Secant line

기하학(geometry)에서, 가름선은 최소 둘의 개별 점(points)에서 곡선(curve)을 교차하는 직선(line)입니다.^[1] 단어 secant는 to cut를 의미하는 라틴 단어 secare에서 유래했습니다.^[2] 원(circle)의 경우에서, 할선은 정확하게 두 점에서 원과 교차합니다. 현(chord)은 두 점에 의해 결정되는 선분(line segment), 즉 그것의 끝이 두 점인 가름선의 구간(interval)입니다.^[3]

Circles

직선은 원과 영, 하나, 또는 둘의 점에서 교차할 수 있습니다. 두 점에서 교차하는 직선은 가름 직선이라고 불리며, 한 점에서 접하는 직선이고 교차하는 점이 없는 것은 외부 직선입니다. 현은 원의 두 점을 연결하는 선분입니다. 현은 따라서 고유한 가름 라인에 포함되고 각 가름 직선은 고유한 현을 결정합니다.

평면 기하학(plane geometry)의 엄격한 현대 처리에서, 유클리드(Euclid) 처리에서 그에 의해 (명제없이) 명백하게 보이고 가정되었던 결과가 보통 입증됩니다.

예를 들어, Theorem (Elementary Circular Continuity):^[4] 만약 ${\mathcal {C}}$ 가 원이고 $\ell$ 가 ${\mathcal {C}}$ 내부에 있는 점 $A$ 와 ${\mathcal {C}}$ 외부에 있는 점 $B$ 를 포함하는 직선이면 $\ell$ 는 ${\mathcal {C}}$ 에 대해 가름 직선입니다.

어떤 상황에서, 현 대신 가름 직선으로 결과를 구하는 것이 명제를 통일하는 데 도움이 될 수 있습니다. 이에 대한 예제는 다음 결과를 생각해 보십시오:^[5]

만약 두 가름 직선이 원에서 현

AB

와

CD

를 포함하고 원 위에 있지 않는 점

P

에서 교차하면, 그 선분의 길이는

AP \cdot PB = CP \cdot PD

을 만족시킵니다.

만약 점 $P$ 가 원 내부에 놓이면 이것이 유클리드 III.35이지만, 만약 그 점이 원의 밖에 있으면 그 결과는 원론에 포함되지 않습니다. 어쨌든, 크리스토퍼 클라비우스(Christopher Clavius)를 따르는 로버트 심슨(Robert Simson)은 유클리드에 대한 주석에서 때때로 가름선-가름선 정리(secant-secant theorem)라고 불리는 이 결과를 시연했습니다.^[6]

Curves

단순한 원보다 더 복잡한 곡선에 대해, 두 별개의 점보다 많은 곳에서 곡선을 교차하는 직선이 발생할 가능성이 있습니다. 일부 저자는 곡선에 대한 가름 직선을 둘의 별개의 점에서 곡선을 교차하는 직선으로 정의합니다. 이 정의는 직선이 곡선과 다른 교차 점을 가질 수 있는 열린 가능성을 남겨둡니다. 이런 방법으로 표현될 때, 원과 곡선에 대해 가름 직선의 정의가 동일하고 추가적인 교차 점이 단지 원에 대해 발생하지 않습니다.

Secants and tangents

가름선은 만약 그것이 존재하면 어떤 점 $P$ 에서 곡선(curve)에 대한 접하는(tangent) 직선을 근사화(approximate)하기 위해 사용될 수 있습니다. 고정된 $P$ 와 변하는 Q를 갖는 두 점(points), $P$ 와 $Q$ 로 곡선에 대한 가름선을 정의합니다. $Q$ 가 곡선을 따라 $P$ 에 접근함에 따라, 만약 가름선의 기울기(slope)가 극한 값(limit value)에 접근하면, 해당 극한은 $P$ 에서 접선의 기울기를 정의합니다.^[1] 가름 직선 $PQ$ 는 접하는 직선에 대한 근사입니다. 미적분학에서, 이 아이디어는 도함수(derivative)의 기하학적 정의입니다.

The tangent line at point $P$ is a secant line of the curve

점 $P$ 에서 곡선에 접하는 직선은 만약 그것이 $P$ 이외의 적어도 하나의 점에서 곡선과 교차하면 해당 곡선에 대한 가름 선직일 수 있습니다. 이것을 보는 또 다른 방법은 점 $P$ 에서 접하는 직선이 되는 것이 $P$ 바로 이웃의 곡선 위에 오직 의존하는 지역적 속성이고, 반면에 가름 직선은 곡선을 생성하는 함수의 전체 도메인이 조사되어야 하기 때문에 전역 속성임을 깨닫는 것입니다.

Sets and $n$ -secants

가름 직선의 개념은 유클리드 공간보다 더 일반적인 설정에 적용될 수 있습니다. $K$ 를 어떤 기하학적 설정에서 $k$ 점의 유한 집합으로 놓습니다. 직선은 만약 그것이 정확하게 $K$ 의 $n$ 점을 포함하면 $K$ 의 $n$ -가름선이라고 불립니다.^[7] 예를 들어, 만약 $K$ 가 유클리드 평면에서 원 위에 정렬된 50 점의 집합이면, 그들 중 둘을 연결하는 직선은 2-가름선 (또는 쌍가름선(bisecant))이고 그것들 중 오직 하나를 통과하는 직선은 1-가름선 (또는 단일가름선(unisecant))일 것입니다. 이 예제에서 단일가름선은 원에 대한 접선일 필요는 없습니다.

이 용어는 투사 기하학(incidence geometry)과 이산 기하학(discrete geometry)에서 종종 사용됩니다. 예를 들어, 투사 기하학의 실베스터–갈라이 정리(Sylvester–Gallai theorem)는 만약 유클리드 기하학의 $n$ 점이 공선형(collinear)이 아니면, 그것들 중 2-가름선이 존재해야 함을 말합니다. 그리고 이산 기하학의 원래 과수원-심는 문제(orchard-planting problem)는 유한 점의 집합의 3-가름선의 숫자에 대한 경계를 요청합니다.

각 직선이 오직 유한 숫자의 점에서 집합과 교차할 수 있는 한, 이 정의에서 점의 집합의 유한성은 필수가 아닙니다.

References

^ ^a ^b Protter, Murray H.; Protter, Philip E. (1988), Calculus with Analytic Geometry, Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935.
^ Redgrove, Herbert Stanley (1913), Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry, Van Nostrand, p. 167.
^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, W. W. Norton & Company, p. 387, ISBN 9780393040029.
^ Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson/Prentice-Hall, p. 229, ISBN 978-0-13-143700-5
^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman & Co., p. 482, ISBN 0-7167-0456-0
^ Heath, Thomas L. (1956), The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2), Dover, p. 73
^ Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, Oxford University Press, p. 70, ISBN 0-19-853526-0

External links

Weisstein, Eric W. "Secant line". MathWorld.

[cag-1] Protter, Murray H.; Protter, Philip E. (1988), Calculus with Analytic Geometry, Jones & Bartlett Learning, p. 62, ISBN 9780867200935.

[2] Redgrove, Herbert Stanley (1913), Experimental Mensuration: An Elementary Test-book of Inductive Geometry, Van Nostrand, p. 167.

[3] Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, W. W. Norton & Company, p. 387, ISBN 9780393040029.

[4] Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson/Prentice-Hall, p. 229, ISBN 978-0-13-143700-5

[5] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman & Co., p. 482, ISBN 0-7167-0456-0

[6] Heath, Thomas L. (1956), The thirteen books of Euclid's Elements (Vol. 2), Dover, p. 73

[7] Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, Oxford University Press, p. 70, ISBN 0-19-853526-0

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