Zero of a function

A graph of the function

\cos(x)

for

x

in

\left[-2\pi ,2\pi \right]

, with zeros at

-{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}

, and

{\tfrac {3\pi }{2}},

marked in red.

수학(mathematics)에서, 실수(real)-, 복소수(complex)-, 또는 일반적으로 벡터-값 함수(vector-valued function) $f$ 의 (역시 때때로 근(root)으로 불리는) 영(zero)은, $f(x)$ 가 $x$ 에서 영이 되는 것을 만족하는 $f$ 의 도메인(domain)의 구성원 $x$ 입니다; 즉 함수 $f$ 는 $x$ 에서 0의 값에 도달합니다.^[1] 또는 동등하게, $x$ 는 방정식 $f(x)=0$ 의 해(solution)입니다.^[2] 함수의 "영"은 따라서 $0$ 의 출력을 생성하는 입력 값입니다.^[3]

다항식(polynomial)의 근(root)은 해당하는 다항 함수(polynomial function)의 영입니다.^[2] 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 임의의 비-영 다항식(polynomial)은 많아야 그의 차수(degree)와 같은 숫자의 근을 가지고, 우리가 그들의 중복도(multiplicities)와 함께 세는, 복소수 근 (또는 보다 일반적으로 대수적으로 닫힌 확장(algebraically closed extension)의 근)을 고려할 때, 근의 숫자와 차수가 같다는 것을 보여줍니다.^[4] 예를 들어, 차수 2의 다항식 $f$ 가 다음으로 정의되면,

f(x)=x^{2}-5x+6

이 방정식은 두 근 $2$ 와 $3$ 을 가지는데, 왜냐하면

f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad {\textrm {and}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0

.

만약 함수가 실수에서 실수로 매핑하면, 그의 영은 그의 그래프(graph)가 x-축(x-axis)과 만나는 점의 $x$ -좌표입니다. 이런 문맥에서 그러한 점 $(x,0)$ 의 대안적인 이름은 $x$ -절편입니다.

Solution of an equation

미지수(unknown) $x$ 에서 모든 각 방정식(equation)은, 왼쪽 변에서 모든 항을 재-그룹화함으로써, 다음으로 쓰일 수 있습니다:

f(x)=0

그것은 그러한 식의 해는 함수 $f$ 의 영과 정확히 같음을 따릅니다. 다시 말해, "함수의 영"은 정확하게 "함수를 0과 같게 함으로써 얻어진 방정식의 해"이고, 함수의 영의 연구는 방정식의 해의 연구와 정확하게 같습니다.

Polynomial roots

홀수 차수(degree)의 모든 각 실수 다항식은 (중복도(multiplicities)를 세어서) 홀수의 실수 근을 가집니다; 마찬가지로, 짝수 차수의 실수 다항식은 반드시 짝수의 실수 근을 가집니다. 결론적으로, 실수 홀수 다항식은 반드시 적어도 하나의 실수 근을 가지며 (왜냐하면 가장 작은 홀수 자연수는 1이기 때문입니다), 반면에 짝수 다항식은 실수 근을 가지지 않을 수 있습니다. 이 원리는 사잇값 정리(intermediate value theorem)를 참조하여 증명될 수 있습니다: 왜냐하면 다항 함수는 연속(continuous)이므로, 함수 값은, 음수에서 양수로 또는 그 반대로 변경되는 과정에서, 항상 영을 반드시 가로질러야 합니다 (이것은 홀수 함수에 대해 항상 발생합니다).

Fundamental theorem of algebra

대수학의 기본 정리는 차수 $n$ 의 모든 각 다항식은, 그들의 중복도와 함께 세어서, $n$ 복소수 근을 가진다고 말합니다. 실수 계수를 가진 다항식의 비-실수 근은 켤레(conjugate) 쌍으로 나옵니다.^[3] 비에타의 공식(Vieta's formulas)은 다항식의 계수를 그의 근의 합과 곱에 관련시킵니다.

Computing roots

함수, 예를 들어 다항 함수(polynomial function)의 근을 계산하는 것은 특수한 또는 근사(approximation) 기법 (예를 들어, 뉴턴의 방법(Newton's method))의 사용을 요구합니다. 어쨌든, 4보다 크지 않은 차수(degree)의 모든 함수를 포함하여, 일부 다항 함수는 그들의 계수에 관해 대수적으로(algebraically) 표현된 모든 그들의 근을 가질 수 있습니다 (자세한 것에 대해 대수적 해(algebraic solution)를 참조하십시오).

Zero set

수학의 다양한 분야에서, 함수(function)의 영 집합(zero set)은 모든 그의 근의 집합입니다. 보다 정확하게, 만약 $f:X\to \mathbb {R}$ 가 실수-값 함수(real-valued function) (또는, 보다 일반적으로 일부 덧셈의 그룹(additive group)에서 값을 취하는 함수)이면, 그의 영 집합은 $f^{-1}(0)$ , $X$ 에서 $\{0\}$ 의 역 이미지(inverse image)입니다.

용어 영 집합은, 무한하게 많은 영이 있고, 그들이 일부 비-자명한 토폴로지 속성(topological properties)을 가질 때, 일반적으로 사용됩니다. 예를 들어, 함수 $f$ 의 수준 집합(level set)은 $f-c$ 의 영 집합입니다. $f$ 의 여영 집합(cozero set)은 $f$ 의 영 집합의 여(complement)입니다 (즉, $f$ 가 비-영인 것에 대한 $X$ 의 부분집합).

Applications

대수 기하학(algebraic geometry)에서, 대수적 다양체(algebraic variety)의 첫 번째 정의는 영 집합을 통하는 것입니다. 구체적으로, 아핀 대수적 집합(affine algebraic set)은, 필드(field)에 걸쳐 다항식 링(polynomial ring) $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ 에서, 여러 다항식의 영 집합의 교집합(intersection)입니다. 이런 맥락에서, 영 집합은 영 자취(zero locus)라고 불립니다.

해석학(analysis) 및 기하학(geometry)에서, $\mathbb {R} ^{n}$ 의 임의의 닫힌 부분-집합(closed subset)은 모든 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 정의된 매끄러운 함수(smooth function)의 영 집합입니다. 이것은 파라컴팩트성(paracompactness)의 따름정리로 임의의 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)로 확장됩니다.

미분 기하학(differential geometry)에서, 영 집합은 매니폴드(manifold)를 정의하기 위해 종종 사용됩니다. 중요한 특별한 경우는, $f$ 가 $\mathbb {R} ^{p}$ 에서 $\mathbb {R} ^{n}$ 로의 매끄러운 함수(smooth function)인 경우입니다. 만약 영이 $f$ 의 정규 값(regular value)이면, $f$ 의 영 집합은 정규 값 정리(regular value theorem)에 의해 차원 $m=p-n$ 의 매끄러운 매니폴드입니다.