Positional notation

위치적 표기법(positional notation, 또는 자리-값 표기법(place-value notation), 또는 위치적 숫자-표시 시스템(positional numeral system))은 보통 힌두-아라비아 숫자-표시 시스템 (또는 십진 시스템)의 임의의 밑수(base)로의 확장을 나타냅니다. 보다 일반적으로, 위치적 시스템은 숫자 값에 대한 자릿수의 기여도가 자릿수 값에 자릿수의 위치에 의해 결정된 인수를 곱한 숫자-표시 시스템입니다. 로마 숫자-표시와 같은 초기 숫자-표시 시스템(numeral systems)에서, 자릿수는 단 하나의 값을 가집니다: I는 일을 의미하고, X는 10을 의미하고 C는 100을 의미합니다 (어쨌든, 그 값은 또 다른 숫자 앞에 배치되면 부정될 수 있습니다). 십진 시스템(decimal system)과 같은 현대 위치적 시스템에서, 자릿수의 위치는 그 값에 어떤 값을 곱해야 함을 의미합니다: 555에서, 세 개의 동일한 기호는 자릿수 문자열에서 다른 위치로 인해 각각 오백, 오십, 오 단위를 나타냅니다.

바빌로니아 숫자-표시 시스템(Babylonian numeral system), 밑수-60은 처음으로 개발된 위치적 시스템이었고, 그의 영향은 오늘날 시간에서 60 분과 원에서 360 도와 같은 시간과 각도가 60과 관련된 집계에서 계산되는 방법에 존재합니다. 오늘날 힌두-아라비아 숫자-표시 시스템 (밑수 10)은 전 세계적으로 가장 공통적으로 사용되는 시스템입니다. 어쨌든, 이진 숫자-표시 시스템 (밑수 2)은 전자 회로에서 효율적으로 구현하기 쉽기 때문에 거의 모든 컴퓨터와 전자 장치에 사용됩니다.

음의 밑수, 복소 밑수 또는 음의 자릿수를 갖는 시스템이 설명되어 왔습니다. 그들 중 대부분은 음수를 지정하기 위해 빼기 기호를 요구하지 않습니다.

기수 점 (밑수 10의 십진 점)의 사용은 분수(fractions)를 포함하도록 확장되고 임의적인 정확도로 임의의 실수(real number)를 나타내는 것을 허용합니다. 위치 표기법과 함께, 산술 계산(arithmetical computations)이 임의의 이전 숫자-표시 시스템보다 훨씬 간단합니다; 이것은 서유럽에 도입되었을 때 표기법의 급속한 확산으로 이어졌습니다.

History

오늘날, 열 손가락으로 셈으로써 추측하건대 동기-부여된 밑수-10 (십진) 시스템은 어디에나 있습니다. 다른 밑수는 과거에 사용되어 왔고, 일부는 오늘날에도 계속 사용됩니다. 예를 들어, 최초의 위치적 숫자-표시 시스템으로 공인되는 바빌로니아 숫자-표시 시스템은 밑수-60이었습니다. 어쨌든, 그것은 실수 영(zero)이 없었습니다. 처음에는 문맥을 통해서만 추론했지만, 나중에는 기원전 700년경에 숫자-표시 사이에 '공백' 또는 '구두점 기호' (예를 들어, 두 개의 비스듬한 쐐기 모양)를 사용하여 영을 표시하게 되었습니다.^[1] 그것이 단독으로 또는 숫자의 끝에 사용되지 않았기 때문에 진정한 영이 아닌 자리-표시자(placeholder)였습니다. 2와 120 (2×60)과 같은 숫자는 더 큰 숫자에 최종 자리-표시자가 없었기 때문에 같게 보입니다. 오직 문맥만이 그것들을 구별할 수 있습니다.

폴리매쓰 아르키메데스 (기원전 ca. 287-212)는 10⁸^[2]을 기반으로 하는 그의 모래 계산자(Sand Reckoner)에서 십진 위치적 시스템을 발명했었고 나중에 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)로 하여금 아르키메데스가 그의 독창적인 발견의 잠재력을 완전히 깨달았다면 과학이 그의 시대에 이미 도달했을 수준을 한탄하게 했습니다.^[3]

위치적 표기법이 표준이 되기 전에는, 로마 숫자-표시와 같은 단순한 덧셈 시스템 (기호-값 표기법)이 사용되었고, 고대 로마와 중세의 회계사는 주판이나 석재 계수기를 사용하여 산술을 수행했습니다.^[4]

Chinese rod numerals; Upper row vertical form
Lower row horizontal form

세는 막대(Counting rods)와 대부분의 주판은 위치적 숫자-표시 시스템에서 숫자를 나타내기 위해 사용되어 왔습니다. 산술 연산을 수행하기 위해 세는 막대나 주판과 함께, 계산의 시작, 중간 및 최종 값의 기록은 각 위치 또는 열에서 간단한 덧셈의 시스템으로 쉽게 수행될 수 있습니다. 이 접근 방식은 (위치적 표기법과 마찬가지로) 테이블의 암기를 요구하지 않고 실제 결과를 빠르게 생성할 수 있었습니다.

현존하는 가장 오래된 위치적 표기법은 적어도 8세기 초부터 사용된 중국 막대 숫자-표시(rod numerals)의 표기법이거나, 아마도 7세기에 위치적-숫자의 사용 가능성을 보여주는 크메르 숫자-표시(Khmer numerals)일 것입니다. 크메르 숫자-표시와 다른 인도 숫자-표시(Indian numerals)는 기원전 3 세기 경의 브라흐미 숫자-표시(Brahmi numerals)에서 유래했으며, 이 기호는 당시에는 위치적으로 사용되지 않았습니다. 중세 인도 숫자-표시는 10세기에 기록된 파생된 아라비아 숫자-표시(Arabic numerals)와 마찬가지로 위치적이었습니다.

프랑스 혁명 (1789–1799) 이후, 새로운 프랑스 정부는 십진 시스템의 확장을 추진했습니다.^[5] 십진 시간과 십진 달력과 같은 십진을 지지하는 노력 중 일부는 성공하지 못했습니다. 다른 프랑스의 십진을 지지하는 노력 (통화 십진화와 무게와 측정 단위 메트릭화)은 프랑스에서 거의 전 세계로 널리 퍼졌습니다.

History of positional fractions

J. Lennart Berggren은 위치적 십진 분수가 10세기에 아랍 수학자 아불-하산 알-오쿠어디시(Abu'l-Hasan al-Uqlidisi)에 의해 처음으로 사용되었다고 언급합니다.^[6] 유태인 수학자 임마누엘 본필스(Immanuel Bonfils)는 약 1350년에 십진 분수를 사용했지만, 그것을 나타내기 위한 임의의 표기법을 개발하지 않았습니다.^[7] 페르시아 수학자 잠쉬드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)는 15세기에 같은 십진 분수를 발견했습니다.^[6] 알-콰리즈미(al-Khwarizmi)는 9세기 초 이슬람 국가에 분수를 도입했습니다; 그의 분수 표현은 손자 산경(Sunzi Suanjing)의 전통적인 중국 수학적 분수와 유사했습니다.^[8] 수평 막대 없이 꼭대기에 분자를 갖고 바닥에 분모를 갖는 분수의 형식은 10세기 아불-하산 알-오쿠어디시(Abu'l-Hasan al-Uqlidisi)와 15세기 잠쉬드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)의 연구 "산술 키"에서도 사용되었습니다.^[8]^[9]

일보다 작은 숫자, 분수의 십진 표현을 채택한 것은 그의 교과서 De Thiende를 통해 시몬 스테빈(Simon Stevin)에게 자주 공인됩니다;^[10] 그러나 스테빈과 E. J. Dijksterhuis는 Regiomontanus가 유럽에서 일반적인 십진수를 채택하는 데 기여했다고 지적합니다:^[11]

유럽의 수학자들은, 힌두교에서 아랍을 통해 정수에 대해 위치적 값의 아이디어를 물려받았을 때, 이 아이디어를 분수로 확장하는 것을 무시했습니다. 몇 세기 동안 그들은 공통 분수와 육십진 분수를 사용하는 데만 국한되어 있었습니다... 이 반신반의는 결코 완전히 극복되지 않았고, 육십진 분수는 여전히 우리의 삼각법, 천문학, 및 시간 측정의 기초를 형성합니다. ¶ ... 수학자들은 반지름 R을 10ⁿ 형식의 길이 단위의 숫자와 같게 하고 그런-다음 n에 대해 발생하는 모든 양을 정수로 충분한 정확도로 표현할 수 있을 정도로 큰 정수 값을 가정함으로써 분수를 피하려고 했습니다. ¶ 이 방법을 최초로 적용한 사람은 독일의 천문학자 레기오몬타누스(Regiomontanus)였습니다. 그가 각도 측정 선분을 단위 R/10ⁿ으로 표현한 만큼, 레기오몬타누스는 십진 위치적 분수 교리의 선구자로 불릴 수 있습니다.^[11]^: 17, 18

Dijksterhuis의 평가에서 "De Thiende의 출판 이후 십진 위치적 분수의 완전한 시스템을 확립하는 데 약간의 진전만 필요했었고, 이 단계는 많은 저자들에 의해 즉시 취해졌습니다... 스테빈 다음으로 가장 중요한 인물은 이 발전에서 레기오몬타누스였습니다." Dijksterhuis는 [스테빈]이 "독일 천문학자의 삼각법 테이블이 실제로 '10번째 진행의 숫자'의 전체 이론을 포함하고 있다고 말하면서, 그의 이전 공헌에 대해 레기오몬타누스에게 전적으로 공을 돌리고 있다"고 언급했습니다.^[11]^: 19

Mathematics

Base of the numeral system

수학적 숫자-표시 시스템(mathematical numeral systems)에서, 기수 $r$ 은 보통 영을 포함하여 위치적 숫자 시스템이 숫자를 나타내기 위해 사용하는 고유한 자릿수의 숫자입니다. 흥미로운 경우에서, 기수는 밑수가 음수일 수도 있는 밑수 $b$ 의 절댓값(absolute value) $r=|b|$ 입니다. 예를 들어, 십진 시스템에 대해, 기수 (및 밑수)는 0에서 9까지의 열 개의 자릿수를 사용하기 때문에 10입니다. 숫자가 9에 "도달하면", 그 다음 숫자는 또 다른 기호가 아니라 "1" 뒤에 "0"이 붙습니다. 이진법에서, 기수는 2인데, 왜냐하면 "1"에 도달한 후, "2" 또는 다른 쓰인 기호 대신, 그것이 "10"으로 바로 이동하고, "11"과 "100"이 뒤따릅니다.

위치적 숫자-표시 시스템의 가장 높은 기호는 보통 해당 숫자-표시 시스템의 기수 값보다 1 작은 값을 가집니다. 표준 위치적 숫자 시스템은 그것들이 사용하는 밑수에서만 서로 다릅니다.

기수는 1보다 큰 정수인데, 왜냐하면 영의 기수는 임의의 자릿수를 가질 수 없고, 1의 기수는 0의 자릿수만 있기 때문입니다. 음의 밑수는 거의 사용되지 않습니다. $|b|$ 고유한 자릿수보다 많이 갖는 시스템에서, 숫자는 많은 다른 가능한 표현을 가질 수 있습니다.

기수가 유한하다는 것이 중요하므로 자릿수의 개수가 상당히 적습니다. 그렇지 않으면, 숫자-표시의 길이가 그것의 크기에서 반드시 로그(logarithmic)일 필요는 없습니다.

(전단사 숫자화를 포함한 특정 비-표준 위치적 숫자 시스템에서, 밑수 또는 허용된 자릿수의 정의가 위와 다릅니다.)

표준 밑수-10 (십진) 위치적 표기법에서, 10개의 십진 자릿수와 다음과 같은 숫자가 있습니다:

5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})

.

표준 밑수-십육 (십육진)에서, 열여섯 자릿수 (0–9와 A–F)와 다음과 같은 숫자가 있습니다:

14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),

여기서 B는 단일 기호로 숫자 11을 나타냅니다.

일반적으로, 밑수-b에서, b 자릿수 $\{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D$ 가 있고 다음 숫자는 $\forall k\colon a_{k}\in D$ 를 가집니다:

(a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})\;.

$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ 는 자릿수의 열을 나타내고 곱셈이 아님에 주목하십시오.

Notation

수학 표기법에서 밑수를 설명할 때, 문자 b는 일반적으로 이 개념의 하나의 기호로 사용되므로, 이진(binary) 시스템에 대해, b는 2와 같습니다. 밑수를 표현하는 또 다른 공통적인 방법은 표시되려는 숫자 뒤에 십진(decimal) 아래-첨자로 쓰는 것입니다 (이 표기법이 이 기사에서 사용됩니다). 1111011₂는 숫자 1111011이 밑수-2 숫자이고, 123₁₀ (십진 표기법 표현), 173₈ (팔진), 및 7B₁₆ (십육진)과 같습니다. 책과 기사에서, 처음에 숫자 밑수의 쓰인 약어를 사용할 때, 밑수는 이후에 인쇄되지 않습니다: 그것은 이진수 1111011이 1111011₂와 같다고 가정합니다.

밑수 b는 "밑수-b"라는 어구로 나타낼 수도 있습니다. 따라서 이진 숫자는 "밑수-2"입니다; 팔진 숫자는 "밑수-8"입니다; 십진 숫자는 "밑수-10"입니다; 이런 식으로 계속됩니다.

주어진 기수 b에 대해, 자릿수의 집합 {0, 1, ..., b−2, b−1}는 표준 자릿수의 집합이라고 불립니다. 따라서, 이진 숫자는 자릿수 {0, 1}을 가집니다; 십진 숫자는 자릿수 {0, 1, 2, ..., 8, 9}를 가집니다; 이런 식으로 계속됩니다. 그러므로, 다음은 표기 오류입니다: 52₂, 2₂, 1A₉. (모든 경우에서, 하나 이상의 자릿수가 주어진 밑수에 대해 허용되는 자릿수의 집합에 없습니다.)

Exponentiation

위치적 숫자 시스템은 밑수의 지수화(exponentiation)를 사용하여 작동합니다. 자릿수의 값은 자릿수에 그 자리의 값을 곱한 것입니다. 자리 값은 밑수에 n번째 거듭제곱을 올린 숫자이며, 여기서 n은 주어진 자릿수와 기수 점(radix point) 사이의 다른 자릿수의 숫자입니다. 만약 주어진 자릿수가 기수 점의 왼쪽 편에 있으면 (즉, 그 값이 정수이면) n은 양수 또는 0입니다; 만약 자릿수가 기수 점의 오른쪽 편에 있으면 (즉, 그 값이 분수이면) n은 음수입니다.

사용법의 예제로서, 각 밑수 b에서 숫자 465 (가장 높은 자릿수가 6이기 때문에 적어도 밑수 7이어야 함)은 다음과 같습니다:

4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}

만약 숫자 465이 밑수-10였으면, 그것은 다음과 같을 것입니다:

4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465

(465₁₀ = 465₁₀)

만약 어쨌든, 숫자가 밑수 7에 있으면, 그것은 다음과 같을 것입니다:

4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243

(465₇ = 243₁₀)

임의의 밑수 b에 대해 10_b = b인데, 왜냐하면 10_b = 1×b¹ + 0×b⁰이기 때문입니다. 예를 들어, 10₂ = 2; 10₃ = 3; 10₁₆ = 16₁₀. 마지막 "16"은 밑수 10으로 표시된 것임을 주목하십시오. 밑수는 한-자리 숫자-표시에 대해 차이점이 없습니다.

이 개념은 다이어그램을 사용하여 시연될 수 있습니다. 하나의 대상은 하나의 단위를 나타냅니다. 대상의 숫자가 밑수 b보다 크거나 같으면, 대상의 그룹은 b 개의 대상으로 생성됩니다. 이들 그룹의 숫자가 b를 초과하면, 대상의 이들 그룹의 그룹이 b 개의 대상의 b 개의 그룹으로 생성됩니다; 이런 식으로 계속됩니다. 따라서 다른 밑수에서 같은 숫자는 다른 값을 가질 것입니다:

241 in base 5:
   2 groups of 5² (25)           4 groups of 5          1 group of 1
   ooooo    ooooo
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo         +                         +         o
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo

241 in base 8:
   2 groups of 8² (64)          4 groups of 8          1 group of 1
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo    +                            +        o
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo

그 표기법은 선행하는 빼기 기호를 허용함으로써 더 늘릴 수 있습니다. 이것은 음수 표현을 허용합니다. 주어진 밑수에 대해, 모든 각 표현은 정확하게 하나의 실수에 해당하고 모든 각 실수는 적어도 하나의 표현을 가집니다. 유리수의 표현은 유한하거나, 막대 표기법을 사용하거나, 무한하게 반복되는 자릿수의 순환으로 끝나는 표현입니다.

Digits and numerals

자릿수(digit)는 위치적 표기에 사용되는 기호이고, 숫자-표시(numeral)는 위치적 표기법으로 숫자를 나타내는 데 사용되는 하나 이상의 자릿수로 구성됩니다. 오늘날 가장 공통적인 자릿수는 십진 자릿수(decimal digits) "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", 및 "9"입니다. 자릿수와 숫자-표시의 구분은 숫자 밑수의 맥락에서 가장 두드러집니다.

하나보다 많은 자리 위치를 갖는 비-영 숫자-표시(numeral)는 다른 숫자 밑수에서 다른 숫자를 의미할 것이지만, 일반적으로, 자릿수(digits)는 같음을 의미할 것입니다.^[12] 예를 들어, 밑수-8 숫자-표시 23₈은 "2"와 "3"의 두 자리 자릿수와 밑수 숫자 (아래첨자된) "8"을 포함합니다. 밑수-10으로 변환될 때, 23₈은 19₁₀과 동등하며, 즉, 23₈ = 19₁₀입니다. 여기 표기법에서, 숫자-표시 23₈의 아래-첨자 "8"은 숫자-표시의 일부이지만, 항상 그런 것은 아닙니다.

숫자-표시 "23"을 모호한 밑수 숫자를 가지는 것으로 상상해 보십시오. 그런-다음 "23"은 밑수-4 이상에서 임의의 밑수가 될 수 있습니다. 밑수-4에서, "23"은 11₁₀을 의미하며, 즉 23₄ = 11₁₀입니다. 밑수-60에서, "23"은 숫자 123₁₀을 의미하며, 즉 23₆₀ = 123₁₀입니다. 숫자-표시 "23"은, 이 경우에서, 밑수-10 숫자의 집합 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ..., 121, 123}에 해당하지만, 숫자 "2"와 "3"은 항상 원래 의미를 유지합니다: "2"는 "~중 둘", "3"은 "~중 셋"을 의미합니다.

특정 응용에서, 위치의 고정된 숫자를 갖는 숫자-표시는 더 큰 숫자를 나타내기 위해 필요할 때, 위치 당 더 많은 자릿수를 갖는 더 높은 숫자-밑수가 사용될 수 있습니다. 셋-자릿수, 십진 숫자-표시는 999까지만 나타낼 수 있습니다. 그러나 만약 숫자-밑수가 말하자면, 자릿수 "A"를 더함으로써, 11로 증가되면, "AAA"로 최대화된 같은 세 위치는 1330만큼 큰 숫자를 나타낼 수 있습니다. 우리는 숫자 밑수를 다시 늘리고 "B"를 11에 할당하는 식으로 계속할 수 있습니다 (그러나 숫자-자릿수-숫자-표시 계층에서 숫자와 자릿수 사이에 가능한 암호화가 있습니다). 밑수-60에서 세-자릿수 숫자-표시 "ZZZ"는 215999를 의미할 수 있습니다. 만약 우리가 전체 영문자-숫자(alphanumerics)의 모음을 사용하면, 궁극적으로 밑수-62 숫자-표시 시스템을 제공할 수 있지만, 숫자 "1" 및 "0"과의 혼동을 줄이기 위해, 두 자릿수 대문자 "I"와 대문자 "O"를 제거합니다.^[13] 우리는 62개의 표준 영문자-숫자 중 60개를 사용하는 밑수-60 또는 육십진 숫자-표시 시스템을 남깁니다. (그러나 아래의 Sexagesimal system을 참조하십시오.) 일반적으로, 밑수 $r$ 에서 $d$ 자릿수 숫자-표시에 의해 나타낼 수 있는 가능한 값의 개수는 $r^{d}$ 입니다.

컴퓨터 과학에서 공통적인 숫자-표시 시스템은 이진수 (기수 2), 팔진수 (기수 8), 및 십육진수 (기수 16)입니다. 이진수에서, 오직 자릿수 "0"과 "1"이 숫자-표시에 있습니다. 팔진 숫자-표시에서, 8 개의 자릿수 0–7입니다. 십육진수는 0–9 A–F이며, 여기서 10개의 숫자는 보통의 의미를 유지하고, 알파벳은 10–15 값에 해당하여, 총 16 자랏수입니다. 숫자-표시 "10"은 이진 숫자-표시 "2", 팔진 숫자-표시 "8", 또는 십육진 숫자-표시 "16"입니다.

Radix point

표기법은 밑수 b의 음의 지수로 확장될 수 있습니다. 이에 따라서 소위 기수 점, 대부분 ».«은 음수를 갖는 위치에서 비음수를 갖는 위치의 구분-기호로 사용됩니다.

정수가 아닌 숫자는 기수 점을 지난 자리를 사용합니다. 이 점 뒤의 모든 각 위치 (및 따라서 단위 자릿수 뒤)에 대해, 거듭제곱 bⁿ의 지수 n은 1만큼 감소하고 거듭제곱은 0에 접근합니다. 예를 들어, 숫자 2.35는 다음과 같습니다:

2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}

Sign

만약 밑수와 자릿수의 집합에서 모든 자릿수가 비-음수이면, 음수는 표현될 수 없습니다. 이를 극복하기 위해, 음수 기호, 여기서 »-«가 숫자-표시 시스템에 추가됩니다. 보통 표기법에서, 그것은 비-음의 숫자를 나타내는 자릿수의 문자열 앞에 덧붙여집니다.

Base conversion

밑수 $b_{1}$ 에 표시된 정수 $n$ 의 밑수 $b_{2}$ 로의 변환은 $b_{2}$ 에 의한 유클리드 나눗셈(Euclidean divisions)의 연속에 의해 수행될 수 있습니다: 밑수 $b_{2}$ 에서 가장-오른쪽 자릿수는 $n$ 을 $b_{2}$ 로 나눈 나머지입니다; 두 번째 가장-오른쪽 자릿수는 몫을 $b_{2}$ 로 나눈 나머지이고, 이런 식으로 계속됩니다. 가장-왼쪽 자릿수는 마지막 몫입니다. 일반적으로, 오른쪽에서 $k$ -번째 자릿수는 $(k -1)$ -번째 몫을 $b_{2}$ 로 나눈 나머지입니다.

예를 들어: A10B_Hex를 십진수 (41227)로 변환:

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (일 자리)
0x101A/10 = 0x19C  R: 2 (십 자리)
 0x19C/10 = 0x29   R: 2 (백 자리)
  0x29/10 = 0x4    R: 1  ...
                      4

더 큰 밑수 (예를 들어, 이진수에서 십진수)로 변환할 때, 나머지는 $b_{1}$ 에서 자릿수를 사용하여 $b_{2}$ 를 단일 자릿수로 나타냅니다. 예를 들어: 0b11111001 (이진수)를 249 (십진수)로 변환:

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" for ones place)
   0b11000/10 = 0b10    R: 0b100  (0b100 =  "4" for tens)
      0b10/10 = 0b0     R: 0b10   (0b10 =   "2" for hundreds)

분수(fractional) 부분에 대해, 변환은 기수 점 (분자) 뒤의 숫자를 가져오고, 목표 기수에서 내포된 분모로 나눔으로써 수행될 수 있습니다. 근사는 만약 비-기약 분수의 분모가 변환할 밑수의 소수 인수(들) 이외의 소수 인수를 가지면 비-종료하는 자릿수의 가능성으로 인해 필요될 수 있습니다. 예를 들어, 십진에서 0.1 (1/10)은 이진수로 0b1/0b1010이고, 이를 해당 기수로 나눔으로써, 그 결과는 0b0.00011입니다 (왜냐하면 10의 소수 인수 중 하나가 5이기 때문입니다). 더 일반적인 분수와 밑수에 대해, 양의 밑수에 대해 알고리듬을 참조하십시오.

실제로는 호너의 방법(Horner's method)이 위에서 요구된 반복된 나눗셈보다 더 효율적입니다.^[14] 위치적 표기법에서 숫자는 각 자릿수가 계수인 다항식으로 생각될 수 있습니다. 계수는 한 자릿수보다 클 수 있으므로, 밑수를 변환하기 위한 효율적인 방법은 각 자릿수를 변환하고, 그런-다음 목표 밑수 내에서 호너의 방법을 통해 다항식을 평가하는 것입니다. 각 자릿수를 변환하는 것은 간단한 조회 테이블(lookup table)이며, 값비싼 나누기 또는 모듈러스 연산에 대한 필요성을 제거합니다; x를 곱하면 오른쪽-이동이 됩니다. 어쨌든, 다른 다항식 평가 알고리듬도 단일 또는 희소 자릿수에 대한 반복 제곱(repeated squaring)과 같은 것도 잘 작동합니다. 예제:

Convert 0xA10B to 41227
 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

 Lookup table:
  0x0 = 0
  0x1 = 1
  ...
  0x9 = 9
  0xA = 10
  0xB = 11
  0xC = 12
  0xD = 13
  0xE = 14
  0xF = 15
 Therefore 0xA10B's decimal digits are 10, 1, 0, and 11.
 
 Lay out the digits out like this. The most significant digit (10) is "dropped":
  10 1   0    11 <- Digits of 0xA10B

  ---------------
  10
 Then we multiply the bottom number from the source base (16), the product is placed under the next digit of the source value, and then add:
  10 1   0    11
     160
  ---------------
  10 161

 Repeat until the final addition is performed:
  10 1   0    11
     160 2576 41216
  ---------------
  10 161 2576 41227
  
 and that is 41227 in decimal.

Convert 0b11111001 to 249
 Lookup table:
  0b0 = 0
  0b1 = 1

Result:
 1  1  1  1  1  0  0   1 <- Digits of 0b11111001
    2  6  14 30 62 124 248
 -------------------------
 1  3  7  15 31 62 124 249

Terminating fractions

유한한 표현을 가지는 숫자는 반-링(semiring)을 형성합니다:

{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.

더 명시적으로, 만약 $p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b$ 가 $b$ 를 지수 $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N}$ 을 갖는 소수 $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P}$ 로 인수분해(factorization)하면,^[15] 비-빈 분모의 집합 $S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$ 과 함께, 우리는 다음을 가집니다:

\mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}

여기서 $\langle S\rangle$ 는 $p\in S$ 에 의해 생성된 그룹이고 ${\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}$ 는 $S$ 에 관한 $\mathbb {Z}$ 의 소위 지역화(localization)입니다.

$\mathbb {Z} _{S}$ 의 원소의 분모(denominator)는 가장 낮은 항으로 줄이면 $S$ 중 소수 인수만 포함합니다. 밑수 $b$ 에 대한 모든 종결하는 분수의 이 링(ring)은 유리수(rational numbers) $\mathbb {Q}$ 의 필드에서 조밀한(dense) 것입니다. 보통의 (아르키메데스) 메트릭에 대해 완비(completion)는 $\mathbb {Q}$ 에 대해, 즉 실수 $\mathbb {R}$ 과 같습니다. 따라서, $S=\{p\}$ 이면 $\mathbb {Z} _{\{p\}}$ 는 $\mathbb {Z} _{(p)}$ , $T=\mathbb {P} \setminus \{p\}$ 를 갖는 $\mathbb {Z} _{T}$ 와 같은 소수(prime) $p$ 에 대해 이산 평가 링(discrete valuation ring)과 혼동되지 않아야 합니다.

만약 $b$ 가 $c$ 를 나누면, $b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z}$ 를 가집니다.

Infinite representations

Rational numbers

비-정수 표현은 점 뒤의 무한한 자릿수의 문자열을 허용하도록 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 1.12112111211112 ... 밑수-3은 무한 급수(series)의 합을 나타냅니다:

{\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}

완전한 무한 자릿수의 문자열은 명시적으로 쓸 수 없기 때문에, 후행 줄임표 (...)는 생략된 자릿수를 지정하며, 이는 일종의 패턴을 따를 수도 있고 따르지 않을 수도 있습니다. 한 가지 공통적인 패턴은 유한한 자릿수의 수열이 무한하게 반복될 때입니다. 이것은 반복하는 블록을 가로질러 괄선(vinculum)을 그림으로써 지정됩니다.

2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}

이것이 반복하는 십진 표기법(repeating decimal notation)입니다 (여기에는 보편적으로 허용되는 단일 표기법이나 표현이 존재하지 않습니다). 밑수 10에 대해, 그것은 반복하는 십진수 또는 순환 십진수라고 불립니다.

무리수(irrational number)는 모든 정수 밑수에서 무한하게 비-반복하는 표현을 가집니다. 유리수(rational number)가 유한 표현을 갖거나 무한 반복하는 표현을 가지는지 여부는 밑수에 따라 다릅니다. 예를 들어, 1/3은 다음에 의해 표현될 수 있습니다:

0.1_{3}

0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}

or, with the base implied:

0.{\overline {3}}=0.3333333\dots

(see also 0.999...)

0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}

0.2_{6}

gcd (p, q) = 1을 갖는 정수 p와 q에 대해, 분수(fraction) p/q는 밑수 b에서 유한 표현을 가지는 것과 q의 각 소수 인수(prime factor)가 역시 b의 소수 인수인 것은 필요충분 조건입니다.

주어진 밑수에 대해, (막대 표기법 없이) 유한 자릿수의 개수로 표현될 수 있는 임의의 숫자는 하나 또는 두 개의 무한 표현을 포함하여 여러 표현을 가질 것입니다:

1. 유한하거나 무한한 수의 영이 덧붙일 수 있습니다:

3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}

2. 마지막 비-영 자릿수는 1만큼 줄어들 수 있고, 각각 밑수보다 일 작은 숫자에 해당하는 자릿수의 무한 문자열이 덧붙입니다 (또는 임의의 다음 영 자릿수를 대체합니다):

3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}

1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad

(see also 0.999...)

220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}

Irrational numbers

(실수) 무리수는 모든 정수 밑수에서 무한히 비-반복하는 표현을 가집니다.

예제는 비-해결가능 n번째 근(nth roots)입니다:

y={\sqrt[{n}]{x}}

이때 $y^{n}=x$ 이고 $y \notin Q$ , 대수적(algebraic)이라고 불리는 숫자, 또는 초월적(transcendental)인 다음과 같은 숫자입니다:

\pi ,e\;.

초월체의 숫자는 셀-수-없는(uncountable) 것이고 유한한 숫자의 기호로 그것들을 기록하는 유일한 방법은 기호 또는 유한한 기호의 수열을 제공하는 것입니다.

Applications

Decimal system

십진 (밑수-10) 힌두-아라비아 숫자-표시 시스템에서, 오른쪽에서 시작하는 각 위치는 10의 더 높은 거듭제곱입니다. 첫 번째 위치는 10⁰ (1), 두 번째 위치는 10¹ (10), 세 번째 위치는 10² (10 × 10 또는 100), 네 번째 위치는 10³ (10 × 10 × 10 or 1000)이고, 이런 식으로 계속됩니다.

분수 값은 구분-기호(separator)에 의해 표시되며, 이는 위치에 따라 다를 수 있습니다. 보통 이 구분-기호는 마침표, 구두 점, 또는 쉼표입니다. 그것의 오른쪽에 있는 자릿수는 10의 음의 거듭제곱 또는 지수를 곱합니다. 구분 기호의 오른쪽에 있는 첫 번째 위치는 10⁻¹ (0.1), 두 번째 위치는 10⁻² (0.01)이고, 각 연속 위치에 대해 계속됩니다.

예제로, 밑수-10 숫자-표시 시스템에서 숫자 2674는 다음과 같습니다:

(2 × 10³) + (6 × 10²) + (7 × 10¹) + (4 × 10⁰)

또는

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Sexagesimal system

육십진 또는 밑수-60 시스템은 바빌로니아 숫자-표시와 기타 메소포타미아 시스템의 정수와 분수 부분에 사용되었고, 헬레니즘 천문학자에 의해 분수 부분에만 그리스 숫자-표시를 사용했었고, 현대 시간과 각도에 대해 여전히 사용되지만, 분과 초에 대해 오직 사용됩니다. 어쨌든, 이들 사용의 모두가 위치적 것은 아닙니다.

현대 시간은 각 위치를 콜론이나 프라임 기호(prime symbol)에 의해 구분합니다. 예를 들어, 시간은 10:25:59 (10시 25분 59초)일 수 있습니다. 각도는 유사한 표기법을 사용합니다. 예를 들어, 각도는 10°25′59″ (10도 25분 59초)일 수 있습니다. 둘 다 경우에서, 분과 초만 육십진 표기법을 사용합니다—원형 각도는 59보다 클 수 있고 (원을 한 바퀴 돌면 360°, 두 번 회전하면 720°, 등) 시간과 각도 둘 다는 초의 십진 분수를 사용합니다. 이것은 더 미세한 증분을 위해 3분의 1, 4분의 1 등을 사용했던 헬레니즘과 르네상스 천문학자들에 의해 사용된 숫자와 대조됩니다. 우리가 10°25′59.392″라고 쓸 수 있는 곳에서, 그들은 10°25 $\scriptstyle {{}^{\prime }}$ 59 $\scriptstyle {{}^{\prime \prime }}$ 23 $\scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime }}$ 31 $\scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime }}$ 12 $\scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime \prime }}$ 또는 ⁱ59ⁱⁱ23ⁱⁱⁱ31^iv12^v라고 써 왔습니다.

대문자와 소문자를 갖는 자릿수 집합을 사용하면 육십진수에 대한 짧은 표기법을 허용합니다. 예를 들어, 10:25:59는 'ARz'가 되며 (I와 O는 생략하지만, i와 o는 생략하지 않음), 이는 URL, 등에서 사용에 대해 유용하지만, 그것은 사람이 잘 이해할 수 없습니다.

1930년대에, 오토 노이게바우어(Otto Neugebauer)는 각 위치에서 0에서 59까지의 현대 십진 표기법을 대체하는 바빌로니아와 헬레니즘 숫자에 대한 현대 표기 시스템을 도입했지만, 세미콜론 (;)을 사용하여 숫자의 정수 부분과 분수 부분을 구분하고 쉼표 (,)를 사용하여 각 부분 내의 위치를 구분합니다.^[16] 예를 들어, 바빌로니아와 헬레니즘 천문학자들에 의해 사용되고 여전히 히브리 달력에서 사용되는 평균 공의회 월은 29;31,50,8,20 일이고, 위의 예에서 사용된 각도는 10;25,59,23,31,12 도로 쓰였을 것입니다.

Computing

컴퓨팅(computing)에서, 이진 (밑수-2), 팔진 (밑수-8), 및 십육진 (밑수-16) 밑수는 가장 공통적으로 사용됩니다. 가장 기본적인 수준에서, 컴퓨터는 기존의 0과 1의 수열로만 처리하고, 따라서 이러한 의미에서 2의 거듭제곱을 다루는 것이 더 쉽습니다. 십육진 시스템은 이진법에 대해 "약칭"으로 사용됩니다—모든 각 4개의 이진 자릿수 (비트)는 단 하나의 십육진 자릿수와 관련됩니다. 십육진수에서, 9 뒤의 여섯 자릿수는 A, B, C, D, E, 및 F (및 때로는 a, b, c, d, e, 및 f)에 의해 표시됩니다.

팔진 숫자 시스템은 이진수를 나타내기 위한 또 다른 방법으로도 사용됩니다. 이 경우에서, 밑수는 8이고 따라서 자릿수 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 및 7만 사용됩니다. 이진수에서 팔진수로 변환할 때, 모든 각 3비트는 오직 하나의 8진수와 관련됩니다.

십육진수, 십진수, 팔진수, 및 기타 다양한 기준이 이진수-에서-텍스트 인코딩, 임의-정밀도 산술의 구현, 및 기타 응용에 사용되어 왔습니다.

밑수의 목록과 그것들의 응용에 대해, 숫자-표시 시스템의 목록을 참조하십시오.

Other bases in human language

밑수-12 시스템 (십이진 또는 십이진법)은 곱셈과 나눗셈이 밑수-10보다 쉽고, 덧셈과 뺄셈도 쉽기 때문에 널리 사용되었습니다. 12는 그것이 많은 인수(factors)를 가지기 때문에 유용한 밑수입니다. 그것은 1, 2, 3, 4, 및 6의 가장 작은 공배수입니다. 영어에서 여전히 "dozen"에 대한 특별한 단어가 있고, 10²에 대한 단어, hundred와 유추에 의해, 상업적으로 12²에 대한 단어, gross를 개발했습니다. 표준 12-시간 시계와 영어 단위에서 12의 공통적인 사용은 밑수의 유용성을 강조합니다. 게다가, 십진수로 그것의 변환하기 전에, 구 영국 통화 파운드 스털링 (GBP)은 부분적으로 밑수-12를 사용했습니다; 실링 (s)에서 12 펜스 (d), 파운드 (£)에서 20실링, 및 따라서 파운드에서 240 펜스가 있었습니다. 그러므로 용어 LSD, 또는 더 적절하게는 £sd입니다.

콜럼버스-이전 메소아메리카(Mesoamerica)의 마야 문명과 다른 문명은 밑수-20 (이십진수)을 사용했었고, 몇몇 북미 부족 (2개는 캘리포니아 남부에 있음)도 사용했습니다. 밑수-20 세는 시스템의 증거는 중부와 서부 아프리카의 언어에서도 발견됩니다.

갈리아어(Gaulish) 밑수-20 시스템의 나머지 부분은 오늘날 60에서 99까지의 숫자 이름에서 볼 수 있듯이 프랑스어에도 존재합니다. 예를 들어, 육십-오는 soixante-cinq (문자 그대로 "육십 [과] 오")이고, 반면 칠십-오는 soixante-quinze (문자 그대로 "육십 [과] 십오")입니다. 게다가, 80에서 99 사이의 임의의 숫자에 대해, "십단위-열" 숫자는 이십의 배수로 표시됩니다. 예를 들어, 팔십-이는 quatre-vingt-deux (문자 그대로, 넷의 이십[들] [과] 이)이고, 구십-이는 quatre-vingt-douze (문자 그대로, 넷의 이십[들] [과] 십이)입니다. 고대 프랑스어에서, 사십은 이 이십으로 표현되고 육십은 삼 이십으로 표현되었으므로, 오십-삼은 이 이십과 십삼으로 표현되고, 이런 식이었습니다.

영어에서, 같은 밑수-20 셈이 "점수"의 사용에 나타납니다. 대부분 역사적이지만, 그것은 가끔 구어체로 사용됩니다. 킹제임스 성경 시편 90편 10절은 "The days of our years are threescore years and ten; and if by reason of strength they be fourscore years, yet is their strength labour and sorrow"라고 시작합니다. 게티즈버그 연설은 "Four score and seven years ago"으로 시작합니다.

아일랜드 언어는 역시 과거에 밑수-20을 사용했으며, 이십은 fichid, 사십은 dhá fhichid, 육십은 trí fhichid이고 팔십은 ceithre fhichid입니다. 이 시스템의 잔재는 40에 대한 현대 단어, daoichead에서 볼 수 있습니다.

웨일즈 언어는 특히 사람의 나이, 날짜 및 일반적인 문구에 대해 밑수-20 세는 시스템을 계속 사용합니다. 15는 역시 중요하며, 16–19는 "one on 15", "two on 15", 등입니다. 18은 통상적으로 "two nines"입니다. 십진 시스템이 공통적으로 사용됩니다.

이누이트 언어는 밑수-20 세는 시스템을 사용합니다. 1994년 알래스카, 칵토빅에서 온 학생들이 밑수-20 숫자-표시 시스템을 발명했습니다.^[17]

덴마크 숫자-표시는 유사한 밑수-20 구조를 나타냅니다.

뉴 질랜드의 마오리 언어는 역시 전쟁 회합을 참조하는 용어 Te Hokowhitu a Tu (문자 그대로 "the seven 20s of Tu")와 위대한 전사를 참조하는 용어 Tama-hokotahi ("the one man equal to 20")에서 볼 수 있는 밑수-20 시스템의 증거를 가집니다.

이진 시스템은 기원전 3000년부터 기원전 2050년까지 이집트 고대 왕국에서 사용되었습니다. 그것은 일보다 작은 유리수를 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64로 반올림하여 필기체로 작성되었으며, 1/64 항은 버려졌습니다. (그 시스템은 호루스의 눈(Eye of Horus)이라고 불립니다).

많은 호주 원주민 언어는 이진수 또는 이진수와-같은 세는 시스템을 사용합니다. 예를 들어, Kala Lagaw Ya에서, 일에서 육까지의 숫자는 urapon, ukasar, ukasar-urapon, ukasar-ukasar, ukasar-ukasar-urapon, ukasar-ukasar-ukasar입니다.

북미와 중미 원주민은 밑수-4 (사진법)을 넷의 순서-숫자 방향을 나타내기 위해 사용했습니다. 메소아메리카는 수정된 밑수-20 시스템을 만들기 위해 두 번째 밑수-5 시스템을 추가하는 경향이 있습니다.

밑수-5 시스템 (오진법)은 계산을 위해 많은 문화권에서 사용되어 왔습니다. 분명히 그것은 사람 손의 자릿수를 기반으로 합니다. 그것은 역시 밑수-10, 밑수-20, 및 밑수-60과 같은 다른 밑수의 부분-밑수로 고려될 수도 있습니다.

밑수-8 시스템 (팔진법)은 1에서 8까지의 자릿수에 해당하는 숫자를 셀 때 손가락 사이의 공백을 사용하는 북부 캘리포니아의 Yuki 부족에 의해 고안되었습니다.^[18] 청동기 시대 인도유럽조어 (대부분의 유럽과 인도어가 파생됨)가 밑수-8 시스템 (또는 8까지만 셀 수 있는 시스템)을 밑수-10 시스템으로 대체했을 수 있음을 시사하는 언어학적 증거도 있습니다. 증거는 9에 대한 단어 newm이 "new"에 대한 단어 newo-에서 파생된 것으로 일부 사람들에 의해 제안되었으며, 이는 숫자 9가 최근에 발명되어 "new number"라고 불렀음을 시사합니다.^[19]

많은 고대 세는 시스템은 다섯을 주요 밑수로 사용하며, 거의 확실하게 사람의 손에 있는 손가락 수에서 비롯됩니다. 종종 이들 시스템은 이차 밑수, 때로는 십, 때로는 이십으로 보완됩니다. 일부 아프리카 언어에서 다섯에 대해 단어는 "손" 또는 "주먹" (Guinea-Bissau의 Dyola language, Central Africa의 Banda language)과 같습니다. 이차 밑수에 도달할 때까지 5의 조합에 1, 2, 3, 또는 4를 더함으로써 계산을 계속합니다. 이십의 경우에서, 이 단어는 종종 "완전한 사람"을 의미합니다. 이 시스템은 quinquavigesimal이라고 참조됩니다. 그것은 수단 지역의 여러 언어에서 볼 수 있습니다.

파푸아뉴기니에서 사용되는 Telefol language는 밑수-27 숫자-표시 시스템을 가지고 있는 것으로 유명합니다.

Non-standard positional numeral systems

밑수가 고정되지 않거나 양수가 아닐 때와 자릿수 기호 집합이 음수 값을 나타낼 때 흥미로운 속성이 있습니다. 더 많은 변형이 있습니다. 이들 시스템은 컴퓨터 과학자에게 실용적이고 이론적인 가치가 있습니다.

균형된 삼진법(balanced ternary)은^[20] 3의 밑수를 사용하지만 자릿수의 집합은 {0,1,2} 대신 {1,0,1}입니다. "1"은 −1의 동등한 값을 가집니다. 숫자의 부정은 1들 위에 로 전환함으로써 쉽게 형성됩니다. 이 시스템은 알려지지 않은 무게를 결정하기 위해 알려진 균형-추의 최소 집합을 찾아야 하는 균형 문제(balance problem)를 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 1, 3, 9, ... 3ⁿ 알려진 단위의 가중값은 최대 1 + 3 + ... + 3ⁿ 단위까지 알려지지 않은 가중값을 결정하기 위해 사용될 수 있습니다. 무게는 저울의 양쪽에 추를 사용하거나 전혀 사용하지 않을 수 있습니다. 무게를 알 수 없는 저울 팬에 사용된 무게는 1로 지정되고, 빈 팬에 사용되면 1로, 사용되지 않으면 0으로 지정됩니다. 만약 미지수 무게 W가 팬 위에 3 (3¹)과 다른 팬 위에 1과 27 (3⁰ 및 3³)로 균형을 이루면, 십진수에서 그 무게는 균형된 밑수-3에서 25 또는 1011입니다.

10113 = 1 \times 3 3 + 0 \times 3 2 - 1 \times 3 1 + 1 \times 3 0 = 25.

팩토리얼 숫자 시스템은 다양한 기수를 사용하여, 팩토리얼을 자리 값으로 제공합니다; 그것들은 중국의 나머지 정리와 잔여 숫자 시스템 열거와 관련이 있습니다. 이 시스템은 순열을 효과적으로 열거합니다. 이것의 파생물은 하노이 탑 퍼즐 구성을 세는 시스템으로 사용합니다. 타워의 구성은 구성이 발생하는 단계에서 십진수 카운트와 1-대-1 대응 관계에 놓일 수 있고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

Decimal equivalents	−3	−2	−1	1	2	3	4	5	6	7	8
Balanced base 3	10	11	1	1	11	10	11	111	110	111	101
Base −2	1101	10	11	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
Factoroid				10	100	110	200	210	1000	1010	1100

Non-positional positions

각 위치는 위치 자체가 필요하지 않습니다. 바빌로니아 육십진 숫자-표시는 위치적이었지만, 각 위치에서 일과 십을 나타내는 두 종류의 쐐기 그룹이 있었습니다 (일에 대해 좁은 수직 쐐기 |, 십에 대해 열린 왼쪽 가리키는 쐐기 ⟨) — 위치당 최대 5+9=14 기호 (즉, 5 십 ⟨⟨⟨⟨⟨ 및 9 일 |||||||| 최대 3계층의 기호를 포함하는 하나 또는 두 개의 가까운 사각형으로 그룹화되거나, 위치의 부족에 대해 자리 표시자 (\\)를 표시합니다).^[21] 헬레니즘 천문학자들은 각 위치에 하나 또는 두 개의 알파벳 그리스 숫자를 사용했습니다 (10–50을 나타내는 5개 문자 중에서 선택된 하나 및/또는 1–9, 또는 영 기호(zero symbol)를 나타내는 9개 문자 중에서 선택된 하나입니다).^[22]

Notes

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^ The digit will retain its meaning in other number bases, in general, because a higher number base would normally be a notational extension of the lower number base in any systematic organization. In the mathematical sciences there is virtually only one positional-notation numeral system for each base below 10, and this extends with few, if insignificant, variations on the choice of alphabetic digits for those bases above 10.
^ We do not usually remove the lowercase digits "l" and lowercase "o", for in most fonts they are discernible from the digits "1" and "0".
^ User 'Gone'. "number systems - How to change from base $n$ to $m$". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 6 August 2020. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)
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References

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External links

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[4] Ifrah, page 187

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[12] The digit will retain its meaning in other number bases, in general, because a higher number base would normally be a notational extension of the lower number base in any systematic organization. In the mathematical sciences there is virtually only one positional-notation numeral system for each base below 10, and this extends with few, if insignificant, variations on the choice of alphabetic digits for those bases above 10.

[13] We do not usually remove the lowercase digits "l" and lowercase "o", for in most fonts they are discernible from the digits "1" and "0".

[14] User 'Gone'. "number systems - How to change from base $n$ to $m$". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 6 August 2020. {{cite web}}: |last1= has generic name (help)

[15] The exact size of the $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}$ does not matter. They only have to be ≥ 1.

[16] Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, vol. 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, p. 2, archived from the original on 1 October 2016, retrieved 18 September 2019

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[18] Barrow, John D. (1992), Pi in the sky: counting, thinking, and being, Clarendon Press, p. 38, ISBN 9780198539568.

[19] (Mallory & Adams 1997) Encyclopedia of Indo-European Culture

[20] Knuth, pages 195–213

[21] Ifrah, pages 326, 379

[22] Ifrah, pages 261–264

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