Probability measure

Original article: w:Probability measure

In many cases, statistical physics uses probability measures, but not all measures it uses are probability measures.

수학(mathematics)에서, 확률 측정(probability measure)은 셀-수-있는 덧셈성(countable additivity)과 같은 측정(measure) 속성을 만족시키는 확률 공간(probability space)에서 사건의 집합 위에 정의된 실수-값 함수(real-valued function)입니다. 확률 측정과 (넓이(area) 또는 부피(volume)와 같은 개념을 포함하는) 측정의 보다 일반적인 개념 사이의 차이는 확률 측정은 전체 확률 공간에 값 1을 반드시 지정해야 한다는 것입니다.

직관적으로, 덧셈성 속성은 그 측정에 의한 두 서로소 사건의 합집합에 할당된 확률은 사건의 확률의 합이어야 한다고 말합니다; 예를 들어, 주사위를 던짐에서 "1 또는 2"에 할당된 값은 "1"과 "2"에 할당된 값의 합이어야 합니다.

확률 측정은 물리학에서 금융 및 생물학에 이르기까지 다양한 분야에 응용을 가집니다.

Definition

A probability measure mapping the probability space for 3 events to the unit interval.

확률 공간(probability space)에 대한 확률 측정이 되는 함수 μ에 대해 요구-사항은 다음인 것입니다:

• μ는 단위 구간(unit interval) [0, 1]에서 결과를 반드시 반환해야 하며, 0에 대해 빈 집합 및 1에 대해 전체 집합을 반환합니다.

• μ는 쌍별 서로소 집합(disjoint sets)의 모든 셀-수-있는(countable) 모음 $\{E_{i}\}$에 대해 다음인 셀-수-있는 덧셈섬 속성을 반드시 만족시켜야 합니다:

$\mu {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}E_{i}{\Bigr )}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i}).$

예를 들어, 확률 1/4, 1/4 및 1/2을 갖는 세 원소 1, 2 및 3이 주어지면, {1, 3}에 할당된 값은, 오른쪽에 그림에서 처럼, 1/4 + 1/2 = 3/4입니다.

다음으로 정의된 사건의 교집합에 기초한 조건부 확률(conditional probability)

$\mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.$

은 $\mu (A)$가 영인 동안은 확률 측정 요구-사항을 만족시킵니다.

확률 측정은 퍼지 측정(fuzzy measures)의 보다 일반적인 개념과 구별하야 하며 그것에서 퍼지 값이 합해져서 1이 되는 요구-사항이 없고, 덧셈 속성은 집합 포함(set inclusion)에 기초한 순서 관계로 대체됩니다.

Example applications

실제 시장 움직임을 기반으로 금융 시장(financial market) 공간에 확률을 할당하는 시장 측정은 수학적 금융(mathematical finance), 예를 들어, 금융 파생-상품(financial derivative)의 가격화에 관심이 있는 확률 측정의 예제입니다. 예를 들어, 위험-중립 측정(risk-neutral measure)은 자산의 현재 가치가 같은 위험 중립 측정 (즉, 해당하는 위험 중립 밀도 함수를 사용하여 계산됨)와 관해 취해진 미래 지불액의 기댓값(expected value)이라고 가정하는 확률 측정이고, 위험-없는 율(risk-free rate)에서 할인(discounted)됩니다. 만약 시장에서 자산의 가격을 책정하기 위해 사용해야 하는 고유한 확률 측정이 있으면, 그 시장은 완전한 시장(complete market)으로 불립니다.

기회 또는 가능성을 직관적으로 나타내는 모든 측정이 확률 측정인 것은 아닙니다. 예를 들어, 비록 통계적 역학(statistical mechanics)에서 시스템의 기본 개념이 측정 공간일지라도, 그러한 측정이 항상 확률 측정은 아닙니다. 일반적으로, 통계적 물리학에서, 만약 우리가 형식 "상태 A를 가정하는 시스템 S의 확률이 p"의 문장을 고려하면, 시스템의 기하학은, 비록 단지 일 자유도를 가진 시스템의 경우에서 그렇게 할 수 있을지라도, 합동 아래(under congruence)에서 확률 측정의 정의로 항상 이어지지는 않습니다. 자유도가 1 인 시스템의 경우에도 마찬가지입니다.

확률 측정은 수학적 생물학(mathematical biology)에서 역시 사용됩니다. 예를 들어, 비교의 수열 해석(sequence analysis)에서, 확률 측정은 변이가 수열에서 아미노산(amino acid)에 대해 허용될 수 있는 가능성에 대해 정의될 수 있습니다.

See also

• Borel measure
• Fuzzy measure
• Haar measure
• Martingale measure
• Lebesgue measure

Further reading

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. John Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
• Ash, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Probability & Measure Theory. Academic Press. ISBN 0-12-065202-1.

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