평면 불변을 집합으로 남기는) 투영 공간의 변환은 아핀 공간의 변환을 산출합니다. 반대로, 임의의 아핀 선형 변환은 투영 선형 변환으로 고유하게 확장되므로, 아핀 그룹은 투영 그룹의 부분그룹입니다. 예를 들어, 뫼비우스 변환 (복소 투영 직선, 또는 리만 구의 변환)이 아핀 (복소 평면의 변환)인 것과 그것들이 무한대에서 점을 고정하는 것은 필요충분 조건입니다.

Affine algebraic geometry

대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 아핀 다양체 (또는 더 일반적으로, 아핀 대수적 집합)은 소위 아핀 공간에 걸쳐 다항 함수의 집합의 공통 영들의 집합인 아핀 공간의 부분-집합으로 정의됩니다. 아핀 공간에 걸쳐 다항 함수를 정의하는 데, 우리는 아핀 프레임을 선택해야 합니다. 그런-다음, 다항 함수는 임의의 점의 이미지가 점의 좌표의 일부 다변수 다항 함수의 값임을 만족하는 함수입니다. 아핀 좌표의 변경은 좌표의 선형 함수 (더 정확하게는 아핀 함수)에 의해 표현될 수 있으므로, 이 정의는 특정 좌표의 선택과 독립적입니다.

필드(field) $k$ 에 걸쳐 차원 $n$ 의 아핀 공간 $\mathbb {A} _{k}^{n}$ 에 대해 아핀 좌표의 시스템의 선택은 $\mathbb {A} _{k}^{n}$ 과 아핀 좌표 공간 $k n$ 사이에 아핀 동형(isomorphism)을 유도합니다. 이것은 단순화를 위해 많은 교과서가 $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$ 을 작성하고, $k n$ 에 걸쳐 다항 함수의 공통 영들로 아핀 대수적 다양체를 도입하는 이유를 설명합니다.^[8]

전체 아핀 공간이 영 다항식(zero polynomial)의 공통 영들의 집합이므로, 아핀 공간은 아핀 대수적 다양체입니다.

Ring of polynomial functions

위의 정의에 의해, 아핀 공간 $\mathbb {A} _{k}^{n}$ 의 아핀 프레임의 선택은 $n$ 변수, 점을 i번째 좌표로 매핑하는 함수를 나타내는 i번째 변수에서 다항식을 갖는 $\mathbb {A} _{k}^{n}$ 위에 다항 함수를 식별하는 것을 허용합니다. $\mathbb {A} _{k}^{n}$ 에 걸쳐 다항 함수의 집합은 $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ 으로 표시되는 $k$ -대수이며, 이는 다항식 링(polynomial ring) $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ 과 동형임을 따릅니다.

좌표를 변경할 때, $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ 과 $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ 사이의 동형이 적절히 변경하고, 이것은 각 불확정을 차원 일의 다항식으로 매핑하는 $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ 의 자기-동형을 유도합니다. 전체 차수(total degree)는 좌표의 선택과 독립적인 $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ 의 필터화(filtration)를 정의함을 따릅니다. 전체 차수는 등급화(graduation)도 정의하지만, 아핀 좌표의 변경이 비-동차 다항식(homogeneous polynomials)에 불확정을 매핑할 수 있으므로 좌표의 선택에 따라 다릅니다.

Zariski topology

실수 또는 복소수와 같은 토폴로지적 필드(topological fields)에 걸쳐 유사 공간은 자연스러운 토폴로지(topology)가 있습니다. 임의의 필드에 걸쳐 아핀 공간에 대해 정의된 자르스키 토폴로지는 어떤 경우에도 토폴로지적 방법의 사용을 허용합니다. 자르스키 토폴로지는 그것의 닫힌 집합이 아핀 대수적 집합 (즉, 아핀 집합에 걸쳐 다항 함수의 공통 영들의 집합)인 아핀 공간 위의 고유한 토폴로지입니다. 토폴로지적 필드에 걸쳐, 다항 함수는 연속적이므로, 모든 각 자르스키 닫힌 집합은, 어떤 거라도 있다면, 보통의 토폴로지에 대해 닫혀 있습니다. 다시 말해서, 토폴로지적 필드에 걸쳐, 자르스키 토폴로지는 자연 토폴로지보다 더 거친(coarser) 것입니다.

아핀 공간에서 다항식 함수 링의 주요 아이디얼의 집합 (즉, 스펙트럼)으로의 자연스러운 단사 함수가 있습니다. 아핀 좌표가 선택될 때, 이 함수는 좌표 $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ 의 점을 최대 아이디얼 $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$ 로 매핑합니다. 이 함수는 함수의 이미지 위로의 아핀 공간의 (아핀 공간과 다항 함수의 링의 스펙트럼의 의 자르스키 토폴로지에 대해) 위상-동형입니다.

대수적으로 닫힌 바닥 필드의 경우는 대수적 기하학에서 특히 중요한데, 왜냐하면, 이 경우에서, 위의 위상-동형은 아핀 공간과 링 함수의 모든 최대 아이디얼의 집합 사이의 맵이기 때문입니다 (이것이 Hilbert's Nullstellensatz입니다).

이것은 대수적 다양체를 연구하기 위해 아핀 공간의 점뿐만 아니라 스펙트럼의 모든 주요 아이디얼을 "점"으로 고려하는 것으로 구성된 Grothendieck의 스킴 이론(scheme theory)의 출발 아이디어입니다. 이를 통해 매니폴드에 대해, 차트가 매니폴드를 구축하기 위해 함께 접착되는 것과 유사한 방법으로 대수적 다양체를 함께 접착할 수 있습니다.

Cohomology

모든 아핀 다양체와 마찬가지로, 아핀 공간 위의 지역적 데이터는 항상 전역적으로 함께 패치될 수 있습니다: 아핀 공간의 코호몰로지(cohomology)는 자명한 것입니다. 더 정확하게, 모든 일관된 뭉치 F, 및 정수 $i>0$ 에 대해 $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ 입니다. 이 속성은 역시 모든 다른 아핀 다양체에 의해 즐길 수 있습니다. 그러나 역시 아핀 공간 위에 모든 étale cohomology 그룹은 자명한 것입니다. 특히, 모든 각 직선 다발은 자명한 것입니다. 보다 일반적으로, Quillen–Suslin theorem는 아핀 공간에 걸쳐 모든 각 대수적 벡터 다발(vector bundle)이 자명한 것임을 의미합니다.

Notes

^ The word translation is generally preferred to displacement vector, which may be confusing, as displacements include also rotations.
^ Berger 1987, p. 32
^ Berger, Marcel (1984), "Affine spaces", Problems in Geometry, p. 11, ISBN 9780387909714
^ Berger 1987, p. 33
^ Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry, p. 6
^ Tarrida, Agusti R. (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, pp. 1–2, ISBN 9780857297105
^ Nomizu & Sasaki 1994, p. 7
^ Hartshorne 1977, Ch. I, § 1.

References

Berger, Marcel (1984), "Affine spaces", Problems in Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P. (2001) [1994], "Affine space", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001.
Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (Dover edition, first published in 1989 ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
Reventós Tarrida, Agustí (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9

[1] The word translation is generally preferred to displacement vector, which may be confusing, as displacements include also rotations.

[2] Berger 1987, p. 32

[3] Berger, Marcel (1984), "Affine spaces", Problems in Geometry, p. 11, ISBN 9780387909714

[Berger1987-4] Berger 1987, p. 33

[5] Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry, p. 6

[6] Tarrida, Agusti R. (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, pp. 1–2, ISBN 9780857297105

[7] Nomizu & Sasaki 1994, p. 7

[8] Hartshorne 1977, Ch. I, § 1.

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