Scalar multiplication

Original article: w:Scalar multiplication

Not to be confused with scalar product.

Scalar multiplication of a vector by a factor of 3 stretches the vector out.

The scalar multiplications −a and 2a of a vector a

수학(mathematics)에서, 스칼라 곱셈(scalar multiplication)은 선형 대수(linear algebra)에서 벡터 공간(vector space) (또는 보다 일반적으로, 추상 대수학(abstract algebra)에서 모듈(module))을 정의하는 기본 연산 중 하나입니다. 공통 기하학적 문맥에서, 양의 실수에 의한 실수(real) 유클리드 벡터(Euclidean vector)의 스칼라 곱셈은 그것의 방향을 변경없이 벡터의 크기를 곱합니다. 용어 "스칼라(scalar)" 자체는 이 사용법에서 파생됩니다: 스칼라는 벡터의 스케일(scales)하는 것입니다. 스칼라 곱셈은 스칼라에 의한 벡터의 곱셈이고 (여기서 곱은 벡터입니다), 두 벡터의 안의 곱(inner product)과 구별되는 것입니다 (여기서 곱은 스칼라입니다).

Definition

일반적으로, 만약 K가 필드(field)이고 V가 K에 걸쳐 벡터 공간이면, 스칼라 곱셈은 K × V에서 V로의 함수(function)입니다. 이 함수를 K에서 k와 V에서 v에 적용한 결과는 kv로 표시됩니다.

Properties

스칼라 곱셈은 다음 규칙을 따릅니다 (굵은-글씨에서 벡터):

• 스칼라에서 덧셈성(Additivity): (c + d)v = cv + dv;
• 벡터에서 덧셈성: c(v + w) = cv + cw;
• 스칼라의 곱과 스칼라 곱셈의 호환성: (cd)v = c(dv);
• 1에 의한 곱셈은 벡터를 변경하지 않습니다: 1v = v;
• 0에 의한 곱셈은 영 벡터(zero vector)를 제공합니다: 0v = 0;
• −1에 의한 곱셈은 덧셈의 역(additive inverse)을 제공합니다: (−1)v = −v.

여기서, +는 필드에서 또는 벡터 공간에서 적절한 덧셈(addition)입니다; 그리고 0은 둘에서 덧셈의 항등원입니다. 병치(Juxtaposition)는 스칼라 곱셈 또는 필드에서 곱셈(multiplication) 연산을 나타냅니다.

Interpretation

스칼라 곱셈은 외부(external) 이진 연산(binary operation) 또는 벡터 공간 위에 필드의 동작(action)으로 보일 수 있습니다. 스칼라 곱셈의 기하학적(geometric) 해석은 그것이 벡터를 상수 인수만큼 늘이거나, 축소한다는 것입니다. 결과적으로, 그것은 원래 벡터와 같은 방향 또는 반대 방향에서 다른 길이의 벡터를 생성합니다.

특별한 경우로, V는 K 자체로 취할 수 있고 스칼라 곱셈은 그런-다음 필드에서 단순히 곱셈으로 취할 수 있습니다.

V가 Kⁿ일 때, 스칼라 곱셈은 각 성분에 스칼라를 곱하는 것과 동등하고, 그렇게 정의될 수 있습니다.

같은 아이디어는 만약 K가 교환 링(commutative ring)이고 V가 K에 걸쳐 모듈(module)이면 적용됩니다. K는 심지어 리그(rig)일 수도 있지만, 그때에 덧셈의 역은 없습니다. 만약 K가 교환적(commutative)이 아니면, 구별되는 연산 왼쪽 스칼라 곱셈 cv와 오른쪽 스칼라 곱셈 vc가 정의될 수 있습니다.

Scalar multiplication of matrices

Main article: Matrix (mathematics)

행렬 A와 스칼라 λ의 왼쪽 스칼라 곱셈은 A와 같은 크기의 또 다른 행렬을 제공합니다. 그것은 λA에 의해 표시되며, λA의 엔트리는 다음에 의해 정의됩니다:

$(\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,$

명시적으로:

$\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.$

유사하게, 행렬 A와 스칼라 λ의 오른쪽 스칼라 곱셈은 다음으로 정의됩니다:

$(\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,$

명시적으로:

$\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.$

놓여있는 링(ring)이 교환적(commutative)일 때, 예를 들어, 실수(real) 또는 복소수(complex number) 필드(field)일 때, 이들 두 곱셈은 같고, 단순히 스칼라 곱셈이라고 불립니다. 어쨌든, 쿼터니언(quaternion)과 같이 교환적이지 않은 보다 일반적인 링(ring)에 걸쳐 행렬에 대해, 그것들은 같지 않을 수 있습니다.

실수 스칼라와 행렬에 대해:

$\lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

$2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.$

쿼터니언 스칼라와 행렬에 대해:

$\lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}$

$i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,$

여기서 i, j, k는 쿼터니언 단위입니다. 쿼터니언 곱셈의 비-교환성은 ij = +k를 ji = −k로 변경하는 전이를 방지합니다.

See also

• Dot product
• Matrix multiplication
• Multiplication of vectors
• Product (mathematics)